Sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về cực trị số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ... Trong quá trình trực tiếp giảng d

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ

2 NỘI DUNG

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 32.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề 4

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong số các bài toán về số phức trong kì thi THPT Quốc gia gần đây bài toán:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức là một dạng toán khó và xuấthiện thường xuyên Chẳng hạn, trong đề thi minh hoạ năm 2018 của Bộ giáo dụcđào tạo: “Cho số phức z a bi  thoả mãn |z 4 3 i 5 | Tính P a b  khi

|z 1 3 | |i  z 1 i| đạt giá trị lớn nhất ” đã làm cho học sinh khá đau đầu

Vì thế, học sinh rất dễ mất bình tĩnh, hoang mang không biết phải nhậndạng và làm bài toán cực trị của số phức như thế nào, lấy những yếu tố nào làđiểm quan trọng để phát hiện vấn đề Có rất nhiều phương pháp để giải quyếtbài toán này Trong quá trình trực tiếp giảng dạy chương số phức lớp 12, thôngqua nghiên cứu tài liệu tham khảo, tôi rút ra một phương pháp giúp học sinh giảiquyết vấn đề trên nhanh và chính xác Và đã viết thành một sáng kiến kinh

nghiệm có tên: “Sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về cực trị của số phức”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này góp phần trang bị thêm dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệutrực quan của các dạng bài cực trị của số phức; kĩ năng phán đoán, phân tíchnhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh: tư duy phân tích,tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải quyết một vấn đềluôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt

để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài được áp dụng trong chương số phức của chương trình giải tích lớp

12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắcnghiệm về cực trị của số phức, tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từnhững kiến thức nào đã học, trình bày bài số phức rồi mới nhận dạng có dài, mấtthời gian hay không? Có giải quyết được vấn đề hay không? Có gặp khó khăn gìkhông? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặctrưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để

Để học sinh tiếp cận vấn đề, tôi đưa các bài toán đặc trưng từ cơ bản rồimới mở rộng lên bài toán cực trị của số phức thông qua hệ thống kiến thức liênquan, nhận xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến các bài toán cụ thể để học sinhhình dung một cách trực quan và biết cách sử dụng phương pháp hình học vàocác bài toán đó để đưa ra được phương án trả lời nhanh và chính xác nhất

2 NỘI DUNG:

2.1 Cơ sở lí luận:

a)Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z x yi x y R  ( ,  ) được biểu diễn hình học trong mặt phẳng

Oxy là một điểm M x y( ; ) Khi đó:

Nhận xét 1: (Ý nghĩa hình học của môđun phép cộng, phép trừ hai số phức).

Cho z1x1 y i1 là số phức có điểm biểu diễn hình học là M x y 1 1 1( ; )

Cho z2 x2 y i2 là số phức có điểm biểu diễn hình học là M x y2( ;2 2)

Giả sử M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của các số phức z, a, b.

+) |z a | | z b|MA MB Khi đó tập hợp M là đường thẳng trung trực của đoạn AB.

+) z a  R 0<=> |MA| = R Khi đó tập hợp M thuộc đưòng tròn tâm A, bán

kính R

+) z z 1  z z 2   k 0 MM1MM2 k Khi đó tập hợp M là đưòng Elip

nhận M M1 , 2 làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k 2 a

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Số phức là một trong những nội dung quan trọng chương trình toán lớp 12

và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia Bài toán về cực trị của số phức

là phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng làphần thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổnghợp kiến thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề

Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức thoạt nhìn thì có vẻđơn giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thờigian giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh,

và tiêu tốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác

Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12 tôi trực tiếp giảngdạy năm học 2019 - 2020 trường THPT Hàm Rồng , kết quả như sau:

Số học sinh trả lời chính xác

Số học sinh trả lời chính xác trong 30s – 1p

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cáchgiải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK Song song với việc cung cấp trithức, tôi chú trọng rèn giũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, tính toánvới các điểm cực trị, tương giao giữa các đồ thị hàm số đã có trên hình vẽ, pháttriển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này

mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề:

Để làm bài toán về cực trị của số phức, học sinh có thể giải bằng phươngpháp hàm số, phương pháp lượng giác hay đánh giá bằng bất đẳng thức Sau đây

ta xét một số bài toán cực trị của số phức thông qua các phương pháp đại số nóitrên Đây là cách thức trước khi đổi mới

2.3.1 Các bài toán cực trị giải bằng phương pháp đai số:

Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  k ,k 0, tìm giá trị nhỏ

nhất, giá trị lớn nhất của z

Ví dụ 1: Cho số phức zthỏa mãn z 1 2  i  2.Tìm môđun lớn nhất của số phức

.

z

Vậy chọn đáp án D.

Bài toán 3 : Cho số phức z thỏa mãn  z z1 z z2 Tìm GTNN của T  z z0

Ví dụ 1: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 3i   z 2 i. Tìm số phức có

Nhận xét: Có rất nhiều bài toán cực trị về số phức có thể giải bằng phương

pháp hàm số, phương pháp lượng giác hay đánh giá bằng bất đẳng thức Tuynhiên cách làm trên lại gặp khó khăn do mất quá nhiều thời gian Vì vậy tôi đãhướng dẫn học sinh dựa vào vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị xảy ra đểtìm được phương án chính xác một cách nhanh nhất

Sau đây ta sẽ xét một số dạng bài toán quen thuộc trên và thêm các bàitoán nữa để thấy rõ tính ưu việt của phương pháp hình học giải nhanh các bàitoán cực trị của số phức Trên cơ sở lý thuyết có hướng dẫn học sinh phân tích

sử dụng phương pháp hình học phù hợp để đưa ra cách giải đúng và ngắn gọnnhất Sau đây là các bài toán sau khi đổi mới

2.3.2 Các bài toán cực trị giải bằng phương pháp hình học:

Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  k ,k 0 Tìm giá trị nhỏ

+ Phương trình đường tròn  C quỹ tích của điểm M biểu diễn số phức z là:

  C : x a 2 y b 2 k2

+ Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm O I, là d Ax By C:    0

Khi đó, M M1 , 2là giao điểm của  C và d

So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới O , khoảng cách nào nhỏ hơnthì điểm đó ứng với điểm M1 và điểm còn lại là điểm M2

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 4 i  5 Giá trị nhỏ nhất của z là:

Nhận xét: Như vậy nếu HS biết được công thức này thì chỉ làm trong vòng 30s

là xong còn nếu tính toán thông thường thì sẽ rất lâu mà còn dễ sai

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 4 i  5 Giá trị lớn nhất của z là:

2

3;66

x

N y

M y

+ Số phức z có môđun lớn nhất là z  3 6i ứng với điểm M3;6

+ Số phức z có môđun nhỏ nhất là z  1 2i ứng với điểm N1; 2

 

 

 thì z có giá trị nhỏ nhất bằng:

Gọi I A M, , lần lượt là các điểm biểu diễn của z ,z ,z 1 2

Tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z là đường tròn có tâm I a b ; 

và bán kính R k

Muốn tìm các số phức sao cho Pmax ,Pmin thì ta đi tìm hai giao điểm M M1 , 2 của

đường tròn I,R với đường thẳng AI

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 3 2  i  2 Giá trị nhỏ nhất của z  1 i lần lượt là

Ví dụ 2 : Trong các số phức z thỏa mãn z 2 2  i  1, gọi z a bi a b  , ,   là

số phức có z 4i đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức P a b   2 

điều kiện  z z1 z z2 thực chất là phương trình đường thẳng.

Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z , A là điểm biểu diễn hình học z1 và B là điểm biểu diễn hình học z2thì giả thiết tương đương với MA MB hay M nằm trên đường trung trực của AB Gọi I là điểm biểu diễn hình học của z0 thì

T IM

Vậy IM nhỏ nhất khi Mlà hình chiếu vuông góc của I trên d Giá trị nhỏ nhất bằng.: MinT d I d( , )

Gọi A (1; 1) là điểm biểu diễn  1 i thì T AM

Vậy min (A;d) 1 1 4 3 2

2

T d    

Phương trình đường thẳng  qua A, và vuông góc với d: 4x y  13 0

Khi đó z i  3 nhỏ nhất khi và chỉ khi AM nhỏ nhất khi và chỉ khi AM d Khi đó M  d Tìm 99 23

Khi đó z  1 2i nhỏ nhất khi và chỉ khi AM nhỏ nhất khi và chỉ khi

Vì ở chương trình Toán lớp 10, chỉ được học elip có hai tiêu điểm là

k Max z a

10 4.4

32

8 4.3

72

Nếu ta gọi M N I, , lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phức z;w;z1.

Gọi A B, là điểm biểu diễn hình học của w ,1 w Giả thiết 2  z z1 k 0 suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I và bán kính

N I

Ví dụ 1 : Cho hai số phức z z1 , 2 thỏa mãn k 0;w w 1 w w 2

Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phức z1;z2,

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z1 là đường tròn có tâm I ( 5;0) và bán kính R 5

Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z2 là đường thẳng  : 8x 6y 35 0 

Nếu ta gọi M N I A, , , lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phứcz;w;z1,w1

Giả thiết  z z1m0 suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I và bán kính R1 k

Giả thiết w w 1 m0 suy ra tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm A và bán kính R2 m

Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phức z1;z2,

Ta có M thuộc đường tròn  C1 có tâm I11;1, bán kính R 1 1 N thuộc đườngtròn C2 có tâm I22; 3  , bán kính R 2 2

Bài 3: Cho số phức z thay đổi và luôn thoả mãn |z - 3 + 4i| = 4 Tìm giá trị lớn

nhất Pmax của biểu thức P = |z|

A Pmax = 12 B Pmax = 5 C Pmax = 9 D Pmax = 3

Bài 4: Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = | z - 2i| Tìm số phức z có

môđun nhỏ nhất

A z=-1+i B.z= -2+i C z = 2+2i D z= 3+2i

Bài 5 : Cho số phức z thoả mãn (z 3 i z)(  1 3 )i là một số thực Tìm giá trịnhỏ nhất của z

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên trong một sốbài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của họcsinh các lớp kết quả như sau:

Năm Lớp sốSĩ

Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài

Số học sinhtrả lờichính xác

Số học sinhtrả lời chínhxác trong30s – 1p

Số học sinhtrả lời chínhxác

Số học sinhtrả lời chínhxác trong30s – 1p2019-

3.2 Kiến nghị:

- Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần số phức và nhất làkhi hướng dẫn cho học sinh thực hiện trắc nghiệm phần này, nên để ý hơn đếnviệc hướng dẫn học sinh biết cách rút ra các đặc điểm và dấu hiệu nhận biết đặctrưng của từng dạng toán để sử dụng phương pháp phù hợp

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 27 tháng 5 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung

của người khác

Lê Thị Phương Thảo

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Giải tích cơ bản và Giải tích nâng cao 12

[2] Huỳnh Văn Minh(2018), giải toán số phức bằng phương pháp toạ độ

[3] Chuyên đề Trắc nghiệm Số Phức của tác giả Đặng Việt Đông

[4] Rèn luyện kĩ năng giải bài tập tự luận và trắc nghiệm Giải tích 12 của tácgiả Lương Mậu Dũng – Nhà xuất bản Giáo dục

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP

LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Thị Phương Thảo

Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THPT Hàm Rồng

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1. Sử dụng các phương pháp

khác nhau chứng minh bất

đẳng thức Nesitt

Sở giáo dục tỉnh Thanh Hóa