cong thuc toan hinh tuhoc247

Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng SAB, SBC SAC vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB,SBC,SAC lần lượt là Su8,,6,.. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đ

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CT1 Cho hình chóp SABC với

các mặt phẳng (SAB), (SBC)

(SAC) vuông góc với nhau từng

đôi một, diện tích các tam giác

SAB,SBC,SAC lần lượt là

Su8,,6,

CT2 Cho hình chóp S.ABC có

SA vuông góc với (ABC), hai

mặt phẳng (SAB) và (SBC)

vuông góc với nhau, BSC=z,

ASB=Ø

CT3 Cho hình chóp đều

S.ABC có đáy ABC là tam giác

đều cạnh bằng ø, cạnh bên

bằng b

CT4 Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và

mặt bên tạo với mặt phẳng đáy

goc a

CT5 Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có các cạnh bên bằng

b và cạnh bên tạo với mặt phẳng

đáy góc /

CT6 Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có các cạnh đáy bằng

ø, cạnh bên tạo với mặt phẳng

CT7 Cho hình chóp tứ giác

đều S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông canh bing a, va

SA=SB=SC=SD=b

CT8 Chohình chóp tứ giác

đều S.ABCD có canh day bang a,

góc tạo bởi mặt bên và mặt

phẳng đáy là a

CT9 Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD có cạnh đáy bằng a,

SAB=a, wiae( 4/4) 42

CT10 Cho hình chóp tứ giác

đều S.ABCD có các cạnh bên

bang a, góc tạo bởi mặt bên và

mặt đáy là ø với ø (0)

Khi chóp tứ giác có tất cả

các cạnh bang a thi

CT 11 Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có cạnh đáy bằng a

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A

song song với BC và vuông góc

với (SBC), góc giữa (P) voi mat

phẳng đáy là ø

CT12 Khối tám mặt đều có

đỉnh là tâm các mặt của hình lập

phương cạnh 4

CT 13 Cho khối tám mặt

đều cạnh a Nối tâm của các mặt

bên ta được khối lập

phương

LỜI GIẢI CHI TIẾT CT1 Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng (S.AB),(SBC),(SAC) vuông góc với

nhau từng đôi một, diện tích các tam giác S4B,SBC,SAC lần lượt là 5,,S,,S, Thể tích khối chóp S4BC

lời giải

1

AS.L(SBC) =s Vuuc =2 Sasuc-SA = SASBSC “Ssc+

= 2645) SC = 2 NSASBSBSCSASC

Áp đựng: Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng (SAB),(SBC),(SAC) vuông góc với

nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB,SBC,SAC lần lượt là 15em°,20cmˆ,18cmẺ Thể tích khối chóp SABC là

CT2 Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), hai mặt phẳng,

(SAB)và (SBC)vuông góc với nhau, BSC=z,ASB=/Ø Thể tích khối chóp SABC là

lời gi

+ASAB vuông tại A có : AB=SB.sinz, SA=SB.cosz

+ASBC vuông tại B có :

BC=SB.tanB = Syne =} AB.BC = 2.58°-sin œ.tan

Vo ane =F Sun SA = 505 5B sinaztan Pi SB.cose

_ 8B sin 2z tan /

12

Áp dựng: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), hai mặt phẳng (SAB) và

(SBC) vuông góc với nhau, SB =3, BSC = 45°, ASB =30" Thể tích khối chóp S4BC là

6

CT3 Cho hình chóp đều S.ABC có day ABC la tam gidc déu canh bang a, cạnh bên

bằng b Thể tích khdi chép S.ABC la

Gọi G là trọng tâm AABC = SG 1 (ABC)

¬

AABC đều => AM

2 ASGA vuông tại G có:

SG=SA?~ AG?

+2 _ fae

Ấp dụng: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bang a, cạnh bên

bằng ø Thể tích khối chóp S.ABC là

= Chọn đáp án B

CT4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng ø và mặt bên tạo với

mặt phẳng đáy góc z Thể tích khối chép $.ABC 1a

3 3

48 2 2 12

lời giải s

2 + AABC đều =5 „„ we

+ Gọi G là trọng tam AABC = SG 1 (ABC)

Xét ASGM vuông tai G có : 4

M

1

Ấp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phang day géc 60° Thể tích khổi chóp S.ABC là

@tana _ a3

sục“ Con Ge = Chọn dap dn C

CT5 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng

đáy góc Ø Thể tích khối chop S.ABC là aa

Tời giải

+ Gọi G là trọng tâm AABC => SG 1 (ABC)

Xét ASGA vuông tại G có:

SG =SA.sin/đ=b.sin 8

_ 3b.cos

AG=SA.cos/ = AM= 3 AG= 5

2

B ap

+ AABC déu AM =a

= an~ 2 antarfbcoap v3

ae -(W J3b.co, <p) = 7 330? cos?

4

2S, sane =

1 V3b".sin B cos? B

Vậy Vuạc =2.Supc8G= TT TT”

CT6 Cho hình chớp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với

mặt phẳng đáy góc / Thể tích khối chóp S.ABC là

+ Gọi G là trọng tâm AABC = SG 1 (ABC)

Xét ASGA vuông tại G có :

=SG=AG.tanØ= 5 AM.lan/

+ AABC đều = AM =` AB

=sG=2 Banta ng— 0)5.tan 3 3

1 182/3 av3.tan đ _ a`.tan

Vậy Vuục =2SuncSG=2— TS To

Ap dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bang a, mặt bên tạo với

mặt phẳng đáy góc 30° Thể tích khối chớp S.ABC là

CT7 Cho hình chóp tứ giác đều S.4BCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

và SA=SB=S§C =SD=b Thể tích khối chóp S.ABCD là

lời giải

ACaBD=[{O} = SO 1 (ABCD)

Gọi M là trung điểm AB

> SM? =SA*— AM? =0*

ASOM vusng tai O có:

I= Joe

Vay Vessco = geo = SascpSO = SO

Áp dựng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng ø,

_

=> Chon dap án C

CT8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng ø, góc tạo bởi mặt

bên và mặt phẳng đáy là z Thể tích khối chóp S.ABCP là

Lời giải

AC¬BD={O}=SO 1 (ABCD)

Gọi M là trung điểm CD

=((SCD),(ABCD))=SMO=ø

+ Tam giác SOM vuông tai O có:

SO =OM.tanSMO = 5 tana

Vanco = 3 Sanco $O == a5 tan =F B c

Ap dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, géc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là 45° Thể tích khối chóp S.ABCD là

= B

¿ 5

— 5 = Chọn đáp án D

'SABCD ~

CT9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng ø, SAB=ø, với

ae (4) Thể tích khối chóp S.ABCD là

lời giải

ACMBD ={O} => SO 1( ABCD)

Gọi M là trung điểm AB

ASMA vuông tại M có:

= SM = AM.tanSAB=

ASOM vudng tai O có:

=5 Van) z—1

V, 1

sanco = 3“ ancp'SO =

Ấp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng ø, S4B=60° Thể tích khối chóp

S.ABCD là

a@ tan? a1 _ a2

D.É, 6

CT 10 Cho hinh chóp tứ giác đều S.4BCD có các cạnh bên bằng a,

bên và mặt đáy là ø với a aC HÌ Thể tích khối chóp S.4BCD là

lời giải

ACaBD ={O} =SO + (ABCD)

Gọi M là trung điểm CD

=((SCP),(ABCD))=SMO=60°

Gọi độ dài một cạnh hình vuông là x

+ Tam giác SMC vuông tại M có:

SM =\VSC* -CM? =

+ Tam giác SOM vuông tại O cé:

1+ tan” ø

Ta có: SƠ =OM.tanSMO = —.tanøz=—=—==—

2 V2+tan? a

CT 11 Cho hinh chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A song

song với BC và vuông góc với (SBC), góc giữa (P) với mặt phẳng đáy là ø Thể tích khối chóp S.ABC

» Ese]

lời giải

+ AABC déu = S, aac = _@N8

+ Gọi G là trọng tâm AABC = SG 1 (ABC)

+ Gọi (P)(SBC) = EF => EF / /BC

=(P)n(SBC)= Ax với Ax//EF /JBC

+ Gọi M là trung điểm của BC, SMr^EF =N

Ta có: AM 1L BC,SG L BC

=> BC L(SAM)=> AN L BC= AN 1 Ax

Mà AM.LBC,BC/JAx= AM L Ax

= ((P),(ABC))=NAM =a

Ta có: GSM = NAM =ø (cùng phy v6i SMA)

Xét ASGM vuông tại G có :

Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với (SBC), góc giữa (P) với mặt phẳng đáy là 30" Thể tích khối chop S.ABC la:

_ @ cot30"

Áp dụng bai nay: Vos =

24

CT12 Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh ø có thể

tích là

ays ,

2 a

¬1 -

Chiều cao khối chóp O,0,O,0, là k= 2"

:

m

=— Chọn đáp án C

CT 13 Cho khối tám mặt đều cạnh a Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích

3

bằng V Ty Ÿ gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau?

Lời giải

In =1pp= 82 3 3

20° V2

2

2 ~9,5 = Chọn đáp án A

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN TỈ LỆ THỂ TÍCH

Câu 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDcó đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và

mặt phẳng đáy la @ Mat phẳng (P)qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD)chia khối chóp

S.ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện nfo

Ta có:

cos’ SNO

=8 2Vcos*a T—+1=—#—đeo°z+1Ta có: 2.cosz

5= 2CM.SD = SNCD

al

cụ SNCD _ tesa” cosa

cosa

=DM=CD°~CM? = “Trea “đit z —

a.cosa Vico — Vanco _1 DM DA DC_1DM_1 Vi+cos?a cos” ø

2.cosz