Bài giảng Bài giảng vật lý lưỡng tử

+ lưỡng tính sóng – hạt của bức xạ và hạt vi mô + phương trình Schrodinger + sự gián đoạn của năng lượng + hiệu ứng đường ngầm + nguyên lý bất định Heisenberg + nguyên lý loại trừ Pa

Vật lý Lượng tử

Tài liệu HỌC TÂP VÀ tham khảo

1.N.V.Hiệu,N.B.Ân,Cơ sở lý thuyết của vật lý lượng tử ,

hệ vi mô điển hình

Mở đầu

1 Vật lý Cổ điển?

• Đối tượng nghiên cứu : vật thể vĩ mô.

• Cơ sở lý thuyết cơ bản : các định luật Newton,

hệ các phương trình

Maxwell.

• Thời gian: trước cuối TK 19

2 Vật lý Lượng tử ?

• Thời gian: cuối TK 19 đầu TK 20

• Đối tượng nghiên cứu : vật thể vi mô (kích thước

bậc nguyên tử).

• Giải thích các hiện tượng mà Vật lý Cổ điển bó

tay, trên cơ sở lý thuyết về:

+ lưỡng tính sóng – hạt của bức xạ và hạt vi mô

+ phương trình Schrodinger

+ sự gián đoạn của năng lượng

+ hiệu ứng đường ngầm

+ nguyên lý bất định Heisenberg

+ nguyên lý loại trừ Pauli

+ Spin của hạt vi mô

• Vật lý Lượng tử + Thuyết tương đối =

= Cuộc cách mạng Vật lý thế kỷ 20

là cơ sở khoạ học cho nhiều lĩnh vực Công nghệ cao:

CN thông tin, CN Điện tử- Viễn thông, CN nanô–

3 Vật lý Cổ điển có sai không?

Không sai – Hoàn toàn đúng với vật thể Vĩ MÔ

Chương 0

I tính chất hạt của bức xạ

1.1 Giả thuyết Planck (1900)

• Bức xạ của vật đen theo quan niệm cổ điển

(3)trong đó hằng số Boltzmann k = 1,38.10-23 J/ K.

Theo Reileigh – Jeans thì

(5) VÔ Lý!

• Giả thuyết lượng tử Planck

Mọi trạng thái của bức xạ điện từ đơn sắc tần số ν đều chỉ

có thể có năng lượng là bội số của h ν gọi là lượng tử năng

ω ν

π

2

2  ,

h

• Bức xạ của vật đen theo giả thuyết Planck

- Năng lượng trung bình của trạng thái bức xạ tần sốν được tính bằng áp dụng giả thuyết Planck:

( ( n Ce (n) kT

kT n

e

e n

) (

) (

) (

ν

ν

ε

ε ν

ν

ε ε

, )

εν n = nh

h n

e

h e

3 3

2

kT h

kT

h e

h

ρ

48 08

1 1

8

T h

c

k d

e c

h d

1.2 Thuyết lượng tử ánh sáng (thuyết photon)

Einstein thừa nhận tính chất HạT của ánh sáng:

ánh sáng là chùm các hạt gọi là các lượng tử ánh sáng hayphoton Các photon này chuyển động với vận tốc v = c trongmọi hệ quy chiếu quán tính

Suy ra:

Gi÷a E vµ p cã hÖ thøc:

E = p.c (12)v×

1.3 Vận dụng thuyết photon giải thích một số hiệu ứng

• Hiệu ứng quang điện theo quan điểm thuyết photon

a) Nhắc lại kết quả thí nghiệm mà vật lý cổ điển không giải thích

được:

- Hiệu ứng chỉ xảy ra khi νas–> ν0, không phụ thuộc Ias–

- I (dòng quang điện bão hoà) ∼ I (ánh sáng chiếu vào kim

loại)

b) Theo quan điểm thuyết photon:

Photon va chạm và truyền năng lượng cho e ⇒ bứt e khỏi

υ

A

h = +

với là tần số ngưỡng, phụ thuộc KL

 

I dòng quang điện ∼ I ánh sáng chiếu vào kim loại

+ Vận tốc của ộ chỉ phụ thuộc tần số AS, ko vào cường độ

+ Điện thế hãm Từ

→ xỏc định h từ sự phụ thuộc V 0 vào ע trong KL nhất định

• Hiệu ứng Compton theo thuyết photon

a) Nhắc lại kết quả thí nghiệm mà VLCĐ không giải thích được

0

2

eV)

(h

eV2

mv

=ν

−ν

- Chiếu tia X bước sóng λ vào bia graphit T

- Tia X tán xạ có hai cực đại tại λ và λ‘ > λ

− ∆λ = λ' - λ phụ thuộc góc quan sát tia tán xạ θ

b) Theo quan điểm thuyết photon

Tia X tới

Khe chuẩn trực

Hình 1.2. Dụng cụ nghiên cứu hiệu ứng Compton

υυ

suy ra

từ hai phương trình này suy ra

,

2 2

2 2

1

c

c

m p

c c

υ

c m

h

e

0243 0

10 43

c m

h

e

- Công thức Compton

hoàn toàn phù hợp với thí nghiệm

Rõ ràng là ∆λ chỉ phụ thuộc θ, không phụ thuộc λ tới và bản

chất bia T

Vấn đề trao đổi – Bài tập

) cos

λ λ

II Mẫu nguyên tử của bohr

2.1 Bài toán nguyên tử hydro theo thuyết điện từ cổ điển

• Tương đương bài toán chuyển động của một hạt khối lượng

m (bằng khối lượng thu gọn của điện tử – hạt nhân), điện tích -e, trong trường xuyên tâm thế năng

Năng lượng

Mômen xung lượng

r

e U

2 04

E

2 0

2 2

4

1 2

• Theo lý thuyết điện từ Maxwell:

điện tử chuyển động tròn có gia tốc luôn phát ra năng lượng (bức xạ):

⇒ phổ liên tục

⇒ năng lượng giảm liên tục, r giảm đến 0 sau 10-10s

(rơi vào hạt nhân, nguyên tử không tồn tại)

2.2 Mẫu nguyên tử của Bohr(1913)

• Tiên đề:

-Mỗi trạng thái của điện tử trong nguyên tử có một năng lượng gián đoạn hoàn toàn xác định ở trạng thái này điện tử không phát ra bức xạ điện từ

-Điện tử chỉ phát ra bức xạ điện từ dưới dạng 1 photon h ν khi chuyển từ trạng thái lượng tử Em sang En thoả mãn

Em – En = h ν (8)Ngược lại khi hấp thụ photon h ν , điện tử chuyển từ trạng thái

lượng tử En sang Em có năng lượng Em = h ν + En

• Quy tắc lượng tử hoá Bohr: là cơ sở để xác định giá trị năng

lượng gián đoạn En trong nguyên tử

Momen xung lượng quỹ đạo của điện tử phải có các giá trị gián

đoạn:

- Theo (7), năng lượng của trạng thái trong nguyên tử hydro

(10)trong đó n = 1, 2, 3, – là số lượng tử của trạng thái đang xét

M n =  =

2 2

4

2 0

1 8

1

n h

me

En = − ⋅

ε

2 n

n

) eV (

6 ,

13

⇒

Từ (8) và (10), tần số ν do điện tử phát ra khi chuyển từ Em →En(m > n) là

(11)

Công thức thường dùng là:

(12)với

(13)gọi là hằng số Rydberg: R = 1,097.107 m-1 = 0,01097 nm-1

1

1

m n

h

me E

R

λ

c h

me

4

2 0

- Quang phæ v¹ch cña nguyªn tö hydro

2

1

Vấn đề trao đổi – Bài tập

0

2 2

2 2

me

h me

n

4

r

π

ε

= πε

1

Chương 1

I Thuyết De Broglie về lưỡng tớnh súng- hạt của cỏc hạt vi mụ

iii- Hệ thức tỏn sắc: Từ E2 = m2c4 + p2c2 và (1)

Với phụton m(nghỉ)=0 tacú hệ thức quen thuộc 2π ע = ck

iv- Chu vi quỹ đạo trũn của ộ cđ quanh hạt nhõn phải bằng:

2π r = n λ , n = 1,2,3, (4)

ii- Vận tốc nhúm vg chớnh bằng vận tốc v của chuyển động của hạt

vi mô;

1.3 Kiểm chứng giả thuyết De Broglie

- tiên đoánE = 54 eV là λe = 167 pm- đoλe = 165 pm (U=54eV)

- bức tranh nhiễu xạ chựm ộ giống tia X

⇒ giả thuyết De Broglie là đúng - điện tử có tính chất sóng, ngay cả với 1 ộ

2

2 2

2 2

2

2

) 2 (

k h

c

m

ν

1.4 Diễn tả sóng De Broglie của hạt vi mô

là cường độ sóng

lớn → cường độ sóng lớn ↔ nhiều điện tử tới

• ý nghĩa thống kê của hàm sóng De Broglie

- là mật độ xác suất- cho biết khả năng tìm thấy hạt vi mô trong 1đơn vi thể tích lõn cận điểm r tại thời điểm t.

) ,

( t r 

ψ

2) ,

( t r 

ψ

2) ,

( t r 

ψ

r 

r d t

r t

r

dW (  , ) = ψ (  , ) 2 

2

) ,

( t r 

ψ

• Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng

(hạt vi mô nhất thiết phải nằm trong thể tích V)

(6)

Nếu không thoả mãn (6) thì phải chuẩn hoá để có hàm

sóng chuẩn hoá:

• Quỹ đạo chuyển động khụng xỏc định-cỏc hệ thức bất định

ψ

) ,

) t , r

(







≠ ,

) (

, )

(

von U

nm = 1 5

λ

) (

, )

(

eV K

Vấn đề trao đổi – Bài tập

1 Đọc thêm thí nghiệm kiểm chứng tính chất sóng của

điện tử

2 Chứng minh cỏc tớnh chất của súng D.Broglie.

3 Bài tập 2.1 đến 2.6

II DiÔn t¶ tr¹ng th¸i h¹t vi m« bëi hµm sãng

2.1.Mçi tr¹ng th¸i cña h¹t vi m« ®­îc diÔn t¶ bëi HS

C¸c tu©n theo nguyªn lý chång chËp tr¹ng th¸i:

nÕu , , – diÔn t¶ tr¹ng th¸i vËt lý kh¶

r

1

) , ( )

,

ψ

2) , ( )

, ( r  t ψ r  t

ρ =

• thoả mãn điều kiện chuẩn hoá

V: khoảng không gian mà hạt vi mô chuyển động trong đó

• Không gian vectơ các hàm sóng: là tập hợp mọi của

hạt vi mô - là không gian Hilbert nếu tích vô hướng của hai hàm sóng được định nghĩa

Trong đó các hàm sóng và có

và giới nội

) ,

ψ

* V

r d ) t , r ( )

t , r

ϕ

= ψ

(9)

) ,

( t r 

ϕ ψ ( t r  , )

) ,

( t r 

ψ

r d t

∫ ϕ

r d t

∫ ψ

( t r 

ϕ

) ,

( t r 

ψ

nm m

V

n m

) ( )

) (

) ( )

n



Trong đó: cn(t) là các thành phần của một vectơ trong không

gian vectơ vô số chiều hoàn toàn xác định và hoàn

toàn được xác định bởi

là hệ hàm cơ sở trong không gian Hilbert các hàm sóng.1

Theo (11) và (13), chuỗi hệ số cn(t) và hàm sóng là hai biểu diễn khác nhau của cùng một trạng thái của hạt vi mô Nếu trạng thỏi của hạt vi mụ được biểu diễn bằng chuỗi

cn(t) thỡ xỏc suất tỡm thấy hạt ở trong trạng thỏi Ψn(r) là |cn(t) |2

) ,

( t r 

ψ

) ,

( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

, ( )

(

t c t

c r

d r r

t c

r d r t

c r

r d t r r

m n

nm

n n

n m

n

n n

m V

m m

ψ

ψ ψ

ψ ψ

( t r 

ψ

•TD: xột hạt tự do, trạng thái với xung lượng p xỏc

định được diễn tả bởi sóng phẳng đơn sắc cú dạng

cú thể viết lại

Sử dụng cụng thức , chọn C=(2πħ)-3/2

thu được

Cỏc hàm Ψp(r) này thoả món đk chuẩn hoỏ và cả đk đủ.

Vậy một hàm sóng Ψp(r,t) bất kỳđều cú thể triển khai

) (

) ,

i

e t

i p

= ψ

r p i

2

1 ) (

r d

Ngược lại, các hệ số c(p,t) được biẻu diễn qua hàm sóng

i

p d e

t p c t



) ,

( )

(

) ,

2

1

π ψ

∫ −

=

V

r p

i

r d t r e

t p



) ,

( )

(

) ,

π 3 2

2 1

(15)

(16)

III Diễn tả đại lượng vật lý bằng toán tử tuyến tính tự liên hợp

PT Schrodinger

Toán tử là liên hợp với nếu với mọi cặp , cú

Nếu thì là toán tử tự liên hợp

3.1 Mỗi đại lượng vật lý trong cơ học cổ điển có 1 toán tử

tuyến tính tự liên hợp tương ứng, tác dụng lên hàm

p

; r r

] ˆ , [ ri Pj

Với mọi , suy ra

(19)

đưa vào dấu móc Poisson lượng tử

Viết lại điều kiện lượng tử hoá

) , ( )

, ( ) ˆ ˆ

( )

, ( ]

ˆ , [ ri Pj ψ r  t = riPj − Pjri ψ r  t = i  δijψ r  t

) ,

( t r 

ψ

ij j

j i j

i

q j i

q j i

r P P

r

P P r

r

δ

} ,

ˆ { }

ˆ , {

}

ˆ ,

ˆ { }

,

(21)

(22)

3.2 Các hệ thức giữa các toán tử diễn tả các đại lượng vật

lý trong cơ học lượng tử có dạng giống như hệ thức giữa các đại lượng vật lý tương ứng trong cơ học cổ điển.

;i

Eˆ

rr

;zy

x

ii

∂

∂+

(

),

(

t r r

V m

)(

( t r 

ψ

- Phương trình Schrodinger dừng: đó biết

(26)

Nếu V(r) ko phụ thuộc tường minh t , nghiệm (22) có dạng

(27)trong đó thoả mãn phương trình Schrodinger dừng:

,

(

t r

H t

,

i E

(

Hˆ

• Toán tử mômen xung lượng

- Mômen xung lượng quỹ đạo trong cơ học cổ điển

- Toán tử mômen xung lượng quỹ đạo trong cơ học lượng tử

P r

x i

L L

z

x x

z i

L L

y

z z

y i

L L

z y x







3 2 1

ˆˆ

,ˆ

ˆ

,ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

3

2 2

2 1

2 2

,ˆ

,ˆˆ

,ˆ

y x

z

x z

y

z y

x

L i L

L

L i L

L

L i L

ˆ ,

3.3 Biểu diễn các toán tử bằng các ma trận

Cho diễn tả đại lượng vật lý A, , liên hệ với nhau

Chọn hệ hàm cơ sở trực giao chuẩn hoá, khai triển

ˆ )

(

) ( )

(

r d r r

c

r d r r

c

n n

n n

Hãy biểu diễn c'n qua cn Dùng (13) và đặt

r A

n

n n

c r d r r

A r

r d r A

r c

(

ˆ ) (

) (

ˆ ) (

ψ ψ

ψ ψ

~ ,

1

ψ ψ

,

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A

A

2 1

2 22

21

1 12

11

Viết lại (34) dưới dạng ma trận

(cột) = (ma trận) (cột)

⇒ tính toán giải tích ⇒ tính toán đại số

IV Giá trị đo được của các đại lượng vật lý

4.1 Trị riêng của diễn tả đại lượng vật lý A tạo thành phổ

các giá trị của đại lượng vật lý A mà ta có thể đo được trong thực nghiệm.

- Vỡ là Hermitic → trị riêng là thực

- Phổ cỏc giá trị đo được cú thể gián đoạn/ liên tục/ gián đoạn-

liên tục/ dải liên tục tách rời

- Cỏc giỏ trị đo được có thể suy biến TD mức năng lượng:

với 1 giá trị E có nhiều ψ độc lập tuyến tính

ψ

ψ ~ ′ = A ~ ~

(39)

Aˆ Aˆ

4.2 Giá trị trung bình

Toán tử có hệ hàm riêng ψa(r) ứng với trị riêng a

xét trường hợp an gián đoạn:

tại thời điểm t1 đo được a1:

tại thời điểm t2 đo được a2:

Nghĩa là:

r d t r A

t r A

ˆ ) , (

ˆ )

Aˆ

) ( )

(

), ( )

(

A ψ1  = 1ψ1 

), ( )

(

A ψ2  = 2ψ2 

) ( )

(

Điều kiện trực giao chuẩn hoá có dạng

Triển khai theo hệ hàm riêng :

Thay (44) vào (40), dùng (43) thu được

là xác suất để trong phép đo A tại thời điểm t tỡm thấy hạt

ở trạng thỏi Ψn(r) nhận được giá trị an.

Trường hợp giá trị riêng liên tục

nm m

n m

) ( )

) ,

c a t

r r

, , ,

2 1

2 1

α α

p = 

) , ,

, , ,

, , ,

,

V m

p



2 1

2 1

α α

r

i i

P p

r r

Các hệ thức giao hoán giữa các thành phần rαi và p αi

(45)

- Hamitonian của hệ sau khi thay (44) và (43)

(46)

- Hàm sóng của hệ là nghiệm phương trình Schrodinger

(47)

]

, ˆ [ ]

ˆ , [

, ]

ˆ , ˆ [ ] ,

[

ij j

i j

i

j i

j i

i r

P P

r

P P

r r

δ

δαβ

β α

β α

β α

β α

ˆ ,

ˆ , ,

, (

ˆ

;P P P t r

r r

V m

p



2 1 2

, ( r 1 r 2 r N t

ψ

)

; , ,

, ( ˆ

)

; , ,

,

(

t r r

r

H t

t r r

- Trường hợp V không phụ thuộc tường minh vào t, nghiệm (47)

có dạng

là nghiệm của phương trình Schrodinger dừng

chính là hàm riêng của không phụ thuộc t tương ứng trị

riêng E

(50)

), , ,

, ( )

; , ,

2 1 2

) , ,

, ( )

, , ,

(

ˆ

N E

ˆ ,

ˆ

; , ,

, (

ˆ ˆ

N

r r

r

V m

p



2 1 2

- Xác suất định vị trí hạt 1 trong thể tích d r1

quanh điểm , hạt 2 trong thể tích d r2

quanh điểm , hạt N trong thể tích d rN

quanh điểm tại thời điểm t bằng:

Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng là:

Nếu các hạt không tương tác với nhau thì :

| )

; , ,

, (

| )

; , ,

,

dW 1 2  = ψ 1 2  2 1 2  (51)

.

| )

; , ,

, (

Trong đó, Hamiltoniancủa từng hạt chuyển động trong trường ngoài là

Lúc này cú thể tỡm HS dươi dạng tớch trực tiếp của N HS của từng hạt riờng biệt

mỗi là hàm riêng của

Năng lượng toàn phần của hệ

).

ˆ , (

ˆ

α α

α α

2

(54)

) , ( )

, ( )

, ( )

; , ,

(55)

) , (

) (α rα t

) , ( )

, (

Xét hệ N hạt vi mô đồng nhất, mỗi hạt khối lượng m.

Hamitonian của hệ

không thay đổi khi hoỏn vị 2 hạt bất kỳ

Vỡ hạt vi mụ không thể phân biệt được → mật độ xác suất

không thay đổi khi ta hoỏn vị 2 hạt , nghĩa là

Với mọi cặp chỉ số α,β

)

;

ˆ , ,

ˆ ,

ˆ

; , ,

, (

; r , , r

, , r

, , r

(

|

| ) t

; r , , r

, , r

, ,

r

(

| ψ 1 α β N 2 = ψ 1 β α N 2 (58)

Khi N hạt không tương tác với nhau: hàm sóng hệ N hạt như

(55), tuy nhiên trong đó , tuy thoả

mónPTSch, nhưng khụng thoả món đk (58)

ĐK (58) đối với mụ đun HS chuyển thành đk với chớnh HS

Trong đú giỏ trị thừa số pha eiη (η là số thực) phụ thuộc vào

, , r

, , r

( e

) t

; r , , r

, , r

∑

E

Chương 2

CÁC phương trình, định lý VÀ ĐỊNH LUẬT CƠBẢN suy ra

từ các tiên đề của cơ học lượng tử

I Phương trình chuyển động lượng tử Heisenberg

Nghiên cứu sự thay đổi theo thời gian của giá trị TB

Sử dụng phương trình Schrửdinger

r d t r A

t r A

ˆ ) , (

ˆ )

rt

)t,r

(Aˆ

*)t,r(

)t,r(

Aˆt

*)t,r(dt

)t(A

+

∂

ψ

∂ψ

là phương trình chuyển động lượng tử Heisenberg

) , ( ˆ

) ,

(

t r

H i

H i

V

r d ) t , r ( )

Aˆ Hˆ Hˆ

Aˆ

( i

1 t

A )

t , r

( dt

) t ( A

r dt

A

d t

r dt

A

d dt

t A

) , (

ˆ )

, (

ˆ )

Aˆ

( i

1 t

A dt

Sử dụng dấu móc Poisson

Phương trình chuyển động Heisenberg có dạng

tương tự phương trình Lagrangiơ trong cơ học cổ điển

A B B

A B

A ˆ , ˆ ] ˆ ˆ ˆ ˆ

] ˆ ,

ˆ [

ˆ

ˆ

H

A i

t

A dt

A

d



1 +

∂

∂

] ,

t

L dt

A

, ˆ

II Các phương trình chuyển động lượng tử c ủa và

Thiết lập phương trình chuyển động của , cho hạt vi

mô khối lượng m, chịu tỏc dụng trường lực thế năng

i dt

ˆ [

ˆ

H

P i

= 2

2

(11)

Sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc giữa r i và suy ra

Có dạng giống hệt các phương trình trong cơ học cổ điển

P

d m

ˆ ,

i

P

r m i

Các toán tử diễn tả đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử tuân theo phương trình có dạng giống trong cơ học cổ điển.

j ij j

i j j

j i

i

2 j

2 j i

2 j i

Pˆ i

2 ]

Pˆ , r [ Pˆ Pˆ

] Pˆ , r [

r Pˆ Pˆ

r ]

Pˆ , r [

δ

= +

r , ˆ ] ˆ

)]

( , [ )]

( , [

ˆ

r V r

V

P i

( {

) , ( )

( )}

, ( ) ( { )

, ( )]

( ,

[

t r r

V

t r r

V t

r r

V t

r r

( , [ ∇  V r  = ∇  V r 

III Các phương trình chuyển động của các giá trị trung bình

của TT toạ độ và TT xung lượng

Lấy giá trị trung bình hai vế các phương trình (12) và (13)

Định lý Ehrenfest

Giá trị trung bình của TT toạ độ ,TTxung lượng

và lực tác dụng lên hạt vi mô tuân theo những định luật

)

(

t

p m

P m

r dt

d dt

t r

V

P dt

d dt

t p

IV Phương trình liên tục

Mật độ xác suất định vị trí của hạt vi mô

Khảo sát sự biến thiên của mật độ xác suất theo thời gian

) , ( )

, (

| ) , (

| ) ,

) , ( )

, ( [

) , ( )

, ( )

, ( ))

, ( (

) , ( ˆ )

, ( )

, ( ))

, ( ˆ (

) ,

( )

, ( )

, (

) , ( )

, (

t r t

r t

r t

r m

i

t r t

r m

i t

r t

r m

i

t r

H i

t r t

r t

r

H i

t

t

r t

r t

r t

t

r t

t r

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ ρ

1 1

2 2