Phép biến đổi hankel và áp dụng (LV01969)

Áp dụng của phép biến đổi Hankel trong việc giải một số phương trình vi phân đạo hàm riêng.. Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân được bắt nguồn từ nhữngnghiên cứu rất nổi tiếng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CHU THỊ LAN

PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI, 2016

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình họctập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Chu Thị Lan

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc

sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Hankel và áp dụng”

được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Chu Thị Lan

Mục lục

1.1 Tích phân suy rộng 4

1.1.1 Tích phân suy rộng với cận vô tận 4

1.1.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn 6

1.2 Tích phân phụ thuộc tham số 9

1.2.1 Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn 9

1.2.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận vô tận 10

1.2.3 Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị chặn 12 1.3 Tích phân Fourier 13

1.3.1 Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier 13

1.3.2 Dạng khác của công thức Fourier 14

1.3.3 Phép biến đổi Fourier 16

1.3.4 Tích chập và phép biến đổi Fourier 17

1.4 Hàm Bessel 18

2 PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL 26 2.1 Khái niệm về phép biến đổi Hankel 26

2.2 Một số ví dụ 29

2.3 Một số tính chất toán tử của phép biến đổi Hankel 30

2.4 Áp dụng của phép biến đổi Hankel trong việc giải một số phương trình vi phân đạo hàm riêng 34

2.4.1 Bài toán rung động tự do của một màng tròn lớn 35

2.4.2 Bài toán về sự phân bố nhiệt độ ổn định trong một cố thể nửa vô hạn với nguồn nhiệt ổn định 36

2.4.3 Phương trình khuyếch tán đối xứng qua đường chéo 37

2.4.4 Bài toán bức xạ âm đối xứng qua đường chéo 39

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân được bắt nguồn từ nhữngnghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyết khai triển một hàm số thành chuỗi hàmlượng giác của Fourier và sau đó được phát triển tới tích phân Fourier hay phépbiến đổi Fourier Ý nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân là cung cấpnhững phương pháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán về phươngtrình vi phân, phương trình sai phân và phương trình tích phân Hai phép biếnđổi tích phân có tính khởi đầu và cũng được đánh giá rất quan trọng không chỉtrong Toán học mà còn nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác là phép biến đổiFourier và biến đổi Laplace

Trong lý thuyết về các phép biến đổi tích phân tổng quát, người ta định nghĩaphép biến đổi tích phân T như sau

T [f (s)] = F (s) =

t2Z

t 1

K(t, s)f (t)dt

Trong mỗi phép biến đổi tích phân người ta gọi f (t) là hàm gốc, hàm F (s) làhàm ảnh và hàm K(t, s) được gọi là nhân của phép biến đổi Nếu hàm nhânK(t, s) của phép biến đổi tồn tại nghịch đảo được kí hiệu bởi K−1(s, t) Điều

đó, có nghĩa là tồn tại phép biến đổi ngược tích phân sau

f (t) =

u2Z

u 1

K−1(s, t)T [f (s)] ds

Trong các phép biến đổi tích phân, phép biến đổi Hankel có ý nghĩa quan trọngbởi sự liên quan của nó tới một số hàm đặc biệt Nhà Toán học Hermann Hankel(1839-1873) người Đức, được ghi nhận bởi những đóng góp nổi tiếng của ôngtrong lĩnh vực Giải tích Toán học về phép biến đổi được mang tên ông Phépbiến đổi này xuất hiện trong việc nghiên cứu của ông về những hàm chỉ phụthuộc vào khoảng cách tới điểm gốc Đồng thời liên quan đến lĩnh vực này, ôngcũng đã nghiên cứu về những hàm, nay được mang tên là hàm Hankel hay hàmBessel loại ba Trong ngôn ngữ của phép biến đổi tích phân, nhân của phép biếnđổi Hankel là những hàm Bessel Sự phát sinh một cách tự nhiên về nhân củaphép biến đổi này được xuất hiện trong các bài toán về sự đối xứng trục trong hệtọa độ cực trụ

Được sự định hướng của TS Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài “Phép biến đổi Hankel và áp dụng” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ

chuyên ngành Toán giải tích

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu.

Nghiên cứu về phép biến đổi Hankel và một số áp dụng của nó

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất cơ bản của phép biến đổi Hankel

4 Phương pháp nghiên cứu.

Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến địnhhướng của người hướng dẫn

5 Dự kiến đóng góp của luận văn

- Trình bày một cách có hệ thống về phép biến đổi Hankel

- Trình bày một số áp dụng của phép biến đổi Hankel

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Tích phân suy rộng

1.1.1 Tích phân suy rộng với cận vô tận

Định nghĩa Cho hàm f (x) xác định trên [a, +∞) Giả sử rằng f (x) khả tích

trên mọi đoạn [a, b]; với b > a Nếu tồn tại giới hạn

limb→+∞

bZa

f (x)dx Như vậy

+∞

Za

f (x)dx = lim

b→+∞

bZa

f (x)dx

Nếu tồn tại và hữu hạn giới hạn (1.1) thì ta nói tích phân hội tụ Nếu giới hạn(1.1) bằng ±∞ hoặc không tồn tại, thì ta nói tích phân phân kỳ.

Tương tự, nếu hàm f (x) xác định trên (−∞, a] thì ta định nghĩa

aZ

−∞

f (x)dx = lim

b→−∞

aZb

−∞

f (x)dx +

+∞

Za

dx

x2 Bởi vì

bZ1

dx

x2 = − 1

x

b



= 1

Ví dụ 2 Xét tích phân

+∞

R0cos x dx Ta có

bZ0cos xdx = sin x|b0 = sin b

Bởi vì giới hạn lim

b→+∞sin b không tồn tại, nên tích phân

+∞

R0cos x dx phân kỳ



= − limb→−∞(arctan b) = π

1.1.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn

Định nghĩa Cho hàm y = f (x) xác định trên đoạn (a, b] không bị chặn tại điểm

a, nhưng khả tích trên mọi đoạn [c, b]; c > a Khi đó, nếu tồn tại và hữu hạn giớihạn

limε→0

bZa+ε

thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng của hàm không bị chặn f (x) trên đoạn[a, b] ký hiệu là

bRa

f (x)dx Như vậy

bZa

f (x)dx = lim

ε→0

bZa+ε

f (x)dx

Nếu giới hạn (1.4) bằng ±∞ hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân phân kỳ.Tương tự, nếu f (x) không bị chặn tại b thì ta định nghĩa

bZa

f (x)dx = lim

ε→0

b−εZa

Nếu f (x) không bị chặn tại c ∈ (a, b) thì ta định nghĩa

bZa

f (x)dx = lim

ε→0

c−εZa

f (x)dx + lim

ε→0

bZc+ε

Một số ví dụ

Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của tích phân

1R0

dx

x = limε→0

1Z0+εdx

x = limε→0(− ln ε) = +∞

Trường hợp α 6= 1, thì

1Zε

1Zε

dx

xα = 1

1 − α;nếu α > 1 thì

limε→0

1Zε

dx

x + 2√

x hội tụ Thật vậy, bởi vì tích phân

1R0

≤ √1

x nên tích phân

1R0

< ε

Định nghĩa Tích phân (1.8) được gọi là hội tụ đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại

b0 = b0(ε) ≥ a sao cho với mọi b > b0 ta có

bRa

f (x, t)dx − I(t)

< ε; với mọi t ∈ [c, d]

Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho hàm số f (x, t) = e−tx Giả sử t > 0 cố định, hàm số x 7→ e−txliên tục trên [0, +∞) nên khả tích trên mọi đoạn [0, b] với b ≥ 0 Ta có

bZ0

e−txdx = lim

b→∞

bZ0

e−txdx = 1

t.

Ví dụ 2 Xét sự hội tụ đều của tích phân

I(t) =

+∞

Z0

te−xtdx

trên các khoảng [a, +∞) với a > 0 và (0, +∞) Trước hết, ta tính tích phân

+∞

Rb

te−xtdx =

+∞

Zbt

e−udu = e−bt

Do đó, chúng ta có

supt∈[a,+∞)