Tuy thế khi dạy đến phần này chỉ có thể dạy được cho một số ít học sinh giỏi hoặc bỏ qua.Lên lớp 11 HS lại được gặp lại ở cuối học kỳ 1 và rồi cũng được dạy qua quýt vì phần này thường k
Trang 1MỘT CÁCH PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
CÁC SỐ HẠNG CỦA MỘT DÃY SỐ
`````````````````````````````````````````````````````````
Tính tổng các số hạng của một dãy số học sinh đã được làm quen từ cấp 1 và cấp 2 Tuy thế khi dạy đến phần này chỉ có thể dạy được cho một số ít học sinh giỏi hoặc bỏ qua.Lên lớp 11 HS lại được gặp lại ở cuối học kỳ 1 và rồi cũng được dạy qua quýt vì phần này thường không được hạn chế thi học kỳ Cho nên khi gặp hoặc luyện thi đại học thì HS thường lúng tung và rất khó chịu Bởi lẽ nó vừa khó lại vừa trừu tượng mà không thể tìm ra một phương pháp chung nào để giải quyết được Sau đây tôi xin nêu ra một cách nhìn, một hướng phát triển nhằm giúp HS và bạn đọc phần nào giảm được sự khó chịu trong khi giải các loại toán này.
1 Từ một thí dụ đơn giản và khá quen thuộc sau, ta có thể sử dụng phương pháp giải tương tự để phát triển bài toán:
• Tính tổng: S1 = 1 + 2 + +n
Giải: Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
1 1
1 1
2 1 1
21
1
1 1
++
−+
=
++
S n n
n
S n
n S
n
S
Ta có cách giải khác như sau :
Ta có : (k+ 1)2 −k2 = 2k+ 1 (*) Thay k = 1 ;n rồi cộng lại ta được :
( +1)2−1=2 1+ ⇔ 1= n(n2+1)
S n S
n
Với cách giải này ta có thể sử dụng để giải và phát triển các bài toán sau :
• Tính tổng: 2 2 2
Giải: Ta có ( 1)3 3 3 2 3 1
+ +
=
−
k (*) Thay k = 1 ;n rồi cộng lại ta được
( +1)3−1=3 2+3 1+ ⇔ 2 = n(n+1)(62n+1)
S n S S
n
• Tính tổng: 2 2 ( )2
4 2
1 4 2 4
2
+ +
=
= + + +
= +
+ +
• Tính tổng: 2 2 ( )2
Giải: Ta có
( )
3
1 4 2 2 1 4 1 2 3
1 3
1 2
1
2
3
1 4 1 2 2
4 2 2
2
1
2
2 2
2 2 2
2
2
−
=
−
− + +
= + +
−
− + +
= +
+ +
− +
+ +
=
n n n
n n n n
n
n
n n n n n
• Tính tổng: 3 3 3
Giải: Ta có ( 1)4 4 4 3 6 2 4 1
+ + +
=
−
k (*) Thay k = 1 ;n rồi cộng lại ta được :
1
2 3
1 2 3 4
2
1 4
6 4
1
1 2 3
3 3
• Tính tổng: 4 4 4
Giải: Ta có ( 1)5 5 5 4 10 3 10 2 5 1
+ + + +
=
−
k Thayk = 1 ;n rồi cộng lại ta được:
Trang 2( ) ( )( )
30
1 9
6 1 5
10 10 5
1
1
2 3 4
1 2 3 4
n
Đến đây kết quả bài toán không đẹp và cũng chẳng có quy luật gì, liệu có thể
phát triển bài toán sang một hướng khác hay không ?
2 Nếu đặt T1 = S1 = 1 + 2 + + n ( )
2
1
+
=n n Ta đi xét các bài toán sau:
• Tính tổng: T2 = 1 2 + 2 3 + +n(n+ 1)
Giải: Ta có k(k+ 1)=k2 +k Thay k = 1 ;n rồi cộng lại ta được:
3
2 1 1
2
1 1 2 1 6
1 1
3
.
2
2
.
2
+ +
= + +
+ +
= +
= + + +
+
T
• Tính tổng: T3 = 1 2 3 + 2 3 4 + +n(n+ 1)(n+ 2)
Giải: Ta có k(k+ 1)(k+ 3)=k3 + 4k2 + 3k Thay k = 1 ;n rồi cộng lại ta được
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ).
4
3 2 1 1
1 2 1 3
2 2
1
3 4 2
1 4
3
.
2
3
.
2
.
1
2
1 2 3 3
+ + +
= + + + + +
=
= + +
= + + + + +
=
n n n n n
n n
n n n
n
S S S n
n n
Đến đây ta đã phát hiện được quy luật của bài toán và có thể phát biểu bài toán dưới dạng tổng quát:
• Chứng ming rằng với ∀n, k ∈ N* ta có:
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) (1 )
3 2 2
.
1
+
+ +
=
− + +
+ + + +
=
k
k n n
n k
n n
n k
k
Giải: Ta có T k = 1 2 k+ 2 3 (k+ 1)+ +n(n+ 1) ( n+k− 1)=
!
1 2
1
+
+ +
=
= +
+ +
+
− + +
k n n
n C k C
C C
C
k n
k n k
k k
k
k
k
k
Liệu có thể phát triển bài toán được nữa hay không?
• Chứng ming rằng với ∀m, n, k ∈ N* ta luôn có:
1 1
1 1
2 1 1
+
+ + +
+
+
=
+ + +
+ + + + + + +
+ + + +
=
k
k n m n
m
n
m
k n m n
m n m k
m m
m k m m
m
T km
Giải: Ta có ( )( ) ( ) i
i k m
C i i
k m i
m i
m+ + + 1 + + − 1 = ! + −1Thay i= 0 ;n ta có :
1 1
!
! 1 1
2 1 1
1
1 1
1
+
+ + +
+
+
=
=
= +
+ +
=
− + + +
+
+
+
+ + + +
+ +
− + +
=
+ + +
− + + +
− +
k
k n m n
m
n
m
C k C
C C
k k
n m n
m
n
m
k m m
m k
m m
m
T
k n k m
k n k m
k k m
k k m km
3 Bài tập ứng dụng
Tính tổng sau:
S = + + +
c) S = 1 3 5 + 3 5 7 + +(2n− 1)(2n+ 1)(2n+ 3);
d) 3 5 (2 1)(2 1)
2 3
1
1
+
− + + +
=
n n
n
e)
1 1
2
1 1 2
1
2
4 2
4 4
− + +
−
+
−
=
n
n
Mời các bạn hãy thử phát triển tiếp các bài toán trên.
Nguyễn Xuân Đàn.