trục tọa độ và hệ trục tọa độ

Định nghĩa: Trục tọa độ Trục , hay trục số là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và một vectơ đơn vị ir tức là i = 1r Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ ir được gọ

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 5 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

I.TRỤC TỌA ĐỘ:

1 Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và

một vectơ đơn vị ir( tức là i = 1r

)

Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ ir

được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ Kí hiệu (O ; ir

) hay '

x Ox hoặc đơn giản là Ox

2 Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:

+ Cho vec tơ uur

nằm trên trục (O ; ir

) thì có số thực a sao cho ur =a iur với a RÎ Số a như thế được

gọi là tọa độ của vectơ uuur

đối với trục (O ; ir

)

+ Cho điểm M nằm trên (O ; ir

) thì có số m sao cho OMuuur =miur Số m như thế được gọi là tọa độ của

điểm M đối với trục (O ; ir

)

Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OMuuur

3 Độ dài đại số của vec tơ trên trục :

Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ ABuuur kí hiệu là AB và gọi là độ dài đại số của vectơ ABuuur trên trục Ox

Như vậy ABuuur=AB i.r

Tính chất :

+ AB = - BA

+ ABuuur =CDuuurÛ AB =CD

+ A B C" ; ; Î ( ; ) :O iur AB +BC =AC

II HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1 Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc Ox và Oy với hai vectơ đơn vị lần lượt là ,i jr r Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi là trục hoành và Oy gọi là trục tung.

Kí hiệu Oxy hay (O i j; ,r r)

2 Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ

+ Trong hệ trục tọa độ (O i j; ,r r) nếu ur =xir+yjr thì cặp số (x y được gọi ; )

là tọa độ của vectơ ur, kí hiệu là ur =(x y; ) hay u x yr( ; )

x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ ur

+ Trong hệ trục tọa độ (O i j; ,r r), tọa độ của vectơ OMuuur gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là M =(x y; ) hay M x y x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.( ; )

1

Chương

ir

Hình 1.30

Hình 1.31

Trang 2

Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì

( ; )

M x y Û OMuuur=xir+yjr=OHuuur+OKuuur

Như vậy OHuuur=xi OKr uuur, =yjr hay x OH y OK= , =

3 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác.

+ Cho A x y( ; ), ( ; ) và M là trung điểm AB Tọa độ trung điểm (A A B x y B B M x y M; M ) của đoạn thẳng

x = + ,y = +

+ Cho tam giác ABC có A x y( ; ), ( ; ),A A B x y B B C x y( C; C ) Tọa độ trọng tâm (G x y của tam giác G; G)

ABC là A B C

G

3 và

G

2

4 Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.

Cho ur = ( ; )x y ;uur'=( '; ')x y và số thực k Khi đó ta có :

u u

y y

ì = ïï

= Û íï =

ïî

' '

'

r ur

2) u vr ± =r (x±x y'; ±y')

3) ku.r =( ; )kx ky

4) u'ur cùng phương ur(u ¹ 0r r) khi và chỉ khi có số k sao cho x kx

y ky

ïï

íï = ïî

' ' 5) Cho A x y( ; ), ( ; ) thì A A B x y B B ABuuur=(x B - x y A; B - y A)

đoạn thẳng AB là:

x x y y

;

x x y y

 .

x x y y

;

x y x y

 .

Lời giải Chọn B

Ta có: I là trung điểm của đoạn thẳng

2 2

I

x x x

x x x x

AB AI IB

y

+

 =



− = −

⇒ = ⇔ ⇒

− = − +



uur uur

x x y y

 .

=



 =

= −



 = −

=



 =

=



 =

Trang 3

Lời giải Chọn C

u v

=





r r

Lời giải Chọn D

Theo công thức tọa độ vectơ uuurAB=(x B−x y A; B−y A)

G của tam giác ABC là:

 . B 3 ; 2

 . D 2 ; 3

Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC⇒OA OB OCuuur uuur uuur+ + =3OGuuur với O là điểm

bất kì

Chọn O chính là gốc tọa độ O Khi đó, ta có:

3

G

x x x x

OA OB OC OG

y

+ +

 =

 + + =

+ + = ⇔ ⇒

+ + = + +



uuur uuur uuur uuur

;

⇒  ÷

A Hai vectơ ur=(2; 1 và − ) vr = −( 1;2)đối nhau

B Hai vectơ ur =(2; 1 và − ) vr= − −( 2; 1)đối nhau

C Hai vectơ ur=(2; 1 và − ) vr= −( 2;1)đối nhau

D Hai vectơ ur =(2; 1 và − ) vr=( )2;1 đối nhau

Ta có: ur =(2; 1− = − −) ( 2;1) = −vr ⇒ur và vr đối nhau

, tọa độ của vec tơ i jr r+ là:

A (−1;1) B ( )1;0 C ( )0;1 D ( )1;1

Ta có: r ri+ =j ( ) ( ) ( )1;0 + 0;1 = 1;1

A ( )2;4 B ( )5;6 C (15;10 ) D (50;6 )

Trang 4

Ta có: uuurAB=(10 5;8 2− − =) ( )5;6

2

 − 

 ÷

 . B

1 1;

2

− 

 ÷

 . C

1

; 2 2

 − 

 ÷

 . D (1; 1− )

Lời giải Chọn A

Ta có: Trung điểm của đoạn thẳng AB là:

1 0 0 ( 2) 1

x x y y

I = + +  = + + −  = − 

 ÷  ÷

 ÷    

là A(−2;2);B( )3;5 Tọa độ của đỉnh C là:

A ( )1;7 B (− −1; 7) C (− −3; 5) D (2; 2− )

Ta có:

2 3

0

O

C

O

y

+ + − + +

 =  =

 + +  + +  = −



 =  =

A ar = − +4r ri j B ar= − +ri 4rj C ar = −4rj D ar = −4ir

Ta có: ar = −( 4;0)⇒ = − +ar 4ir 0rj = −4ri

A (4; 6− ) B ( )2;0 C ( )0;4 D ( )4;6

3

6

D

y

=

Ta có: ar và br cùng phương khi a k br= .r⇒ =x 0

A (6; 9− ) B (4; 5− ) C (−6;9) D (− −5; 14)

Ta có: a br r− = − −( 1 5; 2 7+ = −) ( 6;9)

Ta có: uuurAC =AC = AB2+BC2 = 32+42 =5

Trang 5

Câu 15: Cho hai điểm A( )1;0 và B(0; 2− ) Vec tơ đối của vectơ uuurAB có tọa độ là:

A (−1; 2) B (− −1; 2) C ( )1; 2 D (1; 2− )

Ta có vectơ đối của uuurAB là BAuuur= − − − = − −(0 1; 2 0) ( 1; 2)

Ta có: a br r+ = + −(3 ( 1);( 4) 2− + =) (2; 2− )

A Hai vec tơ ur=( )4;2 và vr=( )8;3 cùng phương

B Hai vec tơ ar = −( 5;0) và br = −( 4;0) cùng hướng

C Hai vec tơ ar=( )6;3 và br=( )2;1 ngượchướng

D Vec tơ cr=( )7;3 là vec tơ đối của dur= −( 7;3)

Ta có: 5

4

ar = br suy ra ar cùng hướng với br

Câu 18: Cho ar =( )x; 2 ,br= −( 5;1 ,) cr=( )x;7 Vec tơ cr=2ar+3br nếu:

7 2.2 3.1

x x

c= a+ b⇔ = + − ⇔ =x



= +



Câu 19: Choar =(0,1),br = −( 1; 2),cr= − −( 3; 2).Tọa độ củaur =3ar+2br−4cr:

A (10; 15− ) B (15;10 ) C (10;15 ) D (−10;15)

Ta có: ur =3ar+2br−4cr=(3.0 2.( 1) 4.( 3);3.1 2.2 4.( 2)+ − − − + − − ) (= 10;15)

2

 

 ÷

 .

2

D

y



= −



( )2;0

M Tọa độ A và B là:

A A(4;12 ,) ( )B 4;6 B A(− −4; 12 ,) ( )B 6;4

C A(−4;12 ,) ( )B 6;4 D A(4; 12 ,− ) (B −6; 4)

Trang 6

Ta có: M( )2;0 là trung điểm BC nên ( )

( 2)

0

2

B

x

B

+ −

 =

  =

 + −  =



 =



( )0;4

6 ( 2)

4

3

A

x

A

+ + −

 =

  = −

 + + −  =



 =



Ta có: ar = −3ir 4rj⇒ar(3; 4− ), b i jr r r= − ⇒br(1; 1− ⇒ =) br 2

hàng thì tọa độ điểm M là:

A (0;10 ) B (0; 10− ) C (10;0 ) D (−10;0)

Ta có: M trên trục Oy⇒M( )0;y

Ba điểm A B M, , thẳng hàng khi uuurAB cùng phương với uuuurAM

Ta có uuurAB= −( 3; 4 ,) uuuurAM = −( 1;y−2) Do đó, uuurAB cùng phương với

10

y

AM ⇔ − = − ⇒ =y

−

uuuur

Vậy M(0;10)

cho là thẳng hàng?

Ta có: uuurAD(−2;10 ,) uuurAB(−1;5) ⇒uuurAD=2uuurAB⇒ 3 điểm A B D, , thẳng hàng

với C qua B là

A E(1;18) B E(7;15) C E(7; 1− ) D E(7; 15− )

Ta có: E đối xứng với C qua B⇒ B là trung điểm đoạn thẳng EC

3

4 2

E

x

E

+

 =

  =

 +  = −



− =



3uuuur uuur rAM +AB=0 là

Trang 7

Ta có: ( ) ( )

4

M M

y y

− + − =



=



uuuur uuur r

M thỏa mãn2MA BCuuur uuur− =4CMuuuur là:

6 6

M 

 ÷

 . B

1 5

;

6 6

M− − 

 ÷

 . C

1 5

;

6 6

M − 

 ÷

 . D

5 1

;

6 6

M − 

 ÷

 .

1

6

M

x

 =



− − − − = −

− = ⇔ ⇔ ⇒  − ÷

− − − − = +  



uuur uuur uuuur

(3; 2 ,) ( ) ( ) (7;1 , 0;1 , 8; 5)

A − B C D − − Khẳng định nào sau đây là đúng?

A uuur uuurAB CD,

đối nhau B uuur uuurAB CD,

cùng phương nhưng ngược hướng

C uuur uuurAB CD,

cùng phương cùng hướng D A, B, C, D thẳng hàng

Ta có: uuurAB=( )4;3 ,CDuuur= − − ⇒( 8; 6) CDuuur= −2uuurAB

M thỏa mãn MA MBuuur uuur+ −3MCuuuur r=0 là

A M(1;18) B M(−1;18) C M(−18;1) D M(1; 18− )

18

M

y



= −



giác BCAD là hình bình hành là:

Ta có: tứ giác BCAD là hình bình hành khi

BC DA

uuur uuur

giác ABCD là hình bình hành là:

Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành khi

AB DC

uuur uuur

Trang 8

Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy , gọi B B', '' và '''B lần lượt là điểm đối xứng của

B − qua trục Ox , Oy và qua gốc tọa độ O Tọa độ của các điểm B B', '' và '''

B là:

A B' 2; 7 , B" 2;7 B"' 2; 7(− − ) ( ) và ( − ) B B' 7;2 , B" 2;7 B"' 2; 7(− ) ( ) và ( − )

C B' 2; 7 , B" 2;7 B"' 7; 2(− − ) ( ) và (− − ) D B' 2; 7 , B" 7;2 B"' 2; 7(− − ) ( ) và ( − )

Ta có: 'B đối xứng với B(−2;7) qua trục Ox⇒B' 2; 7(− − )

''

B đối xứng với B(−2;7) qua trục Oy⇒B'' 2;7( )

'''

B đối xứng với B(−2;7) qua gốc tọa độ O⇒B''' 2; 7( − )

thỏa mãnuuuurAM = −2uuurAB là:

2

M M

y y



= −



A cr=(1; 3− ) B cr=( )2;5 C cr= − −( 7; 1) D cr= −( 10; 3− )

Ta có: c ar r= −2br= − − −( 4 2.( 3);1 2.( 2)− − ) ( )= 2;5

cùng phương nếu

Ta có: ,a br r

cùng phương ⇔ =a k br .r⇒ =x 0

2

A −  B −

 ÷

  Khi đó a= −4AB=?

A ar =(22; 32− ) B ar=(22;32) C ar = −( 22;32) D 11;8

2

ar= − ÷

Ta có: 4 4 2 7;5 3 (22; 32)

2

a= − AB= − − − + = −

 ÷

 

r uuur

2

m= n= − C m=5,n= −2 D m=5,n=2

Ta có:

5

2 3

3

2

m m

a b

=



− =

= ⇔ ⇔

+ = − = −

 

r r

Trang 9

Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1)− Điểm B là điểm đối xứng của

A qua trục hoành Tọa độ điểm B là:

Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành ⇒B( )2;1

Khi đó

m= − n=−

B 1; 3

m= n=−

C 22; 3

m= n= −

D 22; 3

m= n=

Ta có:

22

5

m

m n

c m a n b

m n

n

 =



= +

= + ⇔ ⇔

= +

  = −



vectơ ar và cr, ta được:

br= − ar− cr B 1 1

br= ar− cr C 1 4

2

br= − ar− cr D 1 1

br = − ar+ cr

Giả sử

1

4

m

m n

b ma nc

m n

n

 = −



− = +

= + ⇔ ⇔

− = − +

  = −



Vậy 1 1

br = − ar− cr

3

a= x b= −  c= x

 ÷

 

Vectơ cr uur=4a−3br nếu

Ta có:

4 3.( 5)

7 4.2 3

3

x x

= − −





= − ⇔ = − ⇔ = −

r uur r

Ta có: uuurAB= −(3 m;3 2− m), uuurAC=( )4; 4

Ba điểm A B C, , thẳng hàng khi và chỉ khi uuurAB cùng phương với uuurAC

0

m

− −

⇔ = ⇔ =

điểm N thì P có tọa độ là:

Trang 10

A (−2;5) B (13; 3− ) C (11; 1− ) D 11 1;

2 2

 

 ÷

 .

Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là trung điểm đoạn thẳng PM

8

2

P

x

P

+

 =

  = −

 − +  =



 =



bình hành?

Ta có: ABDC là hình bình hành

3;6

uuur uuur

điểm B là:

A ( )0;3 B 1;0

3

 

 ÷

 . C ( )0;2 D ( )4;2

Ta có: A Ox B Oy∈ , ∈ ⇒A x( ) ( );0 ,B 0;y

A là trung điểm

1 0

1 2

2 3

3 0

2

x

x KB

y y

+

 = 

⇒ ⇔

− +

 =  =



.Vậy B( )0;3

bình hành?

Ta có: ABCD là hình bình hành

3; 4

uuur uuur

ABC

∆ Tọa độ B là:

A ( )1;1 B (− −1; 1) C (−1;1) D (1; 1− )

Trang 11

Ta có: BPNM là hình bình hành nên

CA , AB của tam giác ABC Tọa độ đỉnh A của tam giác là:

A (1; 10− ) B ( )1;5 C (− −3; 1) D (− −2; 7)

Ta có: APMN là hình bình hành nên

P thuộc trục Oy ,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox Toạ độ của điểm P là

A ( )0;4 B ( )2;0 C ( )2;4 D ( )0;2

Ta có: P thuộc trục Oy⇒P( )0;y , G nằm trên trục Ox⇒G x( );0

G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có:

1 5 0

2 3

0

3

+ +

 =

 − + − +  =



 =



Vậy P( )0;4

CMuuuur+ uuurAC= uuurAB

5

M M

y y



= −



Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	1,42 MB