[r]
Trang 1Trờng THPT Đa Phúc Đề thì học kỳ 1 - Môn Toán - Lớp 12
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1: (3 điểm)
Cho hàm số y=x3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi k = 1
2) Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có một cực đại, một cực tiểu
3) Với k = 1, viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đ-ờng thẳng y = -3x + 2010
Câu 2: (1 điểm)
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f (x)=x2− ln(1 −2 x) trên đoạn [-2; 0]
Câu 3: (2 điểm)
Giải các phơng trình sau:
1 ¿ 32+x+32 − x=30
x − 1¿8=log2(4 x)
2 ¿ 1
2log√ 2 (x +3)+1
4log4 ¿
Câu 4: (1 điểm)
Chứng minh rằng: 2sin x
+ 2tan x ≥ 2 x+1 với 0 ≤ x≺π2
Câu 5: (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là một tam giác vuông tại B; AB = BC = a Cạnh bên SA⊥ (ABC) , SA=a√3 Từ A, kẻ AH⊥ SB , AK⊥SC
1) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a
2) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AHK và S.ABC
3) Chứng minh 5 điểm: A, B, C, H, K cùng nằm trên một mặt cầu Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó
Hết
Trang 2-3
1
Đáp án và thang điểm đề thi học kỳ I
Môn toán (Lớp 12)
Câu 1: (3 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với k = 1
k = 1 hàm số y = x3 - 3x - 1
(0,25) * TXĐ: R
* Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y’ = 3x2 - 3 = 3(x2 - 1) y’ = 0 x = 1
+); hàm nghịch biến trên (-1; 1)
+ Cực trị: xCĐ= -1; yCĐ= y(-1) = 1
xCT = 1; yCT = y(1) = -3
+ Giới hạn: lim
x →+∞(x3−3 x − 1)= lim
x →+∞[x3 (1− 3
x2−
1
x3)]=+ ∞
lim
x →− ∞(x3−3 x −1)= lim
x →− ∞[x3 (1 − 3
x2− 1
x3 )]=− ∞
(0,25) + Bảng biến thiên:
(0,25)
*Đồ thị:
+ Tâm đối xứng của đồ thị là I(0; -1)
+ Đồ thị đi qua A(2; 1); B(-2; -3)
2) Đạo hàm: y’ = 3x2 +2(k-1)x - (k+2)
Hàm số có CĐ, CT y’ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt
k −1¿2+3(k +2)=k 2 +k +7 >0,∀ k
Vậy với k, hàm luôn có CĐ, CT
3) Tiếp tuyến của (C) song song với đờng
thẳng y = -3x + 2010
x0 = 0 y0 = -1 tiếp điểm là (0; -1)
phơng trình tiếp tuyến của (C) song song với đờng thẳng y = -3x + 2010 là
y = -3.(x - 0) - 1 y = -3x - 1
Câu 2: (1 điểm)
.TXĐ: 1− 2 x >0 ⇔ x <1
2
(0,25)
(0,25)
(0,25
)
(0,5)
(0,25)
(0,25)
(0,5)
Trang 3.§¹o hµm: f ' (x)=2 x + 2
1 −2 x ;
f ' (x)=0 ⇔ − 2 x
2
+x+1
x=1>1
2
¿
2(tm)
¿
¿
¿
¿
¿
.Ta cã: f (−2)=4 −ln 5 ;f (0)=0 ; f (−1
2)=
1
4− ln 2
VËy: Min f(x) = 0; Max f(x) = 4 - ln5
[-2; 0] [-2; 0]
C©u 3: (2 ®iÓm)
Gi¶i ph¬ng tr×nh
1) 32+ x
+ 32 − x=30⇔9 3 x+9 3− x=30
§Æt t = 3x, t > 0 XÐt pt:
9 t+9
t=0>0(tm)
¿
3>0(tm)
¿
¿
¿
¿
¿
t=3 :3 x= 3⇔ x=1
3:3
x
KL: TËp nghiÖm S = {-1; 1}
2)
x −1¿8=log2(4 x)
1
2log√ 2 (x+3)+1
§K:
¿
x+3>0
x −1 ≠ 0
x >0
⇔
¿x>0
x ≠ 1
¿ { {
¿
(1)⇔ log2(x+3)+log2∨x − 1∨¿ log2(4 x)
⇔log2¿
-2
2
1
(0,5)
(0,5)
(0,5)
(0,25)
(0,25)
(lo¹i)
Trang 4B
C H
K S
⇔
¿ (x +3).( x −1)=4 x
x>1
¿
¿
¿
¿
0<x <1
¿
¿
¿
⇔
¿
¿
¿
x>1
¿
x=3
¿
x =−1
¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿
(0,25) KL: Tập nghiệm S={+3;√12 −3}
Câu 4: (1 điểm)
BĐT Côsi: 2sin x
+ 2tan x ≥ 2.√2sin x 2tan x=2
sin x+tan x
2 +1
Cần chứng minh: 2
sin x+ tan x
2 +1≥2 x+1 , ∀ x ∈¿
Thật vậy: Xét hàm y = sinx + tanx - 2x trên ¿
cos2x −2 ≥ cos
2
cos2x − 2≥ 0, ∀ x ∈¿
Hàm y = sinx + tanx - 2x đồng biến trên ¿ , y(0) = 0
⇒ sin x+tan x
2 +1≥ x +1,∀ x ∈¿ (vì y (x)≥ y (0), ∀ x ∈¿ )
⇔2
sin x+ tan x
2 +1≥ 2 x+1
Vậy 2sin x+ 2tan x ≥ 2
sin x+tan x
2 +1≥ 2 x+1 , ∀ x ∈¿
Đẳng thức xảy ra x = 0
Câu 5: (3 điểm)
cân
V S ABC= 1
3 a√3.
1
2 a
2
=√3
6 a
3
2) V S AHK
V S ABC=
SA
SA .
SH
SB .
SK
SC =
SH
SB .
SK SC
SA2
SB2 =
3 a2
4 a2=
3 4
(SB2 = SA2 + AB2 = 3a2 + a2 = 4a2)
(0,25)
(0,25)
(0,25)
(0,25)
(0,25)
(1.0)
(0,25)
(0,25)
Trang 5ΔSAC có AK⊥SC⇒ SK SC=SA2⇔ SK
SA 2
SC2 =
3 a2
5 a2=
3 5
(SC2 = SA2 + AC2 = 3a2 + 2a2 = 5a2)
⇒ V S AHK
V S ABC=
3
4.
3
5=
9 20
3)
}
⇒ }⇒ }⇒ }⇒ }⇒ AH ⊥ HC
Vậy: A ^ H C= A ^ B C=A ^ K C=900 5 điểm A, H, K, C, B cùng nằm trên mặt cầu
đờng kính AC Vậy tâm mặt cầu là trung điểm I của AC, bán kính mặt cầu là
r= a√2
2
(0,25)
(0,25)
(0,5)
(0,5)