Bài giảng vật lý lượng tử

Sự ra đời của lý thuyết lượng tử Từ những năm nữa đầu của thế kỉ thứ 18, vật lí học cổ điển đã được xâydựng gần như hoàn chỉnh với cơ học Newtơn và lí thuyết điện từ của Maxwell.Tuy nhiê

PGS TS TRẦN NGỌC

Bài giảng

Vật lý lượng tử

Quảng Bình, Tháng 3 - 2017

III §¬n vÞ thêi gian(s, ngµy )

V §¬n vÞ thÓ tÝch (lÝt, m 3 )

1lÝt = 10-3m3

1ml = 10-3lÝt = 10-6m3 = 1cm3

1m3 = 103 lÝt1m3 = 10-6ml = 106cm3

VI §¬n vÞ gãc quay - vËn tèc gãc (vßng/ph, vßng/s, rad/s )

Chương I

Cơ sở của lý thuyết lượng tử

Thế kỷ 19, với một loạt các sự kiện thực nghịêm được quan sát nhưng không thể giải thích được bằng các quan điểm của các lý thuyết trong vật lí học hiện thời (quan niệm cổ điển) Một câu hỏi đặt ra là các hiện tượng vật lý xãy ra trong thế giới của các hạt vi mô có tuân theo những quy luật của vật lí đã có hay không ? nếu không thì chúng tuân theo những quy luật nào? nội dung của chương này sẽ trả lời cho chúng ta biết các câu hỏi đó.

Đ 1 Sự ra đời của lý thuyết lượng tử

I Sự ra đời của lý thuyết lượng tử

Từ những năm nữa đầu của thế kỉ thứ 18, vật lí học cổ điển đã được xâydựng gần như hoàn chỉnh với cơ học Newtơn và lí thuyết điện từ của Maxwell.Tuy nhiên, vào những năm cuối của thế kỉ XIX, một loạt các sự kiện quan sát

được bằng thực nghiệm đã làm lung lay nền tảng của Vật lí học cổ điển, điểnhình nhất trong số đó là hiệu ứng quang điện và hiệu ứng Compton Vì vậy, sựcần thiết phải có một lý thuyết mới, một lý thuyết có nội dung hoàn toàn khác líthuyết cũ nhưng không mâu thuẫn và phủ nhận lí thuyết cũ

Tiên phong cho sự hình thành lý thuyết mới này phải kể đến Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) Từ các công trình nghiên cứu về nhiệt động

học và sự bức xạ nhiệt, với quan niệm về tính gián đoạn của bức xạ, nghĩa là sựtrao đổi nhiệt không liên tục mà bằng một số nguyên lần lượng tử năng lượng, đãcho phép ông thu được sự phân bố năng lượng trong phổ của vật đen tuyệt đối.Ban đầu lý thuyết này chưa được hưởng ứng lắm, nhưng về sau quan niệm đódẫn đến việc xây dựng nên thuyết phôtôn về ánh sáng và cơ học lượng tử Tiếptheo sau đó là Niels Bohr (1885-1962) đã xây dựng nên mẫu nguyên tử, mở đầu

cho lí thuyết lượng tử Lý thuyết lượng tử ánh sáng của Albert Einstein

(1879-1955) ra đời đem đến cái nhìn về tính nhị nguyên sóng-hạt của ánh sáng Vàcuối cùng là quan điểm sóng vật chất của De Broglie đã hoàn chỉnh sự hiểu biết

của con người về vật chất Không chỉ ánh sáng mà vật chất cũng mang tính nhịnguyên sóng -hạt Tất cả các điều đó dẫn đến lý thuyết lựơng tử ra đời, lí thuyết

được áp dụng để nghiên cứu cấu trúc của nguyên tử, phân tử bằng quan điểmlượng tử và thu được các kết quả rất phù hợp với thực nghiệm.

II Các đặc điểm của lý thuyết lượng tử

Đối tượng chủ yếu của lý thuyết lượng tử là thế giới vi mô, bắt đầu từ phân

tử, nguyên tử, các êlectron, proton, neutron mang một số nét đặc trưng sau đây:

1 Tính nguyên tử của vật chất: Hạt sơ cấp đơn giản của chất gọi là nguyên tử,vật mang sơ cấp các tính chất cơ bản của chất còn lại được gọi là phân tử Tínhthực tại của phân tử, nguyên tử đã được chứng minh bằng những quan sát trựctiếp thực nghiệm

2 Tính nguyên tử của điện tích: Tính nguyên tử của điện tích thể hiện ở sự tồntại một điện tích sơ cấp (điện tích nguyên tố) e = 1,602.10-19C Trong tự nhiên,người ta không quan sát thấy điện tích nhỏ hơn Trong mọi sự biến đổi điện tíchcủa hệ, điện tích thay đổi từng số nguyên lần của điện tích nguyên tố, nghĩa làthay đổi một cách gián đoạn Hạt mang điện tích âm có tính bền vững là hạt sơcấp gọi là êlectron; đó là phần hợp thành của mọi nguyên tử bất kỳ Hạt mang

điện tích dương bền vững là hạt proton (hạt nhân hyđrô), nó tham gia vào thànhphần của tất cả các hạt nhân của các chất

3 Tính gián đoạn của các đại lượng vật lí: Các đại lượng vật lí được mô tã trong

lí thuyết lượng tử phần lớn đều mang tính gián đoạn mà không liên tục Nănglượng, mômen động lượng, hình chiếu của mômen động lượng đều được lượng

tử hoá theo quan điểm của Max Planck, đây là một đặc điểm nổi bật nhất của líthuyết lượng tử

4 Lưỡng tính sóng - hạt: Đặc điểm cơ bản nhất của các hạt sơ cấp và các hợpthành của chúng là lưỡng tính sóng - hạt, nếu không xét đến các tính chất này thì

ta không thể hiểu được đầy đủ các định luật của thế giới vi mô Nó thể hiện ởchỗ, các vi hạt đồng thời có tính chất hạt cũng như có các tính chất sóng Sự môtả đầy đủ thế giới vi mô bởi cơ học lượng tử, bao gồm trong nó bức tranh thốngnhất lưỡng tính sóng hạt của thế giới vi mô

Đ 2 Cấu tạo vật chất Các lực tương tác trong nguyên tử

I Cấu tạo vật chất

Thế giới muôn hình bao gồm cả phần nhìn thấy và không nhìn thấy đều

được cấu tạo từ những chất khác nhau Phân tử là phần vật chất nhỏ nhất vẫn còn

giữ được tính chất của chất Phân tử được cấu tạo từ những nguyên tử Các hạtnhân (ở giữa) và các êlectrôn (bao xung quanh) cấu

tạo nên nguyên tử Bản thân hạt nhân cũng khá phức

tạp, nó được cấu tạo từ những nuclon (proton và

neutron) còn các nuclon được cấu tạo từ những hạt

quark, các hạt quark có hai loại quark up(u) và quark

dawn(d) Proton được cấu tạo từ 2 quarl up và 1 hạt

quark down Neutron đực cấu tạo từ 1 quarl up và 2

quark down Tổng điện tích các quark bằng điện tích

của proton (+1e) hoặc bằng điện tích của neutron (0)

II Các tương tác bên trong nguyên tử

Trong tự nhiên có bốn loại lực cơ bản mà ba trong số đó có tác dụng giử chocác nguyên tử bền vững hoặc xác định các cách thức phân rã của một nguyên tửkhông bền Các lực đó là:

+ Lực tương tác điện từ giữa êlectron với hạt nhân nguyên tử

+ Lực tương tác mạnh gắn các proton và neutron với nhau trong hạt nhân

+ Lực tương tác yếu điều khiển cách thức các nguyên tử phân rã

+ Lực hấp dẫn thể hiện tương tác giữa các hạt có khối lượng

Sự hình thành nguyên tử và nguồn gốc của các tương tác bên trong nguyên

tử được mô tã ở hình 1.2

Theo lí thuyết mô hình chuẩn, thể hiện các tương tác thông qua môi trườngtruyền tương tác (được ví như vữa để gắn kết các viên gạch lại với nhau) gọi làcác hạt truyền tương tác Theo đó, trong tương tác điện từ giữa các hạt mang điện

rã các hạt có hạt truyền tương tác là bozon (W-,W+, Z0) Tương tác mạnh gắncác hạt quark thành proton và neutron và các proton + neutron thành nguyên tử

có hạt truyền tương tác là gluon Cuối cùng là tương tác hấp dẫn giữa các hạt cókhối lượng có hạt truyền tương tác là Bozon higgs Một câu hỏi đặt ra là: cáchằng số tương tác cho từng trường hợp cụ thể như thế nào? vấn đề này cho đếnnay còn là chủ đề cho các nhà vật lý tìm kiếm

Ta hãy xét nguồn gốc và bản chất của các tương tác bên trong nguyên tử:

2.1 Lực tương tác điện từ trong nguyên tử

Lực tương tác điện từ trong nguyên tử bao gồm: lực đẩy giữa các hạt mang

điện cùng dấu và lực hút giữa các hạt mang điện trái dấu Trong nguyên tử, cácêlectron mang điện tích âm bị các prôton trong hạt nhân mang điện tích dươnghút nên không tách nhau ra khỏi nguyên tử, chúng quay xung quanh hạt nhân.Theo nguyên tắc của chuyển động, thì các êlectron mất dần năng lượngtrong quá trình quay vì trong quá trình chuyển động quay này chúng phải bức xạsóng điện từ, và vì vậy êlectron sẽ chuyển động theo quỹ đạo xoắn trôn ốc rồichui vào hạt nhân, nghĩa là nguyên tử không tồn tại được Tuy nhiên điều đó đãkhông xảy ra, vì êlectron có tính chất sóng, vì vậy chúng không bị rơi vào hạtnhân Trên một khía cạnh khác, lực tương tác điện từ còn làm cho các êlectrontrong nguyên tử bị đẩy xa nhau ra, tuy nhiên, vì các hạt nhân hút chúng khámạnh nên chúng cũng không bị đẫy ra khỏi nguyên tử Các prôton cũng đẩynhau nhưng chúng cũng không rời xa nhau được vì giữa chúng còn tồn tại lựctướng tác mạnh

2.2 Lực tương tác mạnh

Trong hạt nhân, giữa các prôton tồn tại lực tương tác mạnh hút chúng lạivới nhau, lực này mạnh hơn lực đẩy Coulomb giữa chúng Lực tương tác mạnhtác dụng lên các prôton không phải chỉ do riêng các prôton gây ra mà còn có sự

đóng góp của một hạt khác, đó là các hạt neutron, đây là các hạt trung hoà điệnnhưng chúng tham gia vào tương tác mạnh Lực tương tác mạnh gọi là lực hạtnhân, lực này có đặc tính riêng, được quy định bởi số lượng tương đối giữaprôton và neutron trong hạt nhân

Nếu số prôton nhiều hơn số neutron thì lực tương tác mạnh không đủ đểvượt qua lực đẩy tĩnh điện giữa các prôton và vì vậy hạt nhân dễ bị phân rã

Nếu số prôton ít hơn số nơtron thì lực tương tác mạnh quá lớn bó chặt cácnuclon lại và hạt nhân đó rất bền

được với nhau hoặc bó chặt chúng quá thì lực tương tác yếu lại có tác dụng làmbiến đổi một trong các loại loại hạt này thành một loại hạt khác và hạt nhân phânrã dưới dạng phóng xạ bêta (ví dụ phân rã -tương ứng với biến đổi neutronthành prôton, một e-và một phản nơtrino hình thành).

Như vậy kết quả đã dẫn đến một đại lượng vo cùng làm bế tắc của lý thuyết này

Bế tắc này xảy ra trong khoảng thời gian dài của thế kĩ 19 gọi là “Sự khủnghoảnh ở vùng tử ngoại) vì khi càng lớn thì tích phân trên càng tiến tới vô cùng

II Thuyết lượng tử của Planck

Năm 1900, M Planck đã đề xuất lí thuyết mới thay thế cho lí thuyết điện từ

cổ điển gọi là thuyết lượng tử năng lượng Nội dung của thuyết có thể tóm tắtnhư sau:

1 Các phân tử, nguyên tử phát xạ hay hấp thụ năng lượng của bức xạ điện từ mộtcách gián đoạn: Phần năng lượng hấp thụ hay bức xạ luôn là một số nguyên củamột lượng năng lượng nhỏ xác định gọi là lượng tử năng lượng (quan tum nănglượng)

2 Đối với một bức xạ điện từ đơn sắc tần số , bước sóng  thì lượng tử nănglượng là:

Trên cơ sở lý thuyết lượng tử áp dụng cho vật đen tuyệt đối, Planck đã đưa

ra các định lụât bức xạ của vật đen tuyệt đối như những hệ quả

1 Năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối tỉ lệ với luỹ thừa bậc 4 củanhiệt độ tuyệt đối của vật ấy: R(T) =T4 (1.5)

trong đó= 5,67.10-8W/m2K4gọi là hằng số Stêfan -Bônxman

2 Đối với vật đen tuyệt đối, bước sóng m của chùm bức xạ đơn sắc mang nhiềunăng lượng nhất tỷ lệ nghịch với nhiệt độ tuyệt đối của vật:

trong đó b = 2,898.10-3m.K gọi là hằng số Vin (Wien)

Đ 4 Lí thuyết phôton về bức xạ điện từ

I Lí thuyết phôton

Một hiện tượng thực nghiệm được Héc thực hiện vào năm 1887 cho thấyrằng: để làm cho các êlectron bật ra khỏi bề mặt một tấm kim loại, ngoài việcnung nóng nó (hiện tượng phát xạ nhiệt điện tử) hoặc dùng các ion để bắn phá(hiện tượng phóng điện ẩn) ra còn có thể chiếu sáng tấm kim loại đó bằng ánhsáng có bước sóng thích hợp (hiện tượng quang điện) Hiện tượng quang điện chỉ

có thể giải thích được bằng lí thuyết lượng tử mà đỉnh cao của sự hoàn thiện đó

là lí thuyết phôton do A Einstein xây dựng năm 1905, lí thuyết này đã giải thíchtốt các định luật quang điện

Nội dung của thuyết phôton: “Bức xạ điện từ được tạo thành từ các hạt mang năng lượng nhỏ và gián đoạn gọi là các lượng tử hay các phôton”.

+ Mỗi phôton của bức xạ điện từ mang một năng lượng E chỉ phụ thuộcvào tần số của bức xạ đó: E = h= hc

(h = 6,626 10-34J.s là hằng số Plank)+ Phôton chỉ tồn tại khi chuyển động với vận tốc ánh sáng (c), do đó nănglượng của nó có nguồn gốc từ động học (động năng) và vì vậy có khối lượngnghỉ m0= 0

II Hiệu ứng quang điện

Hiệu ứng quang điện là hiệu ứng làm bứt các hạt mang điện ra khỏi vật chấtkhi bị chiếu sáng hay bức xạ điện từ lên vật chất Có thể chia hiện tượng quang

điện thành hai loại: quang điện trong và quang điện ngoài

+ Hiện tượng quang điện trong là hiện tượng các êlectron liên kết trong các điệnmôi có tính quang dẫn được ánh sáng giải phóng để trở thành các êlectron dẫn.+ Hiện tượng quang điện ngoài là hiện tượng làm bật các êlectron ra khỏi bề

Một cấu hỏi đặt ra là bản chất của hiệu ứng quang điện là gì? Hiện tượngquang điện tuân theo những định luật nào?.

2.1 Thí nghiệm về hiện tượng quang điện.

Sơ đồ thí nghiệm được bố trí ở hình 1.2 Khi chưa chiếu ánh sáng vào bảncực E, ampe kế chỉ số 0, dòng điện trong

mạch bằng 0

Khi chiếu ánh sáng đơn sắc có tần số 

thích hợp vào bản cực E ta thấy xuất hiện

dòng điện trong mạch (I0) Như vậy, năng

lượng của ánh sáng chiếu đến đã làm bật các

êlectron ra khỏi bề mặt tấm kim loại E và

một số trong chúng đã tới bản thu C tạo

thành dòng điện, dòng này gọi là dòng quan

điện Khi ta thay đổi hiệu điện thế UEC ta thấy cường độ dòng quang điện tăngtheo hiệu điện thế UEC, nhưng đến một giá trị nào đó thì không tăng nữa, cường

độ dòng quang điện đạt giá trị bão hoà Đồ thị mô tã sự phụ thuộc của cường độdòng quang điện vào hiệu điện thế UEC ở hình 1.3

Các kết quả thí nghiệm dẫn ta đến một số nhận xét.

+ Trong kim loại, các êlectron chuyển động trong trường điện tích (trườngcoulomb) giữa các ion nút mạng, để thoát khỏi trường điện tích này chúng cầnmột năng lượng tối thiểu gọi là công thoát W phụ thuộc vào bản chất và bề mặtkim loại Khi một êlectron được cung cấp năng

lượng E > W thì nó có thể thoát khỏi trường

điện tích và bị bắn ra khỏi bề mặt kim loại với

động năng cực đại là:

2 max

Ampekế

Nguồn

điện áp

Bản kim loại E

ánh sáng tới Bản thu C

Hình 1.2 Sơ đồ thí nghiệm thu hiệu ứng quang điện

Hình 1.3 Sự phụ thuộc của I qđ vào

U EC : Khi U EC = U h  I = 0, khi U EC  U n  I bão hoà

nếu  < 0 thì dù cường độ ánh sáng tới mạnh cũng không làm xuất hiện dòngquang điện.

+ Khi > 0 (có hiện tượng quang điện xảy ra) có thể triệt tiêu dòng quang điệnnày (I = 0) bằng cách thiết lập giữa hai cực C và E một hiệu điện thế ngược (gọi

là h.đ.t hãm) Uh Nếu E và C làm cùng chất liệu thì thế năng eUh (công cản của

điện trường) lên một êlectron đúng bằng động năng cực đại của êlectron bức xạ:

2.2 Giải thích bằng thuyết phôton

Các kết quả quan sát được ở trên không thể giải thích được nếu xem ánhsáng có tính chất sóng cổ điển Thực vậy, theo lí thuyết này thì khi chiếu ánhsáng vào kim loại, các êlectron sẽ hấp thụ đều đặn năng lượng của ánh sáng tới

mà không phụ thuộc vào tần số và cường độ của ánh

sáng tới Khi hấp thụ đủ năng lượng, các êlectron sẽ

bị bứt khỏi bề mặt kim loại Như vậy, không cần có

một tần số ngưỡng nào, điều này trái với kết quả nói

trên Mặt khác, cường độ ánh sáng tới càng lớn thì

năng lượng các êlectron nhận được càng cao và khả

năng chuyển đến bản C càng mạnh cho dù hiệu điện

thế giữa hai bản tăng tuỳ ý chứ không cần có giới

hạn Uh như nói ở kết quả 3

Tóm lại, ta không thể xem ánh sáng chỉ như sóng cổ điển để giải thích cáchiệu ứng quang điện Ta hãy giải thích hiện tượng trên bằng thuyết phôton Theothuyết phôton, thì ánh sáng chiếu vào bản cực E là dòng hạt phôton có tần số .Khi tới bề mặt bản E, năng lượng của mỗi phôton bị hấp thụ bỡi một êlectron,năng lượng này phải lớn hơn năng lượng liên kết W của êlectron với ion nútmạng ở bề mặt kim loại thì êlectron mới bị bật khỏi bề mặt E Khi ra khỏi bề mặtbản cực, năng lượng (dưới dạng động năng) của êlectron phải thắng được côngcản của lực điện (eU) để đi đến bản C Như vậy tần số f của ánh sáng tới phải lớnhơn một giá trị0 nào đó thì mới xuất hiện dòng quang điện, điều này giải thíchtại sao cần có điều kiện >

Mặt khác, nếu  = const, khi tăng hiệu điện thế UCE đến một giới hạn nào

đó (Uh) thì năng lượng của êlectron là h không đủ để thắng công cản eUh thìêlectron bứt ra khỏi bề mặt bản E không đến bản C được, vì vậy dòng quang điệnbằng 0

Đ5 Hiệu ứng Compton -Hấp thụ Phôton

I Hiệu ứng Compton

Hiện tượng thay đổi phương của bức xạ có bước sóng rất ngắn khi nó lantruyền trong vật chất, kèm theo sự xuất hiện các bước sóng lớn hơn trong thànhphần của bức xạ bị tán xạ gọi là hiệu ứng Compton

Trên cơ sở quan niệm về bản chất hạt của ánh sáng, hiện tượng Compton

được giải thích như là sự va chạm đàn hồi của phôton với êlectron tự do hayêlectron liên kết yếu trong chất tán xạ Kết quả là phôton thay đổi phương truyền

và nhả ra một phần năng lượng cho êlectron, êlectron này xuất hiện như

“êlectron gật lùi”

 (nm)  (x10 15 Hz) Uh (V) 253,6 1,18 1,95 313,2 0,958 0,98 365,0 0,822 0,50 404,7 0,741 0,14

Các định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng đều ứng dụng đượểutonghiệu ứng Compton Nghĩa là sự tán xạ theo cách so sánh hình ảnh của Comptonxảy ra tương tự trò chơi bi-a bằng các phôton và êlectron.

Hiệu ứng Compton được phát hiện vào năm 1922, khi nghiên cứu về tia X,Arthur Compton phát hiện thấy có sự thay đổi bước sóng của bức xạ tia X nănglượng cao sau khi tán xạ trên êlectron Công thức biến đổi bước sóng có thể môtã bằng:

Hiệu ứng Compton có thể giải thích tốt bằng thuyết phôton Theo lí thuyếtnày thì bức xạ tới là dòng các hạt phôton tán xạ trên hạt êlectron, công thức(1.14) được rút ra từ việc xem sự va chạm giữa hai hạt này là hoàn toàn đàn hồi

và thoả mãn định luật bảo toàn xung lượng và năng lượng

Ta có thể tính độ tăng bước sóng trên cơ sở thuyết phôton Giả thiết rằng

có một chùm phôton X tới va chạm với các êlectron đang đứng yên Năng lượng

và động lượng của phôton X và êlectron trước và sau va chạm được xác định:

chạm

Sau vachạm

êlectron mec2

2 e 2 2

m c v 1 c

2 e 2 2

m v v 1 c



Trước va chạm động lượng của hạt phôton X là Pur, sau va chạm là P'ur và củaêlectron là Puurgóc giữa Purvà P'ur là  áp dụng định luật bảo toàn năng lượng và

Thí dụ: Một tia X có bước sóng 4nm bị một êlectron tán xạ một góc 900 Tính

độ biến đổi tương đối của bước sóng của tia X đó

Giải: Dùng công thức (1.14) để tính sự thay đổi bước sóng:

II Hấp thụ Phôton

Một bức xạ điện từ có cường độ nhất định tỉ lệ với mật độ dòng phôton củanó

Khi bức xạ điện từ đi qua môi trường vật chất, có thể xảy ra các hiện tượngnhư hiệu ứng quang điện, tám xạ Compton hay quá trình sinh cặp (êlectron -positron) Khi đó, các phôton có thể bị hấp thụ hoặc tán xạ lệch khỏi phương ban

đầu, cường độ bức xạ bị giảm, ta bảo rằng có hiện tượng hấp thụ phôton

Cường độ bớc xạ giảm theo quy luật hàm mũ:

Đ6 Tính chất sóng của hạt vật chất

Giả thuyết De Broglie

Thuyết lượng tử của Planck va thuyết phôton của Einstein đã chứng tỏ cácthực thể mà ta tưởng là sóng lại là những hạt Vậy một câu hỏi đặt ra là thực chất

thì các đối tượng vật lí này sóng hay hạt? câu trả lời cho vấn đề nay đưa ta đếnmột cuộc cách mạng về nhận thức luận của chúng ta về bản chất của vật chất.

I Giả thuyết De Broglie

Trong khi xem xét và so sánh các tính chất của các hạt vi mô, De Broglie đã

đặt ra một vấn đề: nếu như ánh sáng có khi mang tính chất sóng (sóng điện từ)

và có khi lại mang tính chất hạt (hạt phôton) thì các hạt êlectron có các tính chất

đó không? Trên cơ sở đó, ông đưa ra giả thuyết của mình như một tiên đề: “êlectron chuyển động với vận tốc v (có xung lượng p = mv) và có bước sóng 

Trên thực tế De Boglie chỉ phát biểu tiên đề của mình cho các êlectronnhưng thực ra, tiên đề này có thể áp dụng cho bất kì hạt vi mô nào, hơn nữa chobất kì đối tượng vật thể nào Tuy nhiên, tuỳ từng trường hợp cụ thể mà đối tượngbiểu hiện cụ thể như một sóng hay một hạt Ranh giới để phân biết hai đặc tínhnày chỉ trong một chừng mực nào đó, vì sóng và hạt đều chỉ là hai dạng truyềnnăng lượng mà thôi

Sự khác nhau chủ yếu giữa sóng và hạt ở chổ: hạt có thể định xứ còn sóngthì trải dài và lan rộng Ttrong cổ điển, hạt được đặc trưng bỡi vị trí, xung lượng,

động năng, khối lượng, điện tích còn sóng được đặc trưng bỡi bước sóng, tần

số, vận tốc, cường độ, biên độ và năng lượng

II Kiểm chứng thực nghiệm của giả thuyết De Broglie

C.J Davisson và L H Germer (phòng thí nghiệm Bell -Hoa kì) đã tiến hànhthí nghiệm cho phép kiểm chứng giả thuyết của De Broglie Bằng cách cho mộtchùm êlectron 54eV đi qua một đơn tinh thể Ni (có khoảng cách các mắt mạng

cở 21,5nm) và nghiên cứu sự phụ thuộc của cường độ tán xạ vào góc tán xạ Kếtquả cho thấy cường độ tán xạ có một cực đại ở góc tán xạ 500 tức là có hiệntượng nhiễu xạ giống như sóng Tương ứng với góc đó ta tính được bước sóng 

theo công thức Bragg.= Dsin(D khoảng cách giữa mắt mạng và là góc giữa

(Thay hc = 12,41.103 eV, me= 0,511.106eV/c2, Ed = 54eV (Å))

+ Nếu áp dụng công thức Bragg:

= Dsin= 2,15.10-10sin500(m) = 1,65 ÅHai kết quả chỉ sai số nhau không quá 2%

* Thí nghiệm thứ hai do G.P Thomson thực hiện năm 1927 bằng cách cho mộtchùm tia êlectron đi qua một màng mỏng kim loại và quan sát thấy hiện tượngnhiễu xạ tròn thay vì ảnh tròn mờ của chùm êlectron đi qua màng

Câu hỏi và Bài tập chương I

A Câu hỏi:

1 Lực điện từ trong nguyên tử có những đặc điểm riêng nào?

2 Đặc điểm của lực tương tác mạnh trong nguyên tử là gì?

3 Hãy trình bày và giải thích các kết quả thí nghiệm về hiệu ứng quang điệnbằng lí thuyết phôton

4 Dùng các định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng để suy ra công thứccủa Compton Có thể dùng laser làm nguồn sáng được không? lí thuyết phôton

được áp dụng để giải thích hiệu ứng Compton như thế nào?

B BàI TậP

1 Khi chiếu vào một kim loại những bức xạ lần lượt có bước sóng 2400Ǻ và1800Ǻ thì đều có các êlectron bắn ra Hiệu điện thế hãm dùng để giữ chúng lạilần lượt là 1,2V và 2,92V Hãy xác định:

+ Hằng số Plank

+ Công thoát và bước sóng giới hạn 0 đối với kim loại đó

2 Hãy xác định năng lượng, xung lượng và khối lượng của phôton ứng với bứcxạ có bước sóng: a 5000 Ǻ, b 0,5 Ǻ, c 0,005 Ǻ

3 Tính tần số sóng De Broglie của một quả bóng khối lượng 200g bay với vậntốc 100km/h

Chương II Cơ sở của cơ học lượng tử

Trong chương này chúng ta xét các đặc trưng về sự vận động của vật chất trong thế giới vi mô, đó là nền tảng để nghiên cứu các hiện tượng xãy ra trong nguyên tử, phân tử Môn cơ học nghiên cứu sự vận động đó gọi là cơ học lượng

tử Tên gọi ban đầu của cơ học lượng tử là cơ học sóng hay còn gọi là cơ học ma trận, nội dung của nó được xây dựng trên cơ sở những quan niệm về chuyển

động khác hẳn với những quan niệm trong cơ học cổ điển mà ta đã biết Sự khác hẳn cơ bản đầu tiên ma ta xét đến đó là tính bất định của các đại lượng mô tả trạng thái của hệ khi đo đồng thời

Đ 2.1 Hệ thức bất định Heisenberg

Quy luật vận động của các vi hạt trong thế giới vi mô khác với quy luật vận

động của các hạt trong thế giới vĩ mô Một điểm thể hiện sự khác biệt đó là sựbất định của một số đại lượng trong các phép đo và tuân theo nguyên lí bất địnhcủa Heisenberg

I Nguyên lý bất định Heisenberg

Trong cơ học cổ điển, ta luôn có thể xác định được đồng thời với độ chínhxác tuỳ ý các đại lượng đặc trưng cho trạng thái của một hệ như: vị trí, vận tốchay động lựơng, năng lượng Độ chính xác chỉ phụ thuộc vào hệ đo mà khôngphụ thuộc vào bản chất của hệ cần đo Vì năng lượng để truyền thông tin đolường nhỏ không đáng kể đối với năng lượng của hệ vĩ mô cần đo

Đối với hệ hạt vi mô lại khác, phép đo có thể làm thay đổi trạng thái của hệ,

điều này dẫn đến có những đại lượng vật lí đặc trưng của hệ không thể đồng thờixác định chính xác được Đó không phải do mức độ hạn chế của dụng cụ đo mànguyên nhân thuộc về bản chất của hệ đo

Năm 1927 nhà vật lí người Đức Werner Heisenberg phát biểu một nguyên lílàm nền tảng cho những quy luật của thế giới vi mô Nguyên lí này gọi là nguyên

lí bất định Heisenberg:

“Không thể xác định đồng thời chính xác toạ độ và xung lượng của một hạt

vi mô” Nếu toạ độ x của hạt được xác định với độ bất định x và thành phần

xung lượng px của hạt được xác định với độ bất định px, thì tích x.px có giátrị vào bậc ít nhất bằng hằng số Plank:

Hệ thức (2.1) còn được gọi là hệ thức bất định Heisenberg

II ý nghĩa của nguyên lí bất địng Heisenberg

ý nghĩa của nguyên lí bất định Heisenberg ở chổ là ta không thể xác địnhchính xác đồng thời toạ độ và xung lượng của một hạt Nếu toạ độ được xác địnhchính xác

bao nhiêu thì xung lượng lại bất định bấy nhiêu và ngược lại

Như vậy, khi xét chuyển động của các hạt vi mô ta không có khái niệm quỹ

đạo mà chỉ có thể nói xác suất tìm thấy hạt bằng bao nhiêu tại một vị trí và mộtthời điểm nhất định, đó là điều khác biệt cơ bản nhất và quan trọng nhất giữa cơhọc lượng tử và cơ học cổ điển

Tuy nhiên, nói như thế không có nghĩa là cơ học lượng tử phủ nhận hoàntoàn lí thuyết của cơ học cổ điển Hệ thức bất định Heisenberg chỉ nói lên tínhkhách quan trong sự vận của thế giới vi mô, nó là một biểu thức toán học cho tabiết giới hạn ứng dụng cuả cơ học cổ điển mà không hạn chế khả năng nhận thứccủa chúng ta về thế giới vi mô Nói cách khác, không thể dùng các khái niệm cổ

điển để mô tả quy luật vận động của các vi hạt mà nên xem nó như là một trườnghợp giới hạn trong cách mô tả, nhưng cơ học lượng tử lại cần có trường hợp giớihạn này để làm cơ sở cho mình

III Thí nghiệm minh hoạ hệ thức bất định Heisenberg

Quan sát bức tranh nhiểu xạ của một chùm êlectron đi qua khe hẹp (hình2.1) Gọi  là góc lệch giữa phương

tới Oy với phương lệch của hạt ứng

với cực tiểu thứ nhất Theo công thức

tính cho cực tiểu thứ nhất của nhiểu

xạ: sin =

a

Mặt khác gọi pr là xung lượng

của êlechtron, với độ lệch của hạt

ứng với cực tiểu thứ nhất thì xung

lượng đã có biến đổi nhỏ px theo

e

-x y

a =  x Phổ nhiễu xạ của e -

Hình 2.1 Phổ nhiễu xạ của êlectron



Một dạng khác của nguyên lí bất định là hệ thức giữa năng lượng và thời

2mv

2) =p.v (lấy vi phân)thay vào (2.6) p.v.t = p.xh tương đương với (2.7)

Nói chung, trong cơ học lượng tử ngoài các đại lượng trên không được xác

định đồng thời thì còn nhiều đại lượng khác cũng có tính tương tự

Đ 2.2 Hàm sóng và ý nghĩa thống kê của nó

I Hàm sóng

Trong cơ học cổ điển, trạng thái của hệ được đặc trưng bằng hàm LagrangeL(q.q’) của toạ độ và vận tốc hoặc hàm Hamilton H(q.p) của toạ độ và xunglượng, trong đó bằng cách cho trước các giá trị của các đại lượng tại một thời

điểm nào đó Trong cơ học lượng tử cách mô tả như vậy là hoàn toàn không thể

quả này khác của phép đo một đại lượng nào đó của hệ Vì các hạt vi mô có đặctrưng của quá trình sóng, nên để mô tả trạng thái của các vi hạt, cơ học lượng tửdùng khái niệm mới đó là hàm sóng.

Có thể định nghĩa: hàm sóng là một hàm của toạ độ (thường được kí hiệu là

(q)) sao cho bình phương của modul hàm này xác định phân bố xác suất cácgiá trị toạ độ nằm trong khoảng dq Hay nói cách khác, sao cho (q)2dq làxác suất tìm thấy hệ nằm trong khoảng dq của không gian cấu hình Để mô tả

đúng trạng thái vật lý, các hàm sóng trong trường hợp tổng quát phải là nhữnghàm giới nội, liên tục, đơn trị và hữu hạn trong không gian mà nó xác định,

ngoài ra đạo hàm bậc nhất của hàm sóng cũng phải liên tục, các điều kiện nàygọi là điều kiện chuẩn

II ý nghĩa thống kê của hàm sóng DeBroglie

Một câu hỏi đặt ra là “bản chất của sóng DeBroglie là sóng gì?” Có nhiều ý

kiến khác nhau giải thích ý nghĩa vật lí của sóng vật chất này Tuy nhiên, cuốicùng người ta chấp nhận ý kiến của Max Borne (1928) Theo Max Borne thì bìnhphương biên độ sóng DeBroglie 2 xác định mật độ xác suất tìm thấy hạt tạimột điểm trong không gian ở một thời điểm nào đó Cách giải thích này cho tabiết về ý nghĩa thống kê của hàm sóng DeBroglie, các thí nghiệm đã chứng tỏsóng DeBroglie là các sóng thực và khách quan

Giả sử cho qua màn một, hai, ba êlectron Đúng ra chúng ta có thể thu

được trên màn của máy nhiễu xạ êlectron một hình ảnh nhiễu xạ đầy đủ và yếu,nhưng không, ta chỉ thu được những điểm riêng lẻ của hình ảnh nhiễu xạ Nếucho qua từng êlectron một và êlectron nọ sau êlectron kia, chúng ta sẽ thấychúng rơi trên màn tại những điểm ứng với cực đại của cường độ sóngDeBroglie Nếu so sánh hiện tường này với ánh sáng, chúng ta chỉ thu được hình

ảnh giao thoa trên cơ sở của thuyết sóng ánh sáng, nó tỷ lệ với bình phương biên

độ của cường độ điện trường trong ánh sáng Theo thuyết Phôton thì cường độ

được xác định bởi số phôton rơi trên vị trí đang xét trong hình ảnh giao thoa Do

đó, số phôton tại các vị trí đang xét được xác định bởi bình phương biên độ củasóng ánh sáng Nhưng đối với một phôton, thì bình phương biên độ xác định xácsuất rơi của phôton trên một điểm của hình ảnh giao thoa

Tương tự, xác suất tìm thấy hạt trong phần tử thể tích dV bao quang một

điểm là: dw = 2dV =*dV 2 = dw

dV

Cách viết w = 2= * thay cho 2 vì  có thể là một đại lượng phức,khi đó2 cũng là đại lượng phức, nhưng xác suất phải là đại lượng thực.

IV Điều kiện chuẩn hoá

Khi xét trong toàn bộ không gian, việc tìm thấy hạt ở một nơi nào đó là mộtbiến cố chắc chắn, vì vậy xác suất của biến cố này phải bằng đơn vị:

  

Đẳng thức tích phân (2.10) bằng đơn vị gọi là điều kiện chuẩn hoá, vì nó

đặt ra một điều kiện xác định cho việc chọn các hệ số không đổi, các hệ số này

có thể tham gia vào trong hàm sóng  Vì  = (x,y,z,t) nên điều kiện chuẩnhoá phải được thực hiện đối với mọi thời điểm bất kỳ, nếu không nó sẽ mất ýnghĩa

Điều kiện (2.10) bao giờ cũng thực hiện được nếu hàm sóng có dạng làmột bó sóng Tuy nhiên trong trường hợp riêng của các sóng phẳng, điều kiện đókhông thể thực hiện được

Thực vậy, nếu: =Ae-i(  t –kx) và* = Aei(  t –kx)

lượng tử Điều đó cho thấy không những tập hợp các hạt có tính chất sóng màngay một hạt cũng có tính chất sóng.

Đ 2.3 Các tiên đề của cơ học lượng tử

I Các tiên đề của cơ học lượng tử

1.1 Nội dung các tiên đề

1 Nếu hệ lượng tử có thể ở trong cac strạng thái được mô tã bởi các hànm sóng

1, 2, thì nó cũng có thể ở trạng thái  = a1 + b2 trong đó a và b là các sốtuỳ ý (nguyên lí chồng chất các trạng thái)

2 Mỗi đại lượng cơ học L trong cơ họck lượng tử được đặt đối ứng với một toán

tử liên hợp Là toán tử này tác dụng lên hàm sóng : L  Là Khi đó, giữa cáctoán tử cũng có các hệ thức giống như hệ thức giữa các đại lượng vật lí cổ điển

3 Giá trị trung bình của một đại lượng vật lí bất kì trong trạng thái mô tả bởihàm sóng)x) được xác định bởi hệ thức:



trong đó Hàlà toán tử Hamintoniên.

1.2 ý nghĩa của các tiên đề cơ học lượng tử

Nguyên lí chồng chất và các nguyên lí khác không thể được kiểm nghiệmtrực tiếp vì hàm sóng không thể đo được trực tiếp Chỉ có thể đo được bìnhphương modul của ham sóng* và được đưa vào vì những lí do sau: hàm sóngtrong cơ học lượng tử giử vai trò mô tả trạng thái của ạt như phương trình quỹ

đạo theo thời gian trong cơ học cổ điển Nguyên lí chồng chất phản ánh sự kiện

về tính độc lập của một trạng thái này đối với trạng thái khác Nguyên lí này chophép ta khai triển một trạng thái bất kì theo các hàm riêng và một toán tử bất kì

Để thu được một đại lượng vật lí nào đó theo hàm sóng, ta cần thực hiệẩntên hàm

đó những phép toán được kí hiệu tượng trưng bằng những toán tử Khi đó giá trịcơ bản không phải ở chính toán tử mà ở một số kết quả của tác dụng toán tử lênhàm sóng trước tiên là ở các trị riêng của nó Để tìm được các toán tử cơ họclượng tử, cần xuất pohát từ cơ học cổ điển.

Tiên đề thứ 3 là sự tổng quát hoá của biểu thức cho giá trị trung bình củatoạ độ (x) =   * x dx Tuy nhiên biểu thức đó cũng có thể được viết dưới dạng

(x) =   * xdx x   * dxTrị trung bình của đại lượng vật lí khi được đặt đối ứng với toán tử có dang:

 

như vậy tiên đề thứ 3 được dùng để thiết lập dạng của các toán tử

Tiên đề thứ 4 thiết lập mối quan hệ giữa kết quả của phép đo và phép tính, nhấnmạnh tính đồng nhất của nó Tiên đề thứ 5 được dành riêng cho toán tửHamintonien là một toán tử rất quan trọng trong cơ học lượng tử

II Các toán tử trong cơ học lượng tử

2.1 Các toán tử

Toán tử là một phép biến đổi, khi tác dụng lên một hàm sóng   K thìbiến thành hàm sóng khác   K Toán tử thường đựơc kí hiệu có  trên đầu.Các phép toán đối với toán tử bao giờ cũng gắn liền với hàm sóng:

+ Hai toán tử àvà $bằng nhau nếu à = $ với mọi  K

+ Phép cộng (à+ $)= à+ $

+ Phép nhân với một vô hướng: Cà= à(C)

+ Phép nhân hai toán tử: à$ = à($) nhưng à$≠ $à

2.2 Một số toán tử đặc biệt trong cơ học lượng tử

Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lý được biểu diễn (được đặt đốiứng) bằng một toán tử, khi tác dụng toán tử đó lên một hàm sóng mà dẫn đến bàitoán hàm riêng, trị riêng thì trị riêng đó là các giá trị của đại lượng đó

Các đại lượng và toán tử tương ứng trong vật lí là:

p2 = px2 + p2

y+ pz2

Động năng: p2

2mCơ năng: p2

2m+ U

$

x x

p    i h , $

y y

p    i h , $

z z

htoán tử hamiltơn

$

xa(x) = xa(x) = aa(x)Vì x là đại lượng biến thiên và a là một đại lượng xác định nên đẳng thứcchỉ đượck bảo toàn khi x≠ a,(x) = 0 nghĩa làa(x) =(x-a)

Tương ứng đối với r:r0(r) =(x-x0) (y-y0) (z-z0)

2) Toán tử xung lượng p$.

Toán tử xung lượng là một trong những toán tử quan trong nhất trong cơ lượng

tử Dạng của nó được thiết lập trên cơ sở của tiên đề thứ 2 Trong cơ học lượng tửcác toán tử xung lượng và toạ độ phải giao hoán với nhau:

T(x) = p(x) = i (p x p y p z) x y z

3/ 2

1 e(2 )

 

 h h và các trị riêng: T =

-2

p 2m

4 Toán tử thế năng:

Toán tử thế năng: U U(r)à là phép nhân với hàm U(r) hàm số riêng là hàm 

5 Hamintonien

Toán tử hamintonien được xác định bằng tổng các toán tử động năng Tàvà toán tử

thế năng àUđược biểu diễn qua xung lượng và toạ độ:

toán tử thế năng àUnhưng nó phải được xem là toán tử độc lập vì hai toán tử kiakhông giao hoán với nhau và như vậy chúng không đồng thời chính xác Giá trịcủa Hamintonien không được coi như tổng các giá trị của Tàvà àU Các giá trịriêng của Hàthường được kí hiệu bằng E Phương trình cho các trị riêng là:

Nguyên tử và hạt nhân nguyên tử là những hạt vi mô mang lưỡng tính sóng

- hạt nên chuyễn động của chúng tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử, vìvậy cơ sở của cơ học lượng tử là những khái niệm không thể thiếu để giải thích

trạng thái của một hạt vi mô không thể tiến hành theo cách làm như trong cơ học

cổ điển, ở đây chỉ có thể đoán nhận trạng thái đó với một xác suất nào đó Nóicách khác sự vận động của các hạt vi mô tuân theo quy luật thống kê, vì vậy đểmô tả các quy luật đó trong cơ học lượng tử người ta dùng khái niệm hàm sóng

I Hàm sóng của một hạt vi mô và phương trình vi phân của nó

Mục đích chính của cơ học là xác định trạng thái cơ học của một hệ Trongcơ học cổ điển, trạng thái của một hạt được đặc trưng bằng toạ độ và vận tốc,

được xác định bằng việc giải phương trình chuyển động đó là phương trình mô tả

định luật hai của Newtơn đã được thừa nhận như một tiên đề Đối với các hạt vimô, điều trên không còn thích hợp nữa Tính chất sóng của chúng được đặc trưngbằng sóng DeBroglie, đó là hàm của toạ độ và thời gian  (rr,t) Vì vậy, trong cơhọc lượng tử muốn xác định trạng thái của hệ, ta phải giải phương trình mô tãcho hàm sóng, phương trình này phải hội tụ đủ 3 yếu tố cơ bản: là phương trìnhviết cho hàm sóng, tuyến tính đối với hàm sóng và phải thể hiện được tính nhânquả trong cơ học lượng tử

Như ta đã biết, các phương trình sóng truyền trên sợi dây hay là sóng âm

đều là các phương trình vi phân hạng hai của li độ Các phương trình Maxwellcũng dẫn đến các phương trình tương tự cho sóng điện từ Từ đó, theoSchrodinger: sóng DeBroglie cũng được mô tã bằng một phương trình vi phânhạng hai theo toạ độ của hàm , phương trình như vậy được gọi là phương trìnhSchrodinger Cũng như các định luật của Newtơn, phương trình Schrodingercũng phải được thừa nhận như một tiên đề

Ta hãy xét hệ vi mô gồm các hạt có khối lượng m chuyển động với vận tốc

v Để đơ giản, giả sử hệ chỉ có một hạt chuyển động trên trục x trong trường thếnăng U(x) với xung lượng p = mv Khi đó năng lượng toàn phần của hạt bằngtổng động năng cộng với thế năng của hạt:

2 2 2

d (x) U(x) (x) E (x)2m dx

Phương trình (2.13) không phụ thuộc vào thời gian gọi là phương trìnhSchrodinger Để nghiệm phương trình Schrodinger (2.13) có ý nghĩa thì hàmsóngphải thoả mãn một số điều kiện:

1 Tính đơn trị: về ý nghĩa, là biên độ xác suất xác định trạng thái chuyển

động, do đó * là mật độ xác suất, còn * dV là xác suất tìm thấy hạt trongthể tích dV quanh điểm x, y, z tại thời điểm t Xác suất đó là một đại lượng hoàntoán xác định, do đó  phải thoả mãn tính đơn trị của toạ độ và thời gian, nếukhông tại một vị trí toạ độ r thu được hai hay nhiều hơn các giá trị xác suất, điều

đó không có ý nghĩa vật lý

2 Tinh hữu hạn: Để cho xác suất là hữu hạn, hàm sóng  phải hữu hạn tạimọi nơi, đồng thời đạo hàm cấp 1 của có phải bằng 0 tại vô cùng

3.Tính liên tục Trạng thái của hạt vi mô được mô tã bởi hàm sóng, tương

tự như quỹ đạo của hạt trong vật lí cổ điển Trạng thái hệ lượng tử phải thay đổiliên tục trong không gian và thời gian, có nghĩa là hàm  và đạo hàm cấp 1 của

nó phải liên tục Phương trình Schrodinger là phương trình cấp hai theo các toạ

độ không gian, do đó muốn có ý nghĩa khắp nơi thì cả và đều phải liên tụctrong toàn không gian

II Hạt trong giếng thế một chiều

Bây giờ ta hãy đi vào một bài toán cụ thể, bằng cách xét chuyển động củamột hạt trên trục x trong trường thế có dạng:

U(x) = Khi x < 0

U(x) = 0 Khi 0 < x < a

U(x) = Khi x > a

Như vậy, thế năng là một giếng thế có

chiều sâu vô hạn có bề rộng a (hình 2.3) Tại

hai bên thành giếng (x= 0 và x = a), hạt chịu tác

dụng của lực rất lớn có tác dụng kéo lại không

cho hạt chuyển động ra ngoài Thế năng tương

ứng tại thành bằng , do đó hàm sóng tại đó  = 0 mới thoả mãn phương trìnhSchrodinger

* Trong khoảng không gian có bề rộng a: 0 < x < a, hạt chuyển động tự do.Hàm sóng (x) trong miền này khác 0 Phương trình Schrodinger cho miền này

sẽ là:

2

d (x) E (x)2m dx

2m

Vì thừa số Asinkx chung cho cả hai vế trong (2.16) nên ta có thể bỏ đi, ta được:

2 2 k E2m

Ta đã tìm lại công thức xung lượng của hạt trong giả thiết của DeBroglie,

điều đó chứng tỏ phương trình Schrodinger mô tã sóng DeBroglie

*Xét hiệu ứng ở thành giếng thế Ta hãy xét các đặc tính về chuyển độngcủa hạt tại thành thế năng và bên ngoài thành

Bên ngoài và tại x = 0, x = a, nghiệm của phương trình sóng phải có giá trịbằng 0 Để nghiệm của phương trình Schrodinger (2.13) phải liên tục trong miềnkhông gian thì hàm sóng phải thoả mãn:

(0) = A sin k.0 = 0 và(a) = A sin(ka) = 0 ka = n

(n = 1, 2, 3 là các số nguyên dương) Ta không lấy các giá trị âm và 0 vì k là sốsóng, hơn nữa khi n = 0 thì(x) = A sin0x = 0 Như vậy k nhận vô số giá trị phụthuộc vào n ta kí hiệu nó kn = n/a , vì vậy biểu thức (2.17) được viết lại:

2 2 2

E 2ma



Như vậy, năng lượng của hạt trong giếng thế không thể có giá trị tuỳ ý mànhận những giá trị gián đoạn Giá trị thấp nhất của hạt ứng với trạng thái cơ bản

1) Phổ năng lượng bị gián đoạn hay như người ta thường nói chuyển động trongkhông gian giới hạn bị lượng tử hoá.

2) Các mức năng lượng không suy biến: ứng với một giá trị n nguyên dương ta

4) Khi h 20 thì E0 hay E0 tính lượng tử sẽ mất đi các mức nănglượng sít lại trở thành liên tục, mức thấp nhất có E = 0 Điều đó cũng xảy ra khi

m0  và a nghĩa là các hạt hoặc không còn vi mô nữa hoặc các hạt

chuyển động trong không gian rất lớn

III Bài toán hàm riêng và trị riêng

3.2 Lời giải tóm tắt của phương trình Schrrodiger

Trở lại với phương trình Schrodinger, lời giải của phương trình có thể tómtắt như sau: Phương trình 2 d22 (x) E (x)

Ta bảo rằng khi tác dụng toán tử [ 2 d22

2m dx

 h ] lên hàm sóng (x), ta được một bộcác hàm riêng n(x) = Asin[(n/a).x] ứng với bộ các giá trị riêng En n2 2 22

V Phương trình Schrodinger trong hệ toạ độ cầu

Trong trường hợp hạt chuyển động trong hệ toạ

độ đói xứng cầu (hạt e-trong nguyên tử H2), ta dùng hệ

toạ độ cầu: Các biến trong hệ toạ độ cầu r, ,  với

công thức chuyển đổi giữa toạ độ Đêcác và toạ độ cầu:

x

z -e



 r

Hình 2.4 Hệ toạ độ cầu

2 2

* Mômen động lượng của hệ toạ độ cầu.

Trong cơ học cổ điển, mômen động lượng của hạt có dạng L ur  r r r x p

.Trong cơ học lượng tử mômen động lương của hạt vi mô được biểu diễnbằng một toán tử:)

Câu hỏi và Bài tập chương II

1 Hàm trạng thái của một hạt vi mô trong giếng thế vô hạn bề rộng a =10nm códạng = asin x

a

 (trạng thái năng lượng ứng với n = 1) Hãy xác định xác suấttìm thấy hạt nằm trong các khoảng sau: a) 4,95nm đến 5,05nm, b) 1,95nm

đến 2,05nm, c) 9,90nm đến 10,0nm, d) ở chính giữa đoạn a, e) tại x = a/3

2 Biết rằng các mức năng lượng gián đoạn đối với hạt vĩ mô là rất nhỏ Hãynghiệm lại điều đó bằng cách tính độ chênh lệch năng lượng giữa hai mức n =

1 và n = 2 của một hạt khối lượng 1 g chuyển động một chiều trong giếng thếvô hạn bề rộng 1cm (tính ra J)

3 Hãy xác định độ bất định của xung lượng và tốc độ của êlectron khi nóchuyễn động theo trục x trên một độ rộng cỡ đường kính nguyên tử (10nm)

4 Xác định độ bất định cực tiểu về vị trí của một phôton 3000Å nếu biết bướcsóng chính xác điến phần triệu

5 Xác định độ bất định cực tiều về năng lượng của một nguyên tử khi mộtêlectron ở trạng thái đó trong 10-8s

Chương III Nguyên tử Hyđrô trong lý thuyết lượng tử

ở nhiệt độ 0 0 Cvà áp suất khí quyển, hyđrô tồn tại ở thể khí, không màu, không mùi, không vị và rất dễ cháy Khi khí hyđrô cháy, nước được tạo thành Hyđrô có mặt hầu hết trong các thiên thể và chiếm 73% khối lượng toàn vũ trụ Mật độ nguyên tử (hoặc phân tử) của hyđrô trong không gian giữa các thiên thể

là 1hạt/cm 3 Khí hyđrô là chất khí nhẹ nhất có khối lượng 0,09g/lít.

Đ 3.1 Phương trình chuyển động của êlectron trong nguyên tử hyđro

I Phương trình Schrodinger của êlectron trong nguyên

tử H2

Trong nguyên tử hyđro, êlectron chuyển động trong trường xuyên tâm, đó

là trường tĩnh điện của hạt nhân Thế năng tĩnh điện là một hàm phụ thuộc vàokhoảng cách từ êlectron đến hạt nhân

Vì chuyển động của êlectron có đối xứng cầu, để

thuận tiện ta chọn hệ toạ độ cầu có gốc tại hạt nhân và

được xem là một điểm Phương trình Schrodinger cho

êlectron có dạng:

2

U(r) (r, , ) E (r, , ) 2m

Hình 3.1 Hệ toạ độ cầu

đặt L à 2    h 2 là toán tử có được bằng phép lấy đạo hàm riêng theovà , ta viếtlại toán tửnhư sau:

có nghiệm duy nhất khi hàm sóngthoả mãn các điều kiện sau:

1 Hàm sóng (r,,) phải hữu hạn khi r = 0 (tránh trường hợp hàm sóngtiến tới vô hạn, lúc đó xác suất sẽ vô cùng lớn)

2 Hàm sóng (r,,) phải đơn trị và liên tục mọi vị trí

3 Hàm sóng (r,,) phải thoả mãn điều kiện chuẩn hoá

Việc giải phương trình (3.5) khá phức tạp, tuy nhiên trong khuôn khổ củagiáo trình này, ta chỉ tìm hiểu phương pháp giải và công nhận một số kết quả củalời giải đó

Phương pháp để giải phương trình kiểu tương tự như (3.5) đơn giản nhất làdùng phép tách biến, bằng cách đặt hàm (r,,) = R(r)Y(,), trong đó hàm Rchỉ phụ thuộc vào biến r còn hàm Y phụ thuộc hai biếnvà 

Thay  bằng tích RY trong phương trình (3.5), rồi chia cho RY và chuyểncác số hạng chứa biến về một bên, ta được:

L = h 2 l(l 1)   h l(l 1) Vì lí do này, chỉ số l của hàm sóng được gọi là số lượng tử của quỹ đạo.

Lưu ý:

C«ng thøc tæng qu¸t cña ®a thøc Legendere:

Z e mK E

2 n

 

h (n = 1, 2, 3 ) (3.18)Gi¸ trÞ cña l trong (3.17) b»ng:

2 n

 

III Thảo luận

Từ kết quả thu được khi giải phương trình Schrodinger của êlectron chuyển

động trong nguyên tử hyđrô, ta thấy: ứng với một mức năng lượng En có một bộcác hàm sóng nlm khác nhau, ta gọi đó là sự trùng sinh (hay bội suy biến) cáchàm sóng của hạt Mỗi hàm sóng ứng với một trạng thái khác nhau của êlectron

có cùng năng lượng En nhưng khác nhau về giá trị của momen động lượng l vàhình chiếu của nó Số các hạt trùng sinh có thể tính được như sau: ứng với mỗigiá trị n, ta có: l = 0, 1, 2, 3 n -1 và mỗi giá trị của l ta có m = -l, +l (2l+1giá trị), vậy tổng cộng ta có:

Từ công thức tính năng lượng En Z e mK2 22 2 2

2 n

 

h , ta thấy rằng mức năng lượngthấp nhất của êlectron trong nguyên tử ứng với n = 1 bằng E1 Z e mK2 2 2 2

2

 

h thaycác giá trị: e, m, K, h, vào và đặt Z = 1 cho trường hợp nguyên tử H2ta thu được

E1 = -13,6eV Do En tỷ lệ nghịch với n2 nên các mức năng lượng càng cao càngsít nhau, ở một mức nào đó ta có thể coi là liên tục (khi E bằng hay lớn hơn 0 thì

có thể coi các mức là liên tục)

Ta hãy thiết lập được hệ thức bước sóng của phôton phát xạ (hay hấp thụ)giữa các trạng thái năng lượng n1và n2:



Bài toán trên được thiết lập với giả thiết hạt nhân đủ nặng so với êlectron

để có thể xem khối lượng của hạt nhân là vô cùng lớn so với khối lượng êlectron.Nếu xem khối lượng hạt nhân M là hữu hạn, ta đem về khối lượng rút gọn

  chuyển động quanh khối tâm, trong các công thức trên, ta thay

m = còn các đại lượng khác vẫn giữ nguyên (nhưng phải hiểu r là khoảng cách

từ khối tâm của hệ đến khối lượng rút gọn, gốc toạ độ nằm ở khối tâm)

Lời giải vẫn như trước và thay cho Rlà hằng số Rydberg có giá trị bằng:

3

R m 1,0968.10 1

Từ các kết quả trên ta có thể rút ra một số kết luận sau

1 Năng lượng của êlectron trong nguyên tử hyđrô chỉ phụ thuộc vào số nguyên

n, vì vậy nó biến thiên gián đoạn, ta nói rằng năng lượng bị lượng tử hoá Điều

đó giải thích tại sao gọi số n là số lượng tử chính Năng lượng E luôn âm ( E <0), khi n  0 thì E  0 nghĩa là tăng theo số

lượng tử chính (sơ đồ được mô tả trên hình 3.2,

trong đó thường gọi E1 là K; E2 là L )

2 Từ biểu thức (3.20) ta có thể tính được năng

lượng ion hoá (năng lượng cần thiết để bứt

êlêctron ra khỏi nguyên tử hyđrô Năng lượng cần

thiết để đưa êlectron từ mức E1 lên mức En = 0 là

2,185.10-18J = 13,5eV (phù hợp với thực nghiệm)

Hàm sóng này mô tả các trạng thái của êlectron có năng lượng và mômen

động lượng hoàn toàn xác định

4 Dựa vào biểu thức năng lượng (3.20), ta có thể giải thích sự tạo thành vạchphổ trong quang phổ của hyđrô khi bi kích thích Sự chuyển dời giữa các mứcnăng lượng được gọi tên bằng các dãy Liman, Banme, Pasen

Đ 3.2 Hiệu ứng Zeeman

Năm 1896 nhà vật lí Hà Lan Pieter Zeeman đã tiến hành thí nghiệm nghiêncứu ảnh hưởng của từ trường ngoài lên phổ phát xạ của nguyên tử hyđrô bằngcách so sánh hình ảnh phổ khi không có từ trường ngoài và khi có từ trườngngoài Kết quả cho thấy, khi có từ trường ngoài thì mỗi vạch phổ bị tách ra nhiềuvạch riêng biết (cụ thể từ một vạch ra ba vạch) (hình 3.3) Hiệu ứng tách vạchphổ trong thí nghiệm ở hình 3.3 gọi là hiệu ứng Zeeman bình thường Hiệu ứngZeeman bình thường không thể giải thích bằng lí thuyết cổ điển Chúng ta chỉ cóthể giải thích nó bằng quan điểm của cơ học lượng tử

Sự tách các vạch phổ trong quang phổ của nguyên tử hyđrô chỉ có thể do sựtương tác giữa momen từ của nguyên tử

hyđrô với từ trường ngoài Năng lượng tương

tách làm xuất hiện các mức năng lượng phụ,

và do đó các vạch phổ bị tách ra thành nhiều

vạch Một cấu hỏi đặt ra là mômen từ của

nguyên tử hyđrô xuất hiện từ đâu?

I Mômen lưỡng cực từ cổ điển

Trong lí thuyết điện từ cổ điển, một

dòng điện kín có tác dụng như một nam

châm (gọi là từ diệp) Hai mặt khác nhau của

dòng điện là hai cực bắc và nam của nam châm đó Vì vậy dòng điện có momentừ.

Trong nguyên tử, các êlectron chuyển động trên quỹ đạo tròn với tần số fquanh hạt nhân, do êlectron mang điện tích nên khi chuyển động như vậy tương

đương với dòng điện (hình 3.4): I = e.f, dòng điện này tạo ra một mômen từ  r

làmột véc tơ cùng phương và ngược chiều với véc tơ mômen động lượng Lur củaêlectron và có độ lớn bằng:= IS = ef.r2, mômen động lượng:

   )r ur

(3.27)Khi đặt lưỡng cực từ trong một từ trường ngoài thì lưỡng cực từ có một thếnăng Chọn trục Oz trùng với véctơ từ trường Bur , thế năng được biểu diễn bằngtoán tử sau:

-

L

Hình 3.4: Giải thich mômen từ của nguyên tử do chuyển động của e -

III Giải thích hiệu ứng Zeeman

Khi nguyên tử có một êlectron đặt trong một từ trường ngoài thì năng lựơngcủa hệ tăng thêm một lượng bằng thế năng của momen lưỡng cực từ EB e LB

2m

 ur ur

.Chọn trục Oz trùng với véctơ từ trường ngoài Bur Biểu thức toán tử Hamilton của

Nói cách khác mỗi mức En được tách ra thành (2l + 1) mức con cách đều

nhau và có khoảng cách tuỳ thuộc vào độ lớn của từ trường B

Các kết quả dự đoán của lí thuyết hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm quansát được của Zeeman Việc tách các vạch phổ là một bằng chứng về sự lượng tửhoá của các mômen động lượng quỹ đạo, bởi vì nếu nó không bị lượng tử hoá thìhình chiếu của nó trên trục Oz sẽ nhận những giá trị bất kì (như trong mẫu Bohr).Quá trình tách vạch khi có từ trường ngoài tác dụng lêm mômen từ quỹ đạo củaêletron (hình 3.5)

h )B 2 E0+( e

2 m

h )B 1

E0- ( e 2m

h )B -1

E0- 2( e 2mh