VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH1.. Mặt phẳng trong không gian :.
Trang 1VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
1 Tọa độ , vectơ :
* (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/)
k(a, b) = (ka, kb)
(a, b) = (a/, b/) ⇔
=
=
/
/
b b
a a
(a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/
2
2 b a )
b
,
a
/ /
/
v.v cos( v ,v )
v v
=
r r
r r
r r
AB AB ), y y , x x (
AB = B − A B − A =
M chia AB theo tỉ số k ⇔ MA = k MB
k 1
kx x
M B A
−
=
−
−
M : trung điểm AB ⇔ ,y y 2y
2
x x
M B A
M : trọng tâm ∆ABC ⇔
+ +
=
+ +
=
3
y y y y
3
x x x x
C B A M
C B A M
(tương tự cho vectơ 3 chiều)
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :
) ' c , ' b , ' a ( v ), c , b , a (
= / / / / / /
/
b
b a
a , a
a c
c , c
c b
b v
,
v
[ v ,v ]r r = v v sin( v ,v )r r r r
/ / ] v , v
v
,
v
[ ⊥
* v⊥ v/ ⇔ v v/ = 0 ; / /
v // vr r ⇔[ v ,v ]r r = 0 ; v, v/ , v// đồng phẳng
⇔ [ v, v/ ] v// = 0
[AB , AC] 2
1
S∆ABC =
[AB , AC] AS 6
1
VS.ABC =
/ '
D ' C ' B ' A ABCD [ AB , AD ] AA
A, B, C thẳng hàng ⇔ AB // ACuuur uuur
3 Mặt phẳng trong không gian :
Trang 2* Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : n = (A, B, C) hay 2 vtcp
'
v
,
(P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0
n = [ v , v ' ]
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C)
(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ⇔ (P) : x/a + y/b + z/c = 1
* Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
d(M,(P)) = o 2 o 2 o2
C B A
D Cz By Ax
+ +
+ + +
* (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ thì : cosϕ = cos( n(P), n(P'))
* (P) ⊥ (P/) ⇔ n ( P ) ⊥ n ( P ' ), (P) // (P/) ⇔ n ( P ) // n ( P ' )
4 Đường thẳng trong không gian :
* Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp v = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ :
'
n
,
n :
z
z b
y
y a
x x : ) d ( , ct z z
bt y y
at x
x
o o
o o
o
o
−
=
−
=
− +
=
+
=
+
=
] ' n , n [
* (d) = (P) ∩ (P/) : 0
0
Ax By Cz D A' x B' y C' z D'
* (d) qua A, vtcp v thì :
d(M,(d)) = [AMv,v]
* ϕ là góc nhọn giữa (d), (d/) thì :
cosϕ = cos( vd , vd/)
* (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp v ' :
(d) cắt (d/) ⇔ [ v , v ' ] ≠ 0 , [ v , v ' ] AB = 0
(d) // (d/) ⇔ [ v , v ' ] = 0 , A ∉ (d/)
(d) chéo (d/) ⇔ [ v , v ' ] ≠ 0 , [ v , v ' ] AB ≠ 0
(d) ≡ (d/) ⇔ [ v , v ' ] = 0 , A ∈ (d/)
*(d) chéo (d/) : d(d, d/) = [v[,vv,'v]AB']
5 Đường tròn :
* Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2
* (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = A 2 + B 2 − C
6 Mặt cầu :
Trang 3* Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2.
* (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R =
D C B
A 2 + 2 + 2 −
