skkn rèn kĩ năng giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Người thực hiện: Hà Thị Thảo

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Người thực hiện: Hà Thị Thảo

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018

MỤC LỤC

NỘI DUNG TRANG

I Mở đầu……… 1

1.Lí do chọn đề tài……….1

2 Mục đích nghiên cứu… ……… 1

3 Đối tượng nghiên cứu ……… .1

4 Phương pháp nghiên cứu … ……… 1

II Nội dung………2

1.Cơ sở lí luận ………2

2 Thực trạng của vấn đề………3

3 Giải pháp giải quyết vấn đề ……… 3- 12 4 Kết quả nghiên cứu… ……… 12

III Kết luận, kiến nghị ……….……… 12

1 Kết luận……… 12

2 Kiến nghị……… 13

- Tài liệu tham khảo: ……… ………… 13

I MỞ ĐẦU:

1 Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12 Ta biết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích

Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó Mặt khác thời lượng chương trình còn ít, và học sinh chưa có thói quen liên hệ kiến thức về số phức với kiến thức của các phần khác nên gặp khó khăn trong quá trình giải toán Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ

Một trong các vấn đề tôi xây dựng là ''RÈN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC " trên cơ sở khai thác tính chất của số phức với một số nội dung hình học

2 Mục đích nghiên cứu:

Trên cơ sở nghiên cứu và tìm hiểu những khó khăn của học sinh lớp 12 trong quá trình giải toán số phức đặc biệt là một số bài toán liên quan đến hình học, bước đầu tìm ra những biện pháp giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn đó nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học và kết quả thi THPT quốc gia môn toán lớp 12

3 Đối tượng nghiên cứu:

Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải một số bài toán cực trị số phức bằng hình học

4 Phương pháp nghiên cứu:

4.1 Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu

Nhằm phân tích các tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài trong đó chú trọng đến sách giáo khoa, các câu hỏi về số phức trong các đề minh họa,

đề THPT quốc gia 2017, đề khảo sát chất lượng lớp 12 của các trường trong

cả nước

4.2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

Trên cơ sở tìm hiểu học sinh khối 12 để phát hiện những khó khăn của học sinh khi giải các bài toán về số phức

4.3 Phương pháp thực nghiệm

Nhằm khẳng định hiệu quả các biện pháp giúp đỡ học sinh khi thực hành giải toán

4.4 Phương pháp sử dụng toán học để xử lí số liệu

Áp dụng một số công thức thống kê để xử lí các số liệu thực tế thu thập được

II NỘI DUNG:

1 Cơ sở lý luận:

Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạo của người học Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động

Do sự thay đổi của BGD về hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm mới chỉ được một năm nên tài liệu còn hạn chế, đặc biệt là các câu hỏi trong phần vận dụng Để giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi, sưu tầm, chắt lọc trong các tài liệu, khai thác

và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết Một trong các vấn đề tôi xây dựng là ''RÈN

KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG

PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC" trên cơ sở khai thác một số tính chất của số phức và liên hệ giữa số phức và hình học

2 Thực trạng của vấn đề:

Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán đang còn là mới mẻ với học sinh THPT, đặc biệt với môn Toán có khối lượng kiến thức khá nhiều, để làm tốt bài thi đòi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức các phần đồng thời phải có tư duy tổng hợp, tuy nhiên đa phần học sinh sự liên hệ tổng hợp của các em còn chưa tốt nên quá trình làm bài chưa được điểm số cao Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế, mặt khác trong nhiều đề thi: đề minh họa của BGD, đề KSCL của các trường THPT, phần số phức có nhiều câu hỏi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao Với thời lượng cho phép dạy trên lớp môn toán có hạn Số phức trở thành một phần học khá trừu tượng đối với học sinh phổ thông trung học Đối với các đối tượng là học sinh khá giỏi thì câu hỏi mà học sinh thường đưa ra là số phức đưa ra để làm gì? Do trong thực tế cuộc sống hằng ngày không dùng đến tập số phức Do vậy hứng thú đối với phần học số phức là hạn chế

3 Giải pháp giải quyết vấn đề:

1.1 Tổng hợp một số kiến thức lý thuyết:

a) Biểu diễn hình học của số phức:

 Nếu điểm A biểu diễn số phức z  OA cũng biểu diễn số phức z

 u biểu diễn số phức z  u z



 Nếu điểm A biểu diễn số phức z, điểm B biểu diễn số phức z’  AB



biểu diễn số phức z’- z

b) Tính chất của môđun số phức:

 zz' z z'

( 0)

z

z  z 

 z  zz

 zz '  z z' Dấu « = » xảy ra khi hai véc tơ biểu diễn z và z’ cùng hướng

c) Một số kết quả về tập điểm biểu diễn số phức:

 z a bi   z a b i' ' thì tập điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

 z a bi  m m ( 0) thì tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(a ;b) bán kính R = m

 z a bi   z a b i' ' k Nếu A(a ;b), B(a’ ;b’) và AB < k thì tập điểm biểu diễn z là Elip có 2 tiêu điểm A, B và độ dài trục lớn k

 z a bi   z a b i ' ' k (k > 0) Nếu A(a ;b), B(a’ ;b’) và AB > k thì tập điểm biểu diễn z là Hypebol có 2 tiêu điểm A, B và độ dài trục thực k

1.2 Một số dạng bài tập:

Dạng 1: Tập điểm biểu diễn số phức là đường thẳng và một số bài tập liên quan:

Bài 1: Trong số các số phức z thỏa mãn z 2  4i z 2i Tính tổng phần thực

và phần ảo của số phức z sao cho số phức đó có môđun nhỏ nhất

A 3 B 4 C 6 D 5

Giải: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z Từ giả thiết z 2  4i z 2i

suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (D) có phương trình

x + y – 4 = 0  zmin khi điểm biểu diễn z là hình chiếu của O trên (D) suy

ra M(2; 2) Ta có đáp án A

Bài 2: (Câu 48 - Đề thi thử chuyên đại học Vinh lần 2– 2017).

Cho các số phức z, w thỏa mãn z 2 2i  z 4 , wi  iz 1 Giá trị nhỏ nhất của w là :

A 2

2 B.2 C 3 2

2 D 2 2

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn z, vì z 2 2i  z 4i nên tập điểm biểu diễn

z là đường thẳng có phương trình x + y – 2 = 0 () Mặt khác :

1

i

        Gọi I(0 ;1) , khi đó z i MI nên

min

2

2

d

Bài 3:( Câu 48 - Đề minh họa BGD lần 3– 2017)

Xét các số phức z thỏa mãn z + 2-i + z -4-7i = 6 2 Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của Tính P = m + M

A P  13 73 B 5 2 2 73

2

P 

C.P 5 2 73 D 5 2 73

2

P 

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z Khi đó :

z + 2-i + z - 4-7i = 6 2 MA MB 6 2với A(-2 ;1), B(4 ;7)

Mặt khác AB = 6 2nên M thuộc đoạn AB Ta có z -1+i = MI với I(1,-1) Phương trình đường thẳng AB là: x – y + 3 = 0

5 2

;

2

73

m d d I AB

M d max IB













2

P m M   

Nhận xét : Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng thì z - z'min

khi điểm biểu diễn z là hình chiếu của điểm biểu diễn z’ trên đường thẳng đó

Dạng 2: Tập điểm biểu diễn số phức là đường tròn và một số bài tập liên quan:

Bài 1 : Gọi z là số phức thỏa mãn z 3 2i 3 Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức w sao cho w z    1 3 i là:

A Đường tròn tâm I(–2;5), R= 3 B Đường tròn tâm I(–3;2), R= 3

C Đường tròn tâm I(–1;3), R= 3 D Đường tròn tâm I(3; –2), R= 3

Giải: w z  1 3i z  w 1 3i thay vào giả thiết

z  i     i  i     i  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(–2;5), R= 3

Nhận xét: Với các bài tập tương tự giáo viên nên hướng cho học sinh thay z

bởi w vào giả thiết ta sẽ có kết quả nhanh chóng

Bài 2: ( Thi thử chuyên KHTN lần 2 – 2017)

Cho các số phức z thỏa mãn(1 )i z 1 7i  2 Tìm GTLN của z

A zmax 4 B zmax 3 C zmax 7 D zmax 6

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z.

1 7

1

i

i



điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(3;4) , bán kính R = 1 Vậy

max

z OI R 6

Bài 3 ( Thi KSCL trường THPT Nam Trực – Nam Định 2018)

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  Giá trị lớn nhất của1

A 2 5 B 2 10 C 3 5 D 3 10

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z Vì z 1 nên M thuộc đường tròn (C) tâm O(0;0), bán kính R = 1 Khi đó T = MA +3 MB với A(-1 ; 0), B(1;0)

Ta có T2 = ( MA + 3MB)2  10(MA2 + MB2) Nhận thấy A, B thuộc đường tròn (C) Mặt khác AB = 2 nên AB là đường kính của đường tròn suy ra (MA2 + MB2) = AB2= 4 Vậy T  2 10

Bài 4( Câu 46 - Đề minh họa BGD – 2018)

Xét các số phức z = a + bi (a b R,  ) thỏa mãn z 4 3 i  5 Tính

P = a + b khi z 1 3i  z 1 i đạt giá trị lớn nhất

A P =10 B P = 4 C P = 6 D P = 8

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z Vì z - 4-3i = 5 nên M thuộc đường tròn (C) tâm I ( 4 ; 3), bán kính R = 5 Khi đó : T = MA + MB với A(-1 ; 3), B( 1 ; -1) Ta có T2 = ( MA + MB)2  2(MA2 + MB2)

Gọi E( 0;1) là trung điểm AB 2 2 2 2

Suy raT2 4(3 5)2 + (2 5)2 200 Vậy T 10 2

Dấu « = » xảy ra khi MA = MB và M là giao điểm của

IE với đường tròn (C) Suy ra M(6 ;4) nên P = a + b =10

Bài 5 : ( Câu 48 Đề KSCL lần 2 trường THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa 2018)

Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 1 i 2và z2 iz1 Tìm giá trị nhỏ

nhất m của biểu thức z1 z2

A m = 2 1 B m = 2 2 C m = 2 D m = 2 2 2

Giải:

Từ z2 = iz 1 suy ra điểm biểu diễn z2 là ảnh của điểm biểu diễn z1 qua phép quay tâm O, góc quay 900

Tập hợp điểm biểu diễn z1 là đường tròn (C1): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4

Tập hợp điểm biểu diễn z2 là đường tròn (C2): (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4

Ta có z1  z2 nhỏ nhất bằng A1A2 với A1, A2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng y = - x và y = x với đường tròn (C1) và (C2) Ta có :

1 ( 1 2;1 2), 2 ( 1 2; 1 2) 1 2 2 2 2

E

I.

M

A2

y

x

A1 O

Bài 6:

Bài 6: Cho 1 1 3 , z2 1 3

z   i   i và z là số phức thỏa mãn

3z 3i  3 M, m lần lượt là GTLN, GTNN của T z  z z 1  z z 2

Tính w với w = M + mi

A 2 21

3 B.P  13 C.4 3

3 D 4

Giải: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z Ta có :

     nên tập điểm biểu diễn số phức z là đường

tròn (C) tâm (0; 3)

3

I bán kính 3

3

R 

với O là gốc tọa độ ( ;1 3), B(- ;1 3)

Nhận thấy 3 điểm O, A, B đều thuộc

đường tròn (C) và tam giác OAB đều

Không mất tổng quát, giả sử M thuộc cung nhỏ AB Vẽ hai tam giác đều MAI

và MBJ ta có MO + MA + MB = MO + MI + MJ = 2MO suy ra

max

4 3 4

3

T  R  khi M là trung điểm của cung AB và Tmin  2O A  2 khi

M trùng A hoặc B

2

    

A

M

B

O

I J

Nhận xét : Khi gặp các bài toán mà tập điểm biểu diễn số phức z là đường

tròn tâm I, bán kính R, để tìm các môđun lớn nhất, nhỏ nhất, trước tiên ta kiểm tra xem các môđun đó là khoảng cách từ điểm M đến các điểm nào và vị trí giữa các điểm đó với đường tròn

Khi đó nếu A là điểm biểu diễn z’ thì z z 'max IA R z z ,  'min IA R

Dạng 3:

Dạng 3: Tập điểm biểu diễn số phức là đường Elip và một số bài tập liên quan:

Bài 1:( Thi thử toán học và tuổi trẻ lần 5- 2017)

Xét các số phức z thỏa mãn z 4  z 4 10  GTLN và GTNN của z lần lượt là :

A.10 và 4 B 5 và 4 C 4 và 3 D 5 và 3

Giải : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z Vì z 4  z 4 10  nên M thuộc (E) có 2 tiêu điểm là F1(-4 ;0), F2(4 ;0) Độ dài trục lớn 2a = 10 nên a = 5 và

b = 3 z = OM min 3

5

max





 





Bài 2:(Đề KSCL lần 2 trường THPT Nghèn – Hà Tĩnh 2018)

Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i  z 2 i 8 GTNN m của 2z 1 2i là :

A m = 4 B m = 9 C m = 8 D.m = 39

Giải: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z.

Vì z 1 3i  z 2 i  8 MF1MF2 8 với F1(1 ;-3), F2(-2 ;1) Mặt khác

F1F2 = 5 < 8 tập hợp điểm biểu diễn M là (E) có hai tiêu điểm F1, F2

Khi đó 2 1 2 2 1 2

2

z  i  z  i MI với I( 1; 1)

2

  Nhận thấy I là trung điểm

F1F2 nên I là tâm của (E) trên nên 2MImin = 2b = 39

Trên đây tôi đã chia ra một số dạng toán cơ bản thường gặp khi học sinh giải toán phần này Tuy nhiên khi vận dụng học sinh cần linh hoạt có thể liên

hệ được với các kiến thức hình học khác Thông qua các bài tập ở trên, học

sinh đã làm quen được với dạng toán tìm cực trị trong số phức bằng phương pháp hình học Từ đó phát triển tư duy hơn và có khả năng liên hệ giữa hình học và đại số Một số bài tập tiếp theo nhằm củng cố kiến thức, và kiểm tra khả năng tư duy vận dụng của học sinh

Bài tập áp dụng:

Câu 1: ( Đề KSCL lần 2 trường THPT Nguyễn Trãi – Hải Dương 2017)

Cho số phức z thỏa mãn z 2 2 i 1 Số phức z – i có môđun nhỏ nhất là :

A 5 1  B 5 1 C 5 2 D 5 2

Câu 2: (KSCL trường THPT Hoằng Hóa 4-Thanh Hóa lần 2 – 2017)

Cho số phức z thỏa mãn z  1 z i Tìm số phức w = z + 2i -3 có mô đun nhỏ nhất

A w 1 3

2 2i

  B.w 1 1

2 2i

  C w 1 1

2 2i

  D w 1 3

2 2i

 

Câu 3: (Thi thử trường đại học Hồng Đức – Thanh Hóa 2017)

Cho số phức z thỏa mãn z 12 2m

m

  , trong đó m là số thực dương tùy ý Biết rằng với mỗi m, tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w (2 1)( i i z ) 5 3i  là một đường tròn có bán kính r Tìm giá trị nhỏ nhất của r

A 3 2 B 2 3 C 3 5 D 5 3

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z 2  z2 2 Tìm số phức có môđun nhỏ nhất

A 1 3i B 1  3i C 1 D 3 i

Câu 5:(Câu 44 Đề KSCL lần 3 - THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa 2018)

Cho số phức z thỏa mãn 1 1

z

z i





 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 4 7

P  z i z  i

A 8 B.10 C 2 5 D 4 5

Câu 6: (Câu 47 Đề KSCL lần 3 trường chuyên đại học Vinh 2018)

Cho các số phức z, w thỏa mãn w 3 5

5

i

  và 5w = ( 2 + i)(z – 4) Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 1 2i  z 5 2 i bằng :

A 4 13 B 4 2 13 C 2 53 D 6 7

Câu 7: Cho z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M, M’

z (4 + 3i) và liên hợp có điểm biểu diễn là N, N’ Biết M, M’, N, N’ là 4 đỉnh hình chữ nhật Tìm GTNN của z4 5i

A 1

2 B 1

2 C 2

5 D 4

3

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4 i  5 Gọi M, m là GTLN và GTNN của biểu thức P = z + 2 - z -i2 2 Tính w với w = M + mi

A 1258 B 15 C 394

2 D 193

3

Câu 9: (Câu 41 Đề KSCL lần 3 THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2018)

Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 5 Phép tịnh tiến theo vectơ v(1; 2)biến tập điểm biểu diễn số phức z thành tập hợp điểm biểu diễn số phức z’ Tìm

P = max z - z'

A P = 15 B P = 12 C 20 5 D P  10 5

Câu 10: (Câu 50 Đề KSCL Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình 2018)

Xét các số phức z = a + bi (a,b R) có môđun bằng 2 và phần ảo dương Tính giá trị biểu thức S 5(a b ) 2  2018khi biểu thức P  2 z 3 2 z đạt giá trị lớn nhất

A S = 0 B S = 1 C S = 22018 D S = 21009