TOAN CAO CAP TAP HAI

DAI HOC DA NANG TRUONG D� HQC BACH KHOA c,mllJc,m TAP HAI.. PHEP TINH GIAI TICH MQT BIEN SO Tai ban lin thtr mll'oi NGUYEN DINH TRI Chu bien Da Ning nii.m 2016... Nhu v�y cac ham so

DAI HOC DA NANG

TRUONG D� HQC BACH KHOA

c,m)llJc,m)

TAP HAI

PHEP TINH GIAI TICH MQT BIEN SO

(Tai ban lin thtr mll'oi)

NGUYEN DINH TRI (Chu bien)

Da Ning nii.m 2016

NGUYEN DINH TRI (chu bien)

TA VAN 8TNH - NGUYEN HO QUYNH

TOAN HOC CAO c;{p

T!PHAI

, I' ? I' A A.I' Al'

PHEP TINH GIAI TICH MQT BIEN SO

(Tai bd11 Mn tlu'r tam co chinh Ii)

' ,.,,., ? ,

, NHAXUAT BAN GIAO DVC

suy _ra 2 - arctgx = arctg x

Cung l�p lu�n tucmg ti, v&i x < 0, suy ra (i).

(ii) Theo gia thiet, ta c6 :

57

17 1 T = 2;, 2 T = 21t, �� T = 61t, 4 T = n, 5: khong tuan hoim,

6 T = n, 7 khong tuan hoan

70

lnx = �!: va lgx =

1�7 o ; vOi lge = 0,434294

lglO 1 lnlO = -1 - = -

1- = 2,302585

ge genghia la : lnx = 2,.302585lgx va lgx = 0,434294lnx

Tir ca so e, ta xay d{!ng ham so mu y = ex, la ham so rat hay g�ptrong cac bai giang ve sau ; tu ham so ex l�i xay d , _ �� w � - hypebon djnh nghia nhu sau :

Ham so chx d9c la ham so cos hypebon :

(3.8) chx: = ex + e-x

2 Ham so shx d9c la ham so sin hypebon :

eX _ e-X (3.9) shx : =

2 B�n d9c c6 th� ki�m tra l�i cac cong thuc sau :

ch2x - sh2x = 1sh2x = 2shx.chx ; ch2x = ch2x + sh2xsh(x + y) = shx.chy + chx.shy ch(x + y) = chxchy + shxshy v.v

N goai ra, d� y rang chx la ham so chan va shx la ham so le nen cung de dang suy ra cong thuc cua sh(x - y) va ch(x - y), v.v Nhu v�y cac ham so hypebon ciing c6 nhfi'ng cong thuc tuong W doi vcri cac ham so vong (tuc la cac ham so luqng giac)

3.3 Gi6'i h�n m(>t phfa

Bay gio ta xet lim f(x) khi x > Xo (hfi'u h�n) khi x lu6n thoa x < Xo ho�c khi X > X0 ; khi d6 neu ton t�i lim f(X) thl ta n6i rang d6 la cac

85

Neu lim x�a f2(x) fi (x) = C (:;t: 0), viet la f 1 (x) = O(f2(X)) va n6i la fl (x) cung b�c v6i VCB f2(x)

D�c bi�t neu C = 1 thl viet f 1 (x) , , f2(x) khi x � a.·va n6i la VCB

f 1 (x) tucmg duang v6i VCB f2(x)

Neu khi x � a, c6 f(x) - f (x), g(x) - g(x) thl:

f(x) f(x)

g(x) g(x)

f(x)g(x) - I (x)g(x)

•Sif lien fl!,C cua ham so' mqt bie'n so'

Cho ham so f(x) xac djnh trong (a, b), n6i rang f(x) lien t1;1c t�i

X0 E (a, b) neu lim f(X) ;::: f(X0 )

aa -1lim = Ina a�O a

(l+af-1

111

- ' ,,.,, - , ,.,,

Chuong nay gioi thi�u ngan g9n d�o ham Va vi phan cac cap cua ham s6 mc)t bien so.

4.1 D�o ham

Djnh nghza dgo ham

Cho ham s6 f(x) xac dinh trong,khoang (a, b) n6i r&ng ham s6 f(x)

khd vi t(}i dilm C E (a, b) neu ton t�i gioi hC;lll

(4.1) x�c • x-c lim f(x)-f(c) = A,

S, , A · "·· h o ; g101 �n cua tI s6 ? ? , f(x)-f(c) , x -::t c, 1 x � c uqc g91 a kh" d · I'

x-c

d90 ham CUa lzam Slf f(x) lay t�i di�m X = C; Va kf hi�u f(c)

Neu ham so f(x) khd vi tr;zi ln<?i 'diem x e (a, b) thl ta n6i rang f(x)

khd vi trong khodng (a, b)

Truoc khi neu cac thf d9, ta neu mc)t vai nh�n xet v� tfnh kha vi cua ham s6 f(x)

= ( 3) Dr;w ham tlzeo tham so:

Cho x = f(t) la m(,t ham s6 kha vi d6i vai t, vai t e (a,�) va y,= g(t)

la ffiQt ham kha Vi d6i V<1i t, V<1i t E ·(a, �), khi d6 neu ham SO nguqc

t = r 1cx) ton t�i va neu f(t) '* 0 thl, theo dinh lf ve tfnh kha vi cuaham s6 ngugc Va tfnh kha Vi CUa ham s6 hgp, CO the SU y ra tinh kha Vicua ham so y d6i vai x Hon nii'a :

(4.6) -= dy g'(t)

dx f'(t)Th�t v�y, do tinh bat bien cua vi phan, ta c6

dy = g'(t)dt va dx = f (t)dt

Chia dy cho dx ta c6 ngay ket qua m

Thi dLJ

(a) X6t hl!m s6 X = acost, y = asint, t E ( 0, i).

Khi d6 -= -· - == �cotgt.dy · acost

dx -asint

127

· Chuung 5

cAc DINH Li VE GIA TRI TRUNG BiNH

Trong nhung m1;1c tru6c chung ta da n6i nhieu ve cac phep tinh d�O ham, Ve tinh kha Vi CUa ham s6, bay gio trong m1:}C nay chung ta xet m<)t khia c�nh ung d1;1ng : xet kha nang ton t�i m<)t gia tri trung gian cua harn s6 trong m9t khoang nao d6 va di den m(>t so dinh lf thuong c6 ten g9i la cac dinh lf ve gia tri trung blnh cua ham so.Di�m d�c bi¢t cua djnh 1i nay la.phat bi�u rat t\l' nhien, y nghia hlnh h9c cang tl.J nhien hem ; each chung minh cung don gian, nhung ph�m

vi ung d1;1ng l�i rat r<)ng rai va da d�ng Tru6c het, ta nhac l�i dinh nghia Cl.JC trj CUa ham SO Cho ham s6 f(X) xac dinh trong khoang (a, b) ; n6i rang f(x) d�t qrc d�i (Cl.JC ti�u) t�i di�m X = C, C E (a, b), neu VOi

x + �x E (a, b) ta c6 :

f(c + �x) : f( c) s O ( � 0) Diem x = c thuong duqc gQ� la diem ClfC trf cua ham so f(x) 5.1 Cac djnh Ii ve gia trj trung hlnh

do d6 c6 tM dung bat ding thuc Jensen va dugc, vai L "-k = 1

n

u·f' � re •

(*)

169

Chuung6

NGUYEN HAM VA TiCH PHAN BAT DINH

6.1 Tich phan bat djnh Cac thi d1;1 dan gian

Trong chu0ng truoc chung ta da biet rang ne\1 m¢t ham s6 f(x) kha

vi trong khoang (a, b) thl c6 d�o ham.trong (a, b) va neu _cho niqt ham

so f(x) (kha vi) thl ta c6 tM tinh duqc dr;to ham f'(x) cua n6 Bay gio

ta d�t bai toan nguqc l�i, neu cho tru6'c m¢t ham so f(x) xac dinh �

trong khoang (a, b), hoi rang c6 chang m¢t ham so F(x) kha vi trong (a, b) va c6 d�o ham F'(x) = f(x) hay dF(x) = f(x)dx, ya neu c6 F(x) thl tlm n6 ra sao ? Chuang nay nham tra loi cac cau hoi d6;

Dinh nghTa nguyen ham

Cho ham so f(x) xac dinh trong khoang mh (a, b); n6i rang ham so F(x) xac dinh trong (a, b) la m¢t nguyen ham ciia f(x) neu F(x) kha vi trong (a, b) va F'(x) = f(x) hay dF(x) = f(x)dx, v6'i m9i x E (a, b)