Phương pháp giải hệ trục tọa độ Oxy

B-ớc 2: Toạ độ hoá các vectơ có trong đẳng thức hoặc sử dụng công thức về khoảng cách giữa hai điểm, để chuyển đẳng thức về biểu thức đại số..  Nhận xét: Nh- vậy, trong ví dụ trên chún

Đ2 hệ trục toạ độ

Dạng toán 1: Toạ độ vectơ  Toạ độ điểm

Ph-ơng pháp áp dụng

Ta cần nhớ các kết quả sau:

1 Với hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB), ta có:

AB = (xBxA, yByA), AB = |AB| = 2 2

(x  x )  (y  y )

2 Với hai vectơ a(x1, y1) và b(x2, y2) , ta có:

a = x1.i + y1.j,

a = b  1 2

x x

y y





 

a + b = (x1 + x2, y1 + y2)

Thí dụ 1 Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(4 ; 1), B(2; 4), C(2 ; 2)

a Tìm toạ độ trọng tâm ABC

b Tìm toạ độ điểm D sao cho C là trọng tâm ABD

c Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành

 Giải

a Gọi G là trọng tâm ABC, ta có ngay G(0, 1)

b Giả sử D(xD, yD), khi đó với điều kiện C là trọng tâm ABD, ta đ-ợc:

D

D

4 2 x 2

3

1 4 y

2

3

  

 



 



 D D

x 8

y 11





  D(8; 11)

c Giả sử E(xE; 0), khi đó với điều kiện ABCE là hình bình hành, ta đ-ợc:

AE  BC  E

E

x 4 0

y 1 6

 



E

 



  E(4; 5)

Thí dụ 2 Cho điểm M(12t; 1 + t) Tìm điểm M sao cho 2 2

x  y nhỏ nhất

 Giải

Ta có:

x  y = (12t)2

+ (1 + t)2

= 5t2  2t + 2 = 5(t  1

5)2

+ 9

5  9 5 suy ra ( 2 2

x  y )Min = 9

5 đạt đ-ợc khi :

t  1

5 = 0  t = 1

5  M0(3

5; 6

5)

Vậy, điểm M0(3

5; 6

5) thoả mãn điều kiện đầu bài

Thí dụ 3 Cho ba điểm A(1; 1); B(3; 3); C(2; 0)

a Tính diện tích ABC

b Hãy tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất

 Giải

a Ta có:

AB2 = 4 + 4 = 8, BC2 = 1 + 9 = 10, CA2 = 1 + 1 = 2

 AB2 + AC2 = BC2  ABC vuông tại A

Vậy diện tích ABC đ-ợc cho bởi:

SABC = 1

2AB.AC = 1

2

2  2 1   ( 1) = 2 (đvdt)

b Góc AMB nhỏ nhất

 AMB = 00  A, M, B thẳng hàng  AM // AB

x x

x x



y y

y y



3 1



1

3 1



  xM = 0  M  O

Vậy, điểm M(0; 0) thoả mãn điều kiện đầu bài

Dạng toán 2: Biểu diễn vectơ c(c1; c2) theo các vectơ a (a1; a2), b(b1; b2)

Ph-ơng pháp áp dụng

Ta thực hiện theo các b-ớc:

B-ớc 2: Ta có:

a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)

Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi:

   



   

Giả hệ (I), ta nhận đ-ợc giá trị của cặp (, )

B-ớc 3: Kết luận

Thí dụ 4 Hãy biểu diễn vectơ c theo các vectơ a, b, biết:

a(2; 1), b(3; 4) và c(4; 7)

 Giải

Ta có:

a + b = (2; 1) + (3; 4) = (23;  + 4)

Khi đó (1) xảy ra khi và chỉ khi:

4 2 3

    



    

2

 



 

Vậy, ta đ-ợc c = a + 2b

Thí dụ 5 Cho bốn điểm A(1; 1), B(2; 1), C(4; 3) và D(16; 3) Hãy biểu diễn vectơ AD theo các

vectơ AB, AC

 Giải

Ta có:

AD(15; 2), AB(1; 2), AC(3; 2)

 AB + AC = (1; 2) + (3; 2) = ( + 3; 2 + 2)

Khi đó (1) xảy ra khi và chỉ khi:

3 15

   



    

4

 



 

Vậy, ta đ-ợc AD = 3AB + 4AC

Dạng toán 3: Xác định toạ độ điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ, độ dài

Ph-ơng pháp áp dụng

Thực hiện theo các b-ớc:

B-ớc 1: Giả sử M(x; y)

B-ớc 2: Toạ độ hoá các vectơ có trong đẳng thức hoặc sử dụng công thức về khoảng cách giữa

hai điểm, để chuyển đẳng thức về biểu thức đại số

B-ớc 3: Giải ph-ơng trình hoặc hệ trên, ta nhận đ-ợc toạ độ của M

 Chú ý: Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo một tỉ số k (tức là MM1 = kMM2 ) đ-ợc xác định bởi

các công thức:

x kx x

1 k

y ky y

1 k



 

 



Đặc biệt nếu k = 1, thì M là trung điểm của đoạn thẳng M1M2, khi đó toạ độ của M đ-ợc xác

định bởi:

x x x

2

y y y

2



 



 



Thí dụ 1 Cho hai điểm A(0; 2) và B(4; 3) Tìm toạ độ:

a Trung điểm I của AB

b Điểm M sao cho MA + 2MB = 0

 Giải

a Ta có I(2; 1

2)

b Từ giả thiết

MA + 2MB = 0  MA2MB  điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k =2

Do đó:

M:

x kx 8 x

y





 M(8

3;4

3)

 Chú ý: Ta cũng có thể trình bày theo cách: Giả sử M(x; y), ta có:

MA ( x, 2 y)

MB (4 x, 3 y)





  MA + 2MB = (83x;43y)

Vì MA + 2MB = 0, nên:

8 3x 0

4 3y 0



  

8 x 3 4 y 3

 





  



 M(8

3;4

3)

Thí dụ 2 Cho ABC, biết A(1; 0), B(3; 5), C(0; 3)

a Xác định toạ độ điểm E sao cho AE = 2BC

b Xác định toạ độ điểm F sao cho AF = CF = 5

c Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

|2(MA + MB)3MC| = |MBMC| (1)

 Giải

a Giả sử E(x; y), khi đó AE(x1; y), BC(3; 8)

Từ đó:

AE = 2BC  x 1 2.3

y 2.8

 



 

y 16





 

  E(7; 16)

b Giả sử F(x; y), khi đó:

AF = CF = 5  2

2

AF 25

CF 25







(x 1) y 25

x (y 3) 25





(x 1) y 25

x 3y 4





 10y2 30y 0

x 3y 4



y 0

y 3

x 3y 4

  

 



  



 x 4& y 0

x 5& y 3



2

F ( 4, 0)

F (5,3)







Vậy tồn tại hai điểm F1(4; 0) và F2(5; 3) thoả mãn điều kiện đầu bài

c Giả sử M(x; y), khi đó:

MA(1x; y), MB(3x; 5y), MC(x; 3y)

 2(MA + MB)3MC = (x4; y19) và MBMC = (3; 8)

Khi đó:

(1)  (x4)2 + (y19)2 = (3)2 + (8)2  (x + 4)2 + (y + 19)2 = 73

Đặt I(4; 19), ta đ-ợc:

IM2 = 73  M thuộc đ-ờng tròn tâm I(4, 19), bán kính R = 73

 Nhận xét: Nh- vậy, trong ví dụ trên chúng ta đã thực hiện việc xác định điểm dựa trên các đẳng

thức về vectơ, độ dài cho tr-ớc Tuy nhiên, trong nhiều tr-ờng hợp chúng ta cần đi thiết lập các đẳng thức đó dựa trên tính chất của điểm cần xác định

Thí dụ 3 Cho ABC cân tại A, biết A(a; 3a 73 7 ), B(1; 0), C(2a1; 0) và A thuộc góc phần t-

thứ nhất

a Xác định toạ độ các đỉnh của ABC, biết rằng p = 9 (p là nửa chu vi)

b Tìm toạ độ điểm MAB và NBC sao cho đ-ờng thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi

và chia đôi diện tích của ABC

 Giải

a Ta có toạ độ các điểm:

A(a; 3a 73 7), B(1; 0), C(2a1; 0),

Từ giả thiết:

 AP(I)  a 0

3a 7 3 7 0







 p = 9  AB BC AC

2

= 9

 2.8|a1| + 2|a1| = 18  a = 2 hoặc a = 0 (loại)

Từ đó: A(2; 3 7), B(1; 0), C(3; 0)  AB = AC = 8, BC = 2

b Ta cần tìm điểm M  AB (tức là phải tìm x = BM, 0  x  8) sao cho trên cạnh BC tồn tại điểm

N thoả mãn:

BN = px = 9x, 0  9x  2  7  x  9,

BMN

ABC

S

S





= 1

Từ (1) ta đ-ợc:

BM.BN

AB.BC = 1

2  x(9 x)

8.2



= 1

2  x29x + 8 = 0  x 8

x 1(l)





 

 Với x = 8  M  A(2; 3 7) và N(2; 0) là trung điểm BC

 Chú ý: Bài toán trên có dạng tổng quát nh- sau "Cho ABC có các cạnh a, b, c (t-ơng ứng với

các đỉnh A, B, C và chu vi 2p), giả sử c  b  a Tìm điểm M  AB, N  BC sao cho

đ-ờng thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích của ABC "

Ph-ơng pháp giải

Ta thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Điểm M  AB (tức là phải tìm x = BM, 0  x  c) sao cho trên cạnh BC tồn tại điểm N

thoả mãn:

BN = px, 0  px  và BMN

ABC

S S





= 1

B-ớc 2: Từ (1) ta đ-ợc:

BM.BN AB.BC = 1

2  x(p x)

c.a



= 1

2  2x22px + ac = 0 (2)

B-ớc 3: Giải (2) ta xác định đ-ợc x, từ đó suy ra toạ độ các điểm M, N

Dạng toán 4: Vectơ cùng ph-ơng  Ba điểm thẳng hàng  Định lý Menelaus

Ph-ơng pháp áp dụng

Cần nhớ các kết quả sau:

a Với hai vectơ v1(x1, y1) và v2(x2, y2) ta có v1 // v2  1 1

x y

x  y

b Cho ba điểm A(x1, y1) , B(x2, y2) và C(x3, y3), ta có:

C

B

AM

I

x

y

A, B, C thẳng hàng  AC // AB  3 1

x x

x x



y y

y y



c Định lý Menelaus: Lấy ba điểm M, N, P theo thứ tự trên các cạnh BC, CA, AB của ABC

Điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là:

MB

MC.NC

NA.PA

PB = 1

Thí dụ 1 Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; 5)

a Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng

b Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD

c Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng

 Giải

a Nhận xét rằng:

AB(4; 3) và AC(12; 9)  AC = 3AB  A, B, C thẳng hàng

b Giả sử D(xD, yD), khi đó với điều kiện A là trung điểm của BD, ta đ-ợc:

D

D

1 x

3

2

1 y

4

2



 



 



 D D

y 7

 



  D(7; 7)

c Giả sử E(xE, 0)  Ox, khi đó AE(xE + 3; 4)

Từ đó, để ba điểm A, B, E thẳng hàng điều kiện là:

E

  xE = 7

3  E(7

3; 0)

Thí dụ 2 Tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các điểm A và B là

nhỏ nhất trong các tr-ờng hợp sau:

a A(1; 2) và B(3; 4) b A(1; 1) và B(2; )

 Giải

a Nhận xét A, B cùng phía với Ox

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua Ox, suy ra A1(1; 2)

Gọi P0 = (A1B) Ox

 A1, B, P0(x; 0) thẳng hàng  A B1 //A P1 0

 2

x 1  =

6

2  x = 5

3  P0(5

3; 0)

Ta có

PA + PB = PA1 + PB  A1B

Vậy PA + PB nhỏ nhất  A1, B, P thẳng hàng  P  P0

b Nhận xét A, B khác phía với Ox

Gọi P0 = (AB)Ox

 A, B, P0(x, 0) thẳng hàng  AB//AP0

 1

x 1  =

5 1



  x = 6

5  P0(6

5; 0)

y

x

O

2

4

A

B

P

A1

2

M

y

x

O

1

4

A

B

P

P0

Ta có

PA + PB  AB

Vậy PA + PB nhỏ nhất khi và chỉ khi A, B, P thẳng hàng  P  P0

 Chú ý: Thí dụ trên, đã minh hoạ ph-ơng pháp giải cho một lớp bài toán cực trị rất quen thuộc trong các

kỳ thi tuyển sinh vào các tr-ờng đại học và cao đẳng, do đó các em học sinh cần nắm đ-ợc ph-ơng pháp giải cho bài toán tổng quát nh- sau:

Bài toán: Tìm trên đ-ờng thẳng (d): Ax + By + C = 0 điểm P sao cho tổng các khoảng

cách từ P tới các điểm A(x A , y A ) và B(x B , y B ) không thuộc (d) là nhỏ nhất "

Ph-ơng pháp

Ta xác định

tA.tB = ( AxA + ByA + C)( AxB + ByB + C)

Xét hai tr-ờng hợp

Tr-ờng hợp 1: Nếu tA.tB < 0  A, B ng-ợc phía với (d)

Ta thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Gọi P0 = (AB)(d), suy ra toạ độ P0

B-ớc 2: Ta có PA + PB  AB

Vậy PA + PB nhỏ nhất khi và chỉ khi A, P, B thẳng hàng  P  P0

Tr-ờng hợp 2: Nếu tA.tB > 0  A, B cùng phía với (d)

Ta thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (d) , suy ra toạ độ A1

B-ớc 2: Gọi P0 = (A1B)(d), suy ra toạ độ P0

B-ớc 3: Ta có PA + PB = PA1 + PB  AB

Vậy PA + PB nhỏ nhất  A1,P, B thẳng hàng  P  P0

Ngoài ph-ơng pháp trên chúng ta sẽ còn nhận đ-ợc một ph-ơng pháp giải khác đ-ợc minh hoạ

trong bài toán “ Ph-ơng pháp toạ độ hoá ”

Dạng toán 5: Ph-ơng pháp toạ độ hoá

Ph-ơng pháp áp dụng

Ph-ơng pháp toạ độ hoá th-ờng đ-ợc sử dụng phổ biến trong hai dạng:

Dạng 1: Ta thực hiện phép toạ độ hoá các điểm trong hình và đ-a bài toán hình học về dạng giải

tích

Dạng 2: Lựa chọn các điểm thích hợp để biến đổi biểu thức đại số về dạng độ dài hình học 

Ph-ơng pháp này tỏ ra rất hiệu quả để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức

đại số

Thí dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số y = 2

x   x 1 + 2

x   x 1

 Giải

Viết lại hàm số d-ới dạng:

y = 2

x   x 1 + 2

x   x 1 = 1 2 3

(x )

(x )

Xét các điểm A(1

2; 3

2 ), B(1

2;  3

2 ) và M(x; 0), khi đó:

AM = 2

x   x 1, BM = 2

x   x 1, suy ra S = AM + BM  AB = 1

Vậy, ta đ-ợc SMin = 1, đạt đ-ợc khi:

A, B, M thẳng hàng  AM//AB  toạ độ của M

 Chú ý: Với các em học sinh ch-a có kinh nghiệm giải dạng toán này thông th-ờng sẽ chọn ngay

A(

2

1

;

2

3

), B(

2

1

;

2

3

) và M(x; 0) và vẫn nhận đ-ợc SMin = 1, tuy nhiên khi đó điều kiện cho A, B, M thẳng hàng sẽ vô nghiệm

Đôi khi dạng toán này đ-ợc minh hoạ d-ới dạng trị tuyệt đối

Thí dụ 2 Cho ba điểm A(1; 2), B(0;1) và M(t; 2t + 1) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho:

a (MA + MB) nhỏ nhất b |MAMB| lớn nhất

 Giải

a Ta có:

MA + MB = (t 1)  2  (2t 1)  2 + t 2  (2t  2) 2

= 2

5t   6t 2 + 2

5t   8t 4 = 5[

2

t

5 25

2

t

5 25

Xét các điểm A1(3

5;1

5); B1(4

5;2

5) và M1(t; 0)

Khi đó:

MA + MB = 5( M1A1 + M1B1)

Vì M1 chạy trên trục hoành và A1, B1 nằm về hai phía của Ox nên

(MA + MB)min  (M1A1 + M1B1)min  M1 = (A1B1)Ox

 M1( 2

15; 0)  M( 2

15;19

15)

b T-ơng tự câu a) ta có:

|MAMB| = 5

2

t

5 25

5 25

Xét các điểm A2(3

5; 1

5); B2(4

5; 2

5) và M2(t; 0)

Khi đó:

|MAMB| = 5|M2A2M2B2|

Vì M2 chạy trên trục hoành và A2, B2 nằm về một phía của Ox nên

|MAMB|max  |M2A2M2B2|max  M2 = (A2B2)Ox  M2(2; 0)  M(2; 5)

C Các bài toán chọn lọc

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng:

a Có một điểm O duy nhất sao cho:

OA + OB + OC + OD = 0

Điểm O đ-ợc gọi là trọng tâm của bốn điểm A, B, C, D Tuy nhiên, ng-ời ta vẫn gọi quen O là trọng tâm của tứ giác ABCD

b Trọng tâm O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đ-ờng chéo của tứ giác

c Trọng tâm O nằm trên các đoạn thảng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại

 Giải

a Giả sử có điểm O1 thoả mãn:

0 = O A1 + O B1 + O C1 + O D1

= 4O O1 + OA + OB + OC + OD = 4O O1

 O O1 = 0  O1  O

Vậy, tồn tại một điểm O duy nhất thoả mãn hệ thức vectơ đã cho

b Gọi M, N, P, Q, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC, BD, ta có lần l-ợt chứng minh:

 O là trung điểm MP (đoạn nối trung điểm của hai cạnh AB và CD), thật vậy:

0 = OA + OB + OC + OD = 2OM + 2OP

 OM + OP = 0  O là trung điểm MP

 O là trung điểm NQ (đoạn nối trung điểm của hai cạnh BC và DA), thật vậy:

0 = OA + OB + OC + OD = 2ON + 2OQ

 ON + OQ = 0  O là trung điểm NQ

 O là trung điểm EF (đoạn nối trung điểm của hai đ-ờng chéo AC và BD), thật vậy:

0 = OA + OB + OC + OD = OA + OC + OB + OD= 2OE + 2OF

 OE + OF = 0  O là trung điểm EF

c Gọi G là trọng tâm ABC, ta có:

0 = OA + OB + OC + OD = 3OG + OD = 3GO + (GDGO)

 GD = 4GO  G, O, D thẳng hàng

Vậy, trọng tâm O nằm trên các đoạn thảng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại

Ví dụ 2: Cho đa giác đều n cạnh A1A2 An, tâm O Chứng minh rằng:

n i

i 1

OA



 = 0

 Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày:

Cách 1: Gọi OA =

n i

i 1

OA



Nhận xét rằng khi quay đa giác một góc bằng 2

n



thì:

 Đa giác vẫn không đổi, nên n i

i 1

OA



 = OA

 Vectơ OA sẽ bị quay theo cùng chiều một góc 2

n



Suy ra vectơ OA có h-ớng tuỳ ý  OA = 0, đpcm

Cách 2: Xét hai tr-ờng hợp:

Tr-ờng hợp 1: Nếu n = 2k

Khi đó, với đỉnh bất kỳ của đa giác đều có đỉnh đối xứng với nó qua O  đpcm

Tr-ờng hợp 2: Nếu n = 2k1

Khi đó các đỉnh A2, ,An chia thành hai phần đối xứng qua trục OA1, bằng cách lập tổng các cặp vectơ đối xứng  đpcm

 Nhận xét: Nh- vậy, để chứng minh OA = 0 ta có thể sử dụng tính chất "Vectơ không là vectơ có

ph-ơng h-ớng tuỳ ý"

Ví dụ 3: Cho ABC Gọi I là tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác Chứng minh rằng a.IA + b.IB + c

IC = 0

 Giải

Dựng hình bình hành AB2IC2 có AB2//CC1 và AC2//BB1, ta đ-ợc:

IA = IB2 + IC2, (1)

1 2

IB C A b

IB C B a

IB IB







 IB2 = b

a IB (2)

1 2

IC B A c

IC B C a

IC ICB







 IC2 = c

a IC (3) Thay (2), (3) vào (1), ta đ-ợc:

IA = b

a IBc

a IC  a.IA + b.IB + c.IC = 0, đpcm

Ví dụ 4: Cho các điểm A, B, C, D, E

a Tìm O sao cho OA + 2OB + 3OC = 0

b Tìm I sao cho IA + IB + IC + ID = 0

c Tìm K sao cho KA + KB + KC + 3(KD + KE) = 0

 Giải

a Gọi M, N, F là trung điểm AB, BC và AC, ta có:

0 = OA + 2OB + 3OC = (OA + OC) + 2(OB + OC)

= 2OF + 4ON = 2FO + 4(FNFO)

 FO = 2

3 FN, suy ra điểm O đ-ợc hoàn toàn xác định

b Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày:

Cách 1: Gọi P, Q là trung điểm CD, MP, ta có:

0 = IA + IB + IC + ID = 2IM + 2IP = 4IQ  IQ = 0

 I  Q, suy ra điểm I đ-ợc hoàn toàn xác định

A

B

C

B2

I

B1 C1

C2