Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.
Trang 1CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC
*( )
*( )
* ( )( )
*( )
*( )
( )( )
( )( )
*( )
*Trường hợp (a-b+c)2 xem như (a+(-b)+c)2, các trường hợp còn lại tương tự *an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+bn-1 ) *an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+bn-1) *(a+b)n=∑
CÁC TÍNH CHẤT CỦA BĐT Tên gọi Tính chất Nội dung Điều kiện Cộng 2 vế bđt cho cùng 1 số a>ba+c>b+c Nhân 2 vế bđt cho cùng 1 số a>bac>bc c>0 a>bac<bc c<0 Cộng 2 bđt cùng chiều c d a c b d b a Nhân 2 bđt cùng chiều c d ac bd b a b>0 và d>0 Lũy thừa, lấy căn bậc hai 2 vế bđt 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n b a b a b a b a n nguyên dương n n n n b a b a b a b a 2 2 2 2 a,b>0 BĐT CÔ-SI (CAUCHY) Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hay bằng trung bình nhân của chúng 0 b a, 2 2 ab b a ab b a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT *A2 | |
*A2 > 0 ⇔ *A3>0⇔
* ⇔ (n là số nguyên dương) *| | ⇔
*√ ⇔
* ⇔ ⇔
*
⇔ {
⇔ *
* ⇔ *
⇔ *
PT, BPT CHỨA CĂN BẬC HAI B A B A B A 0 0
0 2 B A B B A 2 0 0 B A B A B A
B A B B A 0 0 0 0 2 A B hay B A B B A Chú ý: Có thể giải pt, bpt chứa căn bậc 2 bằng cách dặt ẩn phụ PT, BPT CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI B A B A B A
B A B B A 0 0 2 2 B A B A B A B A B A B A B A
B A B A B A B B A Chú ý: Có thể giải pt, bpt chứa gttđ bằng cách sử dụng định nghĩa 0 0 A A A A A để bỏ gttđ ĐỊNH LÝ VIÉT Thuận: Pt ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm x1, x2 thì {
Đảo: Nếu { thì x1, x2 là 2 nghiệm của pt: X2-SX+P=0
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Cho f(x) = ax2+bx+c (a0)
=b2-4ac (’ =b’2-ac, b’ = )
Trang 2(tam thức cùng dấu a với mọi x)
2a
b -f 2a
b -x 0 ) (
(tam thức cùng dấu a với mọi x khác nghiệm kép)
●>0⇔pt f(x)=0 có 2 nghiệm pb x1, x2
x x1 x2
f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI
Cho pt ax2+bx+c=0 (1)
+Pt (1) có 2 nghiệm pb
0
0
a
+ Pt (1) có nghiệm kép
0
0
a
(
)
+ Pt (1) có 2 nghiệm
0
0
a
( √
√
)
+ Pt (1) có nghiệm
0
0
a
(Xét a = 0)
+ Pt (1) VN
0
0
a
(Xét a = 0)
DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI
Cho pt ax2+bx+c=0 (1).Gọi x1, x2 là 2 ng(nếu có)
+Pt (1) có 2 nghiệm trái dấu P < 0
(x1 < 0 < x2)
+ Pt (1) có 2 nghiệm cùng dấu
0
0
P
(0 < x1 x2 hoặc x1 x2 < 0)
+ Pt (1) có 2 nghiệm dương pb
0 0 0
P
S (0 < x1 < x2)
+ Pt (1) có 2 nghiệm âm pb
0 0 0
P
S (x1 < x2 < 0)
SO SÁNH CÁC NG CỦA PT BẬC HAI VỚI SỐ
Gọi x1, x2 là các ng của pt ax2+bx+c=0 (nếu có)
+ x1 < < x2 (x1- ) (x2- ) < 0
+ < x1 < x2 hoặc x1 < x2 <
0
0
2
+ < x1 < x2
0 2
0
0
2 1
S
x
+ x1 < x2 <
0 2
0
0
2 1
S
x
TÍNH CHẴN LẺ CỦA HS
●Hs y = f(x) với TXĐ D gọi là hs chẵn nếu
D
x
thì xDvà f(-x) = f(x)
●Hs y = f(x) với TXĐ D gọi là hs lẻ nếu
D
x
thì xDvà f(-x) = -f(x)
●Đồ thị hs chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng
●Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng
HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Cho a (a1;a2),b(b1;b2),kR
*
b a
2 2
1 1
b a
b a
*ab(a1b1 ;a2b2 )
*k aka1;ka2
*
k a a
k .
*a b a.b cos(a,b) a1b1a2b2
*a a1 2a2 2 *aba1b1a2b2 0
*
2 2 1
b b b
a b
a b k a b
*Hai véctơ ⃗ ⃗⃗ cùng hướng ⇔ { ⃗ ⃗⃗
*Hai véctơ ⃗ ⃗⃗ ngược hướng ⇔ { ⃗ ⃗⃗
* Góc giữa 2 véctơ:
2 2 2 1 2 2 2 1
2 2 1 1
, cos
b b a a
b a b a b
a
b a b a
Trang 3* Góc của tam giác: cosAcosAB,AC
x B x A y B y A
* AB (x B x A) 2(y B y A) 2
*MOxMx M; 0 MOyM0 ;y M
* M là trung điểm đoạn thẳng AB
2
2
B A
M
B A
M
y y
y
x x
x
* G là trọng tâm tam giác ABC
3
3
C B A
G
C B A
G
y y y
y
x x x
x
*Góc của tam giác: cosBACcosAB,AC
*AD là phân giác trong của góc A trong tam giác ABC
DC AC
AB
DB
*I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
AI2 = BI2 = CI2
*Tìm tâm J của đtròn nội tiếp tam giác ABC:
+Tim D là chân đường phân giác trong AD của tam giác
ABC
+Tim J là chân đường phân giác trong BJ của tam giác
ABD
+J là tâm đtròn nội tiếp tam giác ABC
*A, B, C thẳng hàng AB, ACcùng phương
*ABCD là hình bình hành ABDCvà A, B, C
*ABCD là hình thang (AB//CD)
huong cùng
,CD
AB
B, C không thẳng hàng (3 tính chất trên vẫn đúng trong không gian)
ĐƯỜNG THẲNG
*Véctơ ⃗⃗ ⃗⃗là vt chỉ phương của đt d nếu giá của nó
song song hoặc trùng với d
*Véctơ ⃗⃗ ⃗⃗là vt pháp tuyến của đt d nếu giá của nó
vuông góc với d
*Đt d có vtcp là ⃗⃗ ( )thì d có vtpt là
⃗⃗ ( ) ( )
*Pttq của đt d có dạng : ax+by+c=0 (vtpt là (a;b))
*Đường thằng đi qua diểm M(x0; y0) vtcp
a=(a1;a2) có ptts
t a y
y
t a x
x
2 0
1 0
2 0 1
a a a
y y a
x x
*Đường thằng đi qua diểm M(x0; y0) vtpt n=(a; b) có
pttq : a(x x0) + b(y y0) = 0
*Đường thằng đi qua diểm M(x0; y0), hệ số góc k có pt:
y y0=k(x x0)
*Pt đường thằng theo đoạn chắn: 1ab0
b
y a x
(đường thẳng cắt Ox, Oy lần lượt tại A(a; 0), B(0; b) )
*Nếu d//đường thẳng ax+by+c=0 thì pt d có dạng:
ax+by+m=0 (m c)
*Nếu dđường thẳng ax+by+c=0 thì pt d có dạng:
bx ay+m=0
* pt trục Ox : y=0, Oy : x=0
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Cho d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0 d1 //d2
2 1 2 2 1
1
c
c b
a b
a
d1 d2
c
c 2 1 2 2 1
1
b
a b a
d1 cắt d2
2 2 1
1
b
a b
a
Cho d1: y=a1x+b1, d2 : y=a2x+b2
d1 //d2
2 1
2 1
b b
a a
d1 d2
2 1
2 1
b b
a a
d1 cắt d2a1a2
Tọa độ giao điểm là nghiệm hpt
0
0 2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Cho d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0 Gọi là góc giữa 2 đường thẳng d1, d2
2 2 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 cos
b a b a
b b a a
KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 ĐƯỜNG THẲNG
Cho đường thẳng : ax+by+c=0 và điểm M Khoảng cách từ M đến :
2 2 )
, (
b a
c by ax M
Chú ý: d(M,Ox) = | | d(M,Ox) = | |
PT CÁC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA CÁC GÓC
TẠO BỞI 2 ĐƯỜNG THẲNG
Cho 2 đường thẳng d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0
Pt các đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường thẳng d1, d2 là:
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 1
1 1 1
b a
c y b x a b
a
c y b x a
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG THẲNG
*Viết pt đường thẳng qua 2 điểm A, B:
Trang 4Đường thẳng qua A, vtcp AB có ptts (hoặc ptct)
hoặc
(mẫu khác 0) Chú ý: Viết pt trung tuyến AM của tam giác ABC
+Tìm trung điểm M của cạnh BC
+Viết pt tt AM qua A,M
*Viết pt đường thẳng qua điểm M và vuông góc AB:
+Pttq đường thẳng qua M, vtpt AB
Chú ý:
Đường cao AA/
của tam giác ABC qua A, vtpt BC
Đường trung trực của BC qua trung điểm I của BC, vtpt
BC
* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng d
+Viết pt đường thẳng qua M, vuông góc d
+Ta có H dTọa độ H là nghiệm hpt
pt
d
pt
Cách khác:
*Tìm điểm M/
đối xứng với M qua đường thẳng d +Tìm hình chiếu H của M lên d
+M và M/ đối xứng nhau qua d
H là trung điểm MM/
M H M
M H M
y y y
x x x
2 2
*Viết pt đường thẳng /
đối xứng đường thẳng qua đường thẳng d
+Lấy 2 điểm M, N trên
+Tìm M/, N/ dối xứng với M, N qua đường thẳng d
+Viết pt đường thẳng /
qua M/, N/
*Viết pt đường thẳng qua M, cách A một khoảng bằng k
Pt đường thẳng đi qua M, vtpt
n=(a; b) có dạng:
a(x xM)+b(y yM)=0
cách A một khoảng bằng k
k A
( , )
Từ hệ thức giữa a và b chọn a suy ra b (hoặc ngược lại)
*Viết pt đường thẳng qua M, cách đều A, B
Pt đường thẳng đi qua M, vtpt
n=(a; b) có dạng:
a(x xM)+b(y yM)=0
cách đều A, B
) , ( )
,
(
Từ hệ thức giữa a và b chọn a suy ra b
*Viết pt đường thẳng qua M và tạo với d:ax+by+c=0 1
góc
Pt đường thẳng đi qua M, vtpt
n=(n1; n2) có dạng:
a(x xM)+b(y yM)=0
tạo với d 1 góc
2 2 2 2 2 1
2 1 cos
)
,
cos(
b a n n
b n a n d
Từ hệ thức giữa n1 và n2 chọn n1 suy ra n2
ĐƯỜNG TRÕN
*PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÕN
Pt đtròn tâm I(a; b) bán kính R
+(x a)2+(y b)2 = R2 + x2 + y2 2ax 2by+c = 0 (1) R a2 b2 c
Pt (1) là pt của 1 đường tròn a2+b2 c>0 CHÚ Ý:
+(C) có tâm I, qua M R = IM +(C) có tâm I, tiếp xúc đường thẳng d I, R
+(C) có đường kính AB tâm I là trung điểm AB và bán kính R = AB/2
+(C) qua A và tiếp xúc đường thẳng d tại B
d a BI
BI AI
+(C) đi qua 3 điểm A, B, C thế tọa độ A, B, C vào pt đường thẳngròn dạng khai triển Giải hpt tìm a, b, c
*PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA Đ/ TRÕN
* Viết pttt của (C) tại M:
+Tìm tâm I của (C)
+Tiếp tuyến của (C) qua M, có vtpt IM
* Viết pttt của (C) các dạng khác:
+Tìm tâm và bán kính của (C) +Xác định dạng của ttuyến
●có hệ số góc k : Pttt có dạng : y = kx + m
●// đường thẳng ax + by + c = 0: Pttt có dạng : ax + by + m
= 0
● đường thẳng ax + by + c = 0: Pttt có dạng : bx ay +
m = 0
●qua M : Pttt có dạng : a(x xM) + b (y yM) = 0 +Ttuyến d tiếp xúc (C) d(I, d) = R
Từ dó tìm m hoặc a, b
ELIP
(E) = {M/ MF1 + MF2 = 2a } với 2a > F1F2 F1, F2 : tiêu điểm F1F2 = 2c : tiêu cự
M (E) : F1M, F2M : bán kính qua tiêu điểm
PT chính tắc của (E) : 2 1
2 2
2
b
y a
x
(a2 = b2 + c2)
Độ dài trục lớn : 2a Độ dài trục nhỏ : 2b Tiêu điểm : F1( c; 0) F2(c; 0) Tâm sai Đỉnh : A1( a; 0) A2(a; 0) B1(0; b) B2(0; b)
DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH Hình Diện tích Trong đó Tam giác S ah
2
1
a:cạnh đáy h:chiều cao
Hình thang
2
) (a b h
S a,b:2 đáy
h:chiều cao
Hình bình hành S ah a:cạnh đáy h:chiều cao
Hình thoi
2
ab
S a,b:2 đường chéo
Hình chữ nhật S ab a,b: 2 kthước
Hình vuông 2
a
Trang 5Hình Diện tích Thể tích Trong
đó Hình hộp
chữ nhật ab bc ca
S tp
a,b,c:3 kích thước
Hình lập
phương Stp=6a2 V=a3 a:cạnh
hlp
Hình lăng
trụ(k.lăng
trụ)
Sxq=tổng dt mặt bên
Stp=Sxq+S2đ
V=Sđ.h h:chiều
cao
Hình chóp
(K/chóp)
Sxq=tổng dt mặt bên
Stp=Sxq+Sđ
h S
3
1
Hình cầu
(K/cầu) S 4 R 2 3
3
4
R
kính
Hình nón
(K.nón)
2
R Rl
S S S
Rl S
d xq tp xq
h R
3
1
sinh
Hình trụ
(K.trụ)
2 2 2
2 2
R Rh
S S
S
Rl S
d xq tp xq
h R
V 2
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
*CÁC PP CM 2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
)
(
)
(
) ( ),
(
//
u
b
a
b
a
hoặc
b u
a u
)
(
)
(
)
(
)
//(
b a
a
) ( ) (
//
) ( ), (
b
a
)
(
)
(
)
(
)
(
)
//(
)
(
b P
a P
b a
b a
//
+Các pp cm 2 đường thẳng song song trong mặt phẳng như
định lý Talet đảo, cm tứ giác là hbh, đường trung bình
trong tam giác, hình thang, …
*CÁC PP CM 2 MP SONG SONG
)
//(
,
)
(
b
a
b
a
O
b
a
)
(
)
(
)
//(
)
(
)
//(
)
(
P
P
)
(
),
(
)
(
)
(
a
*CÁC PP CM ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP SONG SONG
) (
) ( //
a a
b a
) //(
) (
) (
a a
) (
) (
a b
b a
a
*CÁC PP CM 2 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
b
a
) (
) (
c a
b a
//
+Cho a/ là hình chiếu của a lên mp (P), b(P)
b a a
a
*CÁC PP CM 2 MP VUÔNG GÓC
) (
) (
a
a
) (
) //(
a a
*CÁC PP CM ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP VUÔNG GÓC
) ( ,
,
a c
b
O c b
c b a
), (
) ( ) ( ), ( ) (
a d
a a
d
) (
) //(
) (
( )⇒ ( )
*Mp (đường) trung trực của một đoạn thẳng là mp (đường thẳng) vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm
Trong không gian, tập hợp những điểm cách đều 2 đầu đoạn thẳng là mp trung trực của đoạn thẳng đó
Trong mp chứa đoạn thẳng, tập hợp những điểm cách đều 2 đầu đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó
*Các đlý khác:
●Hai mp // chắn trên 2 cát tuyến // các đoạn thẳng bằng nhau
●Ba mp // chắn 2 cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
KHOẢNG CÁCH
*Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp (đường thẳng) là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mp (đường thẳng)
*Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và 1 mp (đường thẳng) song song là khoảng cách từ 1 điểm trên đường thẳng đến
mp (đường thẳng)
*Khoảng cách giữa 2 mp song song là khoảng cách từ 1 điểm trên mp này đến mp kia
*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là:
+độ dài đoạn vuông góc chung +khoảng cách giữa 1 trong 2 đường thẳng đó và 1 mp song song với nó chứa đường thẳng còn lại
+khoảng cách giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đường thẳng đó
Trang 6 P
P MH
M
d( , )
P dN P
M
d( , ) , P
*Các pp tìm khoảng cách từ 1 điểm M đến mp ( )
Cách 1:
_Tìm (dựng) MH tại H
_
Cách 2:
_Tìm (dựng) MN //
_
Cách 3: (tỉ số khoảng cách)
( ( ))
( ( ))
Cách 4: (dùng thể tích)
( ( ))
⇒ ( ( ))
Chú ý: Để vẽ đt vuông góc mp từ M ta thường tìm mp chứa
M và vuông góc mp đó, từ M vẽ đt vuông góc giao tuyến
GÓC
*Góc giữa 2 đường thẳng a, b là góc giữa 2 đường thẳng
cùng đi qua 1 điểm và lần lượt song song với 2 đường
thẳng đó Ký hiệu là (a,b)
Chú ý: Góc giữa 2 đường thẳng // hoặc trùng nhau =00
Có thể từ 1 điểm trên đt này vẽ đt // đt kia
*Góc giữa đường thẳng a và mp là góc giữa đường
thẳng đó và hình chiếu của nó lên mp Ký hiệu: a,
Chú ý: Góc giữa đường thẳng // hoặc nằm trong mp =00
*Góc giữa 2 mp là góc giữa 2 đường
thẳng lần lượt nằm trong 2 mp và
cùng vuông góc với giao tuyến tại 1
điểm (hoặc góc giữa 2 đường thẳng
lần lượt vuông góc với 2 mp đó)
Chú ý: Góc giữa 2 mp // hoặc trùng nhau =00
*Diện tích hình chiếu: Nếu S là dtích của 1 đa giác, S/
là dtích đa giác hình chiếu và là góc giữa mp chứa đa giác
và mp chiếu thì SScos
HÌNH CHÓP
*Định nghĩa: Trong mp (P) cho đa giác A1A2…An và 1
điểm S nằm ngoài (P) Nối S với các đỉnh A1, A2, …,An ta
được n miền tam giác, hình tạo bởi n miền tam giác đó và
miền đa giác được gọi là hình chóp S A1A2…An trong đó:
+Điểm S gọi là đỉnh hc
+Các đoạn thẳng SA1, SA2 gọi là các cạnh bên của hc
+Các đoạn thẳng A1A2 , A2A3 gọi là các cạnh đáy của hc
+Các miền tam giác gọi là các mặt bên của hc
+Hc có đáy là tam giác, tứ giác, … gọi là hc tam giác,
hc tứ giác, … Hc tam giác còn gọi là hình tứ diện
Hình tứ diện đều là hình tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau
Hình tứ diện đều là hình tứ diện có 6 cạnh bằng nhau +Hc đều là hc có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy, các cạnh bên bằng nhau, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau, góc giữa các cạnh bên (mặt bên) và đáy bằng nhau
HÌNH LĂNG TRỤ
*Định nghĩa: Hình lăng trụ là hình đa diện có 2 mặt nằm trong 2 mặt // gọi là 2 mặt đáy và tất cả các cạnh không nằm trong 2 đáy thì // nhau Trong đó:
+Các mặt khác với 2 đáy gọi là các mặt bên (các mặt bên là các hbh) +Cạnh chung của 2 mặt bên gọi là cạnh bên.(các cạnh bên // và = nhau) +Hai đáy là 2 đa giác có các cạnh tương ứng // và
= nhau
+Hlt có đáy là tam giác,
tứ giác, … gọi là hlt tam giác, hlt tứ giác, … +Hlt có đáy là hbh còn gọi là hình hộp Bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
+Hình hộp có tất cả các mặt đều là hcn gọi là hình hộp chữ nhật
+Hình hộp có tất cả các mặt đều là hvuông gọi là hình lập phương
+Hlt đứng là hlt có cạnh bên vuông góc với đáy, các mặt bên là các hcn và vuông góc với đáy
+Hlt đều là hlt đứng có đáy là đa giác đều, các mặt bên là những hcn bằng nhau
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Cho
a=(a1; a2; a3),
b=(b1; b2; b3), số k tùy ý
*
b a
3 3
2 2
1 1
b a
b a
b a
*ab(a1b1 ;a2b2 ;a3b3 )
*k aka1 ;ka2 ;ka3 *ab a1b1 a2b2 a3b3
*a a1 2 a2 2 a3 2
Trang 7*
2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1
3 3 2 2 1 1
.
,
cos
b b b a a a
b a b a b a
b a
b a b
a
*ABx Bx A;y B y A;z Bz A
* AB (x B x A) 2 (y B y A) 2 (z B z A) 2
; 0; 0
; ; 0
M
M M
M Ox M x
M Oxy M x y
* M là trung điểm đoạn thẳng AB
2 2 2
B A
M
B A
M
B A
M
z z
z
y y
y
x x
x
* G là trọng tâm tam giác ABC
3 3 3
C B A
G
C B A
G
C B A
G
z z z
z
y y y
y
x x x
x
* G là trọng tâm tứ diện ABCD
4 4 4
D C B A
G
D C B A
G
D C B A
G
z z z z
z
y y y y
y
x x x x
x
* Định nghĩa TÍCH CÓ HƯỚNG của 2 vectơ
a=(a1; a2; a3),
b=(b1; b2; b3) là 1 vectơ được xác định như sau:
2 1
2 1 3 1
3 1 3 2
3 2
b
a
; b
a
; b
a
,
b
a b
a b
a
b
a
*
b
a, cùng phương
3 3 2 2 1
1
b
a b
a b
a
b1 ,b2 ,b3 0
0 ,
a k b a b
*
b a
b
a, ,
*
c
b
a đồng phẳng , . 0
c b a
*Diện tích hbh ABCD: S AB,AC
*A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác không cp
*Diện tích tam giác ABC ,
2
1
AC AB
S
*Độ dài đường cao AH của tg ABC
⇒
*Tính góc của tam giác ABC: ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
* AH là đường cao tg ABC
cp
AH BC
Cách 2: Tìm H là hình chiếu của A lâ đường thẳng BC
* I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tg ABC
, , , dong phang
AI BI CI
A B C I
*Thể tích hình hộp ABCD.A/
B/C/D/:
AB,AD AA ,
V
*Thể tích khối tứ diện ABCD: , AD
6
1
AC AB
V
* Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD
⇒
* AH là đường cao td ABCD
, , ,
AH BCD
B C D H dong phang
Cách 2 : Viết pt đường cao AH của td ABCD
Ta có H AH BCD
*A, B, C thẳng hàng AB, ACcùng phương
*A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện AB AC AD 0 Cách 2: DABC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
*Pt mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 hoặc
x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 (1) với tâm I(a; b; c), bán kính R a2b2c2d
Pt (1) là pt một mặt cầu a2 b2c2 d 0
Chú ý:
+(S) có tâm I, qua M R = IM ⇔ thế tọa độ M vào pt mc +(S) có tâm I, tiếp xúc mp d I, R
Trang 8+(S) có tâm I, tiếp xúc đường thẳng d I, R
+(S) có đường kính AB tâm I là trung điểm AB và bán
kính R = AB/2
+Viết pt mặt cầu (S) qua A, B, C, D
Pt mc (S) có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 (1)
(a2+b2+c2-d > 0 )
mặt cầu (S) qua A, B, C, D
hpt 4 ẩn a, b, c, d(thế tọa độ A, B, C, D vào (1))
+Để tìm tiếp điểm của tiếp diện (P) và mc:
Tìm pt đường thẳng d qua tâm I và vuông góc (P)
Tiếp điểm T=d (P)
+Để tìm tâm và bán kính của đtròn giao tuyến của (P) và
mc tâm I, bán kính R:
Tìm pt đường thẳng d qua tâm I và vuông góc (P)
Tâm đtròn J = d (P)
Bán kính R = R2d2I, (P)
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
*Mp qua điểm M0(x0; y0; z0), vtpt
n=(A;B;C)
có pt là: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
*Pt tống quát của mp có dạng:
Ax+By+Cz+D=0 với A2
+ B2 +C2 0
*Mp Ax+By+Cz+D=0 có vtpt
n=(A;B;C)
*Pt mp theo đoạn chắn:
Pt mp cắt các trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)
với abc0 là : 1
c
z b
y a x
*Vị trí tương đối của 2 mp:
Cho 2 mp :Ax+By+Cz+D=0 và
:A/x+B/y+C/z+D/=0
cắt A:B:CA:B:C
D
D C
C B
B A
A
//
D
D C
C B
B A
A
trùng
*Khoảng cách từ điểm M đến mp (P) là:
2 2 2
,
C B A
D Cz By Ax
P
M
Chú ý:
*Mp qua A, B, C không thẳng hàng có vtpt
AB AC
n ,
*Mp vuông góc AB có vtpt là AB
*Mp chứa (//) AB, // CD có vtpt nAB,CD
*Mp chứa (//) AB, có vtpt nAB,n
*Mp , có vtpt
n n
*Mp chứa 2 đt cắt nhau d, d’ qua và có vtpt là
'
,
d d
n u u
*Mp chứa 2 đt // d, d’ qua và có vtpt là
,
d
*Pt các mp tọa độ Oxy : z = 0, Oyz : x = 0, Oxz : y = 0
*Mp chứa Ox A = D = 0
*Mp // Ox A = 0 và D 0
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
*Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0; z0), vtcp u=(a;b;c)
có
pt tham số : t R
0 0
0
ct z z
bt y y
at x x
pt chính tắc : 0 0 0 abc0
c
z z b
y y a
x x
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG
d1 đi qua điểm M1, vtcp 1
u
d2 đi qua điểm M2, vtcp 2
u
0 ,
0 ,
//
2 1 1
2 1 2
1
M M u
u u d
d
d1 trùng d2
0 ,
0 ,
2 1 1
2 1
M M u
u u
d1 cắt d2
0 ,
0 ,
2 1 2 1
2 1
M M u u
u u
d1 chéo d2
u1 ,u2 M1M2 0
*Chú ý: Có thể xét hpt gồm pt d1 và d2
Nếu hệ có nghiệm t = t0 và t’ = t’0 thì 2 đt cắt nhau ( tìm tọa độ giao điểm bằng cách thế t = t0 vào pt d1 hoặc t’ = t’0 vào pt d2)
Nếu hệ VN và ud1, ud2
cùng phương thì d1//d2 Nếu hệ VN và ud1, ud2
không cùng phương thì d1 chéo
d2
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG và MP
Cho đường thẳng d: x= x0 +at, y= y0 +bt, z= z0 +ct và mp (P): Ax+By+Cz+D=0
Thế ptts d vào pt mp (P) ta được 1 pt bâc nhất ẩn t
Giải pt : * Nếu pt VN : d//(P)
* Nếu pt có VSN : d(P)
Md
Md
Trang 9* Nếu pt có nghiệm t=t0: d cắt (P) tại (thế t=t0
vào ptts d)
CÁC CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH
*Khoảng cách từ điểm M đến mp :
Ax+By+Cz+D=0:
2 2 2
) , (
C B A
D Cz By Ax M
*Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( qua
N, vtcp
u):
*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song 1 2
1,2 d M1,2M11
d
*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 1 2
Đường thẳng 1 qua M1, vtcp
1
u
Đường thẳng 2 qua M2, vtcp
2
u
2 1
2 1 2 1 2
1
,
, ,
u u
M M u u d
Cách 2:
*Khoảng cách giữa 2 mp song song (P), (Q)
, , M
d P Q d M Q P
*Khoảng cách giữa đường thẳng d // mp (P) :
, , M
d d P d M P d
*MỘT SỐ PP XÁC ĐỊNH VTCP CỦA ĐT:
_ d đi qua 2 điểm A, B có vtcp ud AB
_ d // đt d’ có vtcp
d
d u u
_ d có vtcp
n
u d
_ d // mp (P) và (Q) có vtcp
Q P
_ d đt và ’ có vtcp
u u
u d , ( và ’cắt hoặc chéo nhau)
_ d qua M, và cắt có vtcp
u u
u d , với
N u MN
_d qua M, cắt d1 và // mp(P)thì d có vtcp
P
1
MN
PP THAM SỐ HÓA TỌA ĐỘ
*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG QUA A VÀ CẮT 2 ĐƯỜNG THẲNG d VÀ d /
+Viết ptts của d và d/
theo t và t’ +Lấy Md Md(Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t
và t’) +MM’ qua A AM,A Mcùng phương +Từ đk cùng phương tìm t và t’ suy ra M, M’ +Pt đường thẳng MM’
*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG // VÀ CẮT 2 ĐƯỜNG THẲNG d VÀ d /
+Viết ptts của d và d/
theo t và t’ +Lấy Md Md(Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t
và t’) +MM’ // M M,ucùng phương +Từ đk cùng phương tìm t và t’ suy ra M, M’ +Pt đường thẳng MM’
*VIẾT PT ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU d VÀ d /
+Viết ptts của d và d/
theo t và t’ +Lấy Md , Md(Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t
và t’)
+MM’ là đoạn vuông góc chung
d
d u M M
u M M
+Giải hpt tìm t và t’ suy ra M, M’ +Pt đường vuông góc chung MM’
*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG d qua M, và cắt +Viết ptts của theo t
+Lấy N(Biểu diễn tọa độ của N theo t) +MN 0
u MN
+Giải pt tìm t suy ra tọa độ N +Pt đường thẳng MN
u
u MN M
d
u MN M
d u
S tam giac
, )
,
(
, 2
1 , 2
1
Trang 10*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG d qua M, cắt d1 và //
mp(P)
+Viết ptts của d1 theo t
+Lấy Nd1(Biểu diễn tọa độ của N theo t)
+MN// (P) MN n P 0
+Giải pt tìm t suy ra tọa độ N
+Pt đường thẳng MN
HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP
NHỊ THỨC NIUTƠN
I/ HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP
*Số hoán vị của 1 tập hợp có n phấn tử là:
Pn = n! = 1.2.3…n
*Một chỉnh hợp k của n ptử tương ứng với 1 cách
chọn k ptử từ n ptử có tính đến thứ tự
*Số chỉnh hợp k của n ptử là :
! !
k
n
n
A
n k
*Một tổ hợp k của n ptử tương ứng với 1 cách chọn k
ptử từ n ptử không có tính đến thứ tự
*Số tổ hợp k của n ptử là : ! ! !
k n
n C
k n k
Chú ý: *n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = …
II/ NHỊ THỨC NIUTƠN :
0
n
k
Chú ý:
*C n k C n n k (n, kN , 0* k n)
*C n k1C n k+Ck n1
1x n C n C x n C x n k k C x n n n
*C n0C1n C n n 2n
*
2 1 2 1 2n1 2 1 2 1 2n1 2n
C C C C C C
3
C C C C C
* 1 x 1 C x C x n n C x n n n(1)
*2 1 C nC n C n n
*01-C nC n 1 n C n n
Lấy đạo hàm 2 vế của (1)
* 1 xn C n2C x n 3C x n nC x n n n
Lấy tích phân 2 vế của (1)
1
n
n
QUY TẮC ĐẾM – XÁC SUẤT
I/ QUY TẮC ĐẾM :
1) Quy tắc cộng:
Một cv được hoàn thành bởi 1 trong 2 hành động Nếu hđộng thứ 1 có n cách thực hiện và hđộng thứ 2
có m cách thực hiệnkhông trùng với bất kỳ cách nào của hđộng thứ 1 Vậy cv đó có m+n cách thực hiện 2) Quy tắc nhân:
Một cv được hoàn thành bởi 2 hành động liên tiếp Nếu hđộng thứ 1 có n cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện đó thì hđộng thứ 2 có m cách thực hiện Vậy cv đó có mn cách thực hiện
II/ XÁC SUẤT:
1) Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể
xảy ra của 1 phép thử Ký hiệu là
2) Biến cốlà 1 tập con của không gian mẫu
3) Tập AI Bgọi là giao của các biến cố A và B Biến cố
AI Bcòn viết là A.B
4) Tập AUBgọi là hợp của các biến cố A và B
5) Tập \ A gọi là b/cố dối của b/cố A, k/hiệu A
6) A và B xung khắc nếu AI B
7) A và B độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của
b/cố này không ảnh hưởng đến xs của b/cố kia
Nếu A và B độc lập thì A và B , A và B cũng độc lập
8) Xác suất của b/cố A là ( ) cua A
( ) ptu cua
n A so ptu
P A
n so
0P A 1, P 1, P 0 9) A, B là 2 b/cố xung khắc P A UBP A P B 10) P A 1 P A
11) A, B là 2 b/cố độc lập P A B P A P B
CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
* uv uv * (uv) / = u / v + uv /
*
2
v
v u v u v
2 2
u
a
; 1
u
u a u
u u
* (au) / = a.u / *
a
u a
*(C)’ = 0 * (x)’ = 1
*
x
x
2
1
*
u
u u
2
x n
x
1
1
x * u u 1u
.
* (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu
* (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = – u’sinu
* (tanx)’ =
= 1 + tan
2
x
C C C C C C C C