Chuyên đề Lượng giác

PHẦN MỞ ĐẦU Mục tiêu - Hiểu và nắm được các phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp.. Phân công thực hiện Dung Viết tay - Dạng 1: Phương pháp đưa về phương trình cơ bản..

TRƯỜNG THPT chuyên Hùng Vương

TÀI LIỆU

CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

PHẦN MỞ ĐẦU

Mục tiêu

- Hiểu và nắm được các phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp

- Biết cách vận dụng linh hoạt các phương pháp và thủ thuật tính toán

Phân công thực hiện

Dung (Viết tay)

- Dạng 1: Phương pháp đưa về phương trình cơ bản

- Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình tích

- Bìa

- Thiết kế, kiểm tra

Số trang tương ứng với người đánh máy, không tương ứng với người viết tay

PHẦN NỘI DUNG

Bạn đọc xem ở trang kế tiếp hoặc xem mục lục ở trang cuối

A

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Cung liên kết

a) Cung đối: cos  x cos ; sinx    x sin ; x

b) Cung bù: cos x cos ; sinx  xsin ; x

sin( ) sin cos cos sin

tan tan

1 tan tancot a cot 1

1 2sin

2 tantan 2

1 tan

a a a a

3

3

sin 3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos



2

2sin

1

t a

1

t a

1

t a

23sin cos 1 sin 2

41

1 tan

cos11+cot

4 Phương trình lượng giác cơ bản

khi 1sin ( ) ( ) arcsin 2

khi 1 ( ) arcsin 2

2sin sin

khi 1 ( ) arccos 2

2cos cos

b) Phương trình dạng sin ( ) a f x bcos ( )f x c

- Điều kiện có nghiệm: a2 b2 c2

- Chia 2 vế cho a2b2 , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos

c) Phương trình đẳng cấp

* Dạng a.sin2x b sin cosx xc.cos2xd

- Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không

- Xét cosx 0, chia 2 vế cho cos2x để được phương trình bậc 2 theo tanx

Có thể thay vì xétcos x , ta có thể thay bằng việc xét sin x

* Dạng a.sin3x b sin2xcosxc.sin cosx 2xd.cos3x0

- Xét cosx0 có thỏa mãn phương trình hay không

- Xét cosx0, chia 2 vế cho cos3x để được phương trình bậc 3 theo tanx

Có thể thay vì xétcos x , ta có thể thay bằng việc xétsin x

d) Phương trình đối xứng loại 1: (sina xcos )x b.sin cosx xc

- Đặtt sinxcosx , điều kiện t  2

- Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t

e) Phương trình đối xứng loại 2: atann xcotn x)b(tanxcotx0

- Đặt t tanxcotxthì t R ; Đặt t tanxcotxthì t 2

- Chuyển về phương trình theo ẩn t

f) Phương trình dạng a.sinx + b.cosx = c.sin u(x) + d.cos u(x)

⟺ cos ( x – α) = cos ( u(x) – β)

g) Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát

- Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản

- Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích

B

PHƯƠ NG PHÁP, VÍ DỤ

VÀ BÀI TẬ P VẬ N DỤ NG

Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

tanxtan    m x  k(k ) x arctanmk(k )

cotxcot    m x  k(k ) x arccotmk(k )

Lưu ý: Mọi biểu thức đã cho đều có nghĩa

arcsin(  x) arcsinx, tương tự với arccos,arctan,arccot

Ngoài ra chúng ta cần vận dụng linh hoạt một số dạng phương trình lượng giác đơn giản để có thể đưa phương trình phức tạp về dạng quen thuộc

VD4: Giải phương trình tan(2 3) tan

3

Giải:

b) sin3xcos3xcos3xsin3xsin 4 3 x

c) cos 7 sin 6x xsin8 cos5 x x

3sin cos 3 sin 3 cos 3 sin 3 cos 3 3cos sin 3 4sin 4

4 2sin 2 cos 2 3sin 2 0

32sin 2 cos 2 3sin 2 0

sin 2 32sin 2 cos 2

5

26

sin 2sin cos 3 cos 3 2 cos 4 2sin

sin 2sin (cos sin ) 3 cos 3 2 cos 4

sin 2sin cos 2 3 cos 3 2 cos 4

1sin 2 sin 3 x sinx 3 cos 3 2 cos 4

2sin sin 3 sin 3 cos 3 2 cos 4

10 cosxcos 2xcos3xcos 4x0

Dạng 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

cos 2 cos sin

1 sin 2 sin cos

từ đó có nhân tử chung sinxcos x

Bảng tổng kết một số nhân tử chung thường gặp

1 sin x tan ,sin 2 , tan 2 ,1 cos 2 ,sin 3 , x x x  x x

2 cos x cot ,sin 2 , tan 2 ,1 cos 2 ,cos3 , x x x  x x

3 sinxcosx cos 2 ,1 tan ,1 cot ,1 tanx  x  x  2 x,1 cot 2 x,sin3 xcos3x,

4 1 2sin x 1 4sin 2 x,34sin2 x, cos 3 , 2 cos 2x x1, cotx2 cos , x

5 1 2cos x 1 4 cos 2 x,34sin2 x,sin 3 , tanx x2sin , x

6 1 sin x cos2 , cot2 ,sin , cot ,

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm

22

23

32

23

cos (sin 1) sin 1 (sin 1)(sin 1) 0

26

267

26

2 cos 1 2sin cos 2sin cos sin

2 cos 1 2sin cos sin 2 cos 1 0

2 cos 1 sin cos 0

2sin 1 2sin 2 1 1 2 1 2sin

26

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm

265

2

622

2sin 2 cos sin 2 2 cos 2 cos cos 2

2sin 2 cos sin 2 2 cos 2 cos cos 2 0

2 cos sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 0

sin 2 cos 2 2 cos 1 0

cos 2 cos 6 cos 4 cos8

2 cos 4 cos 2 2 cos 6 cos 2

2 cos 2 cos 6 cos 4 0

4 cos 2 cos cos 5 0

cos 6 cos8 cos10 cos12

2 cos 7 cos 2 cos11 cos

2 cos cos 7 cos11 0

sin 2sin cos 2 cos 0

sin 1 2sin cos 2 cos 1 0

sin cos 2 cos cos 2 0

3 2

3 2

cos 2 1 cos 2 1 cos 2

cos 2 cos 2 4 cos 2 0

cos 2 cos 2 2 cos 2 4

6 1 cos 2

1

7 cos 2 sin 2 7 2sin cos 14sin

    

k x

2 2sin 2 2 cos 2 sin 4

2 sin 4 2 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2 0

2 sin 4 sin 2 cos 2 1

24

sin cos 2 cos cos 2 cos 2

4

4 cos 2 4 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 5 0

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm 4 2 ( ).

23

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đưa về phương trình tích:

1 sin cos 2 sin 3 cos 4x x x x0

26

43

Đáp số:

22

2 ( )

23

26

2

3

24

245

24

22

11 3 sin3 x2 cos3 xsin2 xcosx2 cosx 0

1.2 Phương pháp xét sự biến thiên:

Ta sẽ sử dụng tính chất của các hàm để giải phương trình

1.3 Giải phương trình bậc nhất đới với sinx và cos:

Phương trình bậc nhất đới với sinx và cosx là phương trình có dạng:

a sinx + b cosx = c với a2b2  0 Cách giải:

b a

a

 sinx + 2 2

b a

b

 cosx = 2 2

b a

c



2 2 2

b a

b a

b



Từ đó, phương trình trở thành: sin (x + a) =

2 2

b a

c

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2

c b

1.4 Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sin x, cos x:

Phương trình có dạng:

a.sin2x + b.sin x.cos x + c.cos2x = 0 với a, b, c R

Cách 1: Hạ bậc đưa về sin 2x, cos 2x

Cách 2: Chia 2 vế cho sin2x hoặc cos2x:

+) Với sin x = 0:

+) Với sin x0:

Chia 2 vế cho sin2x:

Phương trình a + b.cot x + c.cot2x = 0

1.5 Phương trình dạng:

a.sin x + b.cos x = c.sin a(x) + d.cos a(x) với a2+b2= c2+d2

 cos x = 2 2

b a

c

 sin a(x) + 2 2

b a

d

 sin a(x)

sin a sin x + cos a cos x = sin b sin a(x) + cos b cos a(x)

 cos ( x – a) = cos ( a(x) – b)

1.6 Phương trình thuần nhất bậc 3:

Phương trình có dạng:

a.sin3x + b.cos3x + c.sin2x cosx + d.cos2x sinx + e.cosx + f.sinx=0 Cách giải:

+) Thay 1= sin2x + cos2x, ta được:

(a.sin3x + b.cos3x + c.sin2x cosx + d.cos2x sinx)

+ (e.cosx + f.sinx)(sin2x + cos2x) = 0

( a + f )sin3x + ( b + e )cos3x + ( c + e )sin2x cosx

+ ( d + f )cos2x sinx = 0 +) Với cos3x = 0:

+) Chia 2 vế cho cos3x 0:

Phương trình trở thành:

( a + f )tan3x + ( c + e )tan2x ( d + f )tan x + ( b + e ) = 0

1.7 Phương trình đối xứng với sin x và cos x:

1.8 Phương trình không mẫu mực:

a) Phương trình chứa căn:

x1 + x2 + + xn  nn x1 x2 xn

x1.x2 xn (

n

x +

+ x +

2 2

1.9 Phương trình lượng giác chứa tham số:

+) Cho phương trình f (x;m) = 0 Ta thường biến đổi về dạng F(x)=m hoặc đặt ẩn phụ

để đưa về dạng G(t) trên miền xác định và dựa vào bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình

+) Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến hay nghịch biến trên (a, b) thì phương trình f(x)

= 0 có tối đa một nghiệm trên khoảng ( a; b)

2 Ví dụ

VD1: Giải phương trình: 2 2 (sinx + cosx) cosx = 3 + cos2x

Giải Phương trình  2 2(sinx cosx + cos2x) = 3 + cos2x

 2sin2x + 2( 1 + cos2x ) = 3 + cos2x

 2sin2x + cos2x ( 2 - 1) = 3 - 2

Vì ( 2)2+ ( 2 - 1) = 5 - 2 2 < (3 - 2)2

 Phương trình vô nghiệm

VD2: Giải phương trình: 3sinx – cosx + 2 = 0

Giải Chia 2 vế cho: ( 3 )2  12  2

4 cos 2

Giải ĐKXĐ: sin2x0 cos2x1

Phương trình 

x x

x x

x x

x

cos sin

4 cos cos

sin sin

cos2x =

2 1

Phương trình (1) vô nghiệm

+) Nếu cos x0  x = ( 2k+1)

2



Đặt tan x = a, ta có:

Chia 2 vế cho cos3x:

Phương trình trở thành:

x x

 1 + tan2x +3tanx( 1 + tan2x) = 4tanx

 3tan3x + tan2x – tanx + = 0

 ( tanx + 1)( 3tan2x – 2tanx + 1) = 0

Vậy phương trình vô nghiệm

VD8: Giải phương trình: (1 + sin2x) cosx + ( 1 + cos2x) sinx = 1 + sin2x

Giải Phương trìnhcosx + cosx.sin2x + sinx + sinx.cos2x = sin2x

+ cos2x + 2sinxcosx

 cosx + sinx + cosx.sinx( cosx + sinx) = ( cosx + sinx)2

 ( cosx + sinx)( 1 + cosx.sinx - cosx - sinx) = 0

cosx.sinx(cosx + sinx) = 2( cosx + sinx)

( cosx + sinx) 2 (cosx - sinx) + cosx.sinx - 2 = 0

(2)2( sinx - cosx) - cosx.sinx + 2 = 0

Đặt sinx - cosx = t, ( với  2  t  2 )

Giải Đk:

sin 2

0  0  sinx

2 1

3 sin 8

sin 2

sin 2

1 

+ sin

x

x x

3 sin 8

3 sin 8 11

3 

=

16 15



64

) 3 sin 8 11 ( 3 sin 8 4

) sin 2 1 ( sin

) sin 2

1 ) sin 2 1 sin 2 ( 3

1

x x

x

16 15

+ k2

k x

2

1 16 5 8 3

x x x

Giải

3 6 cos(

) 2 2

x x

0 ) 12 4 cos(

).

12

5 2 cos(

x x

12

5 2

x

x   k

2 12

5 2

x   k

2 12 4

2 24

Vậy nghiệm của phương trình:

2 24



4 48

 ( k  Z )

VD3: Giải phương trình:

cos7xsin5x = 3(cos5xsin7x)

Giải Phương trình cos7x+ 3sin7x = sin5x+ 3cos5x

sin sin 3 cos

.

Giải Phương trình 

4

2 ) 3 sin 4

3 sin sin 3 3 cos 4

cos 3 3

2 2

2 sin sin

x x

x x

1

= 4

 sin2x =

2 1

=

2

1

(3 + 2cos(xy)cos(xy)+ 2cos2(xy)  1)

= cos2(xy)+ cos(xy)cos(xy)+ 1

Dấu bằng xảy ra

cos(xy)=

2 1

sinx 0  sinx  1

1 cos

0 cos





x x



1 cos

0 cos





x x

k x

k x

Giải Phương trình  3 (sinx cosx)  4 sinx cosx 3  0

1 )

4

cos(

1 ) 4 cos(

2

1 cos

3 4

2 4

3 4

k x

k x

2

k x

k x

VD10: Giải phương trình:

x x

x cox

x x

cos sin

3

3 4 sin

3 sin 2 cos

 3 ( 2 cos2 x 1 )+ sin4x+ sin2xsin4x= 3 sinx cos x

 3 cos 2x sin 2x = 3 sinx cos x

3 2

6 3

Chia 2 vế cho cosx

Phương trình 3 tanx 1( tanx+ 2 ) = 5 (tanx+ 3 )

Phương trình 3cosx2 3( 1  cosx).

x

x

2 2

sin cos

3cosx2 3( 1  cosx)

x

x

2 2

cos 1

2 x 



0 2 cos

0 ) 7 cos 6 sin 2 )(

sin 1 (

0 ) sin 1 ( cos 6 ) 7 sin 2 )(

sin 1 (

0 ) sin 1 ( cos 6 7 sin 9 sin

x

x x

x x

x x

x x

 1  sinx 0

2 sinx 6 cosx 7  0 (vô nghiệm)

2 1

Giải

) (cos )

(sin cos

Phương trình 

4

1 2 cos 4



4

1 2 cos

4

3 2 x = cos2x

3cos22x  4 cos 2x 1  0

1 2 cos x



3

1 2

1 arccos 2

.

 cos 5x sinx cos 9x sin 5x

 sin 6x sin 4x sin 14x sin 4x

 sin 14x sin 6x



2 6

; 2 4

; 1

2 10

9 20

9

Vậy nghiệm phương trình là:

x x

2 sin 2 1

3 sin 3 cos (sin

2

1 2

Ta có: cos3x sin 3x 4 cos3x 3 cosx 3 sinx 4 sin3x

= 3 (sinx cosx)  4 (sinx cosx)( 1  sinx cosx)

= (sinx cosx)( 3  4 ( 1  sinx cosx))

= (sinx cosx)(  1  4 sinx cosx)

=  (sinx cosx)( 1  2 sin 2x)

x

x x

x

2 sin 2 1

) 2 sin 2 1 )(

sin (cos (sin

2 cosx (loại)

VD17: Giải phương trình:

2

3 1 3 cos

1 3 cos 1 2 cos

1 2

cos 1 cos

1

x

x x

x x

x

Giải Đk:

0 3

cos

0 2

cos

0 cos







x x x

Phương trình

2

3 ) 3 cos 1 ( 3 cos )

2 cos 1 ( 2 cos )

cos 1 (

3 cos 1 3 cos 2

2 cos 1 2 cos 2

cos 1

Dấu bằng xảy ra 

x x

x x

x x

3 cos 1 3 cos

2 cos 1 2 cos

cos 1 cos

cos cosx x x (Vô nghiệm)

Vậy phương trình vô nghiệm

VD18: Giải phương trình:

x x x

x x

2 sin sin 2 cot

1

2 cos 2

x

x x

x x

cos sin 2 2 sin

sin cos

2 cos 2

 ( 1  sin 2x cos 2x) sin2 x 2 2 sin2 x cosx

 2 sinx cosx 2 cos2x 2 2 cosx 0

 cosx(sinx cosx 2 )  0



2 cos

sin

0 cos







x x

VD19: Giải phương trình:

x

3 cos

3 3

0 cos 3 cos 12

cos 4 cos 3 cos 8

2 3

3 3

x t

x x

t



4

1 cos

0 cos



t t



2

1 2 cos

0 cos







t t

k t

6

k x

k x

k x

Giải Đk: x  x k

2 0

Phương trình 1  cosx  cosxcos 2x sin 2x cos 2x

 cos 2x 1  cosx  cosx sin 2x 0



0 2 sin cos cos

1

0 2 cos

x x









0 2

sin

2 sin ) cos 1 ( cos

sin

0 ) cos 1

(

cos

1 2

x



1 cos

0 cos

1 2

(loại, vì với cosx 0 hoặc cosx  1 thì sin 2x 0)

Vậy nghiệm của phương trình: k

2

1

3 Bài tập tương tự

Giải các phương trình sau:

1, 2 sinx( 1  cos 2x)  sin 2x 2 cosx 1

8, 2 sin 2x 3 sin2x 5 cos2x  3

(cos

2

1

x x

x x

4 cos 15 1 tan 2

1 1

cot

2

1

2 2

4

x x

x x

4 2

cot 2

sin

1 2

tan 2

cos

1

2 2

2 2

x x

cos sin sin

3 sin

1 sin

x x

;

k

PHẦN KẾT

Nhận xét của người đọc: