Bat Dang Thuc Trong Ky Thi HSG THPT-2008-VIF

Chứng minh HÀ NỘI LỜI GIẢI Tạ Minh Hoằng.. Các lời giải Vậy, giá trị nhỏ nhất của • Giá trị lớn nhất.. Trước tiên ta chứng minh Bất ñẳng thức trên là ñúng, và tương tự ta cũng có Cộng

Trang 1

DIEN DAN BAT DANG THUC VIET NAM

The VietNam Inequality Mathematic F

The VietNam Inequality Mathematic Forum orum orum VIMF VIMF VIMF

Ebook Written by:

Bai Viet Nay (cung voi file PDF di kem) duoc tao ra vi muc dich giao duc Khong duoc su dung ban EBOOK nay duoi bat ky muc dich thuong mai nao, tru khi duoc su dong y cua tac gia Moi chi tiet xin lien he: http://www.ddbdt.co.cc

Contributors Of The Book

Admin, VIMF Forum, Student.

Moderator, VIMF Forum, Student

And thanks all members of VIMF.

Trang 2

Các ñề thi

C

CÁC C C ðỀ THI THI THI H H HỌC SINH GI C SINH GI C SINH GIỎI VI I VI I VIỆT NAM 2008 T NAM 2008 T NAM 2008

BÀI TOÁN 1 Cho các số không âm phân biệt , , Chứng minh

( 2 2 2) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2

a b c

BÀ RỊA VŨNG TÀU

BÀI TOÁN 2 Cho hình hộp chữ nhật với kích thước 3 cạnh là , , và ñộ dài ñường chéo là √3 Chứng minh

HÀ NỘI

BÀI TOÁN 3 Cho các số không âm  1 Tìm min và max của

HÀ NỘI

BÀI TOÁN 4 Cho các số thực dương

HÀ NỘI

BÀI TOÁN 5 Cho các số thực a,b,c chứng minh

( 2 )( 2 )( 2 ) ( )2

a + b + c + ≥ ab+bc+ca−

TP HỒ CHÍ MINH

BÀI TOÁN 6 Cho các số thực dương , , thỏa mãn a b c 1 1 1

a b c

BÀI TOÁN 7 Cho các số dương , , Chứng minh

xy+yz+zx≥ + +x y z

NGHỆ AN

BÀI TOÁN 9 Cho các số dương , , chứng minh bất ñẳng thức

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

1 2

THANH HÓA

BÀI TOÁN 10 Cho các số dương , , … , thỏa mãn …  1 Chứng minh rằng

1 1 2 1 n 1 2( 1 2 n)

BÌNH PHƯỚC

BÀI TOÁN 11 Cho các số thực dương , , Chứng minh rằng

BÌNH PHƯỚC

BÀI TOÁN 12 Cho , , 0 Chứng minh

√

BÌNH PHƯỚC

Trang 3

Các ñề thi

BÀI TOÁN 13 Chứng minh ∀ ∈x ℝ thì

2 3

1 2! 3!

x x x

HẢI DƯƠNG

5, 8

x y z

+ + =





 Chứng minh rằng

15

xyz≤

HẢI DƯƠNG

BÀI TOÁN 15 Cho các số dương , , tìm giá trị lớn nhất của

P

HUẾ

BÀI TOÁN 16 Cho các số không âm

1 1 1

P

HÀ TĨNH

2

NAM ðỊNH

BÀI TOÁN 18 Cho tứ giác lồi ABCD có )* ; *, ; ,- ; -) Chứng minh rằng

2 2 2 2

13a +6b − +c 2d ≥4 2S

NAM ðỊNH

BÀI TOÁN 19 Cho các số dương , , sao cho

2 2 2

3 3 3

2 2 2

P

ðỒNG THÁP

BÀI TOÁN 20 Cho các số thực

1

2 3 6

11 27 54

x y z

y z

≥ ≥ ≥









Tìm giá trị lớn nhất của

2 2 2

1 2008 2009 ( , , )

P x y z

ðỒNG THÁP

BÀI TOÁN 21 Cho ), *, , là 3 góc của một tam giác Chứng minh rằng

4 5

√

BÌNH ðỊNH

BÀI TOÁN 22 Cho 0 a b c d

bc ad

< ≤ ≤ ≤





≤

678.9 8.769

THÀI BÌNH

BÀI TOÁN 23 Cho 3 số thay ñổi

2

3 3

x y z

x y

x y z

≥ ≥ ≥



 + ≤





Tìm giá trị lớn nhất của tổng

BẮC NINH

BÀI TOÁN 24 Cho , , là các số thực dương sao cho 1 Chứng minh rằng

Trang 4

Các ñề thi

PHÚ YÊN

BÀI TOÁN 25 Cho các số thực thay ñổi thỏa mãn

NGHỆ AN

Trang 5

Các lời giải

C

CÁC L C L C LỜI GI I GI I GIẢIIII

BÀI TOÁN 1 Cho các số không âm phân biệt , , chứng minh

( 2 2 2) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2

a b c

BÀ RỊA VŨNG TÀU

LỜI GIẢI (VIMF)

Không mất tính tổng quát, giả sử ABC D, , E Khi ñó > 0, > 0 Do ñó

# > 1 > 1 > 1 $ # > 1 1 1 $

Bây giờ ta có

# > 1 1 1 $ >

> > >

>

5

4 >

> 2

ðặt 9G6 H

JKI 0, I 0 L I √5 > 12

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số M√G , nên JI ñạt giá trị nhỏ

nhất tại IM Vậy ABCJI JIM J !√G " N√ , ñạt ñược tại 9G6 H

96 √G

BÀI TOÁN 2 Cho hình hộp chữ nhật với kích thước 3 cạnh là , , và ñộ dài ñường chéo là √3 Chứng minh

HÀ NỘI

LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng) Do ñộ dài ñường chéo là 3 nên a2+ +b2 c2 =3

2 3

a

a ≥

−

∑ Ta chứng minh

2

2 4 4 2

2 3

Bất ñẳng thức trên ñúng theo bất ñẳng thức )O > PO, tương tự cho 2 bất ñẳng thức còn lại rồi cộng vế theo vế

ta có

2 2 2

2 2

b c

+ +

+

∑ Phép chứng minh hoàn tất

BÀI TOÁN 3 Cho các số không âm  1 Tìm min và max của

HÀ NỘI

LỜI GIẢI 1

• Giá trị nhỏ nhất Ta có

2

Tương tự ta cũng có

Trang 6

Vậy, giá trị nhỏ nhất của

• Giá trị lớn nhất Trước tiên ta chứng minh

Bất ñẳng thức trên là ñúng, và tương tự ta cũng có

Cộng các bất ñẳng thức trên vế theo vế ta ñược ( √2

Vậy, giá trị lớn nhất của

NHẬN XÉT Bạn Võ Quốc Bá Cẩn ñưa ra thêm lời giải phần max và bạn Tạ Minh Hoằng ñưa ra thêm lời giải

phần min như sau:

LỜI GIẢI (Võ Quốc Bá Cẩn - Tạ Minh Hoằng)

• Giá trị nhỏ nhất (Tạ Minh Hoằng) bất ñẳng thức tương ñương với

( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)

2 2 2 2 2 2 2

sym

xyz x y z x y x y z x y z xy yz zx xyz x y z

2 2 2

(x y z xy)( yz zx) x y z x y z 2xyz xy yz zx 1

2 2 2

(x y z 1)(xy yz zx 1) x y z 2xyz

2 1

xy yz zx xy yz zx

x y z xyz

x y z

+ + +

Theo bất ñẳng thức )O > PO ta có 2( )( 1) 63 2 2 2

x y z

xy yz zx xy yz zx

Chú ý 1

3 3

abc≤ , nên bất ñẳng thức sẽ ñược chứng minh nếu 6≥ + + +(x y z 1)(xyz+2)

Bất ñẳng thức này ñúng do 1

3 3

• Giá trị nhỏ nhất (Võ Quốc Bá Cẩn)

Chú ý rằng từ giả thiết, ta suy ra 1

2

yz = − yz ≤ −

Tương tự ñối với hai bất ñẳng thức còn lại rồi cộng vế theo vế ta có 2

1

x

x y z xyz

+

∑ Mặt khác, theo bất ñẳng thức ,QR > :RST thì

[ (1 2x − yz) (+ +y z)]≤[x + +(y z) ][(1 2− yz) + =1] 2(1 2+ yz)(1 2− yz+2y z )=2[1 2− y z (1 2− yz)]≤2

Dẫn ñếnx+ + −y z 2xyz≤ 2

Kết hợp bất ñẳng thức này và bất ñẳng thức trên, ta thu ñược 2

1

x

yz≤ +

∑

2

x= =y z= và các hoán vị tương ứng

HÀ NỘI

a x b y c

z

= = = ta ñược

Trang 7

5 2 6 12 2 7 6 12 2 12 2 12 2 7 6 7 6 7 6

P

a b b c a b a b c a b b c c a a b c b c a c a b

+ +

Áp dụng bất ñẳng thức )O > PO ta có 14 7 7 12 2

5a +2a b ≥7a b , 2(a c7 7+6a b7 7)≥2.7a b c7 6

Tương tự ta có

7 7 7 2 14 14 14 7 7 7 7 7 7 12 2 12 2 12 2 7 6 7 6 7 6

7(a + +b c ) ≥5(a +b +c ) 16(+ a b +b c +c a )≥7(a b +b c +c a +2a b c+2b c a+2c a b)

1

P

⇒ ≥

Vậy Pmin=1 khi 1

a b c x y

z

BÀI TOÁN 5 Cho các số thực a,b,c chứng minh

( 2 )( 2 )( 2 ) ( )2

a + b + c + ≥ ab+bc+ca−

LỜI GIẢI Khai triển bất ñẳng thức này ta ñược

Hay > > > 0

Phép chứng minh hoàn tất

BÀI TOÁN 6 Cho các số thực dương , , thỏa mãn

Chứng minh

LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng) Từ giả thiết, ta có 9

a b c

+ + ≥

+ + , và

ab bc ca

a b c

abc

+ +

(abc a b c( )) (ab bc ca) 3abc a b c( ) abc a b c( ) 3 a b c

abc

Do ñó 2( ) 3 2

a b c a b c

a b c

a b c abc

+ +

Phép chứng minh hoàn tất ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

BÀI TOÁN 7 Cho các số dương , , Chứng minh

LỜI GIẢI 1 (Tạ Minh Hoằng)

Bất ñẳng thức tương ñương với

2 2 2

8

( )( )( )

ab bc ca a b b c c a

( ) ( )

0 2( ) ( )( )( )

ab bc ca a b c b c a

∑ ∑ ⇔∑ (a−b) ((2 a+b c)( +b c)( + −a) 2 (c ab bc+ +ca))≥0 Bất ñẳng thức ñược ñưa về dạng SOS, trong ñó

:9 :6 :7

Không mất tính tổng quát, giả sử a≥ ≥b c, khi ñó S S b, c≥0và S a+S b =2c a2( + ≥b) 0

Phép chứng minh hoàn tất ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Trang 8

LỜI GIẢI 2 (Tạ Minh Hoằng) Ta sử dụng ñẳng thức sau

2 2 2

a b c a b a c b c b a c a c b

8 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

1 ( )( )( ) ( )( )( )

− = −

) ( )( )

a b a c

ab bc ca a b a c

∑ Không mất tính tổng quát, giả sử a≥ ≥b c Khi ñó

0 ( )( ) ( )( ) ( )( )

ab bc ca− a b a c ≥ab bc ca− b c b a ≥ ab bc ca− c a c b ≥

Theo bất ñẳng thức UVTCBQ > :RQT, ta có ñiều phải chứng minh

xy+yz+zx≥ + +x y z

NGHỆ AN

LỜI GIẢI 1 (VIMF)

Theo nguyên lí

Từ ñiều kiện ñề bài ta có ;N<N;<G, nên thay vào bất ñẳng thức trên ta ñược bất ñẳng thức tương ñương là

Bất ñẳng thức trên hiển nhiên ñúng Phép chứng minh hoàn tất ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

LỜI GIẢI 2 (Tạ Minh Hoằng)

Giả thiết bài toán tương ñương với 1 1 1

1

2a 1+2b 1+2c 1=

+ + + , suy ra x+ + =y z 1 và

1 1 1 1

1, 1,

2 2 2 2

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2x 2 2y 2 2y 2 2z 2 2z 2 2x 2 2x 2 2y 2 2z 2

3

1 1 1 9 1 1 1

( ) 9 4( )( )

4xy 4yz 4zx 4 x y z x y z xyz x y z x y z

BÀI TOÁN 9 Cho các số dương , , chứng minh bất ñẳng thức

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

1 2

THANH HÓA

LỜI GIẢI (Lương Quang Trung) Chuẩn hóa

( ) ( )

2 2

2

3

+ −

Ta chỉ cần chứng minh 24 1 7

2

a

∑

2

a

Trang 9

Tương tự cho hai bất ñẳng thức còn lại và cộng các bất ñẳng thức vế theo vế ta có

2

a

a b c

∑ Phép chứng minh hoàn tất ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

NHẬN XÉT Ta cũng có một cách chuẩn hóa khác nhưng với cách chuẩn hóa này thì lời giải sẽ ñơn giản hơn bởi

không cần ñến kĩ thuật cân bằng hệ số: chuẩn hóa cho

( ) ( )

2

(3 2 ) 9 12 4 4 4 3 4 4 3

2 (3 ) 3 6 9 3( 1) 6 2

+ +

Tương tự ta cũng có ( )

( ) ( ( ) )

4 4 3 4 4 3

,

Cộng các bất ñẳng thức vế theo vế ta có

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

4( ) 9 1 4

6 2

BÀI TOÁN 10 Cho các số dương , , … , thỏa mãn …  1 Chứng minh rằng

1 1 2 1 n 1 2( 1 2 n)

BÌNH PHƯỚC

LỜI GIẢI

Trước tiên ta chứng minh

ta ñược bất ñẳng thức tương ñương là

, , … và cộng lại

vế theo vế ta ñược

Mà theo bất ñẳng thức )O > PO thì √ C '\ ] … C

Do ñó

'

BÀI TOÁN 11 Cho các số thực dương , , Chứng minh rằng

BÌNH PHƯỚC

LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng) Ta có

2 2 2 2

ab

a b = −a b ≥ − = −

Tương tự ñối với hai bất ñẳng thức còn lại và cộng các bất ñẳng thức vế theo vế ta suy ra ñiều phải chứng minh Phép chứng minh hoàn tất ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

BÀI TOÁN 12 Cho , , 0 Chứng minh

√

BÌNH PHƯỚC

LỜI GIẢI Bất ñẳng thức tương ñương với

Trang 10

Theo bất ñẳng thức )O > PO, ta có

3&

%

√

Tương tự ta cũng có

√

%

Cộng các bất ñẳng thức trên vế theo vế ta suy ra ñiều phải chứng minh ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

BÀI TOÁN 13.Chứng minh ∀ ∈x ℝ thì

2 3

1 2! 3!

x x x

HẢI DƯƠNG

LỜI GIẢI (Nguyễn ðức Toàn) ðặt

3 2

3! 2!

x x x

f x =e − − − −x

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1 Nếux≥0

2

2!

x x

f x′ = −e − −x , f′′( )x =e x− −x 1, f′′′( )x =e x− >1 0

Suy ra JK f′′( )x ≥ f′′(0)=0

Suy ra JK f x′( )≥ f′(0)=0

Suy ra f x ≥ f(0)=0

Trường hợp 2 Nếu x≤0

ðặtx= − ≥t t( 0)

3 2

1

( ) 1

3! 2!

t

t t

e

2

1 ( ) 1

2

t

e

′′′ = + >

Suy ra J^^I ñồng biến, f′′( )t ≥ f′′(0)=0

Suy ra J^I ñồng biến, f t′( )≥ f′(0)=0

Suy ra JI ñồng biến, f t( )≥ f(0)=0

Vậy ta có ñiều phải chứng minh ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

NHẬN XÉT Ta cũng có thể tổng quát cho bài toán thành :

0 !

i n x i

x e i

=

≥∑ với mọi n∈N*và n lẻ

5, 8

x y z

+ + =





15

xyz≤

HẢI DƯƠNG

LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng) Từ giả thiết suy ra y+ ≤z 4và z≤1 Nên

Vậy GTLN của

BÀI TOÁN 15 Cho các số dương , , tìm giá trị lớn nhất của

Trang 11

P

HUẾ

LỜI GIẢI (Nguyễn ðức Toàn) Ta có

2

1

P

2

3

P

Vậy, giá trị lớn nhất của là , ñạt ñược khi và chỉ khi

BÀI TOÁN 16 Cho các số không âm

1 1 1

P

HÀ TĨNH

LỜI GIẢI ðồng bậc hóa bất ñẳng thức này ta ñược

&

ðặt

Vậy, giá trị nhỏ nhất của

NAM ðỊNH

LỜI GIẢI Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với

Theo bất ñẳng thức )O > PO ta có

BÀI TOÁN 18 Cho tứ giác lồi ABCD có )* ; *, ; ,- ; -) Chứng minh rằng

2 2 2 2

13a +6b − +c 2d ≥4 2S

NAM ðỊNH

Trang 12

LỜI GIẢI (Vũ Thanh Tùng) Trước hết chứng minh bổ ñề:

Cho tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là , , diện tích : với mọi bộ số A, C, _ thỏa mãn

0 0 0 0

m n

n p

m n

mn np pm

+ ≥





 + ≥





Ta luôn cóma2+nb2+pc2 ≥4 mn+np+pmS

Trở lại bài toán

ðặt

2 2 2

13a +6b −4x ≥4 2S ABC, − +c2 2d2+4x2 ≥4 2S ADC

Cộng 2 bất ñẳng thức trên vế theo vế ta có ñiều phải chứng minh

BÀI TOÁN 19 Cho các số dương , , sao cho

2 2 2

3 3 3

P

ðỒNG THÁP

LỜI GIẢI (Lương Quang Trung)

Theo bất ñẳng thức )O > PO ta có 2 3 3 3 2

3

Áp dụng bất ñẳng thức AM-GM,ta có 2 2 ( )

3 2 1 3 2 1

a

Tương tự cho các bất ñẳng thức còn lại rồi cộng vế theo vế ta có

2

3

( 2( )) ( ) 1

a

a b

Vậy GTNN của P = 1 khi 1

BÀI TOÁN 20 Cho các số thực

1

2 3 6

11 27 54

x y z

y z

≥ ≥ ≥









Tìm giá trị lớn nhất của

2 2 2

1 2008 2009 ( , , )

P x y z

ðỒNG THÁP

LỜI GIẢI 1 (Lương Quang Trung) Tacó 12 20082 20092 12 12 2008 12 12

Áp dụng bất ñẳng thức ,QR :RST ta có

2

2 2 2 2

Suy ra

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 121 1 121 850

729 729 729

  (vì z≥1)

Áp dụng bất ñẳng thức ,QR :RST ta có

2 2 2 2 2

2 2 2 2

9 18 4 2

36 2 3 2 4 9 4 9 18 1

9

4 4

Suy ra

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 4 1 4 13

  (vì z≥1)

Trang 13

Vậy GTLN của là 2115274

729 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( ) 27 3

11 2

LỜI GIẢI 2 (Vũ Thanh Tùng)

Ta có

2 2 2 2 2 2 2

1 2008 2009 1 1 1 1

2008

2 2 2 2 2

11 1 1 11 1 1 1 11 1

2

2 2 2 2 2 2 2 2

11

1 1 1 27 1 1 2 1 1

2

x z

+

Tương tự

2 2

3 y z P 27 3

Phép chứng minh hoàn tất ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( ) 27 3

, , , ,1

11 2

BÀI TOÁN 21 Cho ), *, , là 3 góc của một tam giác Chứng minh rằng

4 5

√

BÌNH ðỊNH

1 3 3 3

Áp dụng bất ñẳng thức *XTCVQWWB và )O > PO, ta có

3 2 1

3

1 1

3 3 1 2 sin

3 cos

1 cos 1 cos

A A

=



∏

(vì 2

3

3 4

(vì 1 sin

A≤

Vậy, ta có ñiều phải chứng minh

BÀI TOÁN 22 Cho 0 a b c d

bc ad

< ≤ ≤ ≤





≤

678.9 8.769 1

THÀI BÌNH

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)⇔a ax ax ay ay az az a ≥a az az ay ay ax ax a ⇔ x y z y z ≥xy z x y(2)

Trang 14

( ) 1 ( 1 )

y vy y y

y v u y

u u

 

 

Dễ thấy khi 1 hay ` 1 thì (3) ñúng

Xét y u, >1 Ta có (3) 1 1(*)

y u

y v

y − v −

Như vậy ta chỉ cần chứng minh bất ñẳng thức a ñúng bằng công cụ ñạo hàm.Có hai trường hợp cần xem xét:

Trường hợp 1 v> y

Khi ñó ta xét hàm số

1 1

( ) t , 1

f t =t − t> ln ( ) 1 ln

1

t

( ) 1 1

ln ( ) 1 1

f x

t

′

−

− (lấy ñạo hàm hai

vế)

( )2( )

( )

( ) 1 ln

1

f t

t t

′

−

Mà ta có bất ñẳng thức quen thuộc 1

lnt 1 ,t 1

t

> − > Suy ra f t′ <( ) 0 với mọi t>1

( )

f t′

⇒ nghịch biến trên khoảng ñang xét Suy ra

1 1

1 1 1 1 1

( ) ( )

y y u

y v y v v

f y > f v ⇒y − >v − ⇒y − >v− ≥v − (vì y≥u) Tương tự ta xét trường hợp 2 v≤ y

Khi ñó ta xét hàm số ( ) 1, 1

t t

f t =t − t> ln ( ) ln

1

t

( ) 1 1

ln ( ) 1 1

f t

t

′

−

− (lấy ñạo hàm hai vế)

( )2( )

( )

( ) 1 ln

1

f t

t

′

−

Mà ta có bất ñẳng thức quen thuộc lnt< −t 1,t>1 Suy ra f t′ >( ) 0với mọi t>1

( ) ( )

f y f v

y t u

y v v

y − >v − ≥v−

⇒ (vì v≥u) Phép chứng minh hoàn tất

BÀI TOÁN 23 Cho 3 số thay ñổi

2

3 3

x y z

x y

x y z

≥ ≥ ≥



 + ≤





Tìm giá trị lớn nhất của tổng

BẮC NINH

LỜI GIẢI Từ giả thiết suy ra

2; ( 4, 2;N<( 8, 2;N<N=( 8 b24; 1,24; 22< 2,24; 22< 21= 3

Ta có

4

2;2;> 2< 4

2<$ 2<> 2= 4

2< 1

2=$ 2= 12;> 2< <> 2= =

Suy ra

BÀI TOÁN 24 Cho , , là các số thực dương sao cho 1 Chứng minh rằng

PHÚ YÊN

LỜI GIẢI

Ta có > > f

Suy ra

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	260,3 KB