skkn PHƯƠNG PHÁP CHỌN hệ TRỤC tọa độ để GIẢI bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN

Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :  Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán  Bước 2 : Xây dựng thuật giải  Bước 3 : Thực hiện thuật giải  Bước 4 : Kiểm

Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồng môn ; cùng chung sức để tìm ra biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi

Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trình lớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng, tính góc và tính khoảng cách

Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian mà nội dung chương trình hình học lớp 12 đã nêu, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian

2 Khó khăn

Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng cách giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, thiếu chính xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả

thiết, đâu là phần cần chứng minh Do đó kết quả đạt được không như mong đợi

Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12 Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nẩy sinh nhiều vướng mắc, từ đó các em ngán ngại, thiếu hứng thú trong học tập Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và quyết tâm cao của cả thầy và trò

 49 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 56,3 %

+ Bài kiểm tra một tiết (2011 - 2012 ), trong 86 bài kiểm tra có :

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

Trong các lớp tôi được nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết quả môn toán cuối năm học 2008 - 2009 xếp loại trung bình - yếu Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận được rằng trong số những em có học lực yếu, cũng có những em có kỹ năng tính toán tương đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn rất hạn chế

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá

và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :

 Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán

 Bước 2 : Xây dựng thuật giải

 Bước 3 : Thực hiện thuật giải

 Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức

có liên quan vào giải toán Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo các bước sau :

 Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyzthích hợp, chú ý đến vị trí của gốc toạ độ O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích

 Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên

 Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình

học tương ứng

Do vậy, để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ trước hết cần chọn hệ trục toạ độ phù hợp Việc làm này không đơn giản đối với học sinh; đòi hỏi học sinh phải có khả năng kết hợp giữa khái quát hoá và cụ thể hoá các nội dung liên quan đến bài toán

Các dạng toán thường gặp :

 Tính độ dài đoạn thẳng

 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng

 Tính góc giữa hai đường thẳng

 Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

 Tính góc giữa hai mặt phẳng

 Tính thể tích khối đa diện

 Tính diện tích thiết diện

 Các bài toán về quan hệ song song, vuông góc

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa và một số tính chất sau :

Tọa độ của các vectơ đơn vị :

a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian

Ta có : Ox Oy Oz, , vuông góc từng đôi một Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ Cụ thể :

 Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

Với hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

x

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

 Với hình hộp có đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D'Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của

hai đường chéo của hình thoi ABCD

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

Bài tập áp dụng :

Bài toán 1 Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a

a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng (AB'D' )

b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng (AB'D' ) là trọng tâm G của tam giác AB ' D'

c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB'D' ) và (C'BD)

d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA'C) và (ABB'A' )

( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Descartes vuông

góc Oxyz như sau : O  A( 0 ; 0 ; 0 ) ;

' '

D AB C

A AD C

A

AB C

)

; 0

; ( '

)

;

; ( '

a a AD

a a AB

a a a C A

x

y z

00

'.'

00

'.'

2 2

2 2

AD C A

AB C A a

a AD

C A

a a

AB C A

Nên A'C mp(AB'D' )

b Chứng minh :

G là trọng tâm của tam giác AB’D’

Phương trình tham số của đường thẳng 

)(:

t a

a y

a x

z y x

t a z

t y

t x

; 3

a a a

33

33

' '

' '

' '

a z

z z z

a y y y y

a x x x x

D B A G

D B A G

D B A G

(2)

So sánh (1) và (2), kết luận Vậy giao điểm G của đường chéo

C A' và mặt phẳng (AB'D' ) là trọng tâm G của tam giác AB ' D'

 (AB'D' ) // (C'BD)

3 ) ' ' ( , )

' ( ), ' '

A ABB C

Bài toán 2 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a

Chứng minh hai đường chéo B ' D'và A' Bcủa hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B ' D'và A' B

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

vuông góc Oxyz như sau :

) 0

Tính dB'D',A'B theo công thức:

]',''[

'.]',''['

,

'

'

B A D B

BB B A D B B

' , '

3 4

4 4

3

a a

a a

a a

a B

A D B

;0

;2

C

a A

)6

;0

;0(

;0

;2

2

;0

;0

;2

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

Dựng hình :

Gọi O là tâm của hình vuông

ABCD SO ( ABCD)

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau :

4]

,[

]

,[,

2 2

2

a h a

h a AC

MN

AM AC MN AC

MN

Bài toán 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzcho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết A( 2 ; 0 ; 0 ); B( 0 ; 1 ; 0 ); S( 0 ; 0 ; 2 2 ) Gọi M là trung điểm của SC

1 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

2 Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N

Hướng dẫn Bài giải

.,

cos

BM SA

BM SA BM

; 0

; 2 2 ( ] ,

0 2 4 ].

,

3

6248

24]

,[

]

,[),

AB BM SA BM

SA d

2 Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Dễ dàng nhận thấy :

) ( )

MN  

AMN S ABM S ABMN

Trong đó :

SB SM SA

MN// // N là trung điểm của SD Toạ độ trung điểm N 

; 0

; 2



SA ; SM(  1 ; 0 ;  2 )

) 2 2

; 1

; 0



SB ; SM(  1 ; 0 ;  2 )

) 0

; 2 4

; 0 ( ] ,

3

2 2 6

2 4 ].

, [ 6

2 2 ].

, [ 6

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

 Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyz như sau :

2 2

1

22

a/ Chứng minh : Tứ giác AMNP có hai đướng chéo vuông góc với nhau

b/ Tính diện tích của tứ giác AMNP

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyz như sau :

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

Cần chứng minh: uuur uuurAN MP 0

SC qua Ca a; ;0 và nhận uur1 1;1;  2làm vec tơ chỉ phương

a t

x

N a

y

a z

a t

+ Tìm toạ độ điểm P

PSD P

SD qua D0; ;0a  và nhận uuur3 0;1;  2làm vec tơ chỉ phương

0 :

a t x

x

P a

y

a z

Tứ giác ANMP có hai đường

chéo AN và MP vuông góc với

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và

đường cao bằng h Gọi I là trung điểm

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

 Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và  ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có

 Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và  ABC vuông tại B

Tam giác ABC vuông tại B có

 Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông tại C

 ABC vuông tại C CAa CB; b

chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

 Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông tại A

 ABC vuông tại A ABa AC; b

chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

 Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông cân tại C

Tam giác ABC vuông cân tại C có

CA CB a đường cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000,

SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau : O( 0 ; 0 ; 0 ) ; A (a; 0 ; 0 );

) 0



i vì : Ox (OBC)

) 0 1 0 (



j vì : Oy (OCA)

) 1 0 0 (



k vì : Oz (OAB)

Sử dụng công thức tính góc giữa hai

b a a c c b

c b

b a a c c b

a c

cos

b a a c c b

b a

2 2 2 2 2 2 2 2

b a a c c b

AC 4 ; AB3cm; BC 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD)

( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )

Dựng hình :

ABC

 có : AB2 AC2 BC2  25 nên

vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ

Đêcac vuông góc Oxyz như sau

Viết phương trình tổng quát của mặt

phẳng (BCD)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)

0 12 3 3 4 1 4 4 3 : )

12 9 9 16

12 )

Bài toán 10 Cho hai nửa đường thẳng Axvà Byvuông góc với nhau và nhận

) 0 (

AB là đoạn vuông góc chung Lấy điểm M trên Axvà điểm N trên By sao cho

a BN

AM  2 Xác định tâm I và tính theo abán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI

1a Xác định tâm I của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABMN

By Ax

Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung điểm 

1b.Tính bán kính R của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABMN

Ta có : MN a(  2 2 1 ) Bán kính mặt cầu :

2

3 2

a MN

;

; 0 ( ] ,

5

52],[

]

,[),

BI AM

AB BI AM BI

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

Bài toán 11 Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC

vuông tại A; ADa AC, b AB, c

a Tính diện tích S của tam giác BCD theo a b c, ,

b Chứng minh rằng : 2S abc a b c   

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Bài toán 12 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng a Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Gọi I là trung điểm của BC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

uur uur uuur

Diện tích tam giác AMN :

Bài toán 13 Cho hình chóp O.ABC có OAa OB; b OC; c đôi một vuông góc Điểm M

cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) là 1; 2; 3 Tính a b c; ; để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau :O(0; 0; 0)

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

Bài toán 14 Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = SB = SC,

khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau

Gọi H là tâm của ABC và M là trung

A

x

H B

C

Bài toán 15 Cho tứ diện OABC có đáy là OBC vuông tại O, OB = a, OC = a 3, (a0)

và đường cao OA a 3 Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng AB và OM

Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz

đôi một vuông góc O(0; 0; 0),

là trung điểm của AC

MN là đường trung bình của ABC

Bài toán 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a,

cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Chứng minh MAB cân

và tính diện tích MAB theo a

z A

a 3

C N

O

M a

x B

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz,

với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc

M

a 5 H

MỘT SỐ DẠNG HÌNH CHÓP KHÁC

Bài toán 17 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D với

ADCDa; AB3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 0

45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

(Trích đề tuyển sinh ĐH khối A năm 2011)

,

48 4 ,

giữa hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )

Dựng hình :

Gọi H là hình chiếu vuông góc

của S trên AB  SH (ABCD)

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau :H(0; 0; 0);

a a

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau :

( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau :

+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu

vuông góc của A trên SB

Phương trình tham số của SB :

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

Bài 2 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt

bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a

Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C; SA vuông góc với đáy;

SAh AC; a BC; b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và SB

Thật vậy, trong các tiết ôn tập cuối năm 12 chuẩn bị cho thi tốt nghiệp trung học phổ thông và dự tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng hàng năm của học sinh lớp 12, các em đã được hướng dẫn cụ thể và vận dụng để giải một số bài tập liên quan đến việc sử dụng phương pháp chọn hệ tọa độ để giải bài toán hình học không gian

Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề

và đặc biệt đã xác định được hệ trục tọa độ, xác định toạ độ các điểm có liên quan trên hệ