Tìm toạ độ của N , biết C là trọng tâm của tam giác ABN.. Tính độ dài đường phân giác trong của góc B.. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D.. Tìm toạ độ trực tâm, trọng tâm và
Trang 1VẤN ĐỀ 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Cho ar=(a a a1; ;2 3),br=(b b b1; ;2 3) Khi đó ta có:
a br+ =r (a1+b a1; 2+b a2; 3+b3)
a br− =r (a1−b a1; 2−b a2; 3−b3)
kar=(ka ka ka1; 2; 3)
1 1
3 3
=
= ⇔ =
=
r
r
a b a br.r= 1 1+a b2 2+a b3 3
os a,b
c
+ +
=
+ + + +
r
r
,a br r cùng phương 1 2 3( )
1 2 3
0
⇔ =a kbr r⇔ a =a =a b b b ≠
ar⊥ ⇔br a b1 1+a b2 2+a b3 3 =0
2 Cho A x y z( A; A; A) (,B x y z B; B; B) (,C x y z C; C; C) , D x y z Khi đó ta có: ( D; D; D)
uuurAB=(x B−x y A; B −y z A; B−z A)
Nếu I là trung điểm của AB thì
1 2 1 2 1 2
= +
= +
= +
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì
1 3 1 3 1 3
= + +
= + +
= + +
Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì
1 4 1 4 1 4
= + + +
= + + +
= + + +
Trang 23.Tích có hướng của hai vectơ ar=(a a a1; ;2 3),b =(b b b1; ;2 3)
( 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1)
a, b a b a b ;a b a b ;a b a b
r
r
* a br,r = a br rsin ,( )a br r
* ar và br cùng phương ⇔a br,r=0r
* , ,a b cr r r đồng phẳng ⇔a b cr,r.r=0
* Nếu ABCD là hình bình hành thì S ABCD = AB AD,
uuur uuur
- Nếu ABC là 1 tam giác thì 1 ,
2
ABC
S = AB AC
uuur uuur
* Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì V ABCD A B C D ' ' ' '= AB AD AA, '
uuur uuur uuur
- Nếu ABCD là tứ diện thì 1 ,
6
ABCD
uuur uuur uuur
B BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Trong không gian cho ar=(1; 2;3), br= −( 2;0;5) và cr=(2m+1;1;3)
a Tính toạ độ của ar+3br
b Tính ar 2( a br+r)
c Tính a br+r
d Tính ( )a br,r
e Tìm m để cr =8ar
f Tìm m để cr⊥ar
Bài 2: Trong không gian cho hình bình hành ABCD Biết A(1;1;1 ,) (B −3;0; 2 ,) (C 4; 2;0− )
Tìm toạ độ đỉnh D
Bài 3: Trong không gian cho 3 điểm A(2;1;5 ,) (B 3;0; 2 ,− ) (C 4;7;6)
a Chứng minh rằng A,B, C lập thành tam giác Tính tọa độ trọng tâm G
b Tìm toạ độ của K , biết B là trung điểm của AK
c Tìm toạ độ của N , biết C là trọng tâm của tam giác ABN
Bài 4: Trong không gian cho 3 điểm A(1;1;1 ,) (B −3; 2;5 ,) C m(2 +3;m2−m; 4)
Tìm m để tam giác ABC vuông tại A
Bài 5: Trong không gian cho 3 điểm A(1; 2;5 ,) (B 2;1;3 ,) (C m+1;1; 2m−1)
Tìm m để (uuur uuurAB AC, ) =600
Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết A(2;0; 2 ,) (B 4; 2; 4 ,) (D 2; 2; 2 , ' 8;10; 10− ) (C − )
Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp
Bài 7: Cho A 3;4; 1 , B 2;0;3 ,C 3; 4;5( − ) ( ) (− )
a Chứng minh rằng ABC là 1 tam giác
b Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
c Tính các góc của tam giác ABC
Trang 3Bài 8: Cho A 2;1; 1 , B 3;0;1 ,C 2; 1;3( − ) ( ) ( − ) và D Oy∈ Biết thể tích V của ABCD bằng 5 Tìm toạ độ của điểm D
Bài 9: Cho tam giác ABC với A 1;2; 1 , B 2; 1;3 ,C 4;7;5( − ) ( − ) (− ) Tính độ dài đường phân giác trong của góc B
Bài 10: Cho ar=(2;3;1 , b) r=(5;7;0 , c) r=(3; 2;4− ) Chứng minh rằng a, b, cr r r không đồng phẳng Hãy biểu diễn dr=(4;12; 3− ) theo 3 vectơ a, b, cr r r
Bài 11: Cho A 1;0;1 , B 1;1;2 ,C 1;1;0 , D 2; 1; 2( ) (− ) (− ) ( − − ) Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện Tính
độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D Tính VABCD, từ đó suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện
Bài 12: Cho A 1; 2; 1 , B 5;10; 1 ,C 4;1;1( − − ) (− − ) ( ) Chứng minh ABC là 1 tam giác Tìm toạ độ trực tâm, trọng tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 13: Cho A 1;2; 1 , B 4;3;5( − ) ( ) Xác định M Ox ∈ sao cho M cách đều A, B
Bài 14: Cho A 4; 1; 2 , B 3;5; 1(− − ) ( − ) Tìm C biết trung điểm của AC thuộc Oy, trung điểm của BC thuộc Oxz
Bài 15: Cho v 0r≠r Gọi , ,α β γ là 3 góc tạo bởi vr với Ox, Oy, Oz Chứng minh rằng
cos2α +cos2β +cos2γ =1
VẤN ĐỀ 2: GÓC (Bổ sung)
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Góc giữa hai đường thẳng :
Đường thẳng d có VTCP 1 ur=(x y z1; ;1 1) và đường thẳng d có VTCP 2 vr=(x y z2; ;2 3)
Gọi β là góc giữa hai đường thẳng d và 1 d Khi đó 2 2 1 22 21 2 2 1 22 2
c
+ + + +
2 Góc giữa hai mặt phẳng :
Cho ( )P a x b y c z d: 1 + 1 + 1 + =1 0 và ( )Q a x b y c z d: 2 + 2 + 2 + 2 =0
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q Khi đó 2 1 22 21 2 2 1 2 2 2
c
+ + + +
3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Cho đường thẳng d có VTCP ur=(a b c; ; ) và mặt phẳng ( )α :Ax By Cz D+ + + =0
Gọi β là góc giữa d và ( )α Khi đó sin 2 Aa + Bb + Cc2 2 2 2 2
β =
+ + + +
B BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 : Tính góc giữa hai mặt phẳng ( )α : 2x y− + − =3z 1 0 và ( )β − +: x 2y z+ + =3 0
Trang 4Bài 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng ( )1
2 3
5 4
= +
= − +
= −
và ( )2
2
4 5
=
= −
= +
Bài 3 : Tính góc giữa đường thẳng ( )
3 2
7
= −
=
= +
và mặt phẳng ( )α :x y+ + − =3z 1 0
VẤN ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng :
Trong không gian Oxyz, cho ( )α : Ax + By + Cz +D = 0 và M x y z Khi đó ta có:( 0; ;0 0)
( )
Ax
d M
α = + + +
+ +
2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :
Cho ( ) ( )α // β và M∈( )α Khi đó d( ( ) ( )α , β ) =d M( ,( )β )
3.Khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua M và có VTCP 0 ur :
Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao
- Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa M và
( )α ⊥ ∆
- Tìm K = ∆ ∩( )α
- Tính MK Suy ra d M( ,∆ =) MK
h M M u0 ,
u
=
uuuuuur r r
4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song :
Cho d d// ' và M∈d Khi đó d d d( , ') =d M d( , ')
5 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Trang 5Cho ∆//( )α và M∈∆ Khi đó d(∆,( )α ) =d M( ,( )α )
6 Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau d và 1 d ; biết 2 d đi qua 1 M và có VTCP 1 ur1, 2
d đi qua M và có VTCP 2 ur2 : (Chương trình nâng cao)
Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao
- Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa d và 1
( )α // d2
- Lấy M∈d2 và tính d M( ,( )α )
- Suy ra d d d( 1, 2) =d M( ,( )α )
[ ] [ ]
1 2
, ,
u u M M h
u u
=
uuuuuur
r r
r r
B BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
- nr≠0r được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( )α nếu giá của nó vuông góc với ( )α
- Cho hai vectơ không cùng phương ar=(a a a1; ;2 3),br=(b b b1; ;2 3)có giá song song hoặc nằm trong
mặt phẳng ( )α Khi đó 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
n
= ÷÷
r
là 1 vectơ pháp tuyến của ( )α , nr được gọi là
tích có hướng của ar và br ; kí hiệu là a br,r hoặc a br∧r
2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
a Mặt phẳng ( )α đi qua M x y z và nhận ( 0; ;0 0) nr=(A B C; ; ) làm VTPT có phương trình:
A x x( − 0)+B y y( − 0)+C z z( − 0) =0
b Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 (A2+B2+C2 ≠0) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
3 Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng : (Chương trình nâng cao)
Nếu A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0;0;c với ) abc≠0 thì phương trình mặt phẳng (ABC là )
1
a b+ + =c ( )* ( )* được gọi là phương trình đoạn chắn của mặt phẳng
4 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho ( )α :A x B y C z D1 + 1 + 1 + 1 =0;( )β :A x B y C z D2 + 2 + 2 + 2 =0
( )α cắt ( )β ⇔(A B C1; ;1 1) ≠k A B C( 2; ;2 2) ( )α cắt ( )β ⇔ A B C1: 1: 1≠ A B C2: 2: 2
Trang 6( ) ( ) ( 1 1 1) ( 2 2 2)
α β ⇔ ≠ =
α β ⇔ = = ≠
( ) ( ) ( 1 1 1) ( 2 2 2)
α ≡ β ⇔ = =
α ≡ β ⇔ = = =
( ) ( )α ⊥ β ⇔ A A1 2+B B1 2+C C1 2 =0 ( ) ( )α ⊥ β ⇔ A A1 2+B B1 2+C C1 2 =0
5 Chùm mặt phẳng: (Bổ sung)
Cho hai mặt phẳng ( )α và ( )β cắt nhau lần lượt có phương trình:
( )α :Ax By Cz D+ + + =0,( )β : 'A x B y C z D+ ' + ' + ' 0= Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( )α và ( )β gọi là một chùm mặt phẳng Mỗi mặt phẳng của chùm đều có phương trình:
a Ax By Cz D+ + + +b A x B y C z D+ + + = trong đó a2+b2 ≠0
6 Vị trí tương đối của điểm và mặt phẳng (bổ sung)
Cho mặt phẳng ( )α : Ax + By + Cz + D = 0 và 2 điểm M x ; y ; z , M x ; y ; z Khi đó ta có:1( 1 1 1) 2( 2 2 2)
- Nếu (Ax1+By1+Cz1+D Ax) ( 2+By2+Cz2+D) >0 thì M , M nằm cùng phía đối với 1 2 ( )α
- Nếu (Ax1+By1+Cz1+D Ax) ( 2+By2+Cz2+D) <0 thì M , M nằm khác phía đối với 1 2 ( )α
B BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dạng 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
Bài 1: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua A(1; 2;6− ) và nhận nr= −( 2;0;3) làm VTPT
Bài 2: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua M(2;1; 5− ) và song song với (Oxy)
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(−2;3;5 ,) (B 2;3;1) Lập phương trình tổng quát của mặt phảng trung trực đoạn AB
Bài 4: Lập phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và điểm P(2; 3;5− )
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;1;1 ,) (B 4;3; 2 ,) (C 5;2;1)
a Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng
b Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC)
Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng ( )α đi qua A và song song với mặt phẳng
( )β : 2x+3y z− − =5 0
Bài 7: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm A(1;1;1 ,) (B 3; 2; 1− ) và vuông góc với mặt phẳng ( )α − +: 2x 3y+ + =5z 7 0
Bài 8: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua N(−3; 2;5) và vuông góc với trục Ox
Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của M(2;3;5) trên các trục toạ độ
HD: Dùng phương trình đoạn chắn.
Bài 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Biết O(1;1;1 ,) (A 2;3;5 ,) (B 3; 2;2− ) Viết phương trình của các mặt phẳng (OAC) (, OBC)
Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(0; 2; 1− ), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng x y z− + =0
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(−3;0;1), vuông góc với hai mặt phẳng
Trang 7( )P : 2− +x 3y z− + =2 0 và ( )Q x: +5y−2z+ =1 0
Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2;3) và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz ở 3 điểm cách đều gốc toạ độ
HD:
Gọi mặt phẳng cần tìm là ( )α ⇒ phương trình của mặt phẳng của ( )α có dạng: x y z 1
a b+ + =c
Vì M∈( )α nên ta có : 1 2 3 1
a b c+ + = ( )1 Theo đề ra ta có a b c= = Khi đó ( )1 6 1 a 6
a
⇔ = ⇔ =
Phương trình của mặt phẳng ( ): 1
α + + =
Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng ( )α chứa đường thẳng : x 2z 0
3x 2y z 3 0
− =
∆ − + − =
mặt phẳng ( )β : x 2y z 5 0− + + =
Bài 15 : Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa Oz và lập với mặt phẳng ( )β : 2x y+ − 5z 0= một góc 600
HD :
Pt của ( )α có dạng mx ny 0 m+ = ( 2+n2 >0)
Bài 16 : Viết phương trình của mặt phẳng ( )α qua M 0;0;1 , N 3;0;0 và tạo với Oxy một góc 60( ) ( ) 0
Bài 17 : Lập phương trình của mặt phẳng ( )α đi qua M 1; 2;1 và chứa giao tuyến của ( )
( )P : x y z 1 0+ + − = và ( )Q : 2x y 3z 0− + =
Bài 18 : Lập phương trình của mặt phẳng ( )α chứa : x y z 3 0
3x y 2z 1 0
− + − =
∆ + + − =
( )P : x y 2z 3 0+ + − =
Bài 19 : Lập phương trình của mặt phẳng ( )α đi qua 2 điểm A 2; 1;0 , B 5;1;1( − ) ( ) và khoảng cách từ
1
M 0;0;
2
÷
đến ( )α bằng 6 3
Bài 20 : Lập phương trình mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng ( )P : x 3y 7z 36 0− + + =
và ( )Q : 2x y z 15 0+ − − = , biết rằng khoảng cách từ O đến ( )α bằng 3
Bài 21 : Cho ( )α : 2x y 3z 4 0− + + = và M 2; 1; 2( − ) Viết phương trình của mặt phẳng ( )β đối xứng với ( )α qua M
Bài 22: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3 ,) (B 1;6; 2 ,) (C 5;0; 4 ,) (D 4;0;6)
a Viết phương trình mặt phẳng (BCD)
b Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với đường thẳng CD
c Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng (ABC)
Bài 23 : Cho mặt phẳng ( )α : x 2y z 3 0+ + − = và M 1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) ( )β sao cho ( ) ( )
d α β =, 4 đồng thời M và ( )β nằm cùng phía đối với ( )α
Bài 24 : Cho mặt phẳng ( )α : 2x 2y z 1 0+ + + = và M 1; 2;1(− ) Viết phương trình mặt phẳng ( )β sao cho d( ( ) ( )α β =, ) 2 đồng thời M và ( )β nằm khác phía đối với ( )α
Trang 8Dạng 2 : XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Bài 1 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
a 2x−3y+4z− =5 0 và 3x y z− + − =1 0
b − + − + =x y z 4 0 và 2x−2y+2z− =7 0
c 3x+3y−6z− =12 0 và 4x+4y− − =8z 16 0
Bài 2 : Cho hai mặt phẳng (m2 −5)x−2y mz m+ + − =5 0 và x+2y−3nz+ =3 0
Tìm m và n để hai mặt phẳng :
a Song song với nhau
b Trùng nhau
c Cắt nhau
Bài 3 : Cho hai mặt phẳng ( )α : 3x−(m−3) y+2z− =5 0 và (m+2)x−2y mz+ − =10 10
Tìm m để
a Hai mặt phẳng song song
b Hai mặt phẳng trùng nhau
c Hai mặt phẳng cắt nhau
Dạng 3 : BÀI TẬP VỀ CHÙM MẶT PHẲNG
Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 2;3) và chứa đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng x y z− + − =3 0 và 3x y+ +2z− =5 0
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng x− + =3z 1 0 và
2y+ − =3z 5 0và vuông góc với mặt phẳng 2x y− − =1 0
Bài 3 : Xác định m, n để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua 1 đường thẳng
2x y z− + =0;x−3y−2z+ =2 0;mx ny− +4z+ =4 0
Dạng 4 : HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp giải:
Cho điểm M và mặt phẳng ( )α Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên ( )α
- Lập phương trình tham số của đường thẳng MH ( đi qua M và nhận VTPT của ( )α làm VTCP)
- Thay ptts của MH vào phương trình của mặt phẳng ( )α tính được t ⇒ toạ độ của H
Bài 1: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng ( )α − +: 2x 5y z− + =1 0 Tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của M trên ( )α
Bài 2: Cho điểm M(−2;1;1) và mặt phẳng ( )α :x+5y z− + =1 0 Tìm toạ độ điểm M’, biết M’ đối xứng với M qua ( )α
Bài 3: Cho hai điểm A(3;1;1 ,) (B 7;3;9) và mặt phẳng ( )α :x y z+ + + =3 0 Tìm M∈( )α sao cho
MA MBuuur uuur+ đạt giá trị nhỏ nhất
HD :
- Gọi I là trung điểm của AB
- Ta có MA MBuuur uuur+ =2MI
- MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên ( )α
Bài 4: Cho 3 điểm A(−2;1;6 ,) (B − −4; 4;7 ,) (C −3;0; 1− ) và mặt phẳng ( )α : 2x y− −2z− =5 0
Tìm M∈( )α để MA MB MCuuur uuur uuuur+ + nhỏ nhất
HD :
- Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Trang 9- Ta có MA MB MC+ + =3MG
- MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( )α
Bài 5:
Cho 4 điểm A(−5; 2;0 ,) (B − − −8; 1; 1 ,) (C 1;1; 5 ,− ) (D − −3; 2; 2) và mặt phẳng ( )α : 4x y− −2z− =8 0
a Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện
b Tìm M∈( )α để MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ + + nhỏ nhất
HD :
Câu a :
- Chứng minh uuur uuur uuurAB AC AD, , không đồng phẳng
Câu b:
- Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD
- Ta có MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ + + =4MG
- MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( )α
Bài 6: Cho mặt phẳng ( )α : 2x y− − + =3z 5 0 và hai điểm A(0;0; 3 ,− ) (B 9;15;12)
Tìm M∈( )α sao cho
a MA MB+ ngắn nhất
b MA MB− dài nhất.
HD :
A và B ở khác phía đối với ( )α
Câu a :
- Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của AB và ( )α
- Suy ra M ≡I
Câu b :
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( )α
- MA MB− = MA MB'− ≤A B'
- Đẳng thức xảy ra khi M nằm trên đường thẳng A’B (không nằm trên đoạn A’B)
- Gọi J = A B' ∩( )α Suy ra M ≡J
Bài 7: Cho mặt phẳng ( )α :x+3y z− − =19 0 và hai điểm A(−2;0;1 ,) (B − −7; 5;3)
Tìm M∈( )α sao cho
a MA MB+ ngắn nhất
b MA MB− dài nhất
HD :
A và B ở cùng phía đối với ( )α
Câu a:
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( )α
- Gọi J = A B' ∩( )α Suy ra M ≡J
Câu b :
- MA MB− ≤ AB
- Gọi I =AB∩( )α
- Suy ra M ≡I
Trang 10VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Phương trình tham số của đường thẳng :
Đường thẳng d đi qua M x y z và nhận ( 0; ;0 0) ur=(a b c; ; ) làm VTCP có phương trình tham số là :
0
0
0
= +
= +
= +
Chú ý : Một đường thẳng có vô số phương trình tham số
2 Phương trình chính tắc của đường thẳng :
Cho đường thẳng d có phương trình tham số
0 0 0
= +
= +
= +
( )* với abc≠0
( )* x x0 y y0 z z0
Chú ý : Nếu abc=0 thì không có phương trình chính tắc
3 Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng ( )
( )
0 0
A x B y C z D
A x B y C z D
α β
+ + + =
+ + + =
Chú ý :
Gọi nr1 là VTPT của ( )α , nr2 là VTPT của ( )β Khi đó ur=[n nr r1, 2] là VTCP của d
4 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng :
Cho đường thẳng d đi qua M x y z và có VTCP 0( 0; ;0 0) ur=(a a a1; ;2 3), đường thẳng d’ đi qua
0' 0'; 0'; '0
M x y z và có VTCP ur'=(a a a1'; 2'; '3 )
d và d’ cắt nhau ⇔hệ phương trình ẩn t, t’ sau
' ' '
' ' ' ' ' '
+ = +
+ = +
+ = +
( )I có đúng 1 nghiệm
d và d’ cắt nhau ⇔ [ ]
[ ] 0 0
, ' 0
u u
u u M M
≠
=
r
r r uuuuuuur
r r
// '
d d
0
' '
u ku
=
⇔ ∉
// '
0 0
, ' 0
u u
u M M
=
≠
r
r r uuuuuuur r r
0
' '
'
u ku
=
≡ ⇔ ∈
'
0 0
, ' 0
u u
u M M
=
=
r
r r uuuuuuur r r
d chéo d’ ⇔ ur không cùng phương với ur' và hệ
phương trình
' ' ' ' ' ' ' ' '
+ = +
+ = +
+ = +
vô nghiệm
d chéo d’ ⇔ [u u M Mr r, ' ] uuuuuuur0 0' 0≠
