Ôn thi THPT quốc gia Toán A

Ôn thi THPT quốc gia Toán A tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực...

SỞ GD-ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH Môn: Toán Khối A Thời gian làm bài 180 phútĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2012

I PHẦN CHUNG (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= f x( )=x4−2x2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b Tìm điều kiện đối với

a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

Câu II (2,0 điểm).

1 Tìm nghiệm trên khoảng (0; π) của phương trình:

x

2 Giải phương trình: x2−4x 3− = x 5 x+ ( ∈¡ )

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân:

2 sin

3x 1

x

π

π

−

=

+

∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông

góc với đáy Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu V (1,0 điểm) Với a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn đẳng thức: ab + bc + ca = abc Chứng

minh rằng: b2 2a2 c2 2b2 a2 2c2 3

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) (Thí sinh chỉ làm 1 trong 2 phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa (2,0 điểm).

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết điểm A(−2;3) và phương trình đường thẳng ( )BD x: −5y+ =4 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông

2 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: 1 2

x− = y+ = z

và mp(P): 2x +y –2z +2=0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mp(P) và đi qua điểm A(2; -1; 0)

Câu VIIa (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: ( 2 ) (2 2 )

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb (2,0 điểm).

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): x2 + 5y2 = 5 có tiêu điểm F1, F2 Tìm trên elip (E) các điểm M sao cho · 0

1 2 90

F MF =

2 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2− ) , đường thẳng ( ): 1 2 1

mặt phẳng ( )P : 2x y z− + − =2 0 Viết phương trình đường thẳng ( )d′ đi qua A, song song với

( )

mp P và vuông góc với đường thẳng ( )d

Câu VIIb (1,0 điểm) Giải phương trình: 5x+( )3 3 x+12x =14x

-HẾT -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh Số báo danh

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

I

(2,0

điểm)

1 (1 điểm) Khảo sát

Khảo sát hàm số: y = x4 – 2x2

• Tập xác định: D = ¡

= − ⇒ = −





 = ⇒ = −



0,25

• Giới hạn: limx→−∞y= +∞; limx→+∞y= +∞

• Bảng biến thiên:

0,25

- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞); nghịch biến trên mỗi

khoảng (-∞; -1) và (0; 1)

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0; đạt cực tiểu tại x = ± 1; yCT = -1

0,25

2 (1 điểm) Tìm a, b để …

Ta có f x'( ) 4= x3−4x Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B

Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A = f a'( ) 4= a3−4 ,a

3 '( ) 4 4

B

k = f b = b − b

0,25

Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:

y= f a x a'( ) ( − +) f a( )= f a x f a'( ) + ( ) af' a− ( );

y= f b x b'( ) ( − +) f b( ) = f b x f b'( ) + ( )−bf' b( ) ;

Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

k =k ⇔ − − b⇔ a b a− +ab b+ − =

Vì A và B phân biệt nên a b≠ , do đó (1) ⇔a2+ab b+ − =2 1 0 (2)

0,25

Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau

a b

Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm

này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là (− −1; 1) và (1; 1− )

0,25

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với

nhau là

1;

a ab b



0,25

II

(2,0

điểm)

1 (1,0 điểm) Tìm nghiệm của phương trình ….

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2

0,25

x- ∞ -1 0 1 + ∞y’ -

0 + 0 - 0 +y+∞

0 +∞

CT CĐ CT

-1 -1

( )

6

0,25

k

Vì x ∈ (0; π) nên phương trình đã cho có nghiệm là 5 ; 17 ; 5

x= π x= π x= π

0,25

2 (1,0 điểm) Giải phương trình x2−4x 3− = x 5+ (1)

TXĐ : D = [− +∞5; ); ( ) ( )2

Đặt y - 2 = x 5+ , ( )2

y 2≥ ⇒ y 2− = +x 5

Ta có hệ:

2





0,25

2

2

2

2

y x

y x

2

y 3 x

y 2







0,25

x

2

=



⇔ 

= −



Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 1; x 5 29

2

+

III.

(1,0

điểm)

Ta có:

0

π

π

−

Tính

0 sin2

3x 1

x

π

−

=

+

∫ Đặt u = - x ⇒ du = - dx Đổi cận: x = - π thì u = π; x = 0 thì u = 0

0,25

( )

2

−

0 sin

π

=∫

0,25

hay

0

0

(1,0

điểm)

Gọi M là hình chiếu vuông góc của B

lên SC

Chứng minh được góc DMB = 1200

và ∆DMB cân tại M

B A

S

Tính được: DM2 = 2

3a

∆SCD vuông tại D và DM là đường cao nên 1 2 = 12 + 12

DM DS DC ⇒ DS= a 2

và ∆ASD vuông tại A ⇒ SA = a

0,25

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD bằng 1

3a

V.

(1,0

điểm)

BĐT 12 22 12 22 12 22 3

a b c

Áp dụng BĐT: 2 2 2 1( )2

3

Ta có:

2

3

2 2

a,b>0

0,25

Tương tự: 12 22 1 1 2 ; 12 22 1 1 2

Cộng các BĐT trên vế theo vế ta được:

3 3

0,25

Dấu “=” xảy ra

3

1 1 1

1

a b c

 = =



 + + =



C2: Xét u 1; 2 ;v 1; 2 ; w 1; 2

Ta có: ur + +vr wuur ≥ + +u vr r uurw ⇒(đpcm)

0,25

VIa.

(1,0

điểm)

1 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông … (1,0 điểm)

Chuyển ( )BD về dạng tham số ( )BD : x 1 51 t

= +



 = +

Gọi I là hình chiếu của A xuống cạnh BD⇒I t(5 1+ ;t+1)

0,25

Sử dụng điều kiện uur uuuurAI ⊥u( )BD suy ra 1 3 1 ( 1 2)

Vì B∈( )BD ⇒B t(51+1;t1+1) Do uuur uuurAB CB⊥ ⇒uuur uuurAB.CB=0 1

1

1 0

t t

= −



• Với t1 = − ⇒1 B(−4 0; )⇒D ;( )1 1 ;

• Với t1 = ⇒0 B ;( )1 1 ⇒D(−4 0; )

• Vậy bài toán có 2 nghiệm:

0,25

2 Lập phương trình mặt cầu (S) (1,0 điểm)

Tâm I ∈ (d) ⇒ Gọi I 1 t; 2 t; t( + − + )⇒ (1 ;1 ; ); ( ;( ) ) 2

3

t

uur

0,25

Mặt cầu tâm I, qua A và tiếp xúc với (P) nên IA R d I P= = ( ;( ) )

t

Với t= ⇒1 I(2; 1;1 ;− ) R= ⇒1 PT mặt cầu (S): ( ) (2 ) (2 )2

x− + +y + −z = 0,25

Với 4 13; 14 4; ; 22

t= ⇒I −  R= ⇒

Vậy có 2 mặt cầu cần tìm:

0,25

VIIa.

(1,0

điểm) Đặt

2

t= −z z thì pt đã cho trở thành: 2

1

4

t

t

 = −



= −



0,25

VIb.

(2,0

điểm)

1 Tìm trên elip (E) các điểm M… (1,0 điểm)

(E) có dạng:

1 2 90

F MF = nên M nằm trên đường tròn (C) tâm O, bán kính c = 2 có

Tọa độ các điểm cần tìm trên (E) là nghiệm của hệ phương trình

2 2

4

x y





•

2

2



• Vậy các điểm cần tìm là: 15 1; ; 15; 1

0,25

2 Viết phương trình đường thẳng ( )d′ (1,0 điểm)

Phương trình (d) dạng tham số:

1 2 2

1 2

= − +



 = +



 = −



và (P) có 1 VTPT: nr=(2; 1;1− )

0,25

Gọi B là giao điểm của (d) và (d’) ⇒B(− +1 2 ; 2t +t;1 2− t)

(d’) có VTCP uuur uuurd'= AB= − +( 1 2 ;3t + − −t; 1 2t) 0,25

Đường thẳng (d’) có VTCP uuurAB=(11;9; 13− )

Vậy phương trình đường thẳng (d’): 1 2

x = y+ = z−

−

0,25

VIIb.

(1,0

điểm)

Phương trình đã cho tương đương với pt: 5 3 3 12 1

x

Xét hàm số ( ) 145 3 314 1214

x

      , với x∈¡

x

0,25

Ta thấy f x'( ) < ∀ ∈0, x ¡ ⇒ f x( ) là hàm số luôn giảm trên ¡ và f(2) = 1 0,25

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 2 0,25