Giải phương trình bằng phương pháp hàm số rất hay

PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình nếu có Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số + Biến đổi một phương t

Trang 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015)

Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

2 12 25 18 2 9 4 (1)

3 1 3 14 8 6 4 (2)



(Thi thử của THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa)

Bài giải

♥ Điều kiện:

2

1 3

x

y y

 



   



(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u  f v  )

2y 12y 25y18 2x9 x4    3   3

2 y  y2 2 x4  x (3) [Tại sao ?]

♦ Xét hàm đặc trưng f t 2t3 trên  ta có: t

f' t 6t2      1 0, t f t đồng biến tr  ên 

4 (4)



♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

3x 1 6 x 3x214x 8 0 (5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x 5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân

liên hợp

5  3x1  6x 3x 14x50 (Tách thành các biểu thức liên hợp)

3 5 5   

0





5

x

 

♦ Với x   5 y 1 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;   5;1 

Trang 2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y)

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn)

Bài 2 : Giải hệ phương trình

2

17 32 6 9 24 (1)



(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Bài giải

♥ Điều kiện: 4

x

y x

 



   

x  x  x  y  y  y [Tại sao ?]   3    3  

♦ Xét hàm đặc trưng   3

5

f t   trên  ta có: t t

  2

f t  t      t  f t đồng biến trên   

Nên:  3  f x  2 f y 3x2  y 3 yx1 (4)

    2

3 4 9 11 9 10

x x  x x x  x (5) ♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x 5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân

liên hợp

5  x3 x43  x 9 x114 x 2x35 (Tách thành các biểu thức liên hợp)

 3  5  9  5  5 7

Trang 3

7 0 (6)

x

  



 ♦ Chứng minh (6) vô nghiệm

    [Tại sao ?]

0



 

: phương trình VN

♦ Với x   5 y 6 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;   5;6 

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các hệ phương trình

1)



2



2



3



Trang 4

4 4



(Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2)

Bài giải

♥ Điều kiện: x  (*) 2

♦ x 3 4x 2 y4 5 y  4 x 2 x   2 5 y y4 (3) 5

5

f t  t t  trên nữa khoảng 0;

f liên tục trên 0; và    3  

4

2

5

t

  f t đồng biến trên   0; 

Do 4x  2 0 và  2

4y x y 2   nên y 0  3  f4 x2 f y 4 x2yxy42 (4)

 4 2

0

2 4 0 (5)

y

 



           ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Xét hàm số   7 4

g y y  y   trên nữa khoảng y 0; 

Do g liên tục trên 0; và   6 3  

g' y 7y 8y    1 0, y 0;  g y đồng biến tr  ên 0; Nên:  5 g y g 1   y 1

♣ Với y 0  x 2 [thỏa (*)]

♣ Với y 1  x 3 [thỏa (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y; là 2; 0 và  3;1 

Trang 5

Bài 4: Giải hệ phương trình:  

      







     



x

x x y y y

y

1

3 6 9 2 ln 0 1

1 log 3 log 1 2

Bài giải

♥ Điều kiện:

1 0 1

3

0 0

x y

x x

y y







 







 



(*)

♦  1  x133x12lnx1  y133y12lnx1 (3)

♦ Xét hàm đặc trưng f t t33t2lnt trên khoảng0; 

  2 1

t

        f t đồng biến tr  ên khoảng 0; 

Do x   và 1 0 y  1 0 nên

 3  f x 1 f y 1x 1 y 1 yx2 (4)

x2log2x3log3x2 x 1 (5)

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 5 2  3  2  3   

♣ Xét hàm số   2  3 

1

2

x



 trên khoảng 3;  

 

     2

g x đồng biến tr  ên khoảng 3; 

Nên  6 g x g 5 x   [thỏa mãn (*)] 5  4 y 3

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  5;3

Trang 6

Bài 5 : Giải hệ phương trình:      

       





     



x y y x y xy x

13 3 14 1 5 2

Bài giải

♥ Điều kiện:

1

1 0

14

3 14 0

3

x x

 



 



  

 *

♦  1   3    3  

1 3 1 1 3 1

x  x  y  y (3)

3 ,

f t t  t t 

  2

3 3 0,

f t  t    t  f t  đồng biến trên 

Do x  1 0 và y  1 0 nên

 3  f x 1 f y 1x 1 y 1 x 2 y (4)

2x11  3x 8 x15  5

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Ta nhận thấy 11

2

x  không là nghiệm của phương trình  5 nên

 5 3 8 1 5 0

2 11

x

     

  6

Xét hàm số

  3 8 1 5 , 8 11; 11;

2 11 3 2 2

x

   

       

    

 

3 1 10 3 1 3 8 10

0

2 3 8 2 1 2 11 2 3 8 1 2 11

g x

  

8 11 11

; & ;

3 2 2

x    

    

   

 g x đồng biến trên các khoảng 8 11; & 11;

3 2 2

   



   

   

♣ Trên khoảng 8 11;

3 2

 





thì g x đồng biến, 3 8 11; ,  3 0

3 2 g

 

  

 6  g x g 3 x  3  4 y 5 [thoả mãn (*)]

♣ Trên khoảng 11;

2

 



 

 thì g x đồng biến, 8 11; ,  8 0

2 g

 

  

 6  g x g 8 x  8  4 y 10 [thoả mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y,   3;5 , x y,   8;10

Trang 7

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các hệ phương trình







2)

3



3)



Trang 8

3

9 4 2 6 7 (2)



(Thi thử của THPT Trần Phú – Thanh Hóa)

Bài giải

♥ Điều kiện:

1

x

y

 





  

♦ 2y3 y 2x 1 x 3 1x  3

2y  y 2 1 x 2x 1 x 1 x

 2y3 y 2 1 x 1 x 1x (3)

2

f t  t  trên  ta có: t

  2

f t  t      t  f đồng biến trên 

0

1

y

 



 

 (4)

4x 5 2x26x1 (5)

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ đối xứng loại II

 Phương trình (5) viết lại thành:  2

2x3 2 4x  5 11 Điều kiện

Đặt 4x   5 2t 3 3

2

t

 

  

 

 , ta được hệ phương trình: [Tại sao ?]

2 2

2 3 4 5 (6)

2 3 4 5 (7)



 Trừ theo từng vế của (6) và (7) ta được:

4 x t 3 x  t 4t 4x  xtx   t 2 0

+ Khi x , thay vào (7) ta được: t

4x212x 9 4x 5 x24x    1 0 x 2 3

So với điều kiện của x và t ta chọn x  2 3 [không thỏa mãn (*)]

+ Khi x      , thay vào (7) ta được: t 2 0 t 2 x

Trang 9

 2 2

12x 4x 5 x 2x    1 0 x 1 2 (loại)

So với điều kiện của x và t ta chọn x  1 2

♦ Với x  1 2 y  42 [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y là ;  1 2;42 và 1 2; 24 

Bài 7 : Giải hệ phương trình 3 2 3 

3

2 14 3 2 +1 (2)



(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)

Bài giải

♥ Điều kiện:

3 2 2

y

x

 



 



(*)

♦ Do x  không thỏa hệ nên ta có: 0

 1  2 4 32 13 2 2 y 3 2y

 1 1 3 1 1 3 2y 3 2y 3 2y

f t   trên  ta có: t t

f' t 3t2      1 0, t f đồng biến trên 

Nên:   1   1



  (4)

x 2 315  (5) x 1

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x 7 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật

nhân liên hợp

 5  x   2 3 2 315  x 0

  

 2

0

x





 x  7

Trang 10

♦ Với x 7  111

98

y  [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x y là ;  7;111

98

 

 

 

2

3

3 1 + (1)

1

9 2 7 2 2 2 3 (2)

x

    





(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)

Bài giải

♥ Điều kiện:

1 2 9

x

y

 





 

 (*)

♦ Ta có  1  2 1 3 1 1 3 1

1

      

 (3)

♦ Xét hàm đặc trưng   2 1

3

t

   trên 0; ta có: 

      

2 2

t

3  f y  f x  1 y x  1 x y  (4) 1

9y 1 37y22y 5 2y3 (5)

♦ Phương trình (5) có hai nghiệm là y 2 y 3và nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp Định hướng biến đổi về dạng y2y3   h x  hay 0  2   

y  y h x   5  9y2y237y22y5y10

2 2

2

0

  

2

y





Trang 11

 2 2

3

y

 



 

 ♦ Với y 2  x  [thỏa mãn (*)] 3

♦ Với y 3  x  [thỏa mãn (*)] 8

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x y là ;   3; 2 ;  8;3 

 

     





  



 



x y y x y

x y

5

2

Bài giải

♥ Điều kiện:

8 3 0

12 0

x y











   





 *

♦  1   2

1 0 1

y x   y x (3)

3 8 1 5

2 11

x

   

  5 ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 5 3 8 1 5 0

2 11

x

     

  6

Xét hàm số

  3 8 1 5 , 8 11; 11;

2 11 3 2 2

x

   

       

    

 

3 1 10 3 1 3 8 10

2 3 8 2 1 2 11 2 3 8 1 2 11

f x

  

8 11 11

; & ;

3 2 2

x    

    

   

 f x đồng biến trên các khoảng 8 11; & 11;

3 2 2

   



   

   

♣ Trên khoảng 8 11;

3 2

 





thì f x đồng biến, 3 8 11; ,  3 0

3 2 f

 

  

 6  f x  f 3 x  3  4 y 4 [thoả mãn (*)]

♣ Trên khoảng 11;

2

 



 

 thì f x đồng biến, 8 11; ,  8 0

2 f

 

  

 6  f x  f 8 x  8  4 y 9 [thoả mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y,   3;5 , x y,   8;10

Trang 12

XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN

CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

axbn p a x n '  b' qxr

( x là ẩn số; p q r a b a b, , , , , ', ' là các hằng số; paa ' 0; n  2;3 Dạng thường gặp:  2

' '

axb  p a x b qxr

1 Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ:

+ Đặt n a x'  b' ayb nếu pa ' 0 + Đặt n a x'   b' ayb nếu pa ' 0

Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với x và y :

( )

h x Ay Bx C



(*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x1532x232x20 (1)

Lời giải

2

x   x

2 4x2  2x1528

Đặt 2x154y 2 1

2

y

  

 , ta được hệ phương trình:

2 2



Trang 13

4y4x4 4 y4x2xy  xy18x y 10

+ Khi x , thay vào (3) ta được: y

 2 2

1 2

11 8

x



 



  





So với điều kiện của x và y ta chọn 1

2

x 

8

        , thay vào (3) ta được:

So với điều kiện của x và y ta chọn 9 221

16

 Tập nghiệm của (1) là 1; 9 221

S



Ví dụ 2: Giải phương trình 4x2 3x  1 5 13x (1)

Lời giải

3

x     x

2x3   3x  1 x 4

Đặt 3x  1 2y 3 3

2

y

 

  

 

 , ta được hệ phương trình:

2 2

2 3 3 1 (3)



2 2x2y6 xy 2y2x  xy2x2y  5 0 + Khi x , thay vào (3) ta được: y

4 2 12 9 3 1 4 2 15 8 0 15 97

8

So với điều kiện của x và y ta chọn 15 97

8

x 

Trang 14

+ Khi 2x2y  5 0 2y 5 2x, thay vào (3) ta được:

2 2 3 1 4 11 3 0

8

        

So với điều kiện của x và y ta chọn 11 73

8

x 

 Tập nghiệm của (1) là 11 73 15; 97

S



3 Một số bài toán tự luyện

Giải các phương trình

1) x 6 x24x 2) x24x 3 x5 3) 2x 1 x23x 1 0

4) 4x214x 11 4 6x10 5) 9x212x 2 3x 7) 6) 8 9x26x 5 3x 5

-Hết -

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	328,23 KB