Ôn thi THPT quốc gia Toán B tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực...
Trang 1SỞ GD-ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2012
Môn: Toán Khối B Thời gian làm bài 180 phút
I PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= f x( )= x4−2x2
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b Tìm điều kiện đối với
a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 2 t anx cot 3 2
sin 2
x
x
x
x − x+ = − + x−
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân:
3
1
3
x
−
−
=
+ + +
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với đáy Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu V (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 4 x2 + 1 − x = m
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) (Thí sinh chỉ làm 1 trong 2 phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết điểm A(−2;3) và phương trình đường thẳng ( )BD x: −5y+ =4 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông
2 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: 1 2
x− = y+ = z
và mp(P): 2x+y –2z+2=0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mp(P) và đi qua điểm A(2; - 1;0)
Câu VIIa (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: ( 2 ) (2 2 )
3 z − +z 1 +7 z − + =z 1 0
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): x2 + 5y2 = 5 có tiêu điểm F1, F2 Tìm trên elip (E) các điểm M sao cho · 0
1 2 90
F MF =
2 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2− ) , đường thẳng ( ): 1 2 1
d + = − = −
− , và mặt phẳng ( )P : 2x y z− + − =2 0 Viết phương trình đường thẳng ( )d′ đi qua A, song song với
( )
mp P và vuông góc với đường thẳng ( )d
Câu VIIb (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương n sao cho:
2 2 2.2 2 2 3.2 2 2 4.2 2 2 (2 2).2n 2 2n 2012
k của n phần tử)
-HẾT -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh Số báo danh
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
I
(2,0
điểm)
1 (1 điểm) Khảo sát
Khảo sát hàm số: y = x4 – 2x2
• Tập xác định: D = ¡
= − ⇒ = −
= ⇒ = −
0,25
• Giới hạn: limx→−∞y= +∞; limx→+∞y= +∞
• Bảng biến thiên:
0,25
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞); nghịch biến trên mỗi
khoảng (-∞; -1) và (0; 1)
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0; đạt cực tiểu tại x = ± 1; yCT = -1
0,25
2 (1 điểm) Tìm a, b để …
Ta có f x'( ) 4= x3−4x Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A = f a'( ) 4= a3−4 ,a
3
'( ) 4 4
B
k = f b = b − b
0,25
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
y= f a x a'( ) ( − +) f a( ) = f a x f a'( ) + ( ) af' a− ( );
y= f b x b'( ) ( − +) f b( ) = f b x f b'( ) + ( )−bf' b( ) ;
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
k =k ⇔ − − b⇔ a b a− +ab b+ − =
Vì A và B phân biệt nên a b≠ , do đó (1) ⇔ 2 2
1 0 (2)
a +ab b+ − =
0,25
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau
a b
Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này
tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là (− −1; 1) và (1; 1− )
0,25
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là
1;
a ab b
≠ ± ≠
0,25
II
(2,0
điểm)
1 (1,0 điểm) Tìm nghiệm của phương trình ….
0,25 0,25 0,25 0,25
x- ∞ -1 0 1 + ∞y’ -
0 + 0 - 0 +y+∞
0 +∞
CT CĐ CT -1 -1
Trang 32 (1,0 điểm) Giải phương trình
0,25 0,25 0,25 0,25 III.
(1,0
điểm)
0,25 0,25 0,25 0,25 IV.
(1,0
điểm)
Gọi M là hình chiếu vuông góc của
B lên SC
Chứng minh được góc DMB = 1200
và ∆DMB cân tại M
B A
S
Tính được: DM2 = 2
3a
∆SCD vuông tại D và DM là đường cao nên 1 2 = 12 + 12
DM DS DC ⇒ DS= a 2 và
∆ASD vuông tại A ⇒ SA = a
0,25
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD bằng 1
3a
V.
(1,0
điểm)
Tìm m để phương trình 4 x2 +1− x =m có nghiệm thực
TXĐ: D = [0 ; + )∞
* Đặt f(x) =4 x2+ −1 x
3
2 2 4
3
2 4
2
1
1 '( )
x x
x x x
f x
x
x
0,25
)
1 1 ( 2
)
1 1 ( 1
2
2
∞ +
∈
∀
<
+
+
−
x x
x
x
0,25
0 ) 1 )(
1 (
1 lim
1
1 lim
) 1 (
lim
2
4 2
2 2
4 2
2
+ + +
+
− +
=
+ +
− +
=
− +
+∞
→ +∞
→ +∞
x x
x x
x x
x x
x x
BBT x 0 +∞
f’(x)
f(x) 1
0,25
Trang 40
Vậy: 0 < m 1≤
VIa.
(1,0
điểm)
1 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông … (1,0 điểm)
Chuyển ( )BD về dạng tham số ( )BD : x 1 51 t
y t
= +
= +
, t∈R Gọi I là hình chiếu của A xuống cạnh BD⇒I t(5 1+ ;t+1)
0,25
Sử dụng điều kiện uur uuuurAI ⊥u( )BD suy ra 1 3 1 ( 1 2)
t= − ⇒I− ; ⇒C − −;
Vì B∈( )BD ⇒B t(51+1;t1+1) Do uuur uuurAB CB⊥ ⇒uuur uuurAB.CB=0 1
1
1 0
t t
= −
• Với t1= − ⇒1 B(−4 0; ) ⇒D ;( )1 1 ;
• Với t1= ⇒0 B ;( )1 1 ⇒D(−4 0; )
0,25
2 Lập phương trình mặt cầu (S) (1,0 điểm)
Tâm I ∈ (d) ⇒ Gọi I 1 t; 2 t; t( + − + )⇒ (1 ;1 ; ); ( ;( ) ) 2
3
t
IA t t t d I P +
uur
0,25
Mặt cầu tâm I, qua A và tiếp xúc với (P) nên IA R d I P= = ( ;( ) )
t
Với t= ⇒1 I(2; 1;1 ;− ) R= ⇒1 PT mặt cầu (S): ( ) (2 ) (2 )2
x− + +y + −z = 0,25
Với 4 13; 14 4; ; 22
9 9 9 9 27
t= ⇒I − R= ⇒
− + + + − =
÷ ÷ ÷
Vậy có 2 mặt cầu cần tìm:
0,25
VIIa.
(1,0
điểm) Đặt
2
t= −z z thì pt đã cho trở thành: 2
1
4
t
t t
t
= −
= −
0,25
VIb.
(2,0
điểm)
1 Tìm trên elip (E) các điểm M… (1,0 điểm)
(E) có dạng:
x y
1 2 90
F MF = nên M nằm trên đường tròn (C) tâm O, bán kính c = 2 có phương
Tọa độ các điểm cần tìm trên (E) là nghiệm của hệ phương trình
4
x y
x y
0,25
Trang 52
2
o Vậy các điểm cần tìm là: 15 1; ; 15; 1
0,25
2 Viết phương trình đường thẳng ( )d′ (1,0 điểm)
Phương trình (d) dạng tham số:
1 2 2
1 2
= − +
= +
= −
và (P) có 1 VTPT: nr =(2; 1;1− ) 0,25
Gọi B là giao điểm của (d) và (d’) ⇒B(− +1 2 ; 2t +t;1 2− t)
(d’) có VTCP uuur uuurd' =AB= − +( 1 2 ;3t + − −t; 1 2t) 0,25 ( ) ( )d' / / P ⇒n ur uur d'= ⇔ ⇔ = ⇒0 t 6 B(11;8; 11− ) 0,25
Đường thẳng (d’) có VTCP uuurAB=(11;9; 13− )
Vậy phương trình đường thẳng (d’): 1 2
x = y+ = z−
−
0,25
VIIb.
(1,0
điểm)
0,25 0,25 0,25 0,25