SO SÁNH PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT1... Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm mũ để chứng minh nghiệm duy nhất thường là sử dụng công cụ đạo hàm 4.. P
Trang 1§2 SO SÁNH PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng
cùng cơ số a f x( )=a g x( )Û f x( )=g x( )
VD
: Giải phương trình 2 3 2 1
2
4
x + −x =
Giải:
2
4
x + −x = (Cần chuyển về cơ số 2 nên đặt vấn đề 1 ?
2
⇔ 2x2 + − 3x 2 =2− 2 (Vì 1 2 2
4
−
x + x− = − (Sử dụng tính chất cùng cơ số)
⇔ x2+3x=0 (Cộng vào từng vế với 2)
⇔ x=0hoặc x= −3
● Thử lại: (thế từng giá trị vừa tìm được vào x)
2 3 2 1
2
4
x + −x =
2 ?
0 3 0 2 1
2
4
g
2 ? 1
2
4
2 3 2 1 2
4
x + −x = ( ) 2 ( ) ?
3 3 3 2 1 2
4
g
2 ? 1
2 4
Vậy phương trình có nghiệm x=0hoặc x= −3
1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số: loga M = loga N⇔M =N
VD : Giải phương trình log2x+log (2 x+ =3) log 42
Giải:
x
> >
+ > > −
● Ta có:
log2x+log (2 x+ =3) log 42
⇔ log (2x x+ =3) log 42 (dùng tổng hai logarit)
⇔ x x( + =3) 4 (Sử dụng tính chất cùng cơ số)
2 3 4 0
1
x
⇔ = (nhận) hoặc x= −4 (loại so với điều kiện)
● Thử lại: (thế giá trị 1 vừa tìm được vào x)
log x+log (x+ =3) log 4 {
?
0
log 1 log (1 3) log 4+ + =
log 4 log 42 =? 2 (đúng) Vậy phương trình có nghiệm: x=1
2.Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương
trình đại số
VD
: Giải phương trình 25x−2.5x− =15 0
Giải:
25x−2.5x− =15 0 (Cần chuyển về cơ số nhỏ hơn là 5)
( )2
25x = 5 x=5 x = 5x ) Đặt t= 5x ( điều kiện t > 0), phương trình trở thành
t − − =t
⇔ t=5hoặc t= −3(loại)
x
= ⇔ =
● Thử lại: (thế giá trị 1 vừa tìm được vào x)
25x−2.5x− =15 0
?
1 1
25 −2.5 15 0− =
0 0=? (đúng)
2.Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
VD : Giải phương trình log22x+log2x− =2 0
Giải:
● Điều kiện: x>0
● Ta có: log22x+log2x− =2 0 ⇔ ( )2
log x +log x− =2 0 Đặt t= log 2x ta được:
2
t t
t
=
+ − = ⇔ = −
+ Với t = 1 thì log2 x= ⇔1 1
x= =
+ Với t = −2thì log2x= − ⇔2 2
2
2
x= − = =
● Thử lại: (thế từng giá trị vừa tìm được vào x)
Trang 2Vậy phương trình có nghiệm x=1 2
log x+log x− =2 0
2
log 2 log 2 2 0+ − =
1 1 2 0+ − =
2
log x+log x− =2 0
2
÷
4 2 2 0− − =
Vậy phương trình có nghiệm x=2hoặc 1
4
x=
3.Phương pháp 3: Lấy logarit hai vế
VD
: Giải phương trình 8 1
4
x =
Giải:
8 1
4
x =
log 88 log81
4
x = (lấy logarit cơ số 8 hai vế)
log ( )8 1
4
x=
● Thử lại: (thế giá trị vừa tìm được vào x)
8 1
4
x =
8
1
log ?
4 1
8
4
÷
= (sử dụng máy tính đề tính vế trái)
1 1?
4 4= (đúng)
Vậy phương trình có nghiệm x=1
3 Phương pháp 3: Mũ hóa hai vế VD
: Giải phương trình log (33 x 8) 2
x
− = −
Giải:
● Điều kiện: 3x− >8 0
● Ta có:
3
log (3x− = −8) 2 x
3
log (3 8) 2
2
3x 8 3 −x
⇔ − =
9
3
x
x
⇔ − = ( )2
⇔ 3x = −1 (loại) hoặc 3 9x =
Với 3x = ⇔9 x=2(nhận vì thỏa điều kiện)
● Thử lại: (thế giá trị 2 vừa tìm được vào x)
3
log (3x− = −8) 2 x
? 2 3
log (3 − = −8) 2 2 log 1 03 =? (đúng) Vậy phương trình có nghiệm x=2
4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính
đơn điệu của hàm mũ để chứng minh nghiệm duy
nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
☺ Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C (với C là hằng
số) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là
nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
☺ Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì
phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Trang 3: Giải phương trình 3x+4x =5x
Giải:
3x+4x =5x, chia từng vế với 5xta được:
1
÷ ÷
● Ta có x=2 là nghiệm của phương trình (*) vì
2 2
1
+ =
÷ ÷
● Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất
f x = +
÷ ÷
Ta có ( )f x nghịch biến trên ¡ vì
f x = + <
đó
+ Với x>2 thì ( )f x < f(2) hay
1
+ <
÷ ÷
thể có nghiệm x>2
+ Với x<2 thì ( )f x > f(2) hay
1
+ >
÷ ÷
thể có nghiệm x<2
● Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất
2
VD : Giải phương trình log2x+log 25( x+ =1) 2
Giải:
● Điều kiện: x>0
● Đặt log 2x+ log 5 ( 2x+ = 1 ) 2 (*)
Ta có x=2 là nghiệm của phương trình (*) vì
log 2 log 2.2 1+ + =2
● Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất
Thật vậy, hàm số y=log2xvà y=log 25( x+1) đều có các cơ số lớn hơn 1 nên các hàm số đó đồng biến
+ Với x>2, ta có:
log log 2 1
x x
Suy ra, phương trình (*) vô nghiệm khi x>2 + Với 0< <x 2, ta có:
log < log 2 1
log log 2 1 <2
x x
=
Suy ra, phương trình (*) vô nghiệm khi 0< <x 2
● Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất 2
x=