PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT một ẩn

LỜI MỞ ĐẦU Nội dung giáo dục cấp THCS là một bộ phận của chương trình giáo dục phổ thông.Vì vậy chương trình giáo dục THCS có mối quan hệ chặt chẽ với chương trình giáo dục tiểu học và chương trình giáo dục THPT .Trong chương trình giáo dục THCS môn Toán có tầm quan trọng đến chất lượng của học sinh,nó giúp cho học sinh có điều kiện cơ sở để tiếp thu các môn học khoa học khác,là cơ sở ,chỗ dựa cho học sinh rèn luyện khả năng tư duy ,tổng hợp,phân tích trong quá trình học tập và trong cuộc sống. Phương trình bậc nhất một ẩn và phương pháp giải phương trình bậc nhất một ẩn là một phần quan trọng của nội dung chương trình lớp 8.Việc nắm vững kiến thức cơ bản cũng như phương pháp giải phương trình bậc nhất một ẩn và nhiều dạng phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn.Vì vậy em chọn đề tài “Phương trình bậc nhất một ẩn” để góp một phần nhỏ giúp học sinh nắm vững phương pháp giải các dạng bài toán này. Để nghiên cứu đề tài này,em đã vận dụng nhiều tài liệu,phương pháp giải toán THCS ,toán nâng cao lớp 8,Sách giáo khoa lớp 8,Đại số sơ cấp và thực hành giải toán. Để hoàn thành đề tài này,em xin chân thành cảm ơn thầy Phạm Trung Thiện đã hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ em. Trong quá trình tìm hiểu ,tổng hợp tài liệu sẽ không tránh khỏi những thiếu sót do trình độ của bản thân còn hạn chế rất mong sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn để bài tiểu luận được hoàn chỉnh hơn. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1.LÝ THUYẾT CHUNG. 1.1.Phương trình một ẩn. 1.1.1.Định nghĩa. Một phương trình với ẩn x có dạng ,trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. Ví dụ: là phương trình với ẩn . là phương trình với ẩn . Chú ý: Hệ thức (m là một số nào đó ) cũng là một phương trình ,m là nghiệm duy nhất của phương trình. Một phương trình có thể có một nghiệm ,hai nghiệm …nhưng cũng có thể không có nghiệm nào (phương trình vô nghiệm) hoặc có vô số nghiệm. Ví dụ: Phương trình có hai nghiệm là và . Phương trình vô nghiệm. 1.1.2 Nghiệm của phương trình. Nếu tại mà khi thay vào hai vế của phương trình ta được: thì khi đó ta nói là nghiệm của phương trình. 1.1.3.Cách giải phương trình. Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó thường được kí hiệu là S. 1.1.4.Phương trình tương đương. Hai phương trình có cùng tập nghiệm là hai phương trình tương đương. Để chỉ hai phương trình tương đương với nhau ta dùng kí hiệu “ ”. Phép biến đổi tương đương :Là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình.Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết như sau: +Cộng hoặc trừ cả 2 vế với cùng 1 số hoặc 1 biểu thức. +Chuyển một số hoặc một biểu thức từ vế này sang vế kia và đổi dấu. +Nhân hoặc chia cả 2 vế của phương trình với cùng một số hoặc 1 biểu thức khác 0. 1.1.5.Hai quy tắc biến đổi phương trình a) Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ,ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. b) Quy tắc nhân với một số : Trong một phương trình,ta có thể nhân (hoặc chia )cả hai vế với cùng một số số khác 0. 1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn. 1.2.1.Định nghĩa Dạng tổng quát: (a,b tùy ý ,a khác 0) Nghiệm duy nhất của phương trình là: Ví dụ là những phương trình bậc nhất một ẩn. 1.2.2 Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn. 1.2.2.1.Công thức nghiệm Phương trình bậc nhất một ẩn : ( ) được giải như sau: ( Công thức nghiệm) Kết luận:Phương trình bậc nhất luôn có nghiệm duy nhất là Hay phương trình có tập nghiệm Ví dụ: Giải phương trình sau: Phương trình bậc nhất luôn có nghiệm duy nhất là 1.2.2.2 Biểu diễn hình học. Giải phương trình: ( ): Vẽ đường thẳng rồi xác định hoành độ giao điểm với trục hoành Ox,đó là giá trị x cần tìm. Giải phương trình : : Vẽ hai đường thẳng và trên cùng một hệ trục tọa độ rồi xác định hoành độ giao điểm của hai đường thẳng,đó là giá trị x cần tìm. Kết luận: Sử dụng sự tương giao giữa đồ thị hàm số bậc nhất và trục hoành;sự tương giao giữa hai đường thẳng trong hệ trục tọa độ để giải phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ:Giải phương trình sau: Giải: Vẽ hai đường thẳng và trên cùng một hệ trục tọa độ: 3 O 1 2 3 1 Giao điểm của hai đồ thị có hoành độ bằng 1 nên nghiệm của phương trình là Vậy phương trình có nghiệm 1.2.3 Đồ thị của hàm số Định nghĩa: Đồ thị hàm số là một đường thẳng: + Cắt trục tung tại một điểm có tọa độ là: +Cắt trục hoành tại một điểm có tọa độ là: Đường thẳng này song song với đường thẳng nếu Đường thẳng này trùng với đường thẳng nếu . Chú ý: Đồ thị hàm số ( còn được gọi là đường thẳng ,trong đó được b gọi là tung độ gốc của đường thẳng. Hình vẽ: O O Chú ý:Khi hàm số đồng biến trên R. Khi hàm số nghịch biến trên R. Cách vẽ đồ thị hàm số Khi thì .Đồ thị của hàm số là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm A Khi thì . Bước 1: Xác định điểm. Cho thì điểm P Cho thì , điểm Q ( ) Bước 2:Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P,Q ta được đồ thị hàm số 2.CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: Xét xem x=a có là nghiệm của phương trình cho trước không. 1.1. Phương pháp chung: Muốn xét xem có là nghiệm của phương trình không, ta thay vào phương trình đã cho. Nếu thì là một nghiệm của phương trình. 1.2.Ví dụ minh họa: Ví dụ 1:Xét nghiệm của phương trình sau: với Giải: Khi thì và Do đó : Vậy là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2:Xét nghiệm của phương trình sau: với Giải: Khi thì ; Do đó : Vậy không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 3:Xét nghiệm của phương trình sau: với Giải : • Khi thì Do đó : Vậy là nghiệm của phương trình đã cho. • Khi thì Do đó : Vậy là nghiệm của phương trình đã cho. • Khi thì Do đó : Vậy không phải là nghiệm của phương trình đã cho. DẠNG 2:Xét tính tương đương của hai phương trình 2.1. Phương pháp chung: Xác định tập nghiệm của hai phương trình. Nếu 2 tập nghiệm bằng nhau thì hai phương trình tương đương. Nếu chỉ ra được một nghiệm của phương trình này không là nghiệm của phương trình kia thì hai phương trình đó không tương đương. Chú ý :Ngoài ra để chứng minh phương trình tương đương ta có thể dùng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này về phương trình kia. 2.2.Ví dụ: Ví dụ 1 : Xét tính tương đương của các cặp phương trình sau: a) và b) và c) và Giải: a) Ta có: • . • . Vậy hai phương trình đã cho tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là . b) Ta có: • • Vậy hai phương trình đã cho tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là . c) Ta có: • • Vậy hai phương trình đã cho không tương đương vì chúng không có cùng chung tập nghiệm ( . Ví dụ 2:Tìm m để hai phương trình sau tương đương với nhau. a) (1) và (2) b) và Giải: a) Ta có: là nghiệm của phương trình (1). Để phương trình (1) ,(2) tương đương với nhau khi và chỉ khi cũng là nghiệm của phương trình (2). Do đó,thay vào (2) ta được Vậy với giá trị của thì hai phương trình trên tương đương với nhau. b) Ta có: Phương trình có tập nghiệm . Thay vào phương trình ,ta được: Vậy với giá trị của thì hai phương trình trên tương đương với nhau. DẠNG 3:Giải phương trình bậc nhất một ẩn. 3.1. Phương pháp chung: Phương trình bậc nhất một ẩn : (với ) được giải như sau: (quy tắc chuyển vế) (quy tắc nhân nhân 2 vế với Kết luận:Phương trình bậc nhất luôn có nghiệm duy nhất là Hay phương trình có tập nghiệm 3.2.Ví dụ minh họa: Ví dụ1: Giải phương trình sau: Giải: ⟺ (Chuyển ─9 sang vế phải và đổi dấu) ⟺ ( Chia cả hai vế cho 3) Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất Hay phương trình có tập nghiệm Ví dụ2:Giải phương trình sau: Giải: ⟺ ⟺ ⟺ Vậy phương trình có tập nghiệm là Ví dụ 3:Giải phương trình sau: Giải: (chuyển 12 sang vế phải và đổi dấu) (Chia cả hai vế cho 3) Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là hay phương trình có tập nghiệm Ví dụ 4:Giải phương trình sau: Giải: Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là hay phương trình có tập nghiệm Ví dụ 5. Giải phương trình sau : Giải: Kết luận: Phương trình vô nghiệm Tập nghiệm của phương trình là Ví dụ 6: Giải phương trình sau: Giải: Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là hay phương trình có tập nghiệm là DẠNG 4: Giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn 4.1 Phương trình tích. Dạng: Trong đó , là các đa thức biến Phương pháp chung: ⟺ Kết luận: Muốn giải phương trình ,ta giải hai phương trình và ,rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng. Ví dụ: Ví dụ1: Giải phương trình sau: ⟺ Vậy phương trình có hai nghiệm: và Tập nghiệm của phương trình là Ví dụ 2:Giải phương trình sau: Giải: ⟺ ⟺ Vậy phương trình có 3 nghiệm: ; và Tập nghiệm của phương trình là Ví dụ 3: Giải phương trình sau: Giải: Ta có: ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ Vậy phương trình có 2 nghiệm: ; Tập nghiệm của phương trình là Ví dụ 4: Giải phương trình sau: Giải: Ta có: ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ Vậy phương trình có 2 nghiệm; ; Tập nghiệm của phương trình là Ví dụ 5:Giải phương trình sau: Giải: Ta có: ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ Vậy tập nghiệm của phương trình là: 4.2 Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Dạng 1: Phương pháp chung:Tùy theo phương trình,ta có những phương pháp: Cách 1: Dùng định nghĩa,hoặc lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyệt đối rồi giải các phương trình trên từng miền đã chỉ ra.Nghiệm của phương trình đã cho là hợp các nghiệm đã nhận được. ⟺ Cách 2: Bình phương hai vế với điều kiện hai vế không âm để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1:Giải phương trình sau: Giải: Cách 1: Nếu thì phương trình (1) ⇒ ⟺ (loại) Nếu thì phương trình (1)⇒ (loại) Vậy phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là: Cách 2: ⟺ ⟺ ⟺ (loại) Vậy phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là: Ví dụ 2: Giải phương trình sau: Giải: Cách 1: Nếu thì phương trình (1) ⇒ ⟺ (loại) Nếu thì phương trình (1)⇒ (loại) Vậy phương trình (1) vô nghiệm hay tập nghiệm của phương trình là: Cách 2: Bình phương 2 vế,giải phương trình,thử nghiệm. Vậy phương trình (1) vô nghiệm hay tập nghiệm của phương trình là: Dạng 2 Phương pháp chung: Cách 1: Cách 2: Ví dụ minh họa: Ví dụ 1:Giải phương trình sau: (1) Cách 1: Vậy phương trình có tập nghiệm là: Cách 2: Vậy phương trình có tập nghiệm là: 4.3 Phương trình chứa ẩn dưới căn thức bậc hai. 4.3.1.Biểu thức dưới căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức. Phương pháp chung: Dạng: Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Giải: Ta có: Vậy phương trình có nghiệm là hoặc Ví dụ 2: Giải phương trình sau: Giải: Ta có: Vậy phương trình có nghiệm là hoặc 4.3.2.Phương trình chứa biểu thức dưới căn không viết được dưới dạng bình phương (trong phương trình chỉ có 1 căn thức) Phương pháp chung: Dạng  Đặt điều kiện :  Bình phương hai vế:(Phương trình hệ quả).Giải và tìm nghiệm  Thử lại các nghiệm vừa tìm được. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Giải: Ta có: (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm là Ví dụ 2: Giải phương trình sau: Giải: Ta có: Vậy phương trình có nghiệm là . 4.3.3.Phương trình chứa nhiều căn thức ,các căn thức đưa được về dạng chung ,giống nhau. Phương pháp chung: Dạng: (a,b,c,d là các số) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Giải: ĐK: Ta có: =28 Vậy phương trình có nghiệm là . Ví dụ 2: Giải phương trình sau: Giải: ĐK: Ta có: Vậy phương trình có nghiệm là 4.4 Phương trình dạng phân thức. 4.4.1 Phương trình có mẫu số không chứa ẩn. Dạng: Trong đó , là các đa thức biến ; là hằng số. Phương pháp chung:  Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.  Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế,các hằng số sang vế kia.  Bước 3: Thu gọn và giải phương trình vừa nhận được.  Bước 4: Kết luận: Ví dụ 1.Giải phương trình sau: Giải: Ta có: Vậy nghiệm của phương trình (1) là . Phương trình có tập nghiệm là . Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (2) Giải: Ta có: (2) Vậy nghiệm của phương trình (2) là . Phương trình có tập nghiệm là . Ví dụ 3: Giải phương trình sau: Giải: Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là và phương trình có tập nghiệm là . Ví dụ 4:Giải phương trình sau: (3) Giải: Ta có thể giải như sau: Vậy nghiệm của phương trình (3) là . Phương trình có tập nghiệm là . Chú ý :Ở một số trường hợp ,ta sẽ có những cách biến đổi phương trình khác đơn giản hơn,để dễ dàng,thuận lợi trong việc giải phương trình. Một số ví dụ cụ thể như sau : Mở Rộng: Ví dụ 5: Giải phương trình sau: (1) Giải: Cách 1: (1) Vậy phương trình có tập nghiệm là . Cách 2: (1) Vậy phương trình có tập nghiệm là . Ví dụ 6:Giải phương trình sau: (1) Giải: (1) Vậy phương trình có tập nghiệm là .  Tổng quát: () Suy ra: ( ( Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng phân thức có mẫu số là số nhỏ ta có thể giải theo cách 1,còn đối những phương trình dạng phân thức có mẫu số là số lớn ta nên giải theo cách tổng quát sẽ thuận lợi và dễ dàng hơn trong việc tính toán. 4.4.2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Dạng: Trong đó , là các đa thức biến Phương pháp chung:  Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.  Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.  Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.  Bước 4: Kết luận: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3,các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1:Giải phương trình sau: (1) Phương pháp giải: ĐKXĐ của phương trình là: . Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu của phương trình: ⇒ (1a) Giải phương trình (1a): (1a) ⟺ ⟺ ⟺ Ta thấy thỏa mãn ĐKXĐ nên nó là nghiệm của phương trình (1). Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (2) ĐKXĐ: và Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu của phương trình: ⇒ (2a) Giải phương trình (2a): (2a) ⟺ ⟺ ⟺ Ta thấy thỏa mãn ĐKXĐ nên nó là nghiệm của phương trình (2),còn không thỏa mãn ĐKXĐ nên nó không phải là nghiệm của phương trình (2). Vậy tập nghiệm của phương trình(2) là: Ví dụ 3: Giải phương trình sau: Giải: ĐKXĐ: Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu của phương trình: (không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình trên vô nghiệm Tập nghiệm của phương trình là : Ví dụ 4: Giải phương trình sau: Giải: ĐKXĐ: Quy đồng và khử mẫu của phương trình: (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm của phương trình là : Ví dụ 5:Giải phương trình sau: Giải: ĐKXĐ: Quy đồng và khử mẫu của phương trình: =0 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm của phương trình là: Ví dụ 6: Giải phương trình sau: (1) Giải: Ta có: (1) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Tập nghiệm của phương trình là Mở Rộng: Bài toán trên thuộc dạng phương trình được giải nhờ quy về phương trình bậc nhất bằng các phép rút gọn,quy đồng…Vì vậy,nếu ta thay thế ở 2 vế các biểu thức của x có thể rút gọn được (để giảm bậc của biến ) thì ta cũng có các bài toán mà cách giải tương tự. Ví dụ: Giải phương trình sau:  Tổng quát:Giải phương trình sau với là các số tự nhiên lẻ, , là tham số. DẠNG 5:Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số. 5.1 Phương pháp chung: Ta có phương trình: • Nếu phương trình có nghiệm duy nhất ; • Nếu phương trình có dạng: Với Không có giá trị nào của x nhân với 0 cho ta một số khác 0. Vậy phương trình vô nghiệm: Với Phương trình có dạng được nghiệm với mọi x thuộc R, phương trình vô số nghiệm: Kết luận: • • , • 5.2 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1:Giải và biện luận phương trình : Giải: Ta có: • Nếu ,phương trình có nghiệm duy nhất : • Nếu , phương trình có dạng: Với , phương trình có dạng ,có nghiệm tùy ý Với ,phương trình có dạng (vô lí), phương trình vô nghiệm  Kết luận: • • • Ví dụ 2:Giải và biện luận phương trình sau: Giải: Ta có: • Nếu thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất • Nếu thì phương trình (1) trở thành dạng (vô lí ) phương trình vô nghiệm. Kết luận: Với , phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: Với ,phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3:Giải và biện luận phương trình sau: Giải: Ta có: • Nếu thì phương trình (1)có nghiệm duy nhất • Nếu = thì phương trình (1) trở thành (luôn đúng) phương trình (1) có nghiệm đúng với . Kết luận: Với thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Với thì phương trình đã cho có nghiệm đúng với . Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau: Giải: Ta có: Vì với nên phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất là Ví dụ 5: Giải và biện luận phương trình sau: (1) Giải: Ta có: (2) • Nếu thì (2) là nghiệm của phương trình. • Nếu Với thì phương trình (2) có dạng : (luôn đúng) ⟹phương trình (1)có nghiệm đúng với Với thì phương trình (2) có dạng (vô lí) ⟹phương trình (1) vô nghiệm. Kết luận: Với thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Với thì phương trình đã cho có nghiệm đúng với . Với thì phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 6:Giải và biện luận phương trình sau: Giải: Ta có: • Nếu thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất • Nếu Với thì phương trình (1) có dạng: (luôn đúng) phương trình (1)có nghiệm đúng với Với thì phương trình (1) có dạng : (vô lí) phương trình (1) vô nghiệm. Kết luận: Với thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Với thì phương trình đã cho có nghiệm đúng với . Với thì phương trình đã cho vô nghiệm. DẠNG 6:Giải và biện luận phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số. 6.1 Phương pháp chung: Ta đưa phương trình đã cho về dạng : ,rồi sau đó biện luận theo hệ số a. • Nếu phương trình có nghiệm duy nhất ; • Nếu phương trình có dạng: Với Không có giá trị nào của nhân với 0 cho ta một số khác 0. Vậy phương trình vô nghiệm: Với Phương trình có dạng được nghiệm với mọi thuộc R, phương trình vô số nghiệm: Kết luận: • • , • 6.2 Ví dụ minh họa: 6.2.1Phương trình dạng phân thức : Ví dụ 1:Giải và biện luận phương trình các phương trình sau: (1) Giải: ĐKXĐ: Ta có: (2) • Nếu .Khi đó (2) Giá trị là nghiệm của phương trình (1) Khi đó: (luôn luôn đúng với mọi a) Suy ra :Với ,phương trình (1) có nghiệm duy nhất Tập nghiệm của phương trình là: • Nếu . Khi đó (2) (vô lí) Suy ra: Với ,phương trình (1) vô nghiệm.Tập nghiệm của phương trình là: Kết luận: Với ,phương trình (1) có nghiệm duy nhất Với ,phương trình (1) vô nghiệm Ví dụ 2:Giải và biện luận phương trình sau: Giải: ĐKXĐ: Ta có: Nếu .Khi đó (2) Nếu thì là nghiệm duy nhất của phương trình (1). Nếu (thỏa mãn thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu .Khi đó (2) trở thành (vô lí) Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất là Với thì phương trình (1) vô nghiệm. Ví dụ 3:Giải và biện luận phương trình sau: Giải: ĐKXĐ: (1) Ta giải và biện luận phương trình (2): Nếu .Khi đó (2) Nếu .Khi đó (2) (vô nghiệm ) Kết luận: Với , phương trình (1) có 2 nghiệm Với ,phương trình (1) có vô nghiệm. 6.2.2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau: Giải: Ta có: Nếu thì phương trình có nghiệm duy nhất . Nếu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: Kết luận:Với , phương trình có nghiệm duy nhất . Với , phương trình có 2 nghiệm phân biệt: Ví dụ 2:Giải và biện luận phương trình sau: Giải: Ta có: Giải và biện luận phương trình (1): Nếu .Khi đó (1) có nghiệm duy nhất là: Nếu . +Với suy ra phương trình (1) có dạng (luôn đúng) nên phương trình (1) nghiệm đúng với +Với suy ra phương trình (1) có dạng (vô lí) nên phương trình (1) vô nghiệm Giải và biện luận phương trình (2): Vì nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất Kết luận: Với ,phương trình (1) có 2 nghiệm ; Với , phương trình (1) nghiệm đúng với DẠNG 7: Tìm điều kiện để nghiệm phương trình bậc nhất một ẩn thỏa mãn điều kiện cho trước. 7.1 Phương pháp chung: Cho phương trình (1).Giả sử điều kiện cho ẩn số (nếu có )là D Biến đổi (1) về dạng: (2). Khi đó: • Phương trình (1) vô nghiệm • Phương trình (1) có nghiệm • Phương trình (1) có nghiệm duy nhất 7.2 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1:Tìm m để phương trình vô nghiệm. Giải: Ta có: Để phương trình (1) vô nghiệm thì  Vậy với thì phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 2: Tìm m để phương trình : có nghiệm thỏa mãn Giải: Ta có: Để phương trình có nghiệm thỏa mãn Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: (1) Giải: ĐKXĐ: . (1) Trường hợp 1:Nếu .Khi đó (2) (vô lí) phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2: Nếu .Khi đó (2) Do đó: phương trình (1) vô nghiệm Vậy với hoặc thì phương trình (1) vô nghiệm. Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (1) ĐKXĐ: Ta có: (1) Để phương trình có nghiệm thì Vậy với thì phương trình (1) có nghiệm. DẠNG 8: Ứng dụng thực tế của phương trình bậc nhất một ẩn. Giải các bài toán bằng cách lập phương trình 8. 1. Phương pháp chung: Bước 1:Lập phương trình: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình. Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình,nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn ,nghiệm nào không rồi đưa ra kết luận và trả lời. 8.2.Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm hai số khi biết hiệu hai số là 12.Nếu chia số bé cho 7 và số lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Giải: Gọi số bé là x ( đk :x nguyên dương) Số lớn là :x +12 Chia số bé cho 7 ta được thương là: Chia số lớn cho 5 ta được thương là: Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình : Kết luận: Vậy số bé là:28 Số lớn là:28+12=40 Ví dụ 2:Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bằng nhau. Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện. Giải: Gọi số sách lúc đầu ở thư viện I là x (cuốn), x nguyên dương. Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 x (cuốn) Sau khi chuyển số sách ở thư viện I là: x 3000 (cuốn) Sau khi chuyển số sách ở thư viện II là: (15000 x)+ 3000 = 18000x (cuốn) Vì sau khi chuyển số sách 2 thư viện bằng nhau nên ta có phương trình: x 3000 = 18000 x Giải phương trình ta được: x = 10500 (thỏa mãn điều kiện). Vậy số sách lúc đầu ở thư viện I là 10500 cuốn. Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 10500 = 4500 cuốn. Ví dụ 3: Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí nghiệp 1 thêm 40 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 80 công nhân. Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11. Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay. Giải: Gọi số công nhân xí nghiệp I trước kia là x (công nhân), x nguyên dương. Số công nhân xí nghiệp II trước kia là x (công nhân). Số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: x ¬¬¬¬+ 40 (công nhân). Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: x ¬¬¬¬+ 80 (công nhân). Vì số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta có phương trình: Giải phương trình ta được: x = 600 (thỏa mãn điều kiện). Vậy số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: 600 + 40 = 640 công nhân. Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: .600 + 80 = 880 công nhân. Ví dụ 4: Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai và sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất. Lời giải: Gọi số tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (tuổi), x nguyên, dương. Số tuổi người thứ nhất cách đây 10 năm là: x 10 (tuổi). Số tuổi người thứ hai cách đây 10 năm là: (tuổi). Sau đây 2 năm tuổi người thứ nhất là (tuổi). Sau đây 2 năm tuổi người thứ hai là: (tuổi). Theo bài ra ta có phương trình phương trình như sau: Giải phương trình ta được: x = 46 (thỏa mãn điều kiện). Vậy số tuổi hiện nay của ngườ thứ nhất là: 46 tuổi. Số tuổi hiện nay của ngườ thứ hai là: tuổi. Ví dụ 5:Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế? Lời giải: Gọi số dãy ghế lúc đầu là x ( dãy), x nguyên dương. Số dãy ghế sau khi thêm là: x + 2 (dãy). Số ghế của một dãy lúc đầu là: (ghế). Số ghế của một dãy sau khi thêm là: (ghế). Vì mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi nên ta có phương trình: Giải phương trình ta được x=10 (thỏa mãn đk) Vậy phòng họp lúc đầu có 10 dãy ghế. Ví dụ 6: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A đến B mất 2giờ20phút ,ô tô đi hết 2giờ. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17kmh. Tính vận tốc của ca nô và ô tô? Lời giải: Gọi vận tốc của ca nô là x kmh (x>0). Vận tốc của ô tô là: x+17 (kmh). Quãng đường ca nô đi là: (km). Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17)(km). Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình: 2(x+17) =10 Giải phương trình ta được x = 18.(thỏa mãn đk). Vậy vận tốc ca nô là 18kmh. Vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35(kmh). 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG: DẠNG 1: Bài 1: Với mỗi phương trình sau,hãy xét xem có là nghiệm của phương trình trình đó không. a) b) Bài 2:Xét nghiệm của phương trình sau: a) với b) với Bài 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm . Hướng dẫn và đáp án: Bài 1: a)Khi thì ; Do đó: .Vậy là nghiệm của phương trình đã cho. b) không phải là nghiệm của phương trình đã cho .Vì Bài 2: a) là nghiệm của phương trình đã cho b) không phải là nghiệm của phương trình đã cho Bài 3: Phương trình (ẩn x) có nghiệm khi Từ đó suy ra: hoặc DẠNG 2: Bài 1:Hai phương trình sau có tương đương hay không? Vì sao? và Bài 2:Tìm để hai phương trình sau tương đương với nhau. và Bài 3 :Chứng tỏ rằng hai phương trình sau là tương đương với nhau. và (2) Hướng dẫn và đáp án: Bài 1: Hai phương trình và tương đương với nhau vì chúng có cùng chung tập nghiệm là . Bài 2: Giải phương trình ta được nghiệm Thay vào phương trình ta được . Vậy với thì hai phương trình trên tương đương với nhau. Bài 3: Xét phương trình Tập nghiệm của phương trình (1) là : Xét phương trình Tập nghiệm của phương trình (2) là : Vì nên hai phương trình đã cho tương đương với nhau. DẠNG 3: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) Đs b) (Đs c) Đs: d) Đs e) (Đs: ) f) (Đs: : ) g) (Đs: ) h) (Đs: ) DẠNG 4: Phương trình tích: Bài 1: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Bài 2: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) h) Bài 3:Tìm cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: Hướng dẫn và đáp số: Bài 1: a) Tập nghiệm phương trình : b) Tập nghiệm phương trình : c) Tập nghiệm phương trình : d) Tập nghiệm phương trình : e) Tập nghiệm phương trình : f) Tập nghiệm phương trình : Bài 2: a) Biến đổi về: b) Tập nghiệm phương trình : c) Tập nghiệm phương trình d) Tập nghiệm phương trình e) Biến đổi về: f) Biến đổi về: g) Biến đổi về: h) Bài 3: Ta biến đổi: Vì là số nguyên nên phải là ước nguyên của mà là số lẻ nên +1 có thể nhận các giá trị Từ đó tìm được các cặp số như sau Phương trình chứa ẩn có dấu giá trị tuyệt đối. Bài 1: Giải phương trình sau: a) (Đs: b) (Đs: ) c) (Đs: ) d) (Đs: ) e) (Đs: ) Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bậc hai. Bài tập1: Giải các phương trình sau: f) (Đs: ) g) (Đs: ) h) (Đs: ) i) (Đs: ) j) (Đs: ) Bài 2: Giải các phương trình sau: a) (Đs: ) b) (Đs: ) c) (Đs: ) d) (Đs: ) Bài 3: Giải các phương trình sau: a) (Đs: ) b) (Đs: ) c) (Đs: Phương trình dạng phân thức: Bài 1:Giải phương trình sau: a) b) c) Bài 2:Giải phương trình sau: Bài 3:Giải phương trình sau: Bài 4: Giải phương trình sau: Bài 5: Tìm x sao cho: Hướng dẫn và đáp án: Bài 1: a) Điều kiện xác định: .Tập nghiệm của phương trình là: b) Điều kiện xác định: Biến đổi về phương trình: Tập nghiệm của phương trình là: c) Tập nghiệm của phương trình là: Bài 2: Phương trình có tập nghiệm là: Bài 3: Điều kiện xác định với mọi + =0 Mà: với mọi x,nên phương trình đã cho tương đương với phương trình: Vậy phương trình có tập nghiệm là : Bài 4: Vậy phương trình có tập nghiệm là: Bài 5: Ta biến đổi: (1) ĐK: Kết hợp với điều kiện suy ra được giá trị của DẠNG 5: Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) h) Hướng dẫn và đáp số: a) , b) Nếu ,phương trình nghiệm đúng với mọi x. Nếu ,phương trình có nghiệm duy nhất là c) Nếu , phương trình vô nghiệm. Nếu ,phương trình nghiệm đúng với mọi x. d) Nếu ,phương trình có nghiệm Nếu ,phương trình nghiệm đúng với . Nếu ,phương trình vô nghiệm. e) Nếu thì Nếu :phương trình vô số nghiệm Nếu :phương trình vô nghiệm f) Nếu thì Nếu :phương trình vô số nghiệm. g) Có Nếu :phương trình vô nghiệm. Nếu hoặc : phương trình vô số nghiệm. h) Nếu phương trình có nghiệm duy nhất là Nếu :phương trình vô số nghiệm Nếu :phương trình vô nghiệm DẠNG 6: Bài 1:Giải và biện luận các phương trình sau: a) b) c) d) Hướng dẫn và đáp án: a) Ta có: Nếu :phương trình vô số nghiệm. Nếu :phương trình vô nghiệm. b) Ta có: Nếu : phương trình vô số nghiệm. Nếu :phương trình vô nghiệm. c) Ta có Nếu nghiệm của phương trình là: Nếu hoặc phương trình vô nghiệm. d) Nếu thì phương trình có nghiệm duy nhất là: Nếu :Phương trình vô nghiệm. DẠNG 7: Bài 1: Tìm m để phương trình sau có vô số nghiệm: Bài 2: Tìm và b để phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x. Bài 3: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: Bài 4:Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 6: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: Hướng dẫn và đáp số: Bài 1: . Bài 2: Bài 3: hoặc Bài 4: Bài 5: Bài 6: hoặc DẠNG 8: Bài 1: Bốn năm về trước tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con.Năm năm sau (so với hiện nay) thì tuổi mẹ sẽ gấp ba lần tuổi con.Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi? Bài 2: Tổng của hai số bằng 4.Nếu lấy số lớn chia cho 5 và số bé chia cho 6 thì thương thứ nhất hơn thương thứ hai là 3.Tìm hai số đó. Bài 3: Một người thường đi bộ từ nhà tới nơi làm việc.Lúc đi người ấy đi với vận tốc 8kmh. Lúc về người đó đi với vận tốc 5kmh.Thời gian cả đi lẫn về là 3giờ 15phút.Tính độ dài quãng đường từ nhà tới nơi làm việc của người ấy. Bài 4: Một số tự nhiên có hai chữ số.Chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị.Nếu viết thêm chữ số 9 xen giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn chữ số ban đầu là 810 đơn vị.Tìm số ban đầu. Bài 5: Một đội máy cày dự định một ngày cày hết 40ha.Khi thực hiện mỗi ngày cày được 50ha. Do đó,không những đã cày xong trước 1 ngày mà còn cày thêm được 2ha nữa.Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch. Bài 6: Một bể nước có dung tích 1250 lít chưa có nước. Người ta cho một vòi nước lạnh chảy vào bể, mỗi phút chảy được 30 lít,rồi khóa vòi nước lạnh lại và cho vòi nước nóng chảy vào bể, mỗi phút chảy được 40 lít cho đến khi đầy bể.Tính thời gian mỗi vòi chảy vào bể,biết hai vòi chảy tổng cộng trong 35 phút. Bài 7: Có hai dung dich muối I và II. Người ta hòa 200gam dung dịch muối I với 300gam dung dịch muối II thì được dung dịch có nồng độ muối là 4%.Tính nồng độ muối trong mỗi dung dịch I và II biết rằng nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối dung dịch II là 5%. Bài 8: Một hình chữ nhật có chu vi 800m. Nếu gaiem chiều dài đi 20%,tăng chiều rộng thêm của nó thì chu vi không đổi.Tính số đo chiều dài,chiều rộng của hình chữ nhật. Bài 9: Hai đội công nhân I và II phải trồng 1000 cây và 950 cây.Mỗi giờ đội I trồng được 120 cây,mỗi giờ đội II trồng được 160 cây.Biết rằng hai đội làm cùng một ngày.Hỏi sau bao lâu số cây còn lại phải trồng của đội I nhiều gấp đôi số cây còn lại của đội II ? Bài 10: Một xe ô tô dự dịnh đi từ thành phố A đến thành phố B trong 7 giờ.Nhưng thực tế xe tăng vận tốc so với dự kiến là 10kmh nên đến sớm hơn dự định là 1 giờ.Tính độ dài quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B? Hướng dẫn và đáp án: Bài 1: Hiện nay tuổi con là 10 tuổi, và mẹ là 40 tuổi. Bài 2: Hai số cần tìm là 10 và . Bài 3: Quãng đường từ nhà tới nơi làm việc dài 10km. Bài 4: Số cần tìm là 84. Bài 5: Diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch là 208ha. Bài 6: Nồng độ muối trong dung dịch I là 7% và dung dịch II là 2%. Bài 7: Vòi nước lạnh chảy trong 15 phút và vòi nước nóng chảy trong 20 phút. Bài 8: Chiều dài,chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 250m,150m. Bài 9: Hai đội cùng phải cùng làm trong 4,5 giờ. Bài 10: Độ dài quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là 420km. 4.BÀI TẬP TỔNG HỢP. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau: a) ,m là tham số b) ;m,n là các tham số. c) ; m là tham số. d) ; m là tham số. e) ; a là tham số. f) ; a là tham số. g) ; a, b, c là tham số. h) ; m,n là tham số. Bài 3: Cho phương trình: ( (m là tham số) a) Giải phương trình với m=2 b) Giải và biện luận phương trình trên theo tham số m. Bài 4: Tìm m để phương trình sau: tương đương với phương trình: Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau nghiệm đúng với mọi Bài 6:Chứng tỏ rằng các phương trình sau vô nghiệm. a) b) c) Bài7:Cho hai phương trình sau: và a) Giải và biện luận phương trình (1) và phương trình (2). b) Với những giá trị nào của tham số m thì hai phương trình trên tương đương với nhau. Bài 8: Tìm số tự nhiên có năm chữ số biết rằng trong hai cách viết: viết thêm chữ số 7 vào đằng trước và viết thêm số 7 vào đằng sau số đó thì cách viết thứ nhất cho số lớn gấp 5 lần cách viết thứ hai. Bài 9: Một hình chữ nhật và một hình vuông có cùng diện tích, cạnh hình vuông lớn hơn chiều rộng của hình chữ nhật 2m và bé hơn chiều dài của hình chữ nhật 3m.Tìm kích thước của mỗi hình. Bài 10: Một người mua 36 chiếc tem và bì thư.Giá mỗi chiếc tem thư là 500 đồng và mỗi chiếc bì thư là 1000 đồng.Tổng cộng hết 11600 đồng.Hỏi người đó mua bao nhiêu chiếc mỗi loại ? MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 2 1.LÝ THUYẾT CHUNG. 2 1.1.Phương trình một ẩn. 2 1.1.1.Định nghĩa. 2 1.1.2 Nghiệm của phương trình. 2 1.1.3.Cách giải phương trình. 2 1.1.4.Phương trình tương đương. 2 1.1.5.Hai quy tắc biến đổi phương trình 3 1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn. 3 1.2.1.Định nghĩa 3 1.2.2 Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn. 3 1.2.3 Đồ thị của hàm số 4 2.CÁC DẠNG BÀI TẬP 6 DẠNG 1: Xét xem x=a có là nghiệm của phương trình cho trước không. 6 DẠNG 2:Xét tính tương đương của hai phương trình 8 DẠNG 3:Giải phương trình bậc nhất một ẩn. 10 DẠNG 4: Giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn 12 4.1 Phương trình tích. 12 4.2 Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. 13 4.3 Phương trình chứa ẩn dưới căn thức bậc hai. 16 4.3.1.Biểu thức dưới căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức. 16 4.3.2.Phương trình chứa biểu thức dưới căn không viết được dưới dạng bình phương (trong phương trình chỉ có 1 căn thức) 16 4.3.3.Phương trình chứa nhiều căn thức ,các căn thức đưa được về dạng chung ,giống nhau. 17 4.4 Phương trình dạng phân thức. 18 4.4.1 Phương trình có mẫu số không chứa ẩn. 18 4.4.2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu. 21 DẠNG 5:Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số. 26 DẠNG 6:Giải và biện luận phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số. 30 DẠNG 7: Tìm điều kiện để nghiệm phương trình bậc nhất một ẩn thỏa mãn điều kiện cho trước. 34 DẠNG 8: Ứng dụng thực tế của phương trình bậc nhất một ẩn. Giải các bài toán bằng cách lập phương trình 36 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG: 40 4.BÀI TẬP TỔNG HỢP. 51

Nội dung giáo dục cấp THCS là một bộ phận của chương trình giáo dụcphổ thông.Vì vậy chương trình giáo dục THCS có mối quan hệ chặt chẽ vớichương trình giáo dục tiểu học và chương trình giáo dục THPT Trong chươngtrình giáo dục THCS môn Toán có tầm quan trọng đến chất lượng của họcsinh,nó giúp cho học sinh có điều kiện cơ sở để tiếp thu các môn học khoa họckhác,là cơ sở ,chỗ dựa cho học sinh rèn luyện khả năng tư duy ,tổng hợp,phântích trong quá trình học tập và trong cuộc sống.

Phương trình bậc nhất một ẩn và phương pháp giải phương trình bậc nhấtmột ẩn là một phần quan trọng của nội dung chương trình lớp 8.Việc nắm vữngkiến thức cơ bản cũng như phương pháp giải phương trình bậc nhất một ẩn vànhiều dạng phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn.Vì vậy em chọn

đề tài “Phương trình bậc nhất một ẩn” để góp một phần nhỏ giúp học sinh nắm

vững phương pháp giải các dạng bài toán này

Để nghiên cứu đề tài này,em đã vận dụng nhiều tài liệu,phương pháp giảitoán THCS ,toán nâng cao lớp 8,Sách giáo khoa lớp 8,Đại số sơ cấp và thực

hành giải toán Để hoàn thành đề tài này,em xin chân thành cảm ơn thầy Phạm

Trung Thiện đã hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ em.

Trong quá trình tìm hiểu ,tổng hợp tài liệu sẽ không tránh khỏi những thiếusót do trình độ của bản thân còn hạn chế rất mong sự đóng góp ý kiến của thầy

và các bạn để bài tiểu luận được hoàn chỉnh hơn

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1.LÝ THUYẾT CHUNG.

1.1.Phương trình một ẩn.

1.1.1.Định nghĩa.

- Một phương trình với ẩn x có dạng ,trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x)

là hai biểu thức của cùng một biến x

không có nghiệm nào (phương trình vô nghiệm) hoặc có vô số nghiệm

Ví dụ: Phương trình có hai nghiệm là và

Phương trình vô nghiệm

1.1.2 Nghiệm của phương trình.

- Nếu tại mà khi thay vào hai vế của phương trình ta được:

thì khi đó ta nói là nghiệm của phương trình

1.1.3.Cách giải phương trình.

- Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó

- Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệmcủa phương trình đó thường được kí hiệu là S

1.1.4.Phương trình tương đương.

- Hai phương trình có cùng tập nghiệm là hai phương trình tương đương

- Để chỉ hai phương trình tương đương với nhau ta dùng kí hiệu “”

-Phép biến đổi tương đương :Là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệmcủa phương trình.Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết như sau:

+Cộng hoặc trừ cả 2 vế với cùng 1 số hoặc 1 biểu thức

+Chuyển một số hoặc một biểu thức từ vế này sang vế kia và đổi dấu

+Nhân hoặc chia cả 2 vế của phương trình với cùng một số hoặc 1 biểuthức khác 0.

1.1.5.Hai quy tắc biến đổi phương trình

a) Quy tắc chuyển vế:

-Trong một phương trình ,ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang

vế kia và đổi dấu hạng tử đó

b) Quy tắc nhân với một số :

- Trong một phương trình,ta có thể nhân (hoặc chia )cả hai vế với cùngmột số số khác 0

1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn.

1.2.1.Định nghĩa

Dạng tổng quát: (a,b tùy ý ,a khác 0)

Nghiệm duy nhất của phương trình là:

( Công thức nghiệm)

Kết luận:Phương trình bậc nhất luôn có nghiệm duy nhất là Hay

phương trình có tập nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Phương trình bậc nhất luôn có nghiệm duy nhất là

Vẽ hai đường thẳng và trên cùng một hệ trục tọa độ rồi xác định hoành độgiao điểm của hai đường thẳng,đó là giá trị x cần tìm.

Kết luận: Sử dụng sự tương giao giữa đồ thị hàm số bậc nhất và trục

hoành;sự tương giao giữa hai đường thẳng trong hệ trục tọa độ để giải phươngtrình bậc nhất một ẩn

Ví dụ:Giải phương trình sau:

+ Cắt trục tung tại một điểm có tọa độ là:

+Cắt trục hoành tại một điểm có tọa độ là:

- Đường thẳng này song song với đường thẳng nếu

- Đường thẳng này trùng với đường thẳng nếu

Chú ý: Đồ thị hàm số ( còn được gọi là đường thẳng ,trong đó được b gọi

là tung độ gốc của đường thẳng

Hình vẽ:

Chú ý:-Khi hàm số đồng biến trên R.

-Khi hàm số nghịch biến trên R

Ví dụ 2:Xét nghiệm của phương trình sau:

với

Giải:

Khi thì ;

Do đó :

Vậy không phải là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 3:Xét nghiệm của phương trình sau:

DẠNG 2:Xét tính tương đương của hai phương trình

2.1 Phương pháp chung:

Xác định tập nghiệm của hai phương trình

- Nếu 2 tập nghiệm bằng nhau thì hai phương trình tương đương

- Nếu chỉ ra được một nghiệm của phương trình này không là nghiệm củaphương trình kia thì hai phương trình đó không tương đương

Chú ý :Ngoài ra để chứng minh phương trình tương đương ta có thể dùng các

phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này về phương trình kia

b) và

Giải:

a) Ta có: là nghiệm của phương trình (1)

Để phương trình (1) ,(2) tương đương với nhau khi và chỉ khi cũng lànghiệm của phương trình (2)

Do đó,thay vào (2) ta được

Vậy với giá trị củathì hai phương trình trên tương đương với nhau

b) Ta có: Phương trình có tập nghiệm

Thay vào phương trình ,ta được:

Vậy với giá trị củathì hai phương trình trên tương đương với nhau

(quy tắc nhân nhân 2 vế với

Kết luận:Phương trình bậc nhất luôn có nghiệm duy nhất là

Hay phương trình có tập nghiệm

3.2.Ví dụ minh họa:

Ví dụ1: Giải phương trình sau:

Giải:

⟺ (Chuyển ─9 sang vế phải và đổi dấu)

⟺ ( Chia cả hai vế cho 3)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất Hay phương trình có tậpnghiệm

Ví dụ2:Giải phương trình sau:

Giải:

⟺⟺ ⟺

Vậy phương trình có tập nghiệm là

Ví dụ 3:Giải phương trình sau:

Giải:

(chuyển 12 sang vế phải và đổi dấu)

(Chia cả hai vế cho 3)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là hay phương trình có tập

nghiệm

Ví dụ 4:Giải phương trình sau:

Kết luận: Phương trình vô nghiệm

Tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 6: Giải phương trình sau:

Giải:

Kết luận: Vậy phương trình

có nghiệm duy nhất là hay phương trình có tập nghiệm là

DẠNG 4: Giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn 4.1 Phương trình tích.

Dạng:

Trong đó ,là các đa thức biến

*Phương pháp chung: ⟺

Kết luận: Muốn giải phương trình ,ta giải hai phương trình và ,rồi

lấy tất cả các nghiệm của chúng

*Ví dụ:

Ví dụ1: Giải phương trình sau:

⟺

Vậy phương trình có hai nghiệm: và

Tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 2:Giải phương trình sau:

Giải:

⟺ ⟺

Vậy phương trình có 3 nghiệm: ; và

Tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

Giải:

Ta có: ⟺

⟺⟺⟺

Vậy phương trình có 2 nghiệm: ;

Tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

Giải:

Ta có: ⟺

⟺ ⟺⟺

Vậy phương trình có 2 nghiệm;;

Tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 5:Giải phương trình sau:

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

4.2 Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Dạng 1:

*Phương pháp chung:Tùy theo phương trình,ta có những phương pháp:

- Cách 1: Dùng định nghĩa,hoặc lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyệt

đối rồi giải các phương trình trên từng miền đã chỉ ra.Nghiệm của phương trình

đã cho là hợp các nghiệm đã nhận được

- Nếu thì phương trình (1) ⇒ ⟺ (loại)

- Nếu thì phương trình (1)⇒ (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm

Tập nghiệm của phương trình là:

Cách 2:

⟺

⟺

⟺ (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm

Tập nghiệm của phương trình là:

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

Giải:

Cách 1:

- Nếu thì phương trình (1) ⇒ ⟺ (loại)

- Nếu thì phương trình (1)⇒(loại)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm hay tập nghiệm của phương trình là: Cách 2: Bình phương 2 vế,giải phương trình,thử nghiệm

Vậy phương trình có tập nghiệm là:

4.3 Phương trình chứa ẩn dưới căn thức bậc hai.

4.3.1.Biểu thức dưới căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức.

Vậy phương trình có nghiệm làhoặc

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

Giải:

Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm làhoặc

4.3.2.Phương trình chứa biểu thức dưới căn không viết được dưới dạng bình phương (trong phương trình chỉ có 1 căn thức)

*Phương pháp chung:

Dạng

 Đặt điều kiện :

 Bình phương hai vế:(Phương trình hệ quả).Giải và tìm nghiệm

 Thử lại các nghiệm vừa tìm được

Vậy phương trình có nghiệm là

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

Giải: Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm là

4.3.3.Phương trình chứa nhiều căn thức ,các căn thức đưa được về dạng chung ,giống nhau.

Vậy phương trình có nghiệm là

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

Giải:

ĐK:

 Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

 Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế,các hằng số sang vế kia

 Bước 3: Thu gọn và giải phương trình vừa nhận được

 Bước 4: Kết luận:

Ví dụ 1.Giải phương trình sau:

Phương trình có tập nghiệm là

*Chú ý :Ở một số trường hợp ,ta sẽ có những cách biến đổi phương trình

khác đơn giản hơn,để dễ dàng,thuận lợi trong việc giải phương trình Một số ví

Vậy phương trình có tập nghiệm là

Ví dụ 6:Giải phương trình sau: (1)

*Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng phân thức có mẫu số là số

nhỏ ta có thể giải theo cách 1,còn đối những phương trình dạng phân thức cómẫu số là số lớn ta nên giải theo cách tổng quát sẽ thuận lợi và dễ dàng hơntrong việc tính toán

4.4.2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Dạng:

Trong đó , là các đa thức biến

*Phương pháp chung:

 Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

 Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

 Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

 Bước 4: Kết luận: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3,các giá trị thỏamãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho

- Ta thấy thỏa mãn ĐKXĐ nên nó là nghiệm của phương trình (1)

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (2)

⟺ ⟺

- Ta thấy thỏa mãn ĐKXĐ nên nó là nghiệm của phương trình (2),còn khôngthỏa mãn ĐKXĐ nên nó không phải là nghiệm của phương trình (2)

Vậy tập nghiệm của phương trình(2) là:

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

Giải:

-ĐKXĐ:

-Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu của phương trình:

(không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình trên vô nghiệm

Tập nghiệm của phương trình là :

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

Giải:

-ĐKXĐ:

-Quy đồng và khử mẫu của phương trình:

(thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình là :

Ví dụ 5:Giải phương trình sau:

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

Ví dụ 6: Giải phương trình sau: (1)

Giải:

Ta có:

(1)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Tập nghiệm của phương trình là

*Mở Rộng:

Bài toán trên thuộc dạng phương trình được giải nhờ quy về phương trìnhbậc nhất bằng các phép rút gọn,quy đồng…Vì vậy,nếu ta thay thế ở 2 vế cácbiểu thức của x có thể rút gọn được (để giảm bậc của biến ) thì ta cũng có cácbài toán mà cách giải tương tự

Ví dụ: Giải phương trình sau:

 Tổng quát:Giải phương trình sau với là các số tự nhiên lẻ,, là tham số.

DẠNG 5:Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số.

5.1 Phương pháp chung:

Ta có phương trình:

• Nếu phương trình có nghiệm duy nhất ;

• Nếu phương trình có dạng:

-Với Không có giá trị nào của x nhân với 0 cho ta một số khác 0

Vậy phương trình vô nghiệm:

-Với Phương trình có dạng được nghiệm với mọi x thuộc R, phương trình

- Với , phương trình có dạng ,có nghiệm tùy ý

- Với ,phương trình có dạng (vô lí), phương trình vô nghiệm

• Nếu thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất

• Nếu thì phương trình (1) trở thành dạng (vô lí )phương trình vô nghiệm

Kết luận:

Với , phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:

Với ,phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 3:Giải và biện luận phương trình sau:

Giải:

Ta có:

• Nếu thì phương trình (1)có nghiệm duy nhất

• Nếu = thì phương trình (1) trở thành (luôn đúng) phương trình (1) có nghiệmđúng với

Kết luận:

Với thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Với thì phương trình đã cho có nghiệm đúng với

Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau:

Giải:

Ta có:

Vì với nên phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất là

Ví dụ 5: Giải và biện luận phương trình sau: (1)

Giải:

Ta có: (2)

• Nếu thì (2) là nghiệm của phương trình

• Nếu

- Với thì phương trình (2) có dạng : (luôn đúng)

⟹phương trình (1)có nghiệm đúng với

- Với thì phương trình (2) có dạng (vô lí)

⟹phương trình (1) vô nghiệm

Kết luận:

Với thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Với thì phương trình đã cho có nghiệm đúng với

Với thì phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 6:Giải và biện luận phương trình sau:

Giải:

Ta có:

• Nếu thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất

• Nếu

-Với thì phương trình (1) có dạng: (luôn đúng)

phương trình (1)có nghiệm đúng với

-Với thì phương trình (1) có dạng : (vô lí)

phương trình (1) vô nghiệm

Kết luận:

Với thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Với thì phương trình đã cho có nghiệm đúng với

Với thì phương trình đã cho vô nghiệm

DẠNG 6:Giải và biện luận phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số.

6.1 Phương pháp chung:

Ta đưa phương trình đã cho về dạng : ,rồi sau đó biện luận theo hệ số a

• Nếu phương trình có nghiệm duy nhất ;

• Nếu phương trình có dạng:

-Với Không có giá trị nào của nhân với 0 cho ta một số khác 0

Vậy phương trình vô nghiệm:

-Với Phương trình có dạng được nghiệm với mọi thuộc R, phương trình

Giá trị là nghiệm của phương trình (1)

Khi đó: (luôn luôn đúng với mọi a)

Suy ra :Với ,phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Tập nghiệm của phương trình là:

• Nếu Khi đó (2) (vô lí)

Suy ra: Với ,phương trình (1) vô nghiệm.Tập nghiệm của phương trình là:

Kết luận:

Với ,phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Với ,phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 2:Giải và biện luận phương trình sau:

(thỏa mãn thì phương trình (1) vô nghiệm

*Nếu Khi đó (2) trở thành (vô lí)

Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất là

Với thì phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 3:Giải và biện luận phương trình sau:

-Nếu Khi đó (2) (vô nghiệm )

Kết luận: -Với , phương trình (1) có 2 nghiệm

-Với ,phương trình (1) có vô nghiệm

6.2.2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau:

Giải:

Ta có:

- Nếu

thì phương trình có nghiệm duy nhất

- Nếu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Kết luận:Với , phương trình có nghiệm duy nhất

Với , phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Ví dụ 2:Giải và biện luận phương trình sau:

Giải:

Ta có:

Giải và biện luận phương trình (1):

-Nếu Khi đó (1) có nghiệm duy nhất là:

Giải và biện luận phương trình (2):

Vì nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất

Kết luận: Với ,phương trình (1) có 2 nghiệm ;

Với , phương trình (1) nghiệm đúng với

DẠNG 7: Tìm điều kiện để nghiệm phương trình bậc nhất một ẩn thỏa mãn điều kiện cho trước.

7.1 Phương pháp chung:

Cho phương trình (1).Giả sử điều kiện cho ẩn số (nếu có )là D

Biến đổi (1) về dạng: (2) Khi đó:

• Phương trình (1) vô nghiệm

Để phương trình (1) vô nghiệm thì 

Vậy với thì phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2:

Tìm m để phương trình : có nghiệm thỏa mãn

Giải:

Ta có:

Để phương trình có nghiệm thỏa mãn

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: (1)

Giải:

ĐKXĐ:

(1)

Trường hợp 1:Nếu Khi đó (2) (vô lí)

phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Nếu Khi đó (2)

Do đó: phương trình (1) vô nghiệm

Vậy với hoặc thì phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: