Bài 1 QUY tắc đếm (2)

 Biết vận dụng linh hoạt hai quy tắc trên vào việc giải các bài toán đếm B- Kiến thức cần nhớ  Quy tắc cộng Giả sử một công việc có thể thực hiện theo hai phương án A và B.. Khi đó q

Bài 1 QUY TẮC ĐẾM

A- Mục Tiêu

 Cần nắm vững các khái niệm quy tắc cộng, quy tắc nhân và phân biệt được

sự khác nhau của hai quy tắc

 Biết vận dụng linh hoạt hai quy tắc trên vào việc giải các bài toán đếm

B- Kiến thức cần nhớ

 Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể thực hiện theo hai phương án A và B Nếu có

m cách thực hiện phương án A và có n cách thực hiện phương án B Khi đó công việc có thể thực hiện theo m+n cách

Tổng quát: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương

án A1, A2, , Ak Có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2 và nk cách thực hiện phương án Ak và các cách thực hiện trong từng phương án không trùng nhau Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 + n2 + +nk cách

Lưu ý:

Số phần tử của tập hữu hạn A được kí hiệu n(A)

Khi đó quy tắc cộng được phát biểu là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau:

n A B n A n B

Mở rộng với A, B là hai tập hợp hữu hạn bất kì ta có:

n A B n A n B n A B

 Quy tắc nhân

Giả sử một công việc muốn hoàn thành phải liên tiếp thực hiện hai công đoạn A và B Công đoạn A có m cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực

hiện công đoạn A thì công đoạn B có n cách thực hiện Khi đó công việc có thể thực hiện theo m.n cách

Tổng quát: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn liên tiếp

nhau A1, A2, , Ak Công đoạn A1 có n1 cách thực hiện, Công đoạn A2 có n2

cách thực hiện và Công đoạn Ak có nk cách thực hiện Khi đó công việc

có thể thực hiện theo n1. n2 nk cách

C- Các dạng toán

1 Phương pháp giải

Để sử đụng quy tắc cộng trong các bài toán đếm ta có thể thực hiện như sau:

khác nhau

Bước 2: Tìm số cách thực hiện từng phương án

Phương án A1có n1 cách thực hiện

Phương án A2 có n2 cách thực hiện

Phương án Ak có nk cách thực hiện

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ Giáo viên cần

chọn một học sinh làm thủ quỹ Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Giải

Giáo viên có hai phương án để chọn

- Chọn bạn thủ quỹ là nam: Có 15 cách chọn

- Chọn bạn thủ quỹ là nữ: Có 20 cách chọn

Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn của giáo viên là 15 + 20= 35 cách

Ví dụ 2 Bạn An có một tủ giầy dép bao gồm 5 đôi giày, 6 đôi dép và 4 đôi

guốc Bạn An cần chọn một đôi để đi chơi vào ngày mai hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn

Giải

Bạn An có 3 phương án lựa chọn:

- Chọn một đôi giày: Có 5 cách chọn

- Chọn một đôi dép: Có 6 cách chọn

- Chọn một đôi guốc: Có 4 cách chọn

Theo quy tắc cộng bạn An sẽ có 4 5 6 15   cách chọn

Ví dụ 3: Từ các số 1,3,6 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau và có các chữ

số khác nhau

Giải

Ta thấy có 3 loại số thõa mãn yêu cầu bài toán:

- Các số có một chữ số là: 1; 3; 6 Vậy ta có 3 số

- Các số có hai chữ số là: 13; 31; 36; 63; 16; 61 Vậy ta có 6 số

- Các số có ba chữ số là: 136; 163; 316; 361; 613; 631 Vậy ta có 6 số

Vậy theo quy tắc cộng ta có số các số thõa mãn là: 3 6 6 15   số

Dạng 2: Sử dụng quy tắc nhân để giải các bài toán đếm

1 Phương pháp giải

Để sử đụng quy tắc nhân trong các bài toán đếm ta có thể thực hiện như sau:

Bước 1: Phân tách việc giải quyết công việc thành k công đoạn nhỏ liên tiếp

A1, A2, , Ak

Bước 2: Tìm số cách thực hiện từng công đoạn

Nếu công đoạn A1 có n1 cách thực hiện khác nhau

Ứng với mỗi cách thực hiện A1, A2 có n2 cách thực hiện khác nhau

Ứng với mỗi cách thực hiện A1, Ak-1, thì Ak có nk cách khác nhau

Bước 3: Kết luận công việc có theo n1 .n2 nk cách thực hiện

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một lớp học 42 học sinh Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra ba bạn để

lập ra một ban cán sự gồm một lớp trưởng, một lớp phó và một bí thư Hỏi có

giáo viên bao nhiêu cách chọn

Giải

Để hoàn thành công việc lập ra một ban cán sự lớp giáo viên cần thực hiện các công đoạn sau:

- Chọn ra một bạn làm lớp trưởng: có 42 cách

- Khi đã có một bạn làm lớp trưởng, thì có 41 cách chọn một bạn làm lớp phó

- Khi đã chọn một bạn lớp trưởng và một bạn làm lớp phó, có 40 cách để chọn một bạn làm bí thư

Vậy theo quy tắc nhân ta có 42.41.40 = 68880 cách chọn

Ví dụ 2: Bạn Hà muốn qua nhà bạn Nam để rủ Nam sang nhà Hiền học nhóm

Từ nhà Hà đến nhà Nam có 4 con đường đi, từ nhà Nam đến nhà Hiền có 7 con đường Hỏi Hà có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Hiền

Giải

Hành trình bạn Hà đi từ nhà đến nhà Hiền như dự định phải bao gồm hai công đoạn:

- Đi từ nhà Hà đến nhà Nam có 4 con đường nên có 4 cách chọn

- Đi từ nhà Nam đến nhà Hiền Với mỗi cách đi từ nhà Hà đến nhà Nam sẽ

có 7 cách đi tiếp từ nhà Nam đến nhà Hiền

Vậy theo quy tắc nhân ta có 4.728cách

Ví dụ 3:Từ các số 0, 1,2, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ

số đôi một khác nhau

Giải

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng abcd (a 0), a b c d, , , đôi một khác nhau Đặt A 0,1, 2, 4,5

Để tạo ra số tự nhiên thõa mãn yêu cầu bài toán cần phải thực hiện liên tiếp các công đoạn sau:

- Chọn a: Do aA/ 0 nên a có 4 cách chọn

- Chọn b: Ứng với a đã chọn, bA/ a có 4 cách chọn

- Chọn c: Ứng với mỗi cách chọn a b, thì cA/ a b, có 3 cách chọn

- Chọn d: Ứng với mỗi cách chọn a b c, , thì dA/a b c, , có 2 cách chọn Vậy theo quy tắc nhân ta có 4.4.3.296 số thỏa mãn

Dạng 3: Vận dụng kết hợp quy tắc cộng và nhân để giải các bài toán đếm

1 Phương pháp giải

Cần phân tách công việc trong bài toán đếm theo các phương án thực hiện khác nhau theo quy tắc cộng Mặt khác khi tìm số cách của mỗi phương án trên có thể cần phân chia thành các công đoạn và sử dụng quy tắc nhân

Hoặc

Công việc trong bài toán đếm phải thực hiện theo các công đoạn liên tiếp nhau theo quy tắc nhân Mặt khác khi tìm số cách của mỗi công đoạn trên có thể cần phân chia thành các phương án và sử dụng quy tắc cộng

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4

chữ số đôi một khác nhau

Giải

Gọi số cần tìm là abcd a b c d, , , đôi một khác nhau

Do số cần tìm là số chẵn, ta xét hai trường hợp:

Trường hơp 1: d 0

Để tạo ra số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán cần phải thực hiện liên tiếp các công đoạn sau:

- Chọn d: có 1 cách chọn

- Chọn a : có 5 cách chọn

- Chọn b:có 4 cách chọn

- Chọn c: có 3 cách chọn

Vậy theo quy tắc nhân ta có 1.5.4.3 60 số thõa mãn

Trường hợp 2: d 0

Để tạo ra số tự nhiên thõa mãn yêu cầu bài toán cần phải thực hiện liên tiếp các công đoạn sau:

- Chọn d: có 2 cách chọn là 2 và 4

- Chọn a : có 4 cách chọn

- Chọn b:có 4 cách chọn

- Chọn c: có 3 cách chọn

Vậy theo quy tắc nhân ta có 2.4.4.3 96 số thõa mãn

Theo quy tắc cộng ta có 60 96 156  số

Ví dụ 2: Bạn Minh có 6 bông hoa cúc khác nhau, 5 bông hoa hồng khác nhau và 4 bông

hoa lan khác nhau Bạn muốn chọn ra 2 bông hoa để cắm vào lọ Hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn hoa sao cho hai bông hoa đó khác loại

Giải

Bạn Minh sẽ có 3 phương án lựa chọn:

Phương án 1: Chọn 1 bông cúc và 1 bông hồng

Để thực hiện phương án này cần hai công đoạn:

- Chọn 1 bông cúc: Có 6 cách chọn

- Chọn 1 bông hồng: Có 5 cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có: 6.5 30 cách chọn

Phương án 2: Chọn 1 bông cúc và 1 bông lan

Để thực hiện phương án này cần hai công đoạn:

- Chọn 1 bông cúc: Có 6 cách chọn

- Chọn 1 bông lan: Có 4 cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có: 6.424 cách chọn

Phương án 3: Chọn 1 bông hồng và 1 bông lan

Để thực hiện phương án này cần hai công đoạn:

- Chọn 1 bông hồng: Có 5 cách chọn

- Chọn 1 bông lan: Có 4 cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn cho phương án này là: 5.420 cách Vậy theo quy tắc cộng số cách chọn của bạn Minh là 20 24 30  74

D- Câu hỏi và bài tập

Tự luận

Bài 1: Trên giá sách có 10 quyển sách Toán, 8 quyển sách Hóa và 12 quyển sách Lý

Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a Một quyển sách

b Ba quyển sách có cả ba môn Toán, Lý, Hóa

hai bạn gồm một nam và một nữ tham gia cuộc thi tìm hiểu về môi trường Hỏi có bao

nhiêu cách chọn

Bài 3 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên trong các trường

hợp sau:

a Số tự nhiện có 4 chữ số

b Số tự nhiện có 4 chữ số đôi một khác nhau

c Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau

Bài 4: Trong kì thi tiếng anh lấy chứng chỉ B, mỗi thí sinh phải đồng thời thi 4 môn:

Writing, speaking, listening, reading Trong đó writing có 11 đề, môn speaking có 15 đề, môn listening có 8 đề và môn reading có 12 đề Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu cách chọn

đề thi gồm đủ 4 môn

Bài 5: Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga Có 4 hành khách bước lên tàu Hỏi:

a Có bao nhiêu trường hợp về cách chọn toa của 4 hành khách

b Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có một người lên

Trắc nghiệm

Câu1: Một lớp có 15 nam và 20 nữ Giáo viên cần chọn 3 bạn đi trực nhật sao cho có cả

nam và nữ Xét hai hành động sau:

Hành động A: “Chọn 2 bạn nam và 1 bạn nữ”

Hành động B: “Chọn 2 bạn nữ và 1 bạn nam”

Hãy chọn câu trả lời đúng trong những câu sau:

1 A, B là hai phương án thực hiện công việc

2 A, B là hai công đoạn thực hiện công việc

3 Cả 1,2 đều sai

4 Cả 1,2 đều đúng

Chú ý: Nếu ta bỏ đi một hành động mà công việc vẫn được hoàn thành bởi hành động

kia thì các hành động đó là các phương án trong quy tắc cộng

- Nếu ta bỏ đi một trong hai hành động mà công việc không thể hoàn thành thì các hành động trên là các công đoạn thực hiện công việc trong quy tắc nhân

Câu 2 Một ngân hàng câu hỏi gồm 5 câu hỏi khó, 6 câu trung bình và 7 câu hỏi dễ Hỏi

có thể lập bao nhiêu đề thi gồm 3 câu sao cho mỗi đề đều có cả ba loại trên

A 18 B 210 C 30 D 42

Câu 3 Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ

số đôi một khác nhau

A 156 B 240 C 160 D 752

đôi một khác nhau sao cho số tạo thành nhỏ hơn 278

A 45 B 18 C 20 D 36