ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ + Dãy số vô hạn Một hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N được gọi là một dãy số vô hạn hay gọi là dãy số.. Kí hiệu là un hoặc viết gọn là u n.. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃ
Trang 1I ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ
+ Dãy số vô hạn
Một hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi là dãy số)
Kí hiệu là u(n) hoặc viết gọn là (u n)
+ Dãy số hữu hạn
Một hàm số u xác định trên tập M ={1; 2;3 m được gọi là một dãy số hữu hạn }
Kí hiệu là u(n) hoặc viết gọn là (u n)
II CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
Dãy số cho bởi công thức của số hạng tổng quát
Khi đó u n = f n trong đó f là một hàm số xác định ( )
Ví dụ 1 [ĐVH]: Với u n=n2−1;n≥2⇒u1=3;u2 =8;u3=15
Ví dụ 2 [ĐVH]: Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau:
a) 32 1
1
+
=
+
n
n
u
1 ( 2) 1
+ −
= +
n n
u
1 1
= + −
n u
+
=
−
n
n n
2
1 1
+
= +
n
n u n
n n
u
n
Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Khi đó, dãy số xác định được số hạng đầu hoặc một vài số hạng đầu
Có hai dạng cho số hạng bởi hệ thức truy hồi thường gặp là 1
1
( − )
=
=
n n
u a
u f u hoặc
; ( −; − )
=
u a u b
u f u u
1
2
=
n n
u
u u
Ví dụ 2 [ĐVH]: Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số Dự đoán công thức u nvà chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp?
a) 1
1
1
+
=
n n
u
1
1
1
+
= −
n n
u
1
2 1
3
+
=
u
Hướng dẫn giải:
1
1
+
=
n n
u
u u n
Từ đó ta có thể nhận thấy u n =n n2; ≥1, (*)
Ta chứng minh (*) bằng quy nạp
+) Với n = 1 ta có u1 = 1, vậy (*) đúng
+) Giả sử (*) đúng với n = k, tức là u k =k k2; ≥1
+) Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là u k+1= +(k 1) ;2 k≥0
Thật vậy, u k+1= +u k 2k+ =1 k2+2k+ = +1 (k 1)2⇒(*) đúng
Vậy u n =n n2; ≥1
1
1
3
+
= −
n n
u
u u
Từ đó ta có thể nhận thấy u n =3n−4, (*)
Ta chứng minh (*) bằng quy nạp
+) Với n = 1 ta có u1 = −1, vậy (*) đúng với n = 1
+) Giả sử (*) đúng với n = k, tức là u =3k−4
02 MỞ ĐẦU VỀ DÃY SỐ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2+) Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là u k+1=3(k+ −1) 4
Thật vậy, u k+1=u k+ =3 3k− + =4 3 3k− =1 3(k− +1) 4⇒(*) đúng
Vậy u n =3n−4
2 1
3
1
+
=
u
Ta nhận thấy u n= n+8, (*)
Ta chứng minh (*) bằng quy nạp
+) Với n = 1 ta có u1 = 3, vậy (*) đúng với n = 1
+) Giả sử (*) đúng với n = k, tức là u k = k+8
+) Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là u k+1= (k+ + =1) 8 k+9
Thật vậy, u k+1= 1+u k2 = 1+ + =k 8 k+9⇒(*) đúng
Vậy u n = n+8
Ví dụ 3 [ĐVH]: Cho dãy số (u n) xác định bởi công thức
1
2 1
1
+
=
u
a) Tính u2 , u3, u4
b) Chứng minh rằng u n+3= ∀ ∈u n n ℕ*
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
1
2 1
1
1
+
=
u
b) Ta chứng minh u n+3=u n, (*)∀ ∈n ℕ* bằng quy nạp
+ Với n = 1 ta có u4 = u1, đúng theo phần a
+ Giả sử (*) đúng với n = k, tức là u k+3=u k
+ Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức cần chứng minh u k+4 =u k+1
Vậy u n+3= ∀ ∈u n n ℕ*
Ví dụ 4 [ĐVH]: Viết 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau và dự đoán số hạng tổng quát của dãy số đó
a) 1
2
1
1
+
=
n n
u
1
1
1
1
+
=
n n
n
u
u
u
1
1
+
=
n n
u
Đ/s: a) u n= n b) u n =1
2
=
n
u n
III DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
Dãy số (u n) được gọi là tăng nếu < +1;∀ ∈ℕ*
n n
u u n
Dãy số (u n) được gọi là giảm nếu > +1;∀ ∈ℕ*
n n
u u n
Một dãy số tăng, giảm được gọi chung là dãy số đơ n điệu
Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của một dãy số
Phương pháp 1: Xét hiệu H=u n+1−u n
+) Nếu H > 0 thì dãy số đã cho là dãy tăng
+) Nếu H < 0 thì dãy số đã cho là dãy giảm
Phương pháp 2: Nếu u n > 0 thì ta lập tỉ số = n+ 1
n
u T u
+) Nếu > ⇔1 +1> ⇒
n n
+) Nếu < ⇔1 +1< ⇒
n n
Trang 3Ví dụ 1 [ĐVH]: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) u n =2n+3. b)
2
=
n n
n
1
= +
n
n u
1
+ −
=
n
n n u
n Hướng dẫn giải:
a) Theo cách cho dãy số ta được u n=2n+3;u n+1=2(n+ + =1) 3 2n+5⇒u n+1−u n =(2n+ −5) (2n+ >3) 0
Suy ra u n+1>u n⇒ dãy số đã cho là dãy tăng
+
n
u
n
n
1
1
+
+
n
n n n
u
u u
c) Ta có
;
1
+
n n
u u
+
n n
Vậy u n+1− <u n 0⇒(u n) là dãy số giảm
IV DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số (u n ) được gọi bị chặn trên nếu tốn tại một số M sao cho u n≤M;∀ ∈n ℕ*
Dãy số (u n) được gọi bị chặn dưới nếu tốn tại một số m sao cho u n ≥m;∀ ∈n ℕ*
Dãy số (u n) được gọi bị chặn nếu tốn tại một số M và m sao cho m≤u n ≤M;∀ ∈n ℕ*
Chú ý:
+) Trong các điều kiện về bị chặn ở trên thì không nhất thiết phải xuất hiện dấu ‘=’
+) Nếu một dãy số tăng thì luôn bị chặn dưới bởi u 1 ; còn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi u 1
BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) u n 1 2
n
1
n
n u n
−
=
n
n u n
+
=
2
n
u = n +
e)
2
2
1
n
n
u
n
−
=
2
1
n
n n u
n
=
1 1
n
n u
n
+ −
=
Bài 2: [ĐVH] Cho dãy số (u n), với 3 ( 1) 1
n
n u
+ −
= + −
a) Tính 6 số hạng đầu tiên của dãy, nêu nhận xét về tính đơn điệu của dãy số
b) Tính u2n và u 2n + 1 Chứng minh rằng 0 3 4
n
n u n
+
< ≤
−
Bài 3: [ĐVH] Với giá trị nào của a thì dãy số (u n), với 2
1
n
na u n
+
= +
a) là dãy số tăng
b) là dãy số giảm
Bài 4: [ĐVH] Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
Trang 4a)
2
2
1
n
n
u
n
+
=
n
n u n
+
=
1
n
u n
=
1
n
u
n n
= +
Bài 5: [ĐVH] Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
n
u
n
=
1 1
n
n u n
−
=
2 2
2 1
n
n u n
=
2
2
4
n
n n u
n n
= + +
Bài 6: [ĐVH] Chứng minh rằng dãy số 3
1
n
n u n
+
= + giảm và bị chặn
Bài 7: [ĐVH] Chứng minh rằng dãy số 1 1 1 1
n
u
n n
+ tăng và bị chặn trên
Bài 8: [ĐVH] Chứng minh rằng dãy số
2 2
1
n
n u n
+
=
− là một dãy số bị chặn