Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng ABC tại A, lấy điểm S với AS = h.. 1 Hy là đường thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng SBC.. Chứng tỏ rằng khi S di
Trang 1Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1: (7 điểm)
1) Xét tính đơn điệu của hàm số: y=3 (2−3x)2 (x-5)
2) Cho hàm số y=
2 x
c bx
ax2
−
+ +
Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1
và đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường
thẳng y=
2
x
1−
3)Giải bất phương trình:
2 x 3 x 5
2− − +2x > 2x.3x 2−5x−3x2 + 4x2.3x
Bài 2: (4 điểm)
Trong tất cả các nghiệm của bất phương trình:
1 ) y x
(
logx 2+y 2 + ≥
Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất
Bài 3(5 điểm)
Giải phương trình:
1) 1+ 1−x2[ (1+x)3 − (1−x)3]=2+ 1−x2
2) sin3x.(1- 4sin2x) =
2 1
Bài 4:(4 điểm)
ABC là tam giác đều cạnh a Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S với AS = h
1) Hy là đường thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax thì đường thẳng Hy luôn luôn đi qua một điểm cố định
2) Hy cắt Ax tại S' Xác định h theo a để SS' ngắn nhất
Trang 2Hướng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi
Lớp 12
Bài 1:
Câu 1: (2 điểm)
điểm
y'= (-3)
3
2
3
1 ) x 3 2 ( − − (x-5) + 3
2 ) x 3 2
điểm
= 3
x 3 2 3
30 x 6
−
+
−
+ 3(2-3x) = 3
x 3 2
12 x 5
−
+
−
0,25
điểm
Điểm tới hạn: x=
3
2
; x=
5
12
0,25 điểm
x -∞ 2/3 12/5 +∞
điểm
Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 2/3) ∪(12/5; +∞) 0,25 điểm
Hàm số nghịch biến trong khoảng (2/3; 12/5) 0,25
Trang 3Câu 2: (2 điểm)
Đường tiệm cận xiên có hệ số góc k =
2 x
c bx ax
lim
2
+ +
∞
điểm
Đường tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng y=
2
1 x 2
1 +
−
điểm
Xét y=
2 x
c bx x
2 2
−
+ +
2
) 2 x (
c b 2 x 8 x
2
−
−
−
−
0,25
điểm
Để hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 điều kiện cần là:
= + +
−
=
=
−
−
−
=
1 ) c b 2
(
)
1
(
y
0 c b 2 6
)
1
(
'
y
0,5
điểm
=>
=
−
=
0
c
3
b
0,25
điểm
Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số
y=
2
x
x 3
x
2 2
−
điểm
điểm
Câu 3: (3 điểm)
Bất phương trình trở thành:
( 2−5x−3x2 +2x)(1-2x.3x)>0 (*) 0,5 điểm
Tập xác định: -2 ≤x≤
3
1
0,25 điểm
Trang 4(*) ⇔
<
−
<
+
−
−
>
−
>
+
−
−
0 3 x 2 1
0 x 2 x 3 x 5 2 ) II (
0 3 x 2 1
0 x 2 x 3 x 5 2 ) I (
x 2 x 2
0,5
điểm
Xét hệ (I): Giải (1) ta được -1< x ≤ 1/3 0,5 điểm
Đặt f(x) = 1-2x.3x ta thấy:
-1 ≤ x ≤ 0 hiển nhiên f(x)>1 0,25 điểm
Khi 0<x≤ 1/3 ⇔ 3 3
1
3
0< ≤ =
3
1 2 3 x 2
0< x ≤ 3 <
Do đó f(x) =1-2x.3x > 0
Nghiệm của (I) là:
3
1 x
1< ≤
điểm
Xét hệ (II): Giải (3) ta được −2≤x≤−1 0,25 điểm
Nhưng f(x) = 1-2x.3x > 0 ∀x≤ 0 nên bất phương trình (4) không
thỏa mãn với những giá trị của x thuộc khoảng nghiệm của (3)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm 0,25 điểm
Tóm lại, bất phương trình đã cho có nghiệm
3
1 x
1< ≤
điểm
Bài 2: (4 điểm)
Xét 2 trường hợp:
) 1
( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 (
Trang 51 ) y x ( logx 2+y 2 + ≥ (1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9) 0,5
điểm
Ta có (1) ⇔ x+y≥ x2+ y2 ⇔ x+2y ≥ x2 + y2 + y (2) 0,5 điểm
Gọi S= x+2y ⇔ x=S - 2y thay vào (2) ta được
S≥(S-2y)2 +y2+y ⇔ 5y2 -(4S-1)y +S2 - S ≤ 0 (3) 0,5 điểm
Bất phương trình (3) có nghiệm nên ta phải có ∆≥0,
Vậy
2
10 3
S 2
10
điểm
Với S =
2
10
3+ thì ∆= 0 khi đó (3) ⇔ y=
10
2 2
1 10
1 S
4 − = + 0,25 điểm
Suy ra x= S -2y =
10
2 2
1+ (thỏa mãn x2+ y2 > 1) 0,5 điểm
+TH2: 0< x2 + y2 < 1 Khi đó (1) ⇔ 0 <x+y<x2+y2
=> S=x+2y < x2+y2+y<1+1=2<
2
10
3+ (do x2 + y2 < 1, y <1
) 0,5 điểm
Tóm lại: với nghiệm
+
=
+
=
10
2 2
1 y
10
1 2
1 x
thì tổng x+2y lớn nhất 0,25
điểm
Bài 3: (5 điểm)
Câu 1:(3 điểm) TXĐ: -1≤x≤1 0,25 điểm
Pt đã cho ⇔ 2 [ (1 x)3 (1 x)3] 2 1 x2
2
x 1 x 1 2
x
điểm
Trang 6⇔ [ ] [ 2 ] 2
2
x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2
x 1 x
0,75đ
⇔( 1+x+ 1−x)( 1+x- 1−x)= 2 0,5 điểm
⇔ 1+x-1+x = 2⇔ x=
điểm
Câu 2: (2 điểm)
Vì cosx=0 không phải là nghiệm của phương trình:
Vì cosx=0 => x=π kπ
2 + thì sin3(π kπ
2+ ).[1-4sin2(π kπ
2 + )]≠
2
1
0,25 điểm
Nhân hai vế của phương trình với cosx ta được:
Sin3x.(cosx - 4sin2x.cosx) =
2
1 cosx
điểm
điểm
⇔ sin6x =sin(
2
điểm
⇔
+ +
=
+
−
=
π π
π π
2 k x 2 x 6
2 k x 2 x
6
⇔
+
=
+
=
5
2 k 10 x
7
2 k 14
x
π π
π π
điểm
Bài 4: (4 điểm)
S
L H
O h
x
Trang 7a) (2 điểm)
Gọi I là trung điểm của BC, ta có AI ⊥ BC, SA ⊥ mp(ABC)
Nên SI ⊥ BC (định lý 3 đường vuông góc) 0,5 điểm
Kẻ CL ⊥ SB thì SI ∩ CL = H
Gọi J là trung điểm của AB; O là trực tâm của ∆ABC
Ta có CJ ⊥ mp(SAB) => CJ ⊥ SB (1)
Mặt khác CL ⊥ SB (2)
điểm
Vì OH trong mp(SAI) nên OH ⊥ BC => OH ⊥ mp(SBC) 0,5 điểm
Hay OH là đường thẳng Hy Vậy Hy luôn luôn đi qua điểm O cố
định 0,5 điểm
b) (2 điểm)
Xét ∆SIS' ta có IA ⊥ SS', S'H ⊥ SI
điểm
Nên AS.AS' = AI.AO => AS' =
h 2
a2
0,5
điểm
Trang 8Vậy SS' = SA + AS' = h+
h 2
a2
≥
2
a
điểm
Dấu "=" xảy ra khi h=
h 2
a2 => h=
2
2
điểm
Chú ý:
1)Bài hình không có hình vẽ thì không chấm
2)Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì người chấm
cho điểm tương ứng phần đúng đó.