KĨ THUẬT áp DỤNG NGUYÊN tắc DIRICLET

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LÀ MỘT CHUYÊN ĐỀ BỔ ÍCH VÀ MỚI LẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN CHỨnG MINH BDT NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY ĐỀ THI CỦA MỘT Ố TỈNH ĐẪ HƯỚNG TỚI DẠNG TAOSN NÀY VÌ VẬY TÀI LIỆU NÀY GIÚP CÁC BẠN ÔN THI HSG CHUYÊn ĐỀ BDT LÀ RẤt HIỆu QUẢ

KĨ THUẬT ÁP DỤNG NGUYÊN TẮC DIRICLET

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

Cơ sở của phương pháp dựa trên nguyên lí DIRICHLET nhà toán học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) đã nêu ra một định lí mà về sau người ta gọi là Nguyên lí Dirichlet,

nguyên lý được phát biểu như sau:

“Nếu nhốt n con thỏ vào m lồng (m,n Î N ,n>m) thì ta sẽ tìm được một chiếc lồng mà trong

đó không ít hơn n 1

m

é ù

ê ú+

ê ú con thỏ”

Từ nguyên lí Dirichlet có một mệnh đề có ý nghĩa ứng dụng hết sức quan trọng Đó là:

Mệnh đề: Trong 3 số thực bất kì , ,x y z thì phải có 2 số có tích không âm.

Đây là một mệnh đề rất quan trọng, bởi khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là đẳng thức của bài toán) thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh BĐT Chẳng hạn đẳng thức xảy

ra khi a= = = thì ta có thể giả sử trong 3 số b c k a k b k c k- ; - ; - có ít nhất 2 số có tích không âm

Giả sử 2 số (a k- ), (b k- ) có tích không âm khi đó thì (a k b k- )( - ) 0³

A Các ví dụ :

I Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải bài tập chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1 Cho các số thực dương a, b, c

Chứng minh rằng: a2+ + +b2 c2 2abc+ ³1 2(ab bc ca+ + )

Lời giải.

Nếu a= =b c thì

( ) ( ) ( ) ( )

2

Nên dự đoán điểm rơi a= = =b c 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a- 1 ,) (b- 1 ,) (c- 1) có tích không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử (a- 1)(b- 1)³ 0 thì

( )( )

2c a- 1 b- 1 ³ 0Þ 2abc³ 2bc+2ca- 2c

( ) ( )

a + + +b c abc+ ³ a + +b c + + + ac- c= a +b + c + + bc+ ac- c

+

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

( 1)( 1) 0

1 1

c

ïï

íï

ï = ïïî

Ví dụ 2 Cho ; ;x y z dương thỏa mãn xyz=1

2

x +y + + + + ³z x y z xy+yz+zx

Lời giải.

Nếu x= = thìy z

x +y + + + + =z x y z xy+yz+zx Þ x + x= x Þ x - x = Û x= vi x>

Dự đoán điểm rơi x= = =y z 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (x- 1 ,) (y- 1 ,) (z- 1) có tích không âm

Không mất tính tổng quát, giả sử (x- 1)(y- 1)³ 0

Nên (x- 1)(y- 1)³ 0Þ xy x y- - + ³1 0 Þ xyz³ xz+ -yz z

Theo BĐT Cauchy : x+ + ³y z 33 xyz=3

BĐT (1) được chứng minh nếu ta chứng minh được:

x2+y2+ + + + ³z2 x y z x2+y2+ + ³z2 3 2(xy+yz+zx)

Ta có

Nên x2+y2+ + + + ³z2 x y z 2(xy+yz+zx) Dấu “=’ xảy ra

( )( ) 0

1 1

1

1

y

x

z z

ìïï

íï

ï =

ïïî

Ví dụ 3 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

(a2+2 () b2+2)(c2+ ³2) 9(ab bc ca+ + )

Lời giải

Nếu a b c= =

( ) ( )

3

2

Dự đoán điểm rơi a= = =b c 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a2- 1;b2- 1;c2- có ít nhất 2 số có tích không âm.1

sử 2 số a2- 1;b2- nên1

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy

Dãy 1 a , b ,1 dãy 2 : 1 , 1 , c ta có

3 a + +b 1 1 1+ +c ³ 3 a b c+ + ³ 9(ab bc ca+ + ) nên

Dấu “=” xảy ra khi

1

íï = =

Ví dụ 4 Cho a,b,c không âm Chứng minh rằng

( 2 2 2)

2 a + +b c +abc+ ³8 5(a b c+ + )

Lời giải.

Nếu a= =b c

( ) ( )

2

điểm rơi a=b=c=1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a- 1 ,) (b- 1 ,) (c- 1) có tích không âm

Không mất tính tổng quát, giả sử (a- 1)(b- 1)³ 0

(a 1)(b 1) 0 abc bc ac c

2 a + +b c +abc+ ³8 2 a +b +c +bc ac c+ - +8 (*)

Ta cần chứng minh

a

bc ac c

bc a

+

-+

Ta có

( 2 2 2)

4 a + +b c +2bc+2a c+16

( )2 ( )2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

4(b ) 4(a c) 6a 6 b 4 10 10 12

Vậy BĐT (**) được chứng minh Từ (*) & (*) ta có 2(a2+ +b2 c2)+abc+ ³8 5(a b c+ + ) Dấu “=” xảy ra khi

( 1)( 1) 0

2 1

1

ìïï

íï ïï

+ = + =

= =

ï

Ví dụ 5 Cho a, b, c dương abc=1 Chứng minh rằng

3 2(a b c)

Lời giải.

Nếu a= = b c

( ) ( )

2

Dự đoán

điểm rơi a= = =b c 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a- 1 ,) (b- 1 ,) (c- 1) có tích không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử (a- 1)(b- 1)³ 0

(a 1)(b 1) 0 ab 1 b a 2ab 2c 2 2(a b c)

Ta cần chứng minh 12 12 12 3 2 2 2

a +b +c + ³ ab+ c+

Ta có

Từ

(1) & (2) ta có 12 12 12 3 2(a b c)

a +b +c + ³ + + dấu “=” xảy ra khi ( 1)( 1) 0

1

ab

abc

b

a

ìïï

ïï

íï

ïï

ïïïî

=

=

=

Ví dụ 6 Cho a,b,c không âm thỏa mãn a b c+ + = Chứng minh rằng 1

9abc+ ³1 4(ab bc ca+ + )

Lời giải.

Nếu a= =b c

( ) ( )

2

1

3

3

a= = = b c

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (3a- 1 , 3) ( b- 1 , 3) ( c- 1) có tích không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử

(3a- 1 3)( b- 1)³ 0Û 9ab- 3a- 3b+ ³1 0Û 9abc+ ³1 3(ac bc+ )- + c 1

Ta phải chứng minh 3(ac bc+ )- + ³c 1 4(ab bc ca+ + )(1)

Vì 1= + + Þ =a b c 1 a2+ + +b2 c2 2ab+2bc+2ca

Nên

( )

2

(2

2

)

c

ca a

Û

Từ (1) & (2) ta có 9abc+ ³1 4(ab bc ca+ + ) Dấu “=” xảy ra khi

(3 1 3)( 1) 0

3

a b c

b

c a

ìïï

íï

ïï

ïî

+ + =

=

II Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải bài toán tìm cực trị đại số

Ví dụ 1 Cho các số thực x, y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3 Tìm GTNN của biểu thức

A=(x4+2)(y4+2)(z4+2)

Lời giải

1

x

x

é = ê

ê =-ë

Dự đoán điểm rơi 4 4 4

1

x =y =z = Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số ( 4 )

1

x - ; ( 4 )

1

y - và ( 4 )

1

z - luôn tồn tại 2 số có tích không âm

Không mất tính tổng quát giả sử đó là (x4- 1) và (y4- 1)

Suy ra: (x4- 1)( y4- 1)³ 0Þ x y4 4³ x4+y4- Þ1 x y4 4+2x4+2y4+ ³4 3x4+3y4+3

(x4 2)(y4 2) 3(x4 y4 1)

(x4 2)(y4 2)(z4 2) 3(x4 y4 1)(z4 2)

Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta cũng có:

( 4 4 )( 4) ( 2 2 2)2 ( )2

Suy ra: ( 4 )( 4 )( 4 )

Dấu “=” xảy ra 4 4

4

3

1

z

ìïï

ïï ï

ïï

ïïî Vậy MinA = 27 Û x= = =± y z 1

Ví dụ 2 Cho ba số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B a2 b2 c2 2abc 18

ab bc ca

+ +

Lời giải

Dự đoán điểm rơi a= = =b c 1

Xét ba số a- 1,b- 1,c- Theo nguyên tắc Dirichlet có ít nhất 2 số có tích không âm.1

Giả sử : a- 1;b- nên 1

ç

Với ,x y> ta luôn có 0 x+ ³y 2 xy nên:

Do đó B³ 2.6 1 11.- = Vậy Min B( ) 11.= Khi

( 1)( 1) 0

9

ab bc ca

ab bc ca

ìïï

ïï

íï ïï

ïî

Ví dụ 3 Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn a b c+ + = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

C=a + + +b c abc

Lời giải

Nếu a= =b c thi a b c+ + = Þ3 3a= Þ3 a=1

Dự đoán điểm rơi a= = =b c 1

Xét ba số a- 1,b- 1,c- Theo nguyên tắc Dirichlet có ít nhất 2 số có tích không âm.1

Giả sử 2 số là a- 1,b- Þ1 (a- 1)(b- 1)³ 0Û ab a b- - + ³1 0Û abc³ ac bc c+

-Nên

( )

'

3 1

a b c c

ì = -ïï

ïï = ï

= Û íï + + =ïï Û = = =

ï = ïî

Ví dụ 4 Cho các số không âm , ,x y z thỏa mãn x+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcy z 1

2

D=x +y + +z xyz

Lời giải

3

x= =y z thi x+ + = Þy z x= Þ x=

3

x= = = y z

Theo nguyên tắc Dirichlet trong 3 số 1 3 ;1 3 ;1 3- x - y - z có ít nhất hai số có tích không âm

giả sử 1 3 ;1 3- x - y nên (1 3- x)(1 3- y)³ 0Û 9xy- 3x- 3y+ ³1 0Û 9xyz³ 3xz+3yz z -Nên

( ) ( )

2

3

-+

Mà x+ = -y 1 z

1

(D)

1

x y

ïï

ïï - = ï

ï + + = ïî

Ví dụ 5 Cho a,b,c không âm thỏa mãn a b c+ + =6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3

E= ab bc ca+ + - abc

Lời giải

Dự đoán điểm rơi a= = = b c 2

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a- 2 ,) (b- 2 ,) (c- 2) có tích không âm.Không mất tính tổng quát, giả sử

( )( )

2

3

4

( )

( )

3 6

Max(E)=28 khi

( 2)( 2) 0

2 2

c

b

ìïï

íï ïï ï

=

= î

-=

Ví dụ 6 Cho a,b,c là các số không âm và a + b +c =1

Tìm giá trị lớn nhất của :F=ab bc ca+ + - 3abc

Lời giải

2

a= = = b c

Theo nguyên tắc Dirichlet trong ba số 2a- 1; 2b- 1; 2c- có ít nhất 2 số có tích không âm.1

Giả sử 0 c b£ £ £ vì a a b c+ + = nên 1 1

2

c<

Giả sử 2a- 1; 2b- cùng dấu ta có1

(2 1 2)( 1) 0 4 2 2 1 0 4 2 2

abc

-+

-2

2

3

c

£ + + - çç - ÷÷= - çç + - ÷÷£çç ÷÷- çç + - ÷÷=

æ- ÷ö æ ö÷

£ =çç ÷÷- çç - ÷÷

Do 1 0;

2> ³c nên

2

1

1;

2

c

æ- ÷ö

çè ø

0

2c 2 c

æ ö÷

ç - ÷³

çè ø Suy ra

2

c

P=æçç - ÷ö÷- cæçç - cö÷÷£

1

1

a a

c

a b c

ì é - =

ïï ê

= Û íï = Û íï

ï + + = ïî ïï

ï = ïî

Do vai trò a,b,c như nhau nên (F) 1

4

Max = khi có 2 số bằng 1

2 một số bằng 0

B Bài tập áp dụng

I Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải bài toán chứng minh bất đẳng thức

Bài tập 1 Cho các số thực dương a, b, c

Chứng minh rằng: a2+ + +b2 c2 abc+ ³4 2(ab bc ca+ + )

Hướng dẫn

Dự đoán điểm rơi a= = =b c 2

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a- 2 ,) (b- 2 ,) (c- 2) có tích không âm

Không mất tính tổng quát, giả sử (a- 2)(b- 2)³ 0 thì

( 2)( 2) 0 2 2 4

c a- b- ³ Û abc³ bc+ ca- c

Ta có

4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 2

Bài tập 2 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

(a2+4 () b2+4)(c2+ ³4) 36(ab bc ca+ + )

Hướng dẫn

Dự đoán điểm rơi a= = =b c 2

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a2- 2;b2- 2;c2- 2 có ít nhất 2 số có tích không âm

sử 2 số a2- 2;b2- 2 nên

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy

Dãy 1 a b, , 2 dãy 2 : 2 , 2 , c ta có

6 a + +b 2 2 2+ +c ³ 12 a b c+ + ³ 36(ab bc ca+ + ) nên

(a2+4 () b2+4)(c2+ ³4) 36(ab bc ca+ + )

Dấu “=” xảy ra khi a= = =b c 2

Bài tập 3 Cho các số thực dương , ,a b c Chứng minh rằng

a + + +b c abc+ ³ a+ b+ c+

Hướng dẫn

( )

Dự đoán điểm rơi a= = = b c 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a- 1 ,) (b- 1 ,) (c- 1) có tích không âm

Không mất tính tổng quát, giả sử (a- 1)(b- 1)³ 0

(a 1)(b 1) 0 abc bc ac c

2 a + +b c +2abc+ ³4 2 a + +b c +2 bc ca c+ - + (1)4

2 a + +b c +2 bc ca c+ - + ³4 2 ab bc ca+ + +2 a b c+ +

Ta có

Từ (1) &(2) suy ra BĐT (*) được chứng minh hay a2+ + +b2 c2 2abc+ ³3 (a+1)(b+1)(c+1) Dấu “=” xảy ra khi a= = =b c 1

Bài tập 4 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

ç + - ÷ç + - ÷+ + -ç ÷ç + - ÷+ + -ç ÷ç + - ÷³

Hướng dẫn

Đặt x a 1,y b 1,z c 1

= + = + = + thì BĐT được viết lại thành

( )( ) ( )( ) ( )( )

2

Dự đoán điểm rơi x= = = y z 2

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (x- 2 ,) (y- 2 ,() z- 2) có tích không âm Không mất tính tổng quát, giả sử (x- 2)(y- 2)³ 0

Ta phải chứng minh xy+yz+ ³zx 2z+xy+4

1

abc

æ öæ÷ öæ÷ ö÷

= +çç ÷÷çç + ÷÷çç + ÷÷= + + + + + + +

( )

Từ ( )1 và ( )2 ta suy ra

2

xy+yz+ ³zx x+ + hayy z (x- 1)(y- 1) (+ -y 1)(z- 1) (+ -z 1)(x- 1)³ 3

ç + - ÷ç + - ÷+ + -ç ÷ç + - ÷+ + -ç ÷ç + - ÷³

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= = = , hay a = b = c = 1.y z 2

Bài tập 5 Cho 3 số thực a,b,c Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

a + + +b c a b c + ³ ab bc ca+ +

Hướng dẫn

Dự đoán điểm rơi a2=b2=c2 = 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a2- 1;b2- 1;c2- có ít nhất 2 số có tích không âm.1 giả sử 2 số a2- 1;b2- nên 1 c a2( 2- 1 () b2- 1) 0³ Þ a b c2 2 2+ ³c2 b c2 2+c a2 2

Thay vào ta có

Dấu “=” xảy ra khi a= = = ±b c 1

Bài tập 6 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng

(a b ab b c cb a c ca+ + )( + + )( + + )³ 27abc

Hướng dẫn

Dự đoán điểm rơi a= = =b c 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (bc a- ) (, ac b- ) (, ab c- ) có tích không âm

Không mất tính tổng quát, giả sử (ac b cb a- )( - )³ 0Û ab a c bc- 2 - 2+abc2

Ta chứng minh

9

c ac bc ab b a+ + + + ³ abc+ abc+ abc = abc nên (a b ab b c cb a c ca+ + )( + + )( + + )³ 27abc

ì + + =

íï = = = = = ïî

Bài tập 7 Cho các số thực dương a,b,c Chứng minh rằng

( 2 )( 2 )( 2 ) ( )2

16 a +1 b +1 c + ³1 5 a b c+ + +1

Hướng dẫn

Dự đoán điểm rơi 1

2

a= = = b c

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số 2 1 ; 2 1 ; 2 1

æ ö æ÷ ö æ÷ ö÷

ç - ÷ç - ÷ç - ÷

è ø è ø è ø có tích không âm Giả sử

1

Ta chứng minh (4a2+4b2+3)(c2+1)³ (a+ + +b c 1)2

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky ta có

16 a +1 b +1 c + ³1 5 a b c+ + +1 Dấu”=” xảy ra khi 1

2

a= = =b c

Bài tập 8 Cho các số thực không âm bất kì a, b, c Chứng minh rằng:

1

2

Hướng dẫn

Dự đoán điểm rơi a= = =b c 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a- 1 ,) (b- 1 ,() c- 1) có tích không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử (a- 1)(b- 1)³ 0Û ab³ a b+ - Û1 abc³ ac bc c+ -

1

2

1

2 1

2

a b c

ac bc

c

+

-+

-Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

2

2

a b

+

-Dấu “=” xảy ra khi a= = = b c 1

II Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải bài toán tìm cực trị đại số.

Bài tập 1 Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn a b c+ + =3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: G=2(ab bc ca+ + )- abc

Hướng dẫn

Dự đoán điểm rơi a= = = b c 1

Xét ba số a- 1,b- 1,c- Theo nguyên tắc Dirichlet có ít nhất 2 số có tích không âm.1

Giả sử 2 số là a- 1,b- Þ1 (a- 1)(b- 1)³ 0Û ab a b- - + ³1 0Û - abc£ -c c a b( + )

Nên

1

3

c

a b c

ì = -ïï

ïï = ï

ï + + = ïî

Bài tập 2 Cho các số , ,a b c³ 0sao cho a2+ + +b2 c2 abc= 4

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H=ab bc ca abc+ +

-Hướng dẫn

Dự đoán điểm rơi a= = =b c 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a- 1 ,) (b- 1 ,) (c- 1) có tích không âm

Không mất tính tổng quát, giả sử (a- 1)(b- 1)³ 0 Þ c a( - 1)(b- 1)³ 0Þ abc bc ca c³ + -

Nên ab bc ca abc+ + - £ ab c+

Mà

( )

Từ hai BĐT trên ta suy ra Max(H)=2 khi a= = =b c 1

Bài tập 3.Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b c+ + = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M

c

b

c

=

Hướng dẫn

Dự đoán điểm rơi a= = =b c 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a- 1 ,) (b- 1 ,) (c- 1) có tích không âm

Không mất tính tổng quát, giả sử (b- 1)(c- 1)³ 0

Nên b2+ £c2 b2+ +c2 2(b- 1)(c- 1)= + + -1 (b c 1)2= + -1 (2 a)2

Ta có

( )

( )

2 2

2

3

7

3

b

+

³

Ta chứng minh

2

2

3

Vậy Min(M)=1 khi a= = = b c 1

Bài tập 4 Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b c+ + = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N =a3+ + +b3 c3 8(ab bc ca+ + )

Hướng dẫn

Dự đoán điểm rơi a= = =b c 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a- 1 ,) (b- 1 ,) (c- 1) có tích không âm

Không mất tính tổng quát, giả sử (a- 1)(b- 1)³ 0Û ab³ -2 c

( ) ( )( ) ( ) ( )

3

2

3

4

27

c

N

£

Max(N)=27

( )( 1) 0

1

1

3

b b

a a

ìïï ïï

ïï ï

=

î

-=

Bài tập 5 Cho a,b,c không âm thỏa mãn a b c+ + = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=ab bc ca+ + - 2abc

Hướng dẫn

3

a= = = b c

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (3a- 1 , 3) ( b- 1 , 3) ( c- 1) có tích không âm

Không mất tính tổng quát, giả sử

( )( )

2

2

2

9

abc

a b c

+

( ) ( )

2

2

2

2

1

3

7 27

7

3

c

ç

+

Û

æ ö÷

ç

= - ççè - ÷÷£

ø

+

( ) 7

Max

27

3

a= = =b c

Bài tập 6 Cho a,b,c dương ,abc= Tìm giá trị nhỏ nhất của 1

( )2 ( )2 ( )2

P

Hướng dẫn

( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )( ) ( )2

P

Theo nguyên tắc Dirihlet trong ba số a- 1;b- 1;c- có ít nhất 2 số có tích không âm Giả sử1 (b- 1)(c- 1)³ 0Û bc b c- - + ³1 0Û + £b c bc+ 1

( )

2

1

abc P

a

+ +

+

Ta có

1

Đặt

2 2

2

ç

dấu “=” khi 1 1

2

x= Þ a=

4

1 1

abc a

= ïï

ïï = ïî

Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm và học hỏi thêm từ đồng nghiệp biên tập lại làm tài liệu giảng dạy Tuy nhiên phần nội dung và cách trình bày các lời giải không tránh khỏi sai sót Tôi kính mong các thầy giáo cô giáo và các bạn đồng nghiệp cho nhận xét quý báu để tôi bổ xung và sửa chữa để nâng cao thêm chất lượng của chuyên

đề này , để chuyên đề có tác dụng và hiệu quả hơn Tôi xin trân trọng cảm ơn!