Gọi K là giao điểm của BO và AC.. Gọi M là trung điểm của BC.. Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M.
Trang 1đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi
Mụn : Toán Lớp 8 Năm học : 2009 – 2010
Thời gian làm bài : 120 phỳt
Cõu 1 : Giải phương trỡnh : a) x x−−12+x x−+43+(x−2)2.(4−x)
b) 6x2 - x - 2 = 0
Cõu 2 : Cho x + y + z = 0
2 2 2
) ( ) ( ) (y z z x x y
z y x
− +
− +
−
+ +
Cõu 3 : Chứng minh rằng khụng tồn tại x thỏa món :
a) 2x4 - 10x2 + 17 = 0 b) x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0
Cõu 4 : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho
2
1
=
DC
DB
; điểm O nằm trên đoạn AD sao cho
2
3
=
OD
OA
Gọi K là giao điểm của BO và AC Tớnh tỷ
số AK : KC
Cõu 5 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H
cắt AB, AC thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M
hướng dẫn giải
Cõu 1 (Bạn đọc tự giải)
Cõu 2:
Từ x + y + z = 0 ⇒ x2 + y2 + z2 = - 2(xy + yz + zx) (1)
Ta cú: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy + yz + zx) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = - 6(xy + yz + zx) (3)
Thay (1) và (3) vào biểu thức A ta cú:
- 6(xy + yz + zx) = 3
Cõu 3:
a) 2x4 - 10x2 + 17 = 0 ⇔2( x4 - 5x2 + 17
2 ) = 0 ⇔2(x4 - 2 5
2 x2 + 25
4 )2 + 9
2 = 0
⇔2(x2 - 5
2)2 + 9
2 = 0
Vỡ 2(x2 - 5
2)2 + 9
2 > 0 với mọi x nờn khụng tồn tại x để 2x4 - 10x2 + 17 = 0 b) x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0 ⇔(x2 + 1)(x2 - x + 1) = 0
Vỡ vế phải luụn dương với mọi x nờn khụng tồn tại x để x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0
Trang 2Cõu 4:
Từ D kẻ DM // BK
ỏp dụng định lớ Talột vào ∆AOK ta cú:
Tương tự, trong ∆CKB thỡ: KM CD 1
Nhõn (1) với (2) vế theo vế ta cú: AK 1
Cõu 5
Gói giao ủieồm cuỷa AH vaứ BC laứ I
Tửứ C keỷ CN // PQ (N∈ AB),
Tửự giaực CNPQ laứ hỡnh thang, coự H laứ trung
ủieồm PQ, hai cánh bẽn NP vaứ CQ ủồng quy tái
A nẽn K laứ trung ủieồm CN ⇒ MK laứ ủửụứng trung
bỡnh cuỷa ∆BCN
⇒ MK // CN ⇒ MK // AB (1)
H laứ trửùc tãm cuỷa ∆ABC nẽn CH⊥A B (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra MK ⊥CH ⇒ MK laứ ủửụứng
cao cuỷa∆CHK (3)
Tửứ AH ⊥BC ⇒ MC⊥HK ⇒ MI laứ ủửụứng cao
cuỷa ∆CHK (4)
Tửứ (3) vaứ (4) suy ra M laứ trửùc tãm cuỷa ∆CHK⇒ MH⊥CN ⇒ MH⊥PQ
∆MPQ cĩ MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nờn cõn tại M
O
K M
C D
B A
I K N
M
Q
P H
C B
A