File b 8a TOÁN THỰC tế ỨNG DỤNG đạo hàm

Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện của hình vuông và hình tròn là tối thiểu.. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diệ

8A BÀI TOÁN VẬN DỤNG VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

 Dạng 118 Bài toán vận dụng về diện tích

nhất có diện tích S là bao nhiêu? 

A S100cm  2 B. S400cm  2 C. S49cm  2 D. S40cm  2

Lời giải tham khảo 

20

100

    

     

   

a b

Nhưng vợ ông muốn có khuôn viên sân vườn đẹp nên ông mua thêm về hai phía chiều 

dài mỗi chiều 3 m  và về hai phía chiều rộng mỗi chiều  2 m  Hỏi, để ông  A mua được 

mảnh đất có diện tích nhỏ nhất (tiết kiệm chi phí) thì mảnh đất đó chu vi là bao nhiêu? 

Lời giải tham khảo 

Gọi x y,  là chiều dài, chiều rộng phần đất xây nhà  

Ta có 

384

( 6)( 4)







S x

x y

y x

Áp dụng BĐT AM-GM :  4  2304408 192 408   600

Dấu ‘‘=” xảy ra khi 4x 2304 x24y16

Vậy mảnh đất cần mua có chiều dài là: 24 6 30  m  

Chiều rộng là: 16 4 20  m    

Khi đó chu vi mảnh đất là 100 m   

Câu 03. Từ một bờ tường có sẵn, người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật 

liệu cho trước là 100 m  thẳng hàng rào . Vậy làm thế nào để rào khu đất ấy theo hình 

chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. 

Lời giải tham khảo 

Gọi  x m  0x50 là chiều rộng của hình chữ nhật  

Khi đó, chiều dài của hình chữ nhật là 100 2 x 

Nên diện tích của hình chữ nhật là    2

100 2  2 100

Gọi    2

  

f x x x với điều kiện 0x100 



 f x   x  Cho f x 0 4x1000x25 

x   0    25    50 

 



f x       0     

 

f x    

0 

  1250   

0  Dựa vào bảng biến thiên ta có 

     

0;50  25 1250

max f x f   Vậy: Để rào khu đất ấy có diện tích lớn nhất theo hình chữ nhật có chiều rộng bằng 

25 và chiều dài bằng 50. 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

vuông và một hình tròn. Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra 

sao cho tổng diện của hình vuông và hình tròn là tối thiểu. 

4    C.  112

4    D.  28

4 



  

Câu 05 Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được  uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành  hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh  hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất?    A.  18 9 4 3   m   B.  36 3 4 3  m   C.  12 4 3   m   D.  18 3 4 3   m   .     

 Dạng 119 Bài toán vận dụng về chuyển động

của chất điểm

Câu 06. Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S t t3 3t2 24t, trong 

đó t tính bằng giây  s  và S tính bằng mét  m  Tinh gia tốc của chuyển động tại thời 

điểm vận tốc triệt. 

A. 18m s  / 2 B. 18m s  / 2 C. 6m s  / 2 D. 6m s  / 2

Lời giải tham khảo 

Ta có vận tốc v t S t 3t2 6t24. Vận tốc triệt tiêu khi   

 

4 0

2

 

  

 



t

v t

t L   

Gia tốc a t v t 6t6. Vậy gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là 

 4 6.4 6 18 / 2

a m s   

điểm  cao 5 m   cách  mặt  đất.  Vận  tốc  của  viên  đá  sau  t  giây  được  cho  bởi  công  thức 

 40 10

v t t m s  Tính độ cao lớn nhất viên đá có thể lên tới so với mặt đất. /

A. 85 m   B. 80 m   C. 90 m   D. 75 m  

Lời giải tham khảo 

Gọi h là quãng đường lên cao của viên đá. 

  '        40 10  40 5 2 

v t h t h t v t dt t dt t t c  

Tại thời điểm t0 thì h5. Suy ra c5. 

Vậy h t 40t5t2 5  

        h t  lớn nhất khi v t 040 10 t0 t 4. Khi đó h 4 85  m   

Câu 08.  Một  đoàn  tàu  đang  chuyển  động  với  vận  tốc v0  72 km h/   thì  hãm  phanh 

chuyển động chậm dần đều, sau 10 giây đạt vận tốc v1  54 km h/  Tính thời gian tàu 

đạt vận tốc v36km h  kể từ lúc hãm phanh. /

A. 30 s   B. 20 s  

C. 40 s   D. 50 s  

Lời giải tham khảo 

Đổi đơn vị:  72km h/ 20m s   54/ ; km h/ 15 / ;m s  36 km h/ 10m s  /

2

1 0 15 20

0, 5 / ; 10



v v

t

2 0

10 20

20

0, 5



o

v v

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 09 Một chất điểm chuyển động theo qui luật s6t2 t  (trong đó 3 t là khoảng thời 

gian tính bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động ). Tính thời điểm t (giây) mà tại 

đó vận tốc m s/  của chuyển động đạt giá trị lớn nhất. 

Câu 10.  Cho  chuyển  động  thẳng  xác  định  bởi  phương  trình    1 4 2 3 2 4 4      S t t t t ,  trong đó t tính bằng giây  s  và S tính bằng mét  m  Tại thời điểm nào, vận tốc của  chuyển động đạt giá trị lớn nhất?  A. t 2.  B. t 1.  C. t 3.  D. t 2.  .     

Câu 11. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km  Vận tốc của  dòng nước là 6km h  Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên  là / v km h / thì năng  lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E v cv t3   Trong  đó  c   là  một  hằng  số,  E  được  tính  bằng  jun.  Tìm  vận  tốc  bơi  của  cá  khi  nước  đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.  A.  6 km h/       B.  9 km h/       C. 12 km h/       D. 15 km h/   .     

Câu 12 Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được quãng đường s t  km là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) theo quy tắc sau:    2  3 2 3 1     t  t s t e t e km  Hỏi  vận tốc của tên lửa sau 1 giây  là bao nhiêu?  Biết hàm biểu thị vận tốc là đạo  hàm của  hàm biểu thị quãng đường theo thời gian.  A. 5e  (km/s). 4 B. 3e  (km/s). 4 C. 9e  (km/s). 4 D. 10e  (km/s). 4 .     

 Dạng 120 Bài toán vận dụng liên quan đến thể

tích

4 góc 4 hình vuông cạnh bằng x cm  để uốn thành một hình hộp chữ nhật không có ( )

nắp. Hỏi, phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất? 

4

 a

5

 a

6

 a

7

 a

x  

Lời giải tham khảo 

Gọi cạnh của hình vuông bị cắt là x, (0xa   )

Ta có thể tích hình hộp là:  2 1 2

( 2 ) 4 ( 2 )

4

V x a x x a x  

 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số:  4 ,x a2 ,x a2x0  

Ta có :  

     

x a x a x a a

V lớn nhất khi và chỉ khi: 4 2

6

x a x x  

Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt bốn góc bốn hình vuông có cạnh 

6

a

Câu 14 Cho  một tấm nhôm  hình  vuông  cạnh 12 cm.  Người  ta  cắt  ở  bốn  góc  của  tấm 

nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm 

nhôm lại như hình vẽ dưới đây  để được một cái hộp không nắp. Tìm  x  để hộp nhận 

được có thể tích lớn nhất

Lời giải tham khảo 

Thể tích của hộp là  

3

2 1 2 1 (4 12 2 12 2 ) (12 2 ) 4 (12 2 ) 128

   

Dấu bằng xảy ra khi4x12 2 x x2  

Vậy x2 thì thể tích hộp lớn nhất. 

Câu 15.  Một  tấm  thiếc  hình  chữ  nhật  dài 45  cm ,  rộng  24 cm   được  làm  thành  một  cái 

hộp  không nắp bằng cách cắt bốn  hình vuông  bằng  nhau từ mỗi góc và gấp mép lên. 

Hỏi các hình vuông được cắt ra có cạnh là bao nhiêu để hộp nhận được có thể tích lớn 

nhất? 

Lời giải tham khảo 

x

2



Gọi  x  cm 0x12 là cạnh của các hình vuông bị cắt rời ra. Khi đó, chiều cao của 

hộp là  x , chiều dài là 45 2 x, và chiều rộng là 24 2 x. 

Thể tích       3 2

V x x x x x x x. 

Suy ra V x' 12x2 276x1080  

Cho V x' 0, suy ra được giá trị  x  cần tìm là  x5. 

 V'' x 24x276V'' 5  1560. Do đó x5 là điểm cực đại.  

Câu 16.  Cho  một tấm nhôm  hình  vuông  cạnh 18 cm.  Người  ta  cắt  ở  bốn  góc  của  tấm  

nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm 

nhôm lại như hình vẽ dưới đây  để được một cái hộp không nắp. Tìm  x  để hộp nhận 

được có thể tích lớn nhất. 

Lời giải tham khảo 

Điều kiện: 0x9 

2

Vh.Bx.(18 2x) f (x) 

Bấm mod 7 và tìm được x3 

Cách khác: Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm 4 ; 18 2 ; 18 2x  x  x  

3

2 1 1 4 (18 2 ) (18 2 ) (18 2 ) 4 (12 2 ).(12 2 )

     

Dấu “ ”  xảy ra khi 4x18 2 xx3 

Vậy x3 thì thể tích lớn nhất 

để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp 

chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) 

của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của 

thành bể). Tính kích thước (dài; rộng – tính theo đơn vị  m , làm tròn đến 1 chữ số thập 

phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu. 

Lời giải tham khảo 

Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x và 2x  m  

Chiều dài của bể là  12 22  

2 3x x  x m  

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của bể phải nhỏ nhất. Ta có 

 

2

2 2

2 2 3 2 2 6

5 5

tp

xq

x

x x

x x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  2 5 3 5

6

6

  

Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là 2x1, 88 ;m 22 2, 26 m

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

góc  của  tấm  nhôm  đó  bốn  hình  vuông  bằng  nhau,  mỗi  hình  vuông  có  cạnh  bằng 

 

x cm để  khi  gập  lại  được  một  chiếc  hộp  không  nắp.  Hỏi.  để  chiếc  hộp  có  thể  tích  lớn 

nhất thì  x  bằng bao nhiêu? 

Câu 19. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông như hình bên dưới. Hộp có  đáy  là một hình vuông  cạnh  x   cm , đường cao là h cm  và có thể tích là 500 cm  3 Tìm giá trị của  x  sao diện tích của mảnh các tông là nhỏ nhất.  A. x5.  B. x10.  C. x15.  D. x20.  .     

Câu 20 Từ  một  tấm  tôn  hình  tròn  có  đường  kính 

bằng 60 cm. Người ta cắt bỏ đi một hình quạt S của 

tấm  tôn  đó,  rồi  gắn  các  mép  vừa  cắt  lại  với  nhau  để 

được  một  cái  nón  không  có  nắp  (như  hình  vẽ).  Hỏi 

bằng cách làm đó người ta có thể tạo ra cái nón có thể 

tích lớn nhất bằng bao nhiêu? 

A. 1800 3 ( cm3)    B. 2480 3 ( cm3).   

C. 2000 3 ( cm3).    D. 1125 3 ( cm3).  .     

Câu 21 Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy, đáy là  tam giác đều để đựng 16 lít nước. Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy tinh làm vỏ  bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình là bao nhiêu?  A. 4 m.  B. 4 dm.  C. 2 2 dm3   D. 2 4 m3   .     

Câu 22 Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD60cm  Ta gập tấm nhôm theo  2 cạnh MNvà PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây  để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy.            Tìm x  để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? 

S

Câu 23 Cho  một tấm nhôm hình vuông  cạnh 1m  như hình vẽ dưới  đây.  Người ta  cắt  phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng    x m , sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Tính giá trị  của  x  để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất.    A.  2 2 5  x   B.  1 2  x   C.  2 4  x   D.  2 3  x   .     

Câu 24 Để  làm  một  chiếc  cốc  bằng  thủy  tinh  hình  trụ  với  đáy  cốc  dày 1, 5 cm ,  thành 

xung quanh cốc dày 0, 2 cm  và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là  480 cm 3 thì 

người ta cần ít nhất bao nhiêu cm  thủy tinh? 3

A 75, 66 cm 3.  B. 71,16 cm3.  C. 85, 41 cm 3.  D. 84, 64 cm 3. 

 Dạng 121 Bài toán vận dụng về tính khoảng cách

(tính đầu mép dưới của màn ảnh). Hỏi, để nhìn rõ  nhất  phải xác định vị trí đứng sao 

cho góc nhìn lớn nhất thì vị trí đứng cách màn ảnh là bao nhiêu? 

A. x2, 4 m   B. x  2, 4 m   C. x 2, 4m         D.  x1, 8m  

Lời giải tham khảo 

Với bài toán này ta cần xác định OA 

 để góc  BOC

 lớn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi    tan BOC lớn nhất. 

Đặt OAx m  với x0, ta có  

AOC AOB BOC AOC AOB

AOC AOB



2

1, 4 5,76 1







AC AB

x

OA OA

AC AB x OA

.Xét 

hàm số    21, 4

5,76





x

f x

x . Bài toán trở thành tìm x0 để f x  đạt giá trị lớn nhất.  

Ta có   

2

2

1, 4 1, 4.5,76

5,76



x

Ta có bảng biến thiên 

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2, 4 m  

dưới đây). Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên mặt đất nằm giữa 

hai  chân  cột  tới  đỉnh  của  mỗi  cột.    Gọi x m   là  khoảng  cách  từ  chốt  đến  chân  cọc 

ngắn. Tìm  x  để tổng độ dài hai dây ngắn nhất.  

Lời giải tham khảo

+

0

f(x)

f'(x)

193 84

0

0

0

O

A

C

B

1,

4 1,

8

Kí hiệu  x  là khoảng cách từ chân cột thấp tới chốt buộc;   y z,  là độ dài hai sợi dây 

như hình vẽ. 

Khi đó khoảng cách từ chốt buộc tối chân cột thứ hai là 30  x. 

Điều kiện 0x30; ,y z0. Gọi d là tổng độ dài hai sợi dây. Khi đó  d yz  

Theo Pitago, ta có  2 2 2 2

x y y x  30x2 282 z  2

y x   x  x x  

Ta có 

30 '

144 30 1684



d

2

' 0 60 1684 30 144

60 1684 30 144

640 8640 129600 0

22, 5 0; 30

 



x

Lập BBT ta có 

   

0;30

mindd 9 50. 

Câu 27. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5km. Trên bờ 

biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh hải đăng có thể 

chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc  4km h  rồi đi bộ đến / C với vận tốc 

6km h  (xem hình vẽ dưới đây). Tính độ dài đoạn / BM để người đó đến kho nhanh nhất. 

4 .  B. 

29

Lời giải tham khảo 

Trước tiên, ta xây dựng hàm số  f x  là hàm số tính thời gian người canh hải đăng 

phải đi. 

Đặt  BMx  thì  ta  được:  MC7x AM,  x2 25.  Theo  đề  bài,    Người  canh  hải 

đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc  4km h  rồi đi bộ đến /

C với vận tốc  6km h , như vậy ta có hàm số / f x  được xác định như sau: 

C

A

M

5k

m 

7k

m 

B

  2 25 7 3 2 25 2 14

 x  x  x x

f x   với x 0; 7 

Ta  cần  tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  f x   để  có  được  thời  gian  ngắn  nhất  và  từ  đó  xác 

định được vị trí điểm M. 



x

f x

x

2

2

2

3

25

2 25 3

5 100 2 5

2 5





x

x

x

Hàm số  f x  liên tục trên đoạn 0; 7 và ta có: 

 0 29 , 2 5 14 5 5 ,  7 74



Vậy giá trị nhỏ nhất của  f x  là 14 5 5

12

 tại x2 5.  Khi đó thời gian đi là ít nhất 

và điểm M nằm cách B một đoạn BM x2 5.  

Câu 28. Cho hai vị trí A B  cách nhau , 615 m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình 

vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118 m  và  487 m  Một người đi từ 

A  đến  bờ  sông  để  lấy  nước  và  mang  về  B.  Tính  độ  dài  đoạn  đường  ngắn  nhất  mà 

người đó phải đi. 

A. 569, 5 m   B. 671, 4 m   C. 779, 8 m   D. 741, 2 m  

Lời giải tham khảo 

Ta giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B. 

Sông 

487m  615m 

118

m 

A

B