TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Góc hợp bởi SC và mặt phẳng ABC Do ?? ⊥ ??? ⇒ AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABC ⇒góc hợp bởi SB và ABC là góc SCA HỆ THỐNG TRỌNG TÂM PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN... Ch

Cho tam giác ABC vuông tại B Lấy điểm S nằm ngoài (ABC) sao cho SA vuông (ABC)

Cho tam giác ABC vuông tại B, kẻ tia Ax vuông góc (ABC) Lấy điểm S trên tia Ax

1 Góc hợp bởi

SB và mặt

phẳng (ABC)

Do 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) ⇒ AB là hình chiếu vuông góc của

SB lên (ABC) ⇒góc hợp bởi SB và (ABC) là góc

SBA

2 Góc hợp bởi

SC và mặt

phẳng (ABC)

Do 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) ⇒ AC là hình chiếu vuông góc của

SC lên (ABC) ⇒góc hợp bởi SB và (ABC) là góc

SCA

HỆ THỐNG TRỌNG TÂM PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

⇒ SE là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC)

⇒góc hợp bởi SB và (SAC) là góc BSE

MN BC

23

V V

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông SAABCD,O ACBD

Cột thứ 3 chỉ gợi ý Các em phải nắm rõ bài 1 để trình bày và lý luận

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên

SC (khi đó H cũng là hình chiếu vuông góc của D lên SC)

 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

19 Tính d O SCD ;   Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

tam giác SAB

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

SD M là trung điểm AB

22 Tính d SB AD ;  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

SAMN SABC

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật SAABCD,O ACBD

Cột thứ 3 chỉ gợi ý Các em phải nắm rõ bài 1 để trình bày và lý luận

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC (khi

đó H cũng là hình chiếu vuông góc của D lên SC)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD M

là trung điểm AB

SAMN SABC

1 .3

Gọi P sao cho BECP là hình bình hành

CE vuông AB nên BECP là hình chữ nhật

Kẻ gọi K thuộc BP sao cho OK song song

Gọi E là hình chiếu vuông góc của

O lên BC  ABC ; OBC AEO

nên AH là đường cao của tam giác ABC

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi O là giao điểm AC và BD Hình chiếu của S lên (ABCD) là H thuộc AB sao cho AH  2BH

Gọi K là hình chiếu vuông góc của

H lên CD J là hình chiếu vuông góc của H lên SK

d H SCD HJ

H lên CD J là hình chiếu vuông góc của H lên SK

4 Tính d HC SD ;  Kẻ đường thẳng d qua D song HC

Gọi K là hình chiếu vuông góc của

H lên đường thẳng d J là hình chiếu vuông góc của H lên SK

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ,

SA = a 2.Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông

H

 DoBCSAB tại B nên hình chiếu của C lên (SAB) là B

 Hình chiếu của SC lên (SAB) là SB

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, OBD

Theo chứng minh ở câu b) BDSAC, mà SOSACSOBD

 BDSAC (theo chứng minh câu b) )

 SAC  SBDSO, SAC  ABCDAC;

Vậy  SBD , ABCD AC SO,  AOS ( Vì AOS là góc nhọn)

b) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC Chứng minh: SA  BH

c) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

c) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

Do SBABC tại B nên hình chiếu của S lên (ABC) là B

Hình chiếu của SA lên (ABC) là BA

SA ABC,  SA BA,  SAB

M B

H O

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

b) Chứng minh tam giác SAC vuông

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

Giải

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD

Ta có : SBD cân tại S có O là trung điểm của BD nên SOBD ;

ABCD là hình thoi nên BDAC;

BDSAC, mà BDABCD  SAC  ABCD

b) Chứng minh tam giác SAC vuông

Ta chứng minh SO = AO = OC

 Do ABD cân tại A có 0

60

BAD  ABD đều

 ABD đều cạnh a có AO là đường trung tuyến

32

a

    , mà SO là đường trung tuyến của SAC SAC vuông tại S

Chú ý : Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến

ABC

 vuông tại AAM MBMC

“Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền”

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

Xét hình chóp S.ABD :

Ta có : SA = SB = SD = a, AB = BD = DA = a nên S.ABD là hình chóp đều

Gọi H là trọng tâm của ABDSH ABD (Theo tính chất của hình chóp đều)

Q

K M

H

E A

Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều

Gọi E, F là trung điểm của AB và CD

a) Cho biết tam giác SCD vuông cân tại S Chứng minh: SE  (SCD) và SF (SAB)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên EF Chứng minh: SH  AC

c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD)

Giải

a) Chứng minh SE  (SCD) và SF (SAB)

 Chứng minh SE  (SCD) :

 Do SCD cân tại S có F là trung điểm của CD  CD SF

Mà CDEF (theo tính chất của hình vuông)

  , mà SESEFSECD (1)

 Ta chứng minh SEF vuông tại S bằng cách

sử dụng định lý Pytago như sau :

b) Chứng minh SH  AC

Ta có : CDSEF (theo chứng minh trên), mà SH SEFSH CD

Hơn nữa, SHEF(gt)  SH ABCD

Mà ACABCDSHAC

c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD) (câu khó - các em học sinh đọc tham khảo)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Theo tính chất của hình vuông ABCD, ta có AC, BD và EF đồng quy tại O

Vì SESF nên H thuộc đoạn OF

 Trong mặt phẳng (ABCD), qua H vẽ đường thẳng song song với CD cắt AD, OD lần lượt tại M và

Nhận xét : Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này

và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

Hình chiếu của K lên (SAD) là P

Hình chiếu của KD lên (SAD) là PD

BD SAD,  KD SAD,  KD PD, KDP

 Để tìm góc KDP ta đi tìm KD và KP

 SEFvuông tại S có SH là đường cao nên ta có :

2 2

H là trung điểm của OF, mà HK // DF nên HK là đường trung bình của FOD

K là trung điểm của OD 1 1 2 2

 Trong (SHM), vẽ HQSM (QSM ), mà KPSM KP/ /HQ mà K là trung điểm của MH nên

KP là đường trung bình của 1

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = 2a

a) Chứng minh (SAC) (  SBD); (SCD) (  SAD)

b) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC);

c) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))

Giải a) Chứng minh (SAC) (  SBD); (SCD) (  SAD)

Ta có : SAABCD tại A nên hình chiếu của S lên mp (ABCD) là A

Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD

Ta có : BASA BA, ADBASAD tại A nên hình chiếu của B lên (SAD) là A

Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAD) là SA

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Theo chứng minh trên BDSAC tại O nên hình chiếu của B lên (SAC) là O

Hình chiếu của SB lên (SAC) là SO

Nhận xét : Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này

và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

Trong ý trên, do (SAD) (SCD) và có giao tuyến là SD nên khi kẽ AH SD thì AH SCD

Bài 6 Hình chóp S.ABC ABC vuông tại A, góc B = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC)

vuông góc với đáy; SB = 2a Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC)

a) CM: SB  (ABC)

b) CM: mp(BHK)  SC

c) CM: BHK vuông

d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK)

Nhận xét : Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) vuông góc với mặt phẳng đó, tức là :

ACAB(ABC vuông tại A) ;

ACSB (do SBABC)  ACSAB

Theo chứng minh ở câu b, BH SAC mà HKSACBH HK

Vậy BHK vuông tại H

d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK) :

Vì HSA nênSA BHK,  SH,BHK 

Theo chứng minh ở câu b, SCBHKtại K nên hình chiếu của S lên (BHK) là K

Hình chiếu của SH lên (BHK) là KH

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD)

d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD)

Nhắc lại : Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và có đáy là đa giác đều Do đó, trong hình chóp đều, tâm của đa giác đáy trùng với hình chiếu của đỉnh S lên mặt đáy

a) Chứng minh : (MBD)  (SAC) :

Vì hình chóp S.ABCD đều nên SOABCD ;

a 5 2

Ta có : SOABCD nên hình chiếu của S lên (ABCD) là O

Hình chiếu của SA lên (ABCD) là OA

SA ABCD SAOarc

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) :

Trong SOC vuông tại O có OM là đường trung tuyến nên 1 1 5 5

COM

  cân tại M COM MCO

Mặc khác, MCOSAO ( Vì SAC cân tại S) COM SAO Theo câu b, arccos 2

và (MBD) hai đường thẳng lần lượt vuông góc với BD tại điểm đó là khó Thực chất, người ta

thường dùng cách 3 để từ đó trình bày cách 2 cho đơn giản

d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) :

 Ta có : SAB  ABCDAB;

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD

 ABEF AB; SO (do SOABCD) ABSEF

2

a SO

a OE

Vậy       0

SAB ABCD SEF 

Bài 8 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3.a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB)

a 3 2a

d AA ',BB C C' '  d A BCC B , ' ' 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC

Từ H, vẽ đường thẳng song song với AA’ cắt B’C’ tại H’

 AB AA' (do AA'ABC) ; ABAC(gt) ABA ACC' ' AB A C'

Ta có : A’A = AC = a nên A’ACC’ là hình vuông

Gọi O là tâm của hình vuông A’ACC’

 Hai mặt phẳng A BC'  , ABC' có giao tuyến là OB

Trong ABC' kẻ AK OB K OBAK A BC'  tại K

Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến A’H

 Trong mặt phẳng (AA’H), kẻ AI A H I'  A H' AI A BC'  tại I

Nhận xét : Hai điểm I và K hiển nhiên trùng nhau

c) Chứng minh rằng AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC)

 Chứng minh rằng AB  (ACCA) :

Ta có : ABAC AB, AA'(do AA'ABC) ABACC A' '

 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) :

Theo chứng minh trên, A C' ABC' tại O nên d A ',ABC'  A O'