Phương pháp ACB trong chứng minh bất đẳng thức

Trong trào lưu đó, có một kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức mà có lẽ mỗi học sinh THPT đều biết đó là khảo sát hàm số theo một biến nào đó, các biến còn lại được xem là tham số.. Từ việc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN LỚP TOÁN 3A

\

Giảng viên hướng dẫn:Hoàng Tròn

Sinh viên thực hiện :Trương Quang Phú

Trong quá trình làm bài tập lớn này ngoài sự nỗ lực, cố gắng hết mình của bản thân em còn nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ phía thầy cô và các bạn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn của mình đến thầy giáo ThS Hoàng Tròn Cảm ơn thầy đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành bài tập lớn này Đồng thời xin cảm ơn các bạn đã có những góp

ý giúp em hoàn thành bài tập lớn này

Em xin chân thành cảm ơn

Trương Quang Phú

A-Đặt vấn đề:

Đã từ lâu, bất đẳng thức luôn là một chủ tuyến hết sức quan trọng của toán học; đây cũng là môn học đòi hỏi sự nhạy bén linh hoạt của người làm toán, học toán Do đó, một số lượng lớn người làm toán từ học sinh THCS, THPT, sinh viên đến giáo viên và cả những người nghiên cứu toán học phổ thông đã bị thu hút vào khám phá môn học đầy lí thú này Cũng do đó mà ngày nay trên thế giới nói chung, Việt Nam nói riêng có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, từ những phương pháp cổ điển, cận đại đến hiện đại Trong trào lưu đó, có một kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức mà có lẽ mỗi học sinh THPT đều biết đó là khảo sát hàm số theo một biến nào đó, các biến còn lại được xem là tham số Tuy nhiên, khi chứng minh bất đẳng thức ba biến a, b, c đối xứng nếu sử dụng kĩ thuật trên là một khó khăn lớn Theo quy luật của tự nhiên, gặp cản trở thì nguờii ta tìm cách giải quyết nó, thế là một cách giải quyết vấn đề khó khăn của chúng ta được đưa

ra Người ta đưa hàm f(a,b,c) theo biến a, b, c về hàm g(abc, a+b+c, ab+bc+ca) theo các biến abc, a+b+c, ab+bc+ca, sau đó tiến hành khảo sát hàm g theo biến abc với các đại lượng a+b+c, ab+bc+ca cố định Từ việc khảo sát hàm g ta biết được hình thù của bộ số (a, b, c) như thế nào khi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất và từ đó chuyển bài toán bất đẳng thức ba biến về bất đẳng thức hai biến mà ta có thể giải được dễ dàng Như thế là một phương pháp mới ra đời: Phương pháp ABC ( Abstract concreteness) Đây chính là một trong sáu viên kim cương của bất đẳng thức hiện đại Chắc hẳn mỗi người trong chúng ta sẽ cảm thấy hạnh phúc và thích thú biết bao khi hàng loạt bất đẳng thức được chứng minh nhờ phương pháp này trong khi trước đây ta phải cặm cụi đem giấy nháp ra ngồi biến đổi một cách khó khăn Nào bây giờ chúng ta hãy thực hiện hành trình để xem xét cơ sở lí thuyết của viên kim cương ABC và xem nó ứng dụng như thế nào nhé!

iv) Có thể chuyển bộ ba số thực không âm (a, b, c) thành bộ ba số (abc, a+b+c, ab+bc+ca) thõa mãn ab bc can0 và có sự ràng buộc a  b c m 3 ,n  và

(3) nên bộ số ( , x y z* *, *) như trên thỏa mãn bài toán

Do tính hoán vị của bộ số ( , x y z* *, *)nên các bộ số

Như vậy ta đã chứng minh sự tồn tại các bộ số thỏa mãn mệnh đề 3

Mệnh đề 4: (mệnh đề này không chứng minh)

Mọi đa thức đối xứng f theo các biến a, b, c đều có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức

 theo các biến abc, a+b+c, ab+bc+ca và khi đó deg ( ) 1deg

3

abc f

Nhận xét:

Do mọi đa thức đối xứng f a b c( , , ) đều có thể biểu diển thành hàm g A B C( , , )trong đó

Aa b c, Bab bc ca được cố định và biến Cabc chạy trên miền xác định của

nó Tuy nhiên ở đây ta không cần biết C đạt giá trị biên khi nào mà chỉ quan tâm đến việc khi C đạt giá trị biên thì a, b, c có đặc điểm gì Mệnh đề 2 và 3 giúp ta đảm bảo được sự tồn tại a, b, c khi C đạt giá trị biên Do đó, nó là cơ sở của phương pháp ABC

Định lí 2:

Nếu f abc ab bc ca a b c( ,   ,   ) là hàm lồi trên R theo abc thì giá trị lớn nhất xảy ra khi

có hai số trong ba số a, b,c bằng nhau; còn trong tập R+ xảy ra khi có một số bằng 0 hay

có hai số bằng nhau

Định lí 3:

Nếu f abc ab bc ca a b c( ,   ,   ) là hàm lõm trên R theo abc thì giá trị nhỏ nhất xảy ra khi

có hai số trong ba số a, b,c bằng nhau; còn trong tập R+ xảy ra khi có một số bằng 0 hay

có hai số bằng nhau

Ta không chứng minh định lí này nhưng khi đọc xong các định lí thì cũng thấy rằng mệnh đề 2 và mệnh đề 3 đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh ba định lí này

2 Các hệ quả

Hệ quả 1

Giả sử hàm f abc ab bc ca a b c( ,   ,   )là hàm đa thức bậc nhất theo abc, khi đó hàm f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trong R khi có hai trong ba biến a, b,c bằng nhau; còn trong R+ thì có một biến bằng 0 hoặc hai trong ba biến bằng nhau

Hệ quả 2

Giả sử hàm f abc ab bc ca a b c( ,   ,   )là tam thức bậc hai với hệ số cao nhất dương thì f đạt giá trị lớn nhất khi có hai trong ba biến a, b,c bằng nhau; còn trong R+ thì có một biến bằng 0 hoặc hai trong ba biến bằng nhau

Hệ quả 3

Giả sử hàm f abc ab bc ca a b c( ,   ,   )là tam thức bậc hai với hệ số cao nhất âm thì f đạt giá trị nhỏ nhất khi có hai trong ba biến a, b,c bằng nhau; còn trong R+ thì có một biến bằng 0 hoặc hai trong ba biến bằng nhau

Hệ quả 4

Mọi đa thức đối xứng ba biến a, b, c có bậc bé hơn hay bằng 5 thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi có hai trong ba biến a, b,c bằng nhau; còn trong R+ thì có một biến bằng 0 hoặc hai trong ba biến bằng nhau

Hệ quả 5

Mọi đa thức đối xứng ba biến a, b, c bậc bé hơn hay bằng 8 và hệ số của 2 2 2

a b c trong biểu diễn qua dạng f abc ab bc ca a b c( ,   ,   ) dương (âm) thì đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong R khi có hai trong ba biến a, b,c bằng nhau; còn trong R+ thì có một biến bằng 0 hoặc hai trong ba biến bằng nhau

Chứng minh các hệ quả

Hệ quả 1: f abc ab bc ca a b c( ,   ,   )là hàm đa thức bậc nhất theo abc nên f đơn điệu khi

đó theo định lí 1 ta suy ra hàm f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trong R khi có hai trong ba biến a, b,c bằng nhau; còn trong R+ thì có một biến bằng 0 hoặc hai trong ba biến bằng nhau

Hệ quả 2: f abc ab bc ca a b c( ,   ,   )là tam thức bậc hai với hệ số cao nhất dương nên f

là một hàm lồi trên miền xác định của f Do đó theo định lí 2 ta suy ra f đạt giá trị lớn nhất khi có hai trong ba biến a, b,c bằng nhau; còn trong R+ thì có một biến bằng 0 hoặc hai trong ba biến bằng nhau

Hệ quả 3: f abc ab bc ca a b c( ,   ,   )là tam thức bậc hai với hệ số cao nhất âm nên f là hàm lõm Áp dụng định lí 3 ta suy ra thì f đạt giá trị nhỏ nhất khi có hai trong ba biến a, b,c bằng nhau; còn trong R+ thì có một biến bằng 0 hoặc hai trong ba biến bằng nhau

Hệ quả 4: Do hàm đối xứng bậc bé hơn 5 khi chuyển về hàm f abc ab bc ca a b c( ,   ,   )theo biến abc thì bậc của f sẽ luôn bé hơn hoặc bằng 5

3, suy ra f phải là hàm bậc nhất Áp dụng hệ quả 1 ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 5: Do hàm đối xứng bậc bé hơn 8 ( hiển nhiên ở đây bậc phải lớn hơn hoặc bằng 6

vì nếu ngược lại thì điều đó đã chứng minh ở hệ quả 4) khi chuyển về hàm

f abc ab bc ca a b c    theo biến abc thì bậc của f sẽ luôn bé hơn hoặc bằng 8

3, suy ra

f phải là tam thức bậc hai Mặc khác bậc của 2 2 2

a b c trong biểu diễn qua dạng

f abc ab bc ca a b c    thì bậc của abc phải lớn hơn 2 ( vì nếu bằng 1, hoặc bằng 2 ta

đã chứng minh ở hệ quả 4 và 5) suy ra  2.Vì hàm ( )x ax  b a, 0, 1 là hàm lồi nên f abc ab bc( ,  ca a b c,   )k abc( ) h với k>0 phải là hàm lồi Áp dụng định lí 2 ta

có điều phải chứng minh

Nhận xét: Như vậy việc so sánh một biểu thức với số 0 ta qui về việc so sánh giá trị

lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy với số 0

3 Một số đẳng thức thường dùng trong chứng minh

Đặt a  x y z b, xyyzzx c, xyz Khi đó ta có các đẳng thức sau:

(xyz y)(  z x z)(  x y) a 4ab8c

4 Hệ thống các bài tập ứng dụng phương pháp

Trong phần này ta đặt a x yz, bxyyzzx, cxyz

1 Bài tập minh họa:

1 Cho x,y,z là các số dương Chứng minh rằng:

a) Ta có bất đẳng thức tương đương với

    , trong đó m , n là các hằng số phụ thuộc vào a và b, không chứa c

Do P là hàm bậc nhất nên P đạt giá trị nhỏ nhất khi trong hai trong ba biến x, y, z bằng nhau; hoặc một biến bằng 0 Như vậy để chứng minh bất đẳng thức ta chỉ cần chứng minh giá trị nhỏ nhất của P luôn lớn hơn hoặc bằng 0 là đủ

Trường hợp 1: Hai trong ba biến bằng nhau Giả sử là y = z, khi đó ta có:

Vậy minP 0 nên P0 x y z, , 0 Do đó bất đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có bất đẳng thức tương đương với

Trường hợp 1: Hai biến bằng nhau Giả sử y = z , khi đó ta có:

 3 3 22 2 22 2 2 22

 3 3 2 2

Q  x y x y  x y

Vậy minQ0 nên Q0 x,y,z 0 Bất đẳng thức được chứng minh 

2 Chứng minh rằng với các số dương tùy ý x, y, z ta có bất đẳng thức sau:

2 2 2

x y z x y z x y z xyz  xyz (2) Giải:

P a  b a a  ab c  c  c a  ab Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi trong

ba biến x, y, z có hai biến bàng nhau hoặc có một biến bằng nhau

Trường hợp 1: Có hai biến bằng nhau Ta giả sử y = z, khi đó ta có

Vậy maxP0 nên P0 x y z, , 0 Bất đẳng thức được chứng minh.

3 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh rằng:  

Bất đẳng thức đã cho được viết lại như sau:  2 2 23  3 3 32

P x y z  x y z Biểu thức P được biểu diễn lại như sau:  2 3  3 2 2

với mọi x, y dương

Như vậy maxP0 nên P0 vói mọi x, y, z dương Vậy bất đảng thức được chứng

minh.

4 Cho x, y , z là các số thực bất kì thõa mãn 2 2 2

9

x y z  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Q2(x y z)xyz

Giải

Vì P là hàm bậc nhất theo biến xyz nên Q đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi một trong ba biến x, y, z có hai biến bằng nhau Giả sử y = z , khi đó ta có thể chuyển về bài toán sau: Cho x, y là các số thực thõa mãn 2 2

Vậy minQ  6 đạt được tại 3, 0, 0 và maxQ 10đạt được tại 1, 2, 2

5 Cho m, n, p là các số thực dương thõa mãn 2 2 2

1

m n p  Chứng minh rằng

3m 3 n 3 p 3

m npn pm p mn  (5) Đặt x mp,y pn,z mn

Bất đẳng thức (5.1) được viết lại như sau:

S xyz yzx  yzx zxy  zxy xyz  xyz yzx zxy  Và biểu thúc S biểu diễn dưới dạng hàm theo các biến a, b, c như sau

2 2 2

3 (6 3 6 5 ) 3

S   c   a  b a c b ab bTheo hệ quả 5 thì S đạt giá trị nhỏ nhất khi trong ba biến có hai biến bằng nhau hoặc có một biến bằng 0 Như vậy để chứng bất đảng thức (5.1) ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trong trường hợp hai biến bằng nhau hoặc một biến bằng 0

Trường hợp 1: Hai biến bằng nhau Không mất tính tổng quát ta giả sử y = z khi đó ta cần

y



ta có thể biểu diễn

1

2 (1y y ) 3(1 y ) 2y (1 y ) 6y S

Vậy minS 0.Do đó S0 x y z, , sao cho xyyzzx1

Ta chứng minh được S0 x y z, , sao cho xyyzzx1 đồng nghĩa với việc chứng minh bất đảng thức (5) là đúng với mọi n, m, p dương sao cho 2 2 2

7 Cho các số thực không âm x, y, z thõa mãn x y z 2 Chứng minh rằng

0 x y3  y z3 z x3  xy3 yz3zx3  (7) 2

Giải

Do x, y, z là các số thực không âm nên 0 x yy zz x xy  yz zx là hiển nhiên Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức 0 x y3  y z3 z x3  xy3 yz3zx3

Bình phương hai vế, và biểu diễn theo các biến a, b, c ta có

28c (32 30 b8b c b)   c b 2b227c  c 0, trong đó  là các hàm theo biến a, b và không chứa ẩn c

Đặt S 27c2 c Khi đó theo hệ quả định lí 5 thì S đạt giá trị lớn nhất khi trong ba biến x, y,z phải có hai biến bằng nhau hoặc có một biến bằng 0

Trường hợp 1: Hai biến bằng nhau: Giả sử y = z, khi đó ta cần chứng minh:

Trường hợp 2: Một biến bằng 0 Giả sử z = 0 khi đó ta cần chứng minh xy 1 với mọi

x, y không âm và thỏa mãn x + y=2 thật vậy, áp dụng bất đẳng thức cauchy ta sẽ có được điều này

8 Cho x, y, z là các số thực thõa mãn x2 y2 z2  Chứng minh rằng: 2

2 2

x  y z xyz  (8) Giải:

Bình phương hai vế của bất đẳng thức và biểu diễn theo các ẩn a, b, c ta có

Như vậy vế trái của bất đảng thức là một đa thức bậc hai theo biến c, và hệ số của c là 2

một số dương Do đó theo hệ quả 5 thì vế trái của bất đảng thức (8) đạt giá trị lớn nhất khi trong ba biến x, y, z phải có hai biến bằng nhau Giả sử y = z, khi đó ta cần chứng minh bất đẳng thức x32y3xy2 2 2 với x, y là các số thực thõa mãn x2 2y2  2

Thật vậy, bình phương hai vế của bất đẳng thức ta có

x  y xy   x  y ( vì x2 2y2  ) 2

1 Đổi biến để đưa về bài toán theo ẩn xyz

Có một cách nghĩ là đặt biến phụ, tiến hành đổi biến để đưa về dạng đã biết

1 Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn tính chất xyz 1 Chứng minh rằng:

62

Rút gọn bất đẳng thức trên và biểu diễn theo các biến X, Y, Z với

X a b c yabbcca zabc, ta có (9X26XY Z) 2(X33XY)2 7Y3  0Đặt S là vế trái của bất đẳng thức khi đó S là hàm bậc nhất theo biến Z ÁP dụng hệ quả 1

ta có S đạt giá trị nhỏ nhất khi trong ba biến a, b, c có hai biến băng nhau hoặc có một biến bằng 0

Trường hợp 1: Hai biến bằng nhau Giả sử b = c, khi đó ta cần chứng minh:

Vậy

2

2 2 2min 2 a b c 12 3a b c 7 a b b c c a 0

Do đa thức S là hàm bậc hai theo biến Z và hệ số của Z2 là một số âm nên theo hệ quả 5 ta

có giá trị nhỏ nhất của S đạt được khi trong ba biến a, b, c có hai biến bằng nhau hoặc có một biến bằng 0

Trường hợp 1: Hai biến bằng nhau Giả sử y = z, khi đó ta cần chứng minh bất đẳng thức

Điều này là hiển nhiên

Do đó minS 0 nên S 0 với mọi a, b, c dương Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.

Tuy nhiên không phải bất đẳng thức nào cũng có thể đổi biến số để loại bỏ điều kiện được như vậy hai ví dụ mà ta vừa xét xong Hai định lí sau đây giúp ta giải quyết những khó khăn này

2 Định lí ABC mở rộng

Định lí 1

Cho x, y, z là các số thực hoặc là các số thực dương Khi đó nếu đại lượng xyz, x+y+z đã được cho trước (nghĩa là đã được cố định sẵn) thì đại lượng xy+yz+zx sẽ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi có hai trong ba biến x, y, z bằng nhau

Định lí 2

Cho x, y, z đồng thời là các số thực dương Khi đó nếu đại lượng xyz xy, yzzx được

cho trước ( nghĩa là đã cố định sẵn) thì đại lượng x y sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi có z

hai trong ba biến x, y, z bằng nhau

   khi đó ta có thể chuyển bài toán về trường hợp ban đầu

Vậy quan tâm đến giả thiết x y z 1,xyzm, đặt S xy yz zx

Xét phương trình bậc ba f X( ) X3 X2 2SX  m 0

Bây giờ ta sẽ xem xét khi S đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất thì hình thù của bộ số (x, y, z) sẽ

như thế nào Như đã nói ở trên Smin,Smax và Smin,Smax là nghiệm của

hai biến bằng nhau

Trong trường hợp bộ số ( , , )x y z R3, thì cũng lập luận tương tự như trên ta cũng có S

đạt min, max khi trong ba biến x, y, z phải có hai biến bằng nhau

Chứng minh định lí 2:

Cũng cách lập luận tương tự như chứng minh định lí 1 Ta có thể chứng minh định lí 2

Phần chứng minh định lí 1, và định lí 2 đã được chứng minh trong cuốn “Những viên kim

cương trong bất đẳng thức toán học” của tác giả Trần Phương

3 Bài tập minh họa:

1 Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn xyz 1 Chứng minh rằng:

1

1 x y 1 yz 1 z x 

Giải:

1 x y 1yz 1 z x   tương đương với

(1yz)(1 z x)(1 x y)(1 z x) (1  x y)(1 yz) (1  x y)(1 yz)(1 z x)0Thật vậy, gọi S là vế trái của bất đẳng thức khi đó ta biểu diễn S theo các biến

a x yz b xyyzzx c xyz thì S là hàm bậc nhất theo biến b Do đo S đạt giá trị

lớn nhất khi b đạt giá trị lớn nhất Khi đó trong ba biến x, y, z có hai biến bằng nhau Giả

2(1 2 )(1 y yx)(1 x y) (1 x y) (1 2 ) y 0vói điều kiện x, y là các số thực dương thõa mãn xy  2 1