cong thuc toan cap 3 tuhoc247

cong thuc toan cap 3 tuhoc247 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vự...

Mu HỌC ce _ °

1 Tam thức bậc hai :

f(x) = ax°+bx+oe (az0 ; ơ§ eR; øœ<§; S=—2)

f(x)>0, vxeR KG) OI VI SDU Ko less oe — lence

fx)<0,VxeR © lo Me SESE SMe lê? lente

là nghiệm củaf f X,<a<xp<B oo 420) <0

œ là nghiệm củaf(x) <> f(a)=0} X: 2 af(B) > 0

a<x, <b<x, E020

X1<a<X2 © af(a) <0 1 2 af(B) <0

Œ<X,<X;, © RERG)NS0 S_aso MSGS SB <= f(a).f(p) <0 a<Xx,<B<x,

2

A>0

af >0 Xạ<Xy<œ «@Ằ ah œ<X;<Xạ<B © No”

S

a8 <0

2 Bat dang thiic Cauchy (Cô-si) :

«a,b>0 thì = fab

+ a,b,o >0 thì ses >Yabe , déu"

„ dấu “="xảyra œ a=b

="xayra @ a=b=c

3 Cấp số cộng :

ai Định nghĩa: Dãy số U\, U, ,Ún,

gọi là một cấp số cộng có công sai d nếu

U=,.;+ d

b/ Số hạng thứn: | un= u;+ (n - †)d

c/ Tổng n số hạng đầu tiên :

Ÿn= Uyt Up + + Uy = pli tn) = 5 [2u+ (n—1)d]

4 Cấp số nhân :

al Định nghĩa: Dãysố Uạ, Uạ, ;Ún,

gọi là một cấp số nhân có công bội q nếu = Uy 4-4

b/ Số hạng thứ n : uUn= u¡.q"1

c/ Tổng n số hạng đầu tiên :

1-q"

S)= Uy + Ue tot Uy = Uys (q #1)

74

Nếu -1<q<1 (g|<1) thì

5 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối :

|A|=|B| A=+B |A|<|B| œ A<?

|A|=B lê

A=+B

Al Sayeed pam

|A|<B ={ A>-B

6 Phương trình, bất phương trình chứa căn :

A>0

>

B20

A>0 A>B?

7 Phương trình, bất phương trình Iogarit :

log, f(x) = log, g(x) = 0<az1 fx)>0O (hoặc g(‹) >0)

F(x) = a(x)

log, f(x) > log, g(x) =

0<az1

f(x)>O g(œ%) >0

(a~ 9[f&«)~g@9]>0

8 Phương trình, bất phương trình mũ :

fx) _ ag90) 0<az1 tr

oles CulS " f(x), a(x) xace dinh

al 5 ga c„ { a>0

(a~— 9[f@) - g()] > 0

10

Lũy thừa: a,b>0

(a2/= ae?

b

1

Œ hữ _ b* = (a.b) Œ a s ae

k

Logarit: 0O<N;,N2,N và 0<a,b+1 ta có

log,N = M œ N=a" log,[N_} =log,N, ~log,N, N

log, (Ni.Ne) = log,N; + log,N2| log,b =

log,a“ = M log,N°= a log,N

log,N

Ni gạNa _ Na H log, N log, a

1

1 Công thức lượng giác :

1 Hệ thức cơ bản :

sin?x + cos?x = 1 tgx.cotgx = 1

sinx 2 1

cos x 2 1

2 sin x ooo sin?x

2 Các cung liên kết : Đối - Bù - Phụ - Hơn kém Zr; E

cos(-x) = cosx tg(-x) = —tgx

sin(-x) = —sinx cotg (_x) = —cotgx

cos(x—x) = —cosx cotg(7 -—x) = —cotgx

sin(E —x) = cosx tạ —x) = cotgx

cos(F —-x) = sinx cotg(C —*) = tgx

sin(x+z) = -—sinx tg(x+7) = tgx

Cos(x+z) = —cosx cotg(x+7) = cotgx sin +) = cosx ta(x +) = —cotgx

cos(x +5) = -sinx | cotg(x +B) = —tgx

3 Công thức cộng :

sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny

cos(x + y)= cosx.cosy + Sinx.siny

tgx + tgy

4 Công thức nhân đôi :

Fe in2x = 2sinx.cosx : tg2x = ——= 2tgx

2 ame) 2 1+cos2x

cos2x = cos*x— sin"x COB X ome

~ “ y le 1—cos2x

= 1—2sin2x dit =

5 Céng thic biéu dién sinx, cosx,tgx theot = to? :

6 Công thức nhân ba :

| 3tgx — tg*

§in3x = 3sinx - 4sinx g 1- 3lgx

0n x 3cosx + cos3x

at 3sinx - sin3x

sinx = ———————

4

7 Công thức biến đổi :

ai Tích thành tổng :

* cosa.cosb > [cos(a—b) + cos(a + b)]

© sina.sinb [cos(a —b) — cos(a + b)]

* sina.cosb [sin(a—b) + sin(a+b)]

b/ Tổng thành tích :

©Ổ cosx + cosy = 2cos + cos

* cosx — cosy = — 2sin X*¥ sin

e sinx + siny = 2sin = cos

sinx — siny = 2 cos _ sinX=Y

fxr ty = cosx.cosy © oOgX+ cotloy sinx.siny

sin(x-y) sin(y - x)

— toy = cosx.cosy ° G01gX = CODY = “ciny siny

Đặc biệt: | SI+ cosx = ý2einx+) = V2 cos(x- 5)

sinx — cosx = Ý2 snx=^) = — ¥2 cos(x + a

1+ sin2x = (sinx + cosx)?

IL Phuong trinh lugng giác :

1 Phuong trinh co ban:

nan 2 n2 x=z—ơ +k2m

Đặc biệt: sinx=1 x=2 +k2w ¡ Sinx=-1 <> x=- 5 +kên

sinx=0 = x=kz

x= a+k2n (keZ)

bí cosx=cosa &

X= -a +k2x Đặc biét: cosx=1 <= x=k2n ; 008X= —Ï ©@® X= + k2m

cosx=0 = xa 5 tke

dí cotgx = cotga x=œ+km (KkeZ)

2 Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác :

Cách giải : Đặt t= sinx (hoặc cosx, tgx, cotgx) ta có phương trình

a,t" + a,4t™'+ + a = 0

Néu t = cosx hoặc t = sinx thì có điểu kiện -1< t <1

8 Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx :

a.sinx + b.cosx = œ a.bz0

Điều kiện có nghiệm : a?+ b? >c?

Cách giải : Chia 2 vế phương trình cho ya? +b? va sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản

4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx :

a.sin?x + b.sinx.cosx + c.cos?x = 0

Cách giải :

Xét cosx =0 © x => + km _ có phải là nghiệm không?

Xét cosx # O chia 2vế cho coạx và đặt t=tgx

5 Phương trình dạng : | a.(sinx + cosx) + b.sinx.cosx = cœ

Cách giải : Đặt + = sinx + cosx = ý/2sln(x + 5) ¡ -⁄2<t<2

†2—1

2

và giải phương trình bậc hai theo t

= sinx.cosx = (hoặc sinx.cosx

II Hệ thức lượng trong tam giác :

1 Định lý hàm số cosin: | a? = b2 + c2 - 2be cosA

b? = a? + c? - 2ac cosB c? = a? + b* — 2ab cosC

b c

2 Định lý hàm số sin : Inbity memes ein —ˆ sinA sinB sinC

3 Công thức tính độ dài trung tuyến :

be+c? a? a2+c? bổ, a+b? c?

4 Công thức tính diện tích tam giác :

S= ah, = bh, = eh,

abc js=

P(p — a)(p — b)(p —c)

1 Đạo hàm :

(xt)? Sa qu%)’ = Su" 'Ú

x xt u u?

(sinx)” = cosx (sinu)’ = u’.cosu

(cosx)’ =-sinx (cosu)’ =—u’.sinu

(tax) — ©oe2x Cou) = ‘cos*u

(cotgxy = aint (cotgu)’ = SEan

a* = a*.Ina av = u.a'ina

i, 1 —— uw

IH Bảng các nguyên hàm :

Ídx=x+C Jatax = =" Ina

Em fxtdx = œ+† + (@œ+-i)| Íeosxdx=sinx+©

SX ~InIx|+© x = cos? x

je*dx =e*+C ƒ dX_ ~_cotgx+C sin? x

Chú ý :Nếu [f@c)dx = F(x)+© thì [f(ax+b)dx = TF (x +b) +C

1H Diện tích hình phẳng - Thể tích vật thể tròn xoay :

© Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng

© Chon céng thức để tính diện tích

b

S= fly -Yeldx

d

S= Í|x; —xạ|dy

e

hoặc

© Chọn công thức để tính thể tích :

- Hình phẳng quay quanh Ox: | W=z

- Hình phẳng quay quanh Oy :

V= ~Ï|x? —xã|dy

e Biến x thì cận là x=a; x=b cho trong giả thiết hoặc

hoành độ các giao điểm

Biến y thì cận là y=oœ; y=d_ cho trong giả thiết hoặc

tung độ các giao điểm

I Phuong pháp tọa độ trong mặt phẳng : :

AB = (a,;€,), AC =(b,;b,) => Shape = glare — a,b,

1 Đường thẳng :

a Phương trình đường thẳng A :

- Phương trình tổng quát : Ax + By+C =0

( vectơ pháp tuyến rỉ =(A;B) ; A?+B°zx0)

x =X, +at

~ Phương trình tham số : {

(vectơ chÏỉ phương U = (a;b) va qua diém M(xp, Yo) )

~ Phương trình chính tắc :

a

Ai

- Phương trình đoạn chắn : ae bal

(A qua A(a ;0) ; B(0;b))

b Góc (0 (0° < @<90°) giữa hai đường thẳng :

Ax + By+C=0và Ax+By+C'=0

|AA' + BB|

— VA*+ B® A+B?

c Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo) đến đường thẳng A:

|Axe + Byạ + C|

d(M,A)= PS" ở

VA? +B?

d Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Ax+By+C _„ Ax+By+C

e Hai điểm M(x,y:), M'(xa,yz) nằm cùng phía so với A

& t.te>O

Hai diém M(x1,y1), M’(xe, ¥2) nam khdc phia so vdi A

© t:ila<O0

Ax, + By, + C Ax, +Blyn+ C

(n= MABE 2u, me BE)

2 Đường tròn :

~ Phương trình đường tròn :

Dạng 1 : Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a ;b) và bán kính R

(x~8)” + (y— b)?= R?

Dang 2: Phuong trình có dạng | x? + y?-2ax- 2by+c =0

với điều kiện a?®+b°—c > 0 là phương trình đường tròn (C) cé

tam I(a;b) va ban kinh R= va? +b2—c

- Phuong tích của một điểm Mo(xo;ya) đối với một đường tròn :

Pwo) = Xo" + Yor — 2aXo— 2bÿo +C

® Phương trình chính tắc Elip (E) | > + ae =1| (a>b) ; c= a?- b?

© Tiéudiém : F:(c;0), ero)

® Đỉnh trục lớn: A;(a;0), Aa(a;0)

« Đỉnh trục bé : B:(0;-b) , Bz(0;b) ; Tâm sai: s-

© Phuong trình đường chuẩn : x= Sẽ

s Phương trình tiếp tuyến của Elip tại M(xo;yo)e(E) | —% + 22 =

e Điều kiện tiếp xúc của (E) và (A) : Ax + By +€ =0

A?a? + B?b?= C2

4 Hypebol :

2 2

* Phương trình chính tắc Hypebol (H) nh = Da =1| &=a?+b?

* Tiêu điểm : F(c;0) , Fa(c;0)

e Đỉnh :Ai(a;0), Az(a;0) ; Tâm sai: e -¢

© Phuong trinh dudng chuẩn: | x = tr

s _ Phương trình tiếp tuyến của Hypebol tai M(xo ; Yo) < (H): Paar as 4

© Diéu kién tiép xtc ca (H) va (A): Ax + By + C =0

A?a?— B?b?= C? | (Cz0)

5 Parabol :

s_ Phương trình chính tắc của Parabol : (P): Y'= 2px

* Tiêu điểm : F(E : 0) ; _® Phương trình đường chuẩn : | x= a

© Phuong trinh tiếp tuyến với (P) tal M (x0; yo)e(P): | yoy = p(Xo + x)

© Diéu kién tiép xtc clia (P) va (A): AX + By + C =0 | 2AC = B’p

II Phương pháp tọa độ trong không gian :

1 Tích có hướng hai vectơ :

a Định nghĩa : Ứ= (x;y;Z) và V = (X';y';Z)

tiv) = 11% 2512 “151% Y| | > (yet-zy's 2x'—x2' gay’ yx) U,V) = y'zÍ|z x||x vị = WZ—2y; ZX—XZ ; X/ —YX

b Các ứng dụng :

sũWcùngphương «+ [lv] =0

© iv,w déngphang < [úv].W =0

1|— —

© Shac = z|R=2£||

; ah is 1

+ ABCD la td dign «> [AB,AG].AD = m#0 5 Vjaco = Im|

2 Mặt phẳng :

a Phương trình mặt phẳng (Gœ) :

~ Phương trình tổng quát : Ax + By + Cz+D=0,

Ti=(A;B;C) , (A?+B?+C? #0)

- Phuong trinh doan chan :

((@) qua A(a;0;0) ; B(O;b;0) ; C(0;0;c)

b Góc giữa hai mặt phẳng :

(a) : Ax +By +Cz +D =0

(B) : Ax+Bly +C'z+D'=0

zi |AA' + BB'+CC'|

If[ VA?+B?+C?.VA?+B2+C?

e Khoảng cách từ điểm Mo(Xo: Vo ; Zo) đến mặt phẳng (o) :

cos@ =

|Ax, +By, +Cz,+D|

=1

3 Đường thẳng :

a Ba dạng phương trình của đường thẳng :

© Phương trình tham số của ‘A qua Mo(Xo;Yo;Zo) và

X=X, +at

có vectơ chỉ phương U = (a;b;c) : Y=Yo +bt

z=2Z,+ct

® Phương trình chính tắc :

® Phương trình tổng quát :

Ax +By +Cz +D =0

Ax+By+Cz+D=0

(với A:B:CzA':B':C')

b Góc giữa hai đường thẳng :

lứ| a2+b?+c2.Va2+b2+g2 |aa'+ bb'+cc|

(teR)

c Khoảng cách từ A đến đường thẳng A (A có vtep u và qua M) :

d(A,A) = [a.=al|

lãi

d Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

Á có vtcp ử và quaM ; À có vtcp Ý và qua M"

d(A,A') =

e Góc giữa đường thẳng A và mặt phẳng (o) :

sing =

|Aa + Bb + Cc|

| [a VA? +B? +0? va? +b? +c?

4 Mặt cầu :

a Phương trình mặt cầu :

~ Dạng 1 : Phương trình mặt cầu (8) có tâm 1(a;b;c) và bán kính R

(x-a)?+(x-b)?+ (x—c)Ê = R?

~ Dạng 2 : Phương trình có dạng :

x?+y°+ z?- 2ax— 2by — 2cz + d =0

với điều kiện a? + bể + e? — d_> 0 là phương trình mặt cầu (S)

có tâm1(a;b; e) và bán kính R=+Ýa” +b? + o?— d

b Sự tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng :

© d(I,(a))<R <= (a) giao (S) theo đường tròn (C)

(xa)? + (xb)? + (x-c)? =

Ax+By+Cz+D=0

~ Tâm H của (C) là hình chiếu của tâm 1(a ;b;e) lên mặt phẳng (o)

- Bán kính của (©) : r=VRÊ ~IHÊ

¢ d(i,(a))=R © (o) tiếp xúc với (S)

5® dữ(3))>R œ (øA(S) =

(a+b)"= Ca" + Cla" tb + C?a™ oe tent CP" = bền an" *pk

~ Phương trình (C) :

(14x)" = CP + Clx + C2x? + + CPx" - Soi K

(1-x)" = C2 = Cx + CR? — + NCH = SEN

k=0

Tinh ch&t: | C?=C?=1 | CK=Cr* | Ch CK=CK,

n! Mix n!

: | CK =— _ c= ce EE P, =n!