HÀM SỐ LUỸ THỪA,HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LỔGARÍT

HÀM SỐ LUỸ THỪA,HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LỔGARÍTI.Lí THUYấT Đ1.. +> ta thờng dùng luỹ thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu diễn những số rất lớn và rất bé.. khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và ng

CHƯƠNG II HÀM SỐ LUỸ THỪA,HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LỔGARÍT

I.Lí THUYấT

Đ1 LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ

1.LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYấN

ĐN: luỹ thừa bậc n của số a ( hay luỹ thừa của a với số mũ n ) là số an và xỏc định bởi : an = a.a…a , n > 1 Trong đú : a1 = a

a : gọi laứ cụ soỏ, n : goùi laứ soỏ muừ

a> Luyừ thửứa vụựi soỏ muừ 0 vaứ soỏ muừ nguyeõn aõm

ẹN

: với a 0,n = 0 hoặc n là một số nguyên âm,luỹ thừa bậc n của a là số an xác định bởi: a0 = 1, an = 1

n

a

ch ú ý : +> KH : 00,0n không có nghĩa

+> với a 0 và n nguyên,ta có an = 1

n

a +> ta thờng dùng luỹ thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu diễn những số rất lớn và rất bé

b> Tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên

Quy tắc tính :

Định Lý 1: với a 0, b 0 và với các số nguyên m,n ta có :

1.an.am = am + n 2

n

n m m

a a a



 3 (an)m = an.m

4 (ab)n = an.bn 5

n n n

 



 

 

So sánh các các luỹ thừa

Định lý 2 : cho m,n là những số nguyên.khi đó :

1 với a > 1 thì an > am khi và chỉ khi n > m

2 với 0 < a < 1 thì an > am khi và chỉ khi n < m

H

q1 : với 0 < a < b và n là số nguyên thì : 1 an > bn khi và chỉ khi n < 0 2 an < bn khi và chỉ khi n > 0

H

ệ quả 2 : với a < b , n là số tự nhiên lẻ thì an < bn

H

ệ quả 3: a,b dơng,n là số nguyên khác 0 thì : an = bn khi và chỉ khi a = b

2 Căn bậc n và luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

a C

ăn bậc n

ẹ

N2: với n nguyên dơng,căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho : bn = a

Chú ý : ta thừa nhận các khẳng định sau :

+> khi n lẻ,mỗi số thực a có 1 căn bậc n.kí hiệu : n a

+> khi n chẵn, mỗi số thực dơng a có 2 căn bậc n là 2 số đối nhau.kí hiệu : n a và -n a

nhận xét :

1 c¨n bËc 1 cđa sè a lµ a 2.c¨n bËc n cđa 0 lµ 0

3 sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n v× luü thõa bËc ch½n lu«n d¬ng

4 với n nguyên dương lẻ,ta có : n a > 0 khi a > 0 và n a < 0 khi a < 0.

5 n a n =

,

~

, ,

a nle

a ncha n







b Tính chất của căn bậc n : với 2 số a,b dương.hai số nguyên dương m,n và 2 số nguyên p,q ta có:

1 n ab n a b.n 2 n n ( 0)

n

b

b  b  3 n a p  n a p(a > 0)

4 m n a mn a 5 nếu p q

n m thì n a p m a q ( a > 0 ), đặc biệt n a nm a m

c.Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

ĐN3: cho a > o, r là một số hữu tỉ,giả sử r = m

n ,m nguyên còn n nguyên dương.khi đó luỹ thừa của a với số mu hữu tỉ là số ar và xác định bởi : a r a m n n a m

Chú ý: luỹ thừa với số mũ hữu tỉ ( của số thực dương) có nay đủ tính chất của luỹ thừa với số mũ

nguyên

§2

.LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

1.Khái niệm luỹ thừa với số mũ thực

Vdụ : cho số vô tỉ  = 2 Luôn tồn tại moat dãy số hữu tỉ r1,r2, rn mà limrn = 2

Chẳng hạn : r1 = 1, r2 = 1,4 , r3 = 1,41 , r4 = 1,414 , r5 = 1,4142 …… và limrn = 2

Cho a là số thực dương và  là số vô tỉ xét dãy số hữu tỉ r1,r2, rn mà limrn = 2.khi đó người ta chứng minh được rằng dãy số thực a a r1, r2, ,a r n, có giới hạn không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ ( rn ).ta gọi giới hạn đó là luỹ thừa của a với số mũ 

KH : a và a = lim r n

n a

 

GHI NHỚ : về cơ số của luỹ thừa

1 khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm thì cơ số phải khác 0

2.khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương

2.Công thức lãi ké C = A( 1 + r )N A: tiền gửi , r : lãi suất, N : kì hạn ( N : tính bằng năm )

§3 LÔGARÍT

1.ĐỊNH NGHĨA

Cho số thực a dương, tuỳ ý ta luôn xác định a.ta có :

+> a là một số dương +> nếu  = 1 thì a = 1 = 1,   R

+> nếu a > 1, thì a < a khi và chỉ khi  

+> nếu 0 < a <1 thì a < a khi và chỉ khi  

+> 0 < a 1 a = a khi và chỉ khi  

Ta thừa nhận khi : 0 < a 1,với mỗi số dương b,có một số  để : a = b,  là duy nhất

ĐỊNH NGHĨA 1

Cho 0 < a 1,b là một số dương.số thực  để a = b được gọi là cơ số a của b Và kí hiệu : loga b,tức là :  = loga b  a = b

CHÚ Ý : 1 không có lôgrít của 0 và số âm vì a luôn dương với 

2 cơ số của lôgrit a : 0 < a 1

3 theo định nghĩa lôgrit ta có :

log

log 1 0,log 1

a

b a b

a

  

2.TÍNH CHẤT

a> SO SÁNH HAI LÔGARIT CÙNG CƠ SỐ

ĐỊNHLÝ 1: cho số dương a khác 1 và các số b,c dương.

1 khi a > 1 thì loga bloga c b c

2 khi 0 < a <1 loga bloga c b c

HỆ QỦA: cho số dương a khác 1 và các số b,c dương.

1 khi a > 1 thì loga b > 0  b > 1

2 khi o < a < 1 thì loga b > 0  0 < b < 1

3 loga bloga c b c

b> CÁC QUY TẮC TÍNH LÔGARIT

ĐỊNH LÝ 2 : cho số dương a khác 1 và các số b,c dương,Ta có :

1 log ( ) log log ;

b

c

Chú ý : với các số dương b1,b2,…,bn ,ta có : log (a b b b1 2 ) logn  a b1loga b2 log a b n

HỆ QUẢ: với a dương khác 1, số dương b và số nguyên dương n,ta có :

1 loga 1 loga b

b 2 log n 1log

n

3 ĐỔI CƠ SỐ CỦA LOGARIT

ĐỊNH LÝ 3: với a,b là 2 số dương khác 1 và c là số dương,ta có : log log

log

a b

a

c c

b

 hay log loga b b clog a c

HỆ QUẢ 1: với a,b là 2 số dương khác 1, ta có : log 1

log

a

b

b

a

 hay log loga b b a 1

HỆ QUẢ 2 : với a là số dương khác 1, c là số dương và   0,ta có : loga c 1loga c



Chu y : logb c logb a

4.LÔGARIT THẬP PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

ĐỊNH NGHĨA 2: lôgrit cơ số 10 của một số dương x được gọi là lôgrit thập phân của x và

kí hiệu là : logx hoặc lgx Đọc

chú ý : lôgrit thập phân có nay đủ tính chất của lôgrit với cơ số lớn hơn 1

ứng dụng : tìm các chữ số của một số khi viết số đó trong hệ thập phân

Vd : tìm các chữ số của số an , ta làm như sau : [ n.loga ] + 1 = ? là số cần tìm

§4

.SỐ e VÀ LÔGARIT TỰ NHIÊN

1 lãi kép liên tục và số e.

Ta có ,công thức tính lãi kép : C = A( 1 + r )N A: tiền gửi , r : lãi suất, N : kì hạn ( N : tính bằng năm )

Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì ( ngày,tuần,tháng,quý )để tính lãi và vẫn giữ nguyên lãi suất năm Thì r lãi suất mỗi kì là m r và số tiền thu được sau N năm ( hay sau Nm kì ) là : (1 r)Nm

A m

 Chú ý : khi tăng số kì m trong năm thì số tiền thu được sau N năm ( hay Nm kì ) cũng tăng theo.tuy nhiên nó không thể tăng lên vô hạn được

Thật vậy,ta xét dãy số : Sm = (1 r)Nm

A m

Nr m r

A

m r

(1)

Để xét giới hạn của dãy số (1) ta xét giới hạn : lim 1 1

m r

r

 



Ta xét giới hạn tổng quát : lim 1 1

x

x  x



Người ta cm được : e = lim 1 1

x

x  x



2,718281828….(2) Từ (1) và (2) ta suy ra rằng : limSm = A.eNr

Vâỵ ta có công thức tính lãi kép liên tục : S = A.eNr

2.LÔGARIT TỰ NHIÊN

Đn :lôgrit cơ số e của một số dương a được gọi là lôgrit tự nhiên ( hay lôgrit Ne-pe ) của số a.

KH: lna và đọc : loga nêpe của a

CHÚ Ý : lôgarit tự nhiên có nay đủ tính chất của lôgarit với cơ số lớn hơn 1.

§5

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

1.khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit

Với 0 < a  1

+> với mỗi x R ta luôn xác định một giá trị ax ( duy nhất )

+> với mỗi x R, x > 0,ta luôn xác định được 1 giá trị logax ( duy nhất )

= > hàm số y = ax xác định trên R, hàm số y = logax xác định trên ( 0; +  )

ĐỊNH NGHĨA : giả sử 0 < a  1

i Hàm số dạng y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a

ii Hàm số dạng y = logax được gọi lag hàm số lôgarit cơ số a

chú ý : +> kí hiệu y = logx để chỉ hàm lôgarit cơ số 10

+ kí hiêụ y = lnx để chỉ hàm lôgarit cơ số e ( một số tài liệu y = exp(x) )

2.GIỚI HẠN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

+> hàm số mũ và hàm số lôgarit liên tục tại mọi điểm mà nó xác định

+> giới hạn đã biết : lim 1 1

t

t

 

  Bằng cách đặt x = 1t ta được : 1

0

lim(1 )x

  

Định lí 1 : lim0ln(1 ) 1

x

x x





 và

0

1

x

e x







3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ VÀ LÔGARIT

a Đạo hàm của hàm mũ.

Định lí 2: i> hàm số y = ax có đạo hàm tại mọi điểm x Rvà ( ax )’ = ax.lna; riêng ( ex )’ = ex

ii> hàm số u = u(x) có đạo hàm trên K thì hàm số y = au(x) có đạo hàm trên K và

(au(x) )’ = u’(x)au(x).lna; riêng ( eu(x) )’ = u’(x) eu(x)

b Đạo hàm của hàm số lôgarit

Định lí 3: i.hàm só y = logax có đạo hàm tại mọi x > 0 và (logax )’ = x.ln1 a; riêng ( lnx )’ = 1x

ii nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên K thì hàm số

y = logau(x) có đạo hàm trên K và (logau(x) )’ = u x( ).lnu x'( )a; riêng ( lnu(x) )’ = u x u x'( )( )

Hệ quả : i ( ln|x| )’ = 1; 0

ii nếu u = u(x) nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên K thì ( ln|u(x)| )’ = '( ),

( )

u x

x K

4 SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT

a Hàm số y = a x

+> TXĐ : R

+> y’ = ax.lna

TH1: a > 1 => y’ > 0 => hàm số đồng biến trên R

Cm được : lim x

x a

  =  và lim x 0

x a

    => đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 ( trục ox )

( a >1 ) 1

0 từ Btt : hàm số :y= ax nhận giá trị (0; )

TH2: 0 < a < 1 => lna < 0 => hàm sô nghịch biến trên R

Cm được : lim x

x a

   =  và lim x 0

x a

   => đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 ( trục ox )

Btt: x   0 



y= ax 1

( 0 < a < 1)   từ Btt : hàm số :y= ax nhận giá trị (0; )

Từ 2 TH trên ta có nhận xét : đồ thị của hàm số mũ

i luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1

ii đồ thị hoàn toàn nằm trên trục hoành

GHI NHễÙ: haứm soỏ y= ax

1 coự TXẹ : R vaứ TGT : (0; )

2 ủoàng bieỏn treõn R khi a > 1, nghũch bieỏn treõn R khi 0 < a < 1

3 coự ủoà thũ :

+> ủi qua ủieồm ( 0; 1)

+> naốm o phớa treõn truùc hoaứnh

+> nhaọn truùc hoaứnh laứm tieọm can ngang

b Haứm soỏ y = log a x

+> TXẹ : D = (0; )

+> y’ = 1

ln

Haứm soỏ y = logax vụựi a > 1 Haứm soỏ y = logax vụựi 0 < a < 1

+> y’ > 0 ,  x (0;)

+> haứm soỏ ủoàng bieỏn treõn (0; ) vaứ nhaọn moùi

giaự trũ thuoõc R

+> lim log0 a



   vaứ lim loga

  

+> y’ < 0 ,  x (0;) +> haứm soỏ nghũch bieỏn treõn (0; ) vaứ nhaọn moùi giaự trũ thuoõc R

+> lim log0 a



  vaứ lim loga

   

GHI NHễÙ : haứm soỏ y = logax

1 coự TXẹ : D = (0; ) vaứ coự TGT : R

2 ẹBieỏn treõn (0; ) khi a > 1, NBieỏn treõn (0; ) khi 0 < a < 1

3 coự ủoà thũ: +> ủi qua ủieồm (1; 0)

+> naốm beõn phaỷi truùc tung +> nhaọn oy laứm tieọm can ủửựng

Nhaọn xeựt: ủoàứ thũ haứm soỏ y= ax vaứ y = logax ủoỏi xửựng qua ủửụứng phaõn giaực cuỷa goực phaàn tử thửự nhaỏt

Đ6

hàm số luỹ thừa

1.Hàm số luỹ thừa

ĐN: hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng y = x ,  là số tuỳ ý

Từ các định nghĩa về luỹ thừa ta có :

+> hàm số y = xn , n: nguyên dơng,xác định với  x R

+> hàm số y = xn , n: nguyên âm hoặc n = 0,xác định với  x 0

+>hàm số y = x , không nguyên,có tập xác định là những số thực dơng

+> hàm số luỹ thừa liên tục trên tập xác định của nó

Vdụ : hàm số y = 3 x, xác định  x R.hàm số y = x13,xác định  x 0.

2.Đạo hàm của hàm số luỹ thừa.

Định lý :

a> hàm số y = x , Rcó đạo hàm tại mọi điểm x > 0.và ( x )’ =  x-1

b> hàm số u = u(x) nhận gía trị dơng và có đạo hàm trên J,thì hàm số y = u (x) cũng

có đạo hàm trên J và ( u (x))’ =  u -1(x).u’(x).

n n

+> u(x) >0 , n chẵn thì : (n u x( ))’ = '( )1

( )

n n

u x

3.sự biến thiên của hàm số luỹ thừa.

Ta chỉ xét hàm số luỹ thừa y = x , 0 và TXĐ: (0; +)

Ta có: ( x )’ =  x -1.mà x -1 > 0

+>  > 0 => hàm số đồng biến trên (0; +)

+>  < 0 => hàm số nghịch biến trên (0; +)

Đ7.

ph ơng trình mũ và lôgrit

1.Phơng trình cơ bản

a>Phơng trình mũ cơ bản có dạng : x = m (1), m là số đã cho

Pt xác định mọi x và x> 0.do đó:

+> m 0 => pt(1) vô nghiệm

+> m > 0 => pt(1) có một nghiệm duy nhất x = log m

b> phơng trình lôgarit cơ bản có dạng : log x = m

pt xác định khi : x  (0; +), 0 <  1

Pt có nghiệm m  (0; +),log x = m  x  m

2 Một số phơng pháp giảI phơng trình mũ và lôgarit

a phơng pháp đa về cùng cơ số

Sử dụng tính chất : i>a f x( ) a g x( )  f x( )g x( )

ii> nếu f(x) > , g(x) > 0 thì loga f x( ) log a g x( ) f x( )g x( )( 0 < a 1)