Phép biến đổi Stieltjes và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2VŨ THỊ ĐỊNH PHÉP BIẾN ĐỔI STIELTJES VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ ĐỊNH

PHÉP BIẾN ĐỔI STIELTJES VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ ĐỊNH

PHÉP BIẾN ĐỔI STIELTJES VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÀO

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thànhluận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các cán bộ phòng Sauđại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho emtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 07 năm 2017

Tác giả

VŨ THỊ ĐỊNH

Lời cam đoan

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Stieltjes

và áp dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 07 năm 2017

Tác giả

VŨ THỊ ĐỊNH

Mục lục

1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Tích phân suy rộng 3

1.1.1 Tích phân suy rộng với cận vô tận (Tích phân suy rộng loại I) 3

1.1.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn (Tích phân suy rộng loại II) 8

1.1.3 Liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng 10

1.2 Tích phân phụ thuộc tham số 12

1.2.1 Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn 12

1.2.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận vô tận 13 1.2.3 Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị chặn 15

1.3 Phép biến đổi Laplace 17

1.4 Phép biến đổi Mellin 19

1.5 Hàm Bessel 21

1.5.1 Khái niệm hàm Bessel và một số mối quan hệ liên quan 21

1.5.2 Một số tính chất cơ bản của hàm Bessel 27

2 Phép biến đổi Stieltjes và áp dụng 29 2.1 Khái niệm về phép biến đổi Stieltjes 29

2.2 Một số ví dụ 30

2.3 Một số tính chất toán tử của phép biến đổi Stieltjes 32

2.4 Phép biến đổi Stieltjes ngược 36

2.5 Một số áp dụng của phép biến đổi Stieltjes 41

2.5.1 Giải bài toán Moment 41

2.5.2 Nghiệm của phương trình tích phân 42

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài Biến đổi tích phân là một phép tính toán tử,được hình thành từ những năm cuối thế kỉ XIX Về mặt lịch sử, khái niệmbiến đổi tích phân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về

lý thuyết khai triển một hàm số thành chuỗi lượng giác của Fourier vàsau đó được phát triển tới tích phân Fourier hay phép biến đổi Fourier

Ý nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân này là cung cấp nhữngphương pháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán về phươngtrình vi phân, phương trình sai phân và phương trình tích phân Hai phépbiến đổi tích phân Fourier và Laplace được đánh giá rất quan trọng khôngchỉ trong Toán học mà còn nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Đáng kểhơn để nói về hai phép biến đổi này là các ứng dụng của nó trong việc giảiquyết các bài toán về phương trình vi phân xuất hiện trong xử lý về mạchđiện và màng rung trong môi trường chất lỏng Xuất phát từ một số vấn

đề thuộc lĩnh vực thực tiễn trong vật lý, nhà toán học Stieltjes giới thiệumột phép biến đổi tích phân để giải quyết những bài toán này

Để hoàn thành luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích, em chọn

đề tài nghiên cứu về “Phép biến đổi Stieltjes và áp dụng”

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về

phép biến đổi Stieltjes và một số áp dụng của nó.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về khái niệm vàmột số tính chất cơ bản của phép biến đổi Stieltjes; phép biến đổi Stieltjesngược; mối quan hệ giữa phép biến đổi Stieltjes và một số phép biến đổitích phân khác như phép biến đổi Mellin và phép biến đổi Laplace

4 Phương pháp nghiên cứu Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổnghợp kiến thức, xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn

5 Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách có hệ thống vềkhái niệm cùng các tính chất cơ bản của phép biến đổi Stieltjes

Trình bày một số áp dụng của phép biến đổi Stieltjes trong việc giải haibài toán xuất hiện từ các vấn đề trong lĩnh vực vật lý: Bài toán Moment;Bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

(Kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [5])

f (x)dx được gọi là phân kỳ

Tương tự, nếu hàm f (x) xác định trên (−∞, b] thì ta định nghĩa

Nếu f (x) xác định trên (−∞, +∞) thì ta định nghĩa

Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ) Giả sử f (x) là hàm sốxác định trên [a, +∞) Giả sử rằng f (x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn

[a, b] với b > a Khi đó, tích phân

+∞

Z

f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi

ε > 0 tồn tại b0 > a sao cho với mọi b0, b00 > b0 ta có

Tích phân suy rộng loại I của hàm số không âm

Định lý 1.4 Cho các hàm f (x) > 0 và g(x) > 0; với mọi x ∈ [a, +∞)

Giả sử

lim

x→+∞

f (x)g(x) = k ∈ (0, +∞).

Một số dấu hiệu hội tụ

Định lý 1.6 (Dấu hiệu Abel) Cho các hàm f (x) và g(x) là các hàm xácđịnh và liên tục trên [a, +∞) Giả sử rằng

Tích phân hội tụ tuyệt đối

Định nghĩa 1.2 Cho hàm f (x) xác định trong khoảng [a, +∞) Khi đó,

ta giới thiệu hai khái niệm sau

(i) Nếu tích phân

1.1.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn (Tích phân

suy rộng loại II)

Định nghĩa 1.3 Xét hàm số f (x) xác định trên [a, b) và không bị chặntại điểm b Giả sử rằng hàm f (x) khả tích trong mọi đoạn [a, b − ε], với

được gọi là tích phân suy rộng loại II của hàm f (x) trên đoạn [a, b]

Nếu giới hạn (1.2) tồn tại và hữu hạn thì tích phân

Tương tự nếu hàm f (x) xác định trong khoảng (a, b] không bị chặn tạiđiểm a Nếu hàm f (x) khả tích trong mọi đoạn [a + ε, b]; với ε > 0 đủ

rộng của hàm này như sau

Định lý 1.8 (Tiêu chuẩn Cauchy [1]) Giả sử f (x) xác định trên (a, b]

không bị chặn trong lân cận của điểma, nhưng khả tích trên mọi đoạn[c, b];

a < c ≤ b Khi đó, tích phân

b

Z

a

g(x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi số

ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi c0, c00 ∈ R mà a < c0 ≤ c00 ≤ c00+ δ ≤ b

thì ta có

... data-page="35">

Chương Phép biến đổi Stieltjes áp dụng< /h2>

(Kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [6], [7], [8])

2.1 Khái niệm phép biến đổi Stieltjes< /h3>

Phép biến đổi Stieltjes. .. không

phụ thuộc vào bậc đạo hàm

2.5 Một số áp dụng phép biến đổi Stieltjes< /h3>

Phần tiếp theo, chúng tơi xin trình bày áp dụng phép biến đổi Stieltjestrong việc giải... qua phép biến đổiLaplace hàm f (s) =¯ L {f(t)} theo biến s Trước hết, để tới kháiniệm ta thấy

Từ đó, người ta đưa khái niệm phép biến đổi sau

Định nghĩa 2.1 Phép biến đổi