SKKN PHƯƠNG PHÁP CHỌN hệ TRỤC tọa độ để GIẢI bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh LamTôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồngmôn ; cùng chung sức để tìm ra biện pháp nân

Trang 1

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam

Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồngmôn ; cùng chung sức để tìm ra biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi

Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trình lớp 11,làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳngvới mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng, tính góc và tính khoảng cách

Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cáchdiễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu Mặt khácmột số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trongkhông gian mà nội dung chương trình hình học lớp 12 đã nêu, một công cụ hữu ích để giảinhiều bài toán hình học không gian

2 Khó khăn

Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phântích đề bài, dựng hình và định hướng cách giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một cáchmáy móc, lập luận thiếu căn cứ, thiếu chính xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giảthiết, đâu là phần cần chứng minh Do đó kết quả đạt được không như mong đợi

Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12 Do chưa tìm ra được phương phápthích hợp để giải toán nên sẽ nẩy sinh nhiều vướng mắc, từ đó các em ngán ngại, thiếu hứngthú trong học tập Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới,đòi hỏi sự nỗ lực và quyết tâm cao của cả thầy và trò

3 Số liệu thống kê.

Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp; 12A7;12A9năm học 2010 - 2011, lớp3

12A ; 12A11, năm học 2011 - 2012, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau :

+ Bài kiểm tra một tiết (2010 - 2011 ), trong 87 bài kiểm tra có :

 4 bài diểm 8 tỷ lệ 4,6 %

 12 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 13,8 %

 22 bài điểm 5 tỷ lệ 25,3 %

 49 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 56,3 %

+ Bài kiểm tra một tiết (2011 - 2012 ), trong 86 bài kiểm tra có :

 5 bài diểm 8 tỷ lệ 5,8 %

 14 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 16,3 %

 26 bài điểm 5 tỷ lệ 30,2 %

1

Trang 2

 41 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 47,7 %

Trong các lớp tôi được nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết quảmôn toán cuối năm học 2008 - 2009 xếp loại trung bình - yếu Qua tìm hiểu, tôi cảm nhậnđược rằng trong số những em có học lực yếu, cũng có những em có kỹ năng tính toán tươngđối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn rất hạn chế

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bảncuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấumột bước tiến mạnh mẽ của toán học Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh raphương pháp toạ độ Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại sốthay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá

và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh đượctiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó Chẳng hạn, quytrình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :

 Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán

 Bước 2 : Xây dựng thuật giải

 Bước 3 : Thực hiện thuật giải

 Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạyhình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biếtvận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức

có liên quan vào giải toán Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theocác bước sau :

 Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyzthích hợp, chú ý đến vị trí của gốc toạ độ O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích

 Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên

 Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình

học tương ứng

Do vậy, để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ trước hết cần chọn hệ trục toạ độphù hợp Việc làm này không đơn giản đối với học sinh; đòi hỏi học sinh phải có khả năngkết hợp giữa khái quát hoá và cụ thể hoá các nội dung liên quan đến bài toán

Các dạng toán thường gặp :

 Tính độ dài đoạn thẳng

 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng

 Tính góc giữa hai đường thẳng

 Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

 Tính góc giữa hai mặt phẳng

 Tính thể tích khối đa diện

 Tính diện tích thiết diện

 Các bài toán về quan hệ song song, vuông góc

Trang 3

2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâng cao, Đoàn Quỳnh(Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa và một sốtính chất sau :

Tọa độ của các vectơ đơn vị :

Ta có : Ox Oy Oz, , vuông góc từng đôi một Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnhvuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ Cụ thể :

Với hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

Trang 4

 Với hình hộp có đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D'

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của

hai đường chéo của hình thoi ABCD

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

Bài tập áp dụng :

Bài toán 1 Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a

a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng (AB'D' )

b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng (AB'D' ) là trọng tâm Gcủa tam giác AB ' D'

c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB'D' ) và (C'BD)

d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA'C) và (ABB'A' )

( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Descartes vuông

góc Oxyz như sau : O  A( 0 ; 0 ; 0 ) ;

' '

D AB C A AD

)

; 0

; ( '

)

;

; ( '

a a AD

a a

AB

a a

a C

' '

0 0 ' '

2 2 2 2

AD C A AB C A a

a AD C A

a a AB C A

Nên

) ' ' ( 'C mp AB D

C D

Trang 5

G là trọng tâm của tam giác AB’D’

Phương trình tham số của đường thẳng



) ( :

t a

a y a x z

y x

t a z t y t x

; 3

a a a G

3 3

' '

a z

z z

z

a y

y y

y

a x

x x

x

D B

A G

D B

A G

D B

A G

(2)

So sánh (1) và (2), kết luận Vậy giao điểm G của đường chéo A' C và

mặt phẳng (AB'D' ) là trọng tâm G của tamgiác AB ' D'

 (AB'D' ) // (C'BD)



3 )

' ' ( , )

' ( ), ' ' (AB D C BD d B AB D a



j Vectơ pháp tuyến của (DA'C):

) 1

; 1

; 0 (



(DA'C), (ABB'A' ) 45o

Bài toán 2 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a

Chứng minh hai đường chéo B ' D'và A' Bcủa hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau.Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B ' D'và A' B

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

vuông góc Oxyz như sau :

) 0

; 0

C D

Trang 6

hay B ' D'và A' B chéo nhau

Tính dB'D' ,A'B theo công thức:

] ' , ' ' [

' ] ' , ' ' [ '

,

'

B A D B

BB B A D B B

' ,'

3 4 4 4

3

a a

a B

A D B

; 0

; 2

C a

A

) 6

; 0

; 0 (

; 0

; 2

2

; 0

; 2

Trang 7

điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của

BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường

thẳng MN và AC

( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )

Dựng hình :

Gọi O là tâm của hình vuông

ABCD  SO  ( ABCD)

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau :

A

D P

Trang 8

Toạ độ trung điểm P của SA P

2

4 ]

, [

].

, [ ,

2 2

2

a h a

h a

AC MN

AM AC MN AC

MN

hình thoi AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết A( 2 ; 0 ; 0 ); B( 0 ; 1 ; 0 ); S( 0 ; 0 ; 2 2 ) Gọi M làtrung điểm của SC

1 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

2 Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N

Tính thể tích khối chóp S.ABMN

( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )

Trang 9

BM SA

BM SA BM

; 0

; 2 2 ( ] ,

) 0

; 1

; 2 (



AB [SA,BM].AB 4 2  0

3 6 2 4 8 2 4 ]

, [

].

, [ ) ,

AB BM SA BM

SA d

2 Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Dễ dàng nhận thấy :

) ( )

AMN S ABM S ABMN

Trong đó :

SB SM SA

MN// // N là trung điểm của SD Toạ độ trung điểm N 

1

; 0

) 2 2

; 0

; 2



) 2

; 0

; 1

SM SB  ( 0 ; 1 ;  2 2 ) ;

) 2

; 0

; 1

SM

) 0

; 2 4

; 0 ( ] ,

3

2 2 6

2 4 ].

, [ 6

2 2 ].

, [ 6

1

V S AMN

Kết luận: Vậy V S.ABMN V S.ABM V S.AMN  2 (đvtt)

Trang 10

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho O(0;0;0)

Bài tập áp dụng :

Bài toán 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA(ABCD SA); 2a.Mặt phẳng   qua BC hợp với AC một góc 300 , cắt SA, SD lần lượt tại M, N Tính diện tíchthiết diện BCNM

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyz như sau :

Trang 11

a/ Chứng minh : Tứ giác AMNP có hai đướng chéo vuông góc với nhau

b/ Tính diện tích của tứ giác AMNP

Dựng hình :

Oxyz như sau :

SC qua Ca a; ;0 và nhận u 1 1;1; 2



làm vec tơ chỉ phương

x

y

z

P N

M

Trang 12

+ Tìm toạ độ điểm M

M SB P

2

22

a t

x

N a

a z

0:

Trang 13

30

0

0; ;2

x

P a

Tứ giác ANMP có hai đường

chéo AN và MP vuông góc với

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và

đường cao bằng h Gọi I là trung điểm

Tam giác ABC vuông tại A có

I S

S

x y

z

Trang 14

Tam giác ABC vuông tại B có

 ABC vuông tại C CA a CB b ; 

chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

 ABC vuông tại A AB a AC b ; 

chiều cao bằng h

14

z

B

C A

H

S

y

z

Trang 15

Tam giác ABC vuông cân tại C có

đỉnh O Gọi   lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng : cos 2 cos 2 cos 2 1

Oxyznhư sau : O( 0 ; 0 ; 0 ) ; A (a; 0 ; 0 );

AB  

) 0

Trang 16

Tìm vectơ pháp tuyến của :



i vì : Ox  (OBC)

) 0 1 0 (



j vì : Oy  (OCA)

) 1 0 0 (

cos   OBC ABC

( ), ( )cos

cos   OBC ABC

( ), ( )cos

cos   OBC ABC

cos

b a a c c b

c b

cos

b a a c c b

a c

cos

b a a c c b

b a

cos

2 2 2 2 2 2 2 2

b a a c c b

AC   4 ; AB  3cm; BC  5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(BCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )

vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ

Đêcac vuông góc Oxyz như sau

) 0

Sử dụng công thức tính khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng  

17

34 6 34

12 9 9 16

12 )

Bài toán 10 Cho hai nửa đường thẳng Axvà Byvuông góc với nhau và nhận

) 0 (



a a

AB là đoạn vuông góc chung Lấy điểm M trên Axvà điểm N trên By sao cho

a BN

AM   2 Xác định tâm I và tính theo abán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABMN Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI

Dựng hình :

A B

C

D

H I

x

y

z

Trang 17

1a Xác định tâm I của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABMN

By Ax

Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung điểm 

I của MN là tâmcủa mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN 1b.Tính bán kính R của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABMN

) 2

;

; 0 ( ] ,

5 5 2 ] , [

].

, [ ) ,

BI AM

AB BI AM BI

D

x

y

z

Trang 18

M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biếtrằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Gọi I là trung điểm của BC

Bài toán 13 Cho hình chóp O.ABC có OA a OB b OC c ;  ;  đôi một vuông góc Điểm M

cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC); (OCA);(OAB) là 1; 2; 3 Tính a b c; ; để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất

C

H

A B

I S

Trang 19

Dựng hình :

Oxyznhư sau :O(0;0;0)

Bài toán 14 Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = SB = SC,

khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và(SAC) vuông góc nhau

Gọi H là tâm của ABC và M là trung

S z

A

Trang 20

và đường cao OA a 3 Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

AB và OM

Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz

đôi một vuông góc O(0; 0; 0),

là trung điểm của AC

MN là đường trung bình của ABC

 AB // MN

 AB // (OMN)

 d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN))

z A

a 3

a 3 y C

N

O M a

x B

Trang 21

3.a 0 0 a 3 a 15d(B; (OMN))

5



Bài toán 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a,

cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Chứng minh MAB cân

và tính diện tích MAB theo a

Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz,

với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc

M

a 5 H

B

A K

5

Trang 22

BH AB BC 4a

2aBH

Bài toán 17 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D với

đáy một góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

(Trích đề tuyển sinh ĐH khối A năm 2011)

Trang 23

3

3 2

giữa hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )

Dựng hình :

Gọi H là hình chiếu vuông góc

của S trên AB  SH (ABCD)

góc Oxyznhư sau :H(0;0;0); S

53

Trang 24

của SA và SD Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chópS.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 )

Dựng hình :

góc Oxyznhư sau :

.

S BCNM SMCB SMCN

31

( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )

Trang 25

Dựng hình :

Oxyznhư sau :

+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu

vuông góc của A trên SB

Phương trình tham số của SB :

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	1,82 MB