Giải toán HHKG bằng PPtoạ độ

Đặc biệt là các bài toán chứng minh quan hệ song song, vuông góc, các bài toán tính khoảng cách, xác định góc, tính diện tích của các hình, thể tích các khối.. Bằng phơng pháp này, học v

Phần I: Giới thiệu đề tài Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện cho học sinh dự thi tốt nghiệp, thi chọn học

viên giỏi Bổ túc THPT các cấp cũng nh thi Đại học - Cao đẳng, bản thân tôi nhận thấy học sinh gặp không ít khó khăn khi giải bài tập hình học không gian Đặc biệt là các bài toán chứng minh quan hệ song song, vuông góc, các bài toán tính khoảng cách, xác định góc, tính diện tích của các hình, thể tích các khối Nhất là đối với học viên khối 12 - Bổ túc Trung học phổ thông lại càng khó khăn hơn, do khả năng t duy tởng tợng hình không gian của học viên còn hạn chế Trong khi đó, rất nhiều bài toán của chơng trình GDTX cấp THPT, khi biết cách sử dụng phơng pháp tọa độ thì bài toán có thể đợc giải quyết một cách

đơn giản hơn Vì phơng pháp toạ độ có thể đợc xem nh một phơng pháp đại số hoá bài toán hình học Bằng phơng pháp này, học viên chủ yếu làm việc với các con số, không cần t duy hình học nhiều và gây hứng thú cho học viên khi giải các bài toán này

Vì lý do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài “Dùng phơng pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian”, với hy vọng cung cấp thêm một phơng pháp giải toán cho học viên.

Và qua thực tế kiểm nghiệm cũng đã chứng minh đợc đề tài này áp dụng có hiệu quả

Phần II: nội dung đề tài

i- Cơ sở khoa học

1 Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian

và các kién thức liên quan.

* Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy là hệ gồm 3 trục Ox,

Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O, với r r ri j k, ,

là các véc tơ đơn vị tơng ứng ở trên các trục Ox, Oy, Oz

* ur⊥ ⇔vr u vr r =0

* u kvr= r⇔[ ]u vr r, =0

* Công thức toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng

* Công thức toạ độ trọng tâm của tam giác

* Công thức toạ độ trọng tâm của tứ giác

* Diện tích tam giác, :

thể tích hình hộp

' ' ' '

1 , 2

, '

ABC

ABCDA B C D

∆ =  

uuur uuur uuur uuur uuur

* Các công thức tính góc

- Góc giữa hai đờng phẳng:

' cos( ; ')

'

u u

u u

∆ ∆ =

r ur

r ur với ur

,uur' lần lợt là các véctơ chỉ phơng của ∆ ∆, '

- Góc ϕ giữa đờng thẳng ∆ và mp( )α

sin

u n

u n

ϕ =

r r

r r với ur

là véctơ chỉ phơng của ∆; nr

là véctơ pháp tuyến của mp( )α

- Góc giữa mp( )α và mp( )β

'

cos

'

n n

n n

ϕ =

r ur

r ur với n nr ur, '

lần lợt là véctơ pháp tuyến của mp( )α và mp( )β .

* Các công thức tính khoảng cách:

- Khoảng cách từ 1 điểm M(x 0 , y 0 , z 0 ) đến mp( )α : Ax + By + Cz + D = 0

( ;( )) Ax By Cz D

d M

- Khoảng cách từ 1 điểm M1 đến đờng thẳng ∆ ( Qua điểm M0, có véctơ chỉ phơng ur

) là:

1

, ( , ) M M u

d M

u

∆ =

uuuuuur r

r

- Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau:

'

, ' ( , ')

, '

u u M M d

u u

∆ ∆ =

uuuuuur

r ur

r ur với ur

,uur'

lần lợt là véc tơ chỉ phơng của ∆ ∆, ';

M0, M0’ lần lợt là các điểm nằm trên ∆ ∆, '

* Phơng trình mặt phẳng (phơng trình tổng quát, phơng trình tham số, phơng trình đoạn chắn)

* Phơng trình đờng thẳng

2 Nhận dạng các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phơng pháp tọa độ:

Đó là những bài toán liên quan đến:

a Hình hộp lập phơng, Hình hộp chữ nhật

b Hình chóp tam giác SABC có SA⊥(ABC); với đáy ABC là tam giác vuông tại A

c Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

d Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SO⊥(ABCD)

e Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA⊥(ABCD).

f. Tứ diện đều, hình chóp tam giác đều

g Một số bài toán khác.

Đối với những bài toán này, giáo viên cần hớng dẫn cho học viên cách chọn một hệ trục toạ

độ thích hợp, thuận lợi cho việc xác định toạ độ các điểm để dùng phơng pháp toạ độ giải chúng

II- các bài tập điển hình:

Sau đây là một số bài tập điển hình

Bài 1: ( Bài tập T.3 trang 88, sách BT Hình học12)

Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ Gọi I, J lần lợt là trung điểm của A’D’ và B’B

a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với AC’

b) Chứng minh rằng D’B vuông góc với mp(A’C’D), D’B vuông góc với mp(ACB’)

c) Tính góc giữa hai đờng thẳng IJ và A/D

Lời giải:

a) Giả sử hình lập phơng có độ dài các cạnh bằng a

Chọn hệ trục toạ độ Axyz nh hình vẽ, đơn vị trên trục bằng đơn vị độ dài

Khi đó:

A(0;0;0) ; B(0;a;0); C(a;a;0); D(a;0;0)

A’(0;0;a) ; B’(0;a;a); C’(a;a;a); D’(a;0;a) ( ;0; ); (0; ; )

Suy ra ( ; ; )

IJ = − a −

uur

, uuuurAC' ( ; ; )= a a a

IJ AC = − a a a+ − a

uuruuuur

= 0 Vậy IJ ⊥AC'

b) Để chứng minh D B' ⊥( ' ' )A C D :

Cách 1: Ta chứng minhD B' ⊥A C D B' '; ' ⊥A D'

Ta có: D Buuuur' = −( a a a; ;− ) ;uuuuurA C' ' ( ; ;0)= a a ; uuuurA D' =( ;0;a −a)

' ' ' 0

D B A C =

uuuur uuuuur

⇒ D B' ⊥A C' '

' ' 0

D B A D=

uuuur uuuur

⇒ D B' ⊥ A D' Nên D B' ⊥( ' ' )A C D

Cách 2: Ta có:

' ' ( ; ;0); ' ( ;0; )

0 0

uuuuur uuuur

uuuuur uuuur

Mặt phẳng (A’C’D) có véctơ pháp tuyến n 12 A C A D' ', ' ( 1;1; 1)

r uuuuuruuuur

Đờng thẳng D’B có véctơ chỉ phơng u 1 'D B ( 1;1; 1)

a

r uuuur

Suy ra n ur r= nên đờng thẳng D’B⊥(A’C’D)

Tơng tự ta chứng minh đợc D B' ⊥(ACB').

c) Gọi ϕ là góc giữa hai đờng thẳng IJ và A’D thì

.0 ( )

2 6

2

IJ A D

IJ A D

a

π

uuruuuur uur uuuur

uur uuuur

Có thể nhận xét: ' 0 ( , ' )

2

IJ A D= ⇒ IJ A D =π uuruuuur

Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a.

a) Chứng minh rằng giao điểm của đờng chéo A’C và mp (AB’D’) là trọng tâm tam giác AB’D’

b) Tìm khoảng cách giữa hai mp (AB’D’) và mp (C’BD)

c)Tìm góc tạo bởi hai mp (DA’C) và mp (ABB’A’)

Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ (Đơn vị trên trục là đơn vị độ dài)

Khi đó: A(0;0;0); B(a;0;0) ; C(a;a;0) ; D(0;a;0);

A’(0;0;a); B’(a;0;a); C’(a;a;a) ; D’(0;a;a)

a) Ta có: uuuurA C' =( ; ;a a a− )

⇒Đờng thẳng A’C có véc tơ chỉ phơng:

1

' (1;1; 1)

a

r uuuur

⇒Đờng thẳng A’C có phơng trình tham số là: x = t;

y = t; z = a - t (1)

' ( ;0; ); ' (0; ; )

AB = a a AD = a a

uuuur uuuur

0 0

a a a a

uuuur uuuur

⇒ Mặt phẳng (AB’D’) có véc tơ pháp tuyến n 12 AB AD', ' (1;1; 1)

r uuuuruuuur

⇒ Mặt phẳng (AB’D’) có phơng trình là x + y - z = 0 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ giao điểm G của A’C và (AB’D’) là ( ; ;2 )

3 3 3

a a a

Mặt khác nếu G’ là trọng tâm tam giác AB’D’ thì '( ; ;2 )

3 3 3

a a a G

Tức là G G≡ ' Vậy G là trọng tâm tam giác AB’D’

b)Phơng trình mp(C’BD) là x + y - z - a = 0

Suy ra mp(C’BD)//mp(AB’D’)

Do đó khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ G tới (C’BD) và bằng :

2

3

3 3 3

3 3

1 1 1

a

+ +

c)Mặt phẳng(ABB’A’) có phơng trình là y = 0

Mặt phẳng(DA’C) có phơng trình là y + z - a = 0

Gọi ϕ là góc giữa 2 mặt phẳng trên Khi đó:

1.1 0.1 1

cos

4

1 1 1 2

π

+

Bài 3: ( Đề thi Đại học Ngoại thơng TP Hồ Chí Minh 2001-2002)

Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’, cạnh bằng a

Giả sử M,N lần lợt là trung điểm của BC và DD’

a) Chứng minh rằng MN// (A’BD)

b) Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng BD và MN theo a

Lời giải:

Ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình vẽ (Đơn vị trên trục là đơn vị độ dài)

Khi đó: A≡O ; A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; D(0;a;0); A’(0;0;a) ; D’(0;a;a); M(a;

2

a

;0); N(0;a;

2

a

)

a) mp(A’BD) có véctơ pháp tuyến nr(1;1;1)

; mặt khác ( ; ; )

2 2

a a

MN a−

uuuur

2 2

a a

n MNr uuuur= − + + =a ⇒ ⊥nr MNuuuur

Hay MN//mp(A’BD)

b) Mặt phẳng (A/BD) có phơng trình: x

+ y + z - a = 0

Vì MN//(A’BD)⊃BD và MN, BD chéo nhau

0

3 2

( ; ) ( ;( ' ))

6

1 1 1

a

a

d BD MN d M A BD

+ + −

+ + Trong bài toán ta có thể chọn hệ trục toạ độ khác

nhng khi lập phơng trình mp(A’BD) ta phải tính toạ

độ véctơ pháp tuyến mà không sử dụng đợc phơng trình theo đoạn chắn nh cách chọn trên

Bài 4: ( Đề thi Học viện Công nghệ Bu chính viễn thông 2001-2002)

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB=a ; AD=2a; AA’=a

a) Gọi M là điểm nằm trong AD sao cho AM 3

MD = Tính khoảng cách từ M đến (AB’C) b) Tính thể tích tứ diện AB’D’C

Lời giải:

a) Chọn hệ trục toạ độ Đềcác Axyz nh hình vẽ

Khi đó ta có:

A(0;0;0) ; B(0;a;0) ; C( 2a;a;0) ; D(2a;0;0);

A’(0;0;a); B’(0;a;a)

C’(2a;a;a) ; D’ (2a;0;a) Vì M∈ AD thoả

mãn AM 3

MD = (3 ;0;0)

2

a M

⇒ Mp(AB’C) có phơng trình: x- 2y + 2z = 0 Do đó

khoảng cách từ M đến mp(AB’C) là:

3 2.0 2.0 2

( , ( ' ))

2

1 4 4

a

a

d M AB C

+ + b) Theo công thức

' '

', '

V = V = AB AD AC

uuuur uuuur uuur

Mà

3 ' '

' (2 ;0; ); ' (0; ; ); (2 ; ; )

AB D C

uuuur uuuur uuur

Bài 5: Bài tập số 7 Ôn tập chơng 2- SGK HH12)

Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ cạnh a Điểm M thuộc AD’ và điểm N thuộc BD sao cho AM = DN = k (0< <k a 2)

a) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất

b) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(A’D’BC) khi k biến thiên

c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đờng vuông góc chung của AD’ và DB

và MN song song với A’C

Lời giải:

a) Chọn hệ trục toạ độ Đề các Axyz nh hình vẽ Khi

đó ta có:

A(0;0;0); B(a;0;0) ; C( a;a;0);

D(0;a;0); A’(0;0;a); D’(0;a;a) ;

0; ;

a

uuuur uuuur

a

uuur uuur uuur

2

( )k 3 2 2 (0<k<a 2)

f = k − a k a+ Đoạn thẳng MN nhỏ nhất ⇔ f( )k nhỏ nhất 2

3

a k

⇔ = b) mp(A’D’BC) có véc tơ pháp tuyến

2 2

2 2

−

r uuuur uuuur uuuur

r uuuur

Đờng thẳng MN song song với mặt phẳng(A’D’BC)

c) Khi MN ngắn nhất thì theo câu a : 2

3

a

k= Khi đó

; ; ; ' 0; ; ; ( ; ;0)

3 3 3

.( ) ( ).0 0

a a a

uuuuruuuur uuuur uuuur

Vậy MN là đờng vuông góc chung của AD’ và BD

Ta có uuuurA C' =( ; ;a a a− =) 3MNuuuur⇒MN A C// '

Bài 6: Tính khoảng cách giữa đờng chéo của một hình lập phơng và đờng chéo của một mặt

bên nếu chúng không cắt nhau, biết rằng cạnh của hình lập phơng bằng a

Lời giải:

Giả sử hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ cạnh a Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz nh hình vẽ

O≡A, đơn vị trên trục là đơn vị độ dài.

Ta tìm khoảng cách giữa đờng chéo D’B của hình lập

phơng và đờng chéo AB’ của mặt bên (ABB’A’)

Với hệ toạ độ đã chọn ta có:

A(0;0;0) ; B(0;a;0) ; C(a;a;0); B’(0;a;a); D’(a;0;a)

Đờng thẳng AB’ có véctơ chỉ phơng u 1AB' (0;1;1)

a

r uuuur

và

đi qua điểm A(0;0;0)

Đờng thẳng D’B có véctơ chỉ phơng

1

' ' (1; 1;1)

a

ur uuuur

và đi qua điểm B(0;a;0)

(0; ;0)

1 1 1 0 0 1

1 1 1 1 1 1

u u

=

uuur

r ur

Vận dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau ta có:

, ' 2.0 1. 1.0 ( '; ' )

6

2 1 1 '

d AB D B

u u

r ur uuur

r ur

Bài 7: Cho tam giác OAB vuông tại O, trên đờng thẳng vuông góc với (OAB) tại O lấy

điểm C

a) Chứng minh rằng tứ diện OABC có 3 cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau

b) Từ O vẽ OH ⊥(ABC) tại H Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC

c) Chứng minh rằng 1 2 12 12 12

OH =OA +OB +OC

Lời giải:

Giả sử OA= a, OB= b, OC= c

Chọn hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz nh hình vẽ Ta có:

A(a;0;0); B(0;b;0) C(0;0;c)

Bằng phơng pháp toạ độ, dễ dàng chứng minh đợc

cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau

b)Vì A,B,C lần lợt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz nên

mp(ABC) có phơng trình

1

x y z

a b+ + =c (1)

Vì OH ⊥(ABC) nên OH có véctơ chỉ phơng là u( ; ; )1 1 1

a b c

r

Do đó phơng trình tham số của đờng thẳng OH: x 1t y; 1t z; 1t

= = = (2) Vì H OH= ∩(ABC) nên toạ độ H(x;y;z) là nghiệm của hệ gồm (1) , (2)

1 1 1

Do đó:

H

uuur

uuur uuur

Tơng tự ta cũng chứng minh đợc BH⊥AC Vậy H là trực tâm ∆ABC

c) Ta có:

2

1 1 1

1 1 1

OH

Bài 8: ( Bài tập số 9 bài 9 Góc SGK Hình 12)

Cho tứ diện OABC có các mặt OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông tại đỉnh O Gọi α β γ, , là góc lần lợt hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABC có 3 góc nhọn

b) cos2α +cos2β+cos2γ =1

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ Giả sử OA=a, OB=b, OC=c;

Khi đó A=(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c);

a) Ta có:

2

( ; ;0); ( ;0; )

uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

⇒ góc A∧ nhọn

Chứng minh tơng tự ta cũng có góc B và góc C nhọn

Suy ra ∆ABC có 3 góc nhọn

b)Phơng trình mặt (ABC) là: x y z 1

a b+ + =c

Phơng trình các mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB); lần

l-ợt là x=0; y=0; z=0

Véctơ pháp tuyến của các mặt phẳng (ABC); (OBC);

(OCA); (OAB); lần lợt là:

1 1 1

; ; ; (1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)

a b c

Do đó :

cos cos cos

n n

α + β+ γ =  ữ +  ữ + ữ

r uur

r ur r uur

r ur r uur r uur

1 a1 1 1 b1 1 1 c1 1

Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a; đờng cao bằng b Tính

khoảng cách từ S đến mặt phẳng đi qua AB và trung điểm M của cạnh SC

Lời giải:

Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên đáy ABCD

là hình vuông và chân đờng cao hạ từ S là tâm O của

đáy; SO ⊥(ABCD)

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình vẽ (với I, J lần lợt

là trung điểm AB, BC)

Khi đó ta có: A( ; ;0)

2 2

a −a

; B( ; ;0)

2 2

a a

; C( ; ;0)

2 2

a a

−

;

D( ; ;0)

2 2

a a

− −

; S(0;0;b)

M là trung điểm SC nên M( ; ; )

4 4 2

a a b

−

; uuurAB(0; ;0)a

;

3 3

( ; ; )

4 4 2

a a b

AM −

uuuur

AB AM

uuur uuuur

=

=( ;0;3 2)

Mặt phẳng (ABM) đi qua A( ; ;0)

2 2

a −a

nhận véctơ n= AB AM, 

r uuur uuuur

làm véctơ pháp tuyến Phơng trình mặt phẳng (ABM):

2

3

3

0

x+ z− = ⇔ 2abx + 3a2z - a2b = 0

Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABM) là: d =

=

Đối với bài toán trên ta có thể chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho tia Ox là tia OA, tia Oy là tia OB cũng có thể giải quyết đợc

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnh bằng a; đờng

cao SO ⊥mp(ABCD) và SO = a Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau SC, AB.

Giải: Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ, ( với I,J lần lợt là trung điểm AB, BC) đơn vị trên trục

là đơn vị độ dài

Khi đó: A( ; ;0)

2 2

a −a

; B( ; ;0)

2 2

a a

; C( ; ;0)

2 2

a a

−

; D( ; ;0)

2 2

a a

− −

; S(0;0;a)

Đờng thẳng SC có véctơ chỉ phơng là: ( ; ; )

2 2

a a

SC − −a

uuur

Đờng thẳng AB có véctơ chỉ phơng: uuurAB(0; ;0)a

Ta có: SC ABuuur uuur, = 2 ; 2 ; 2 2

( ;0; )

2

a

( ;0;0)

BC a−

uuur

Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau SC và AB là:

,

SC AB BC

SC AB

uuur uuur uuur

uuur uuur =

2 2

4 4

.( ) 0.0 0

2 0 4

a

a a

+ +

=

3

2

a

5

a

(đvđd)

Bài 11: ( Đề thi Đại học- Cao đẳng khối B 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA= a; AD = a 2 và SA

⊥ mp(ABCD) Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC a) Chứng minh rằng mp(SAC) ⊥ (SMB)

b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ Axyz nh hình vẽ

Khi đó ta có:

A(0;0;0); B(a;0;0); D(0; a 2;0); S(0;0;a);

C(a; a 2 ;0)

M(0; 2

2

a ;0); N( ; 2;

2 2 2

a a a) mp(SAC) có véctơ pháp tuyến

n =AS AC= −a a

uur uuur uuur

mp(SMB) có véctơ pháp tuyến

2 2

uur uuur uur

n n = ⇒mp SAC ⊥mp SMB

uuruur

b) Phơng trình đờng thẳng BM: 2

2 0

x a at a

z

= −





 =





=



Phơng trình đờng thẳng AC:

'

2 ' 0

x at

y a t z

=





=





; ;0

3 3

a

Thể tích tứ diện ANIB là:

1 , 6

ANIB

V = AN AB AI

uuur uuur uur

=

a a+ a −a = a

Bài 12: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh SA⊥mp(ABC) ;

SA = 2a

Gọi( )α là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC.

Tìm diện tích thiết diện của tứ diện S.ABC tạo bởi mp( )α

Lời giải Vì ∆ ABC đều nên BI ⊥ AC Mặt khác BI ⊥ SA ⇒ BI ⊥ mp(SAC)

⇒ BI ⊥ SC (1).

Trong (SAC) kẻ IK ⊥SC tại K (2)

Từ (1) và (2)⇒SC ⊥mp BKI( )

Khi đó ta có ∆ BIK chính là thiết diện của tứ diện SABC bị cắt bởi mp( )α qua B và vuông góc với SC

Ta chọn hệ trục toạ độ Axyz nh hình vẽ

Ta có: A(0;0;0) B( ; 3;0

2 2

a a

); C(a;0;0) ; S(0;0;2a) Gọi I là trung điểm AC ( ;0;0)

2

a I

⇒ Mặt phẳng (BIK) qua I và nhận véctơ SC auuur( ;0; 2 )− a l

àm véctơ pháp tuyến nên có phơng trình:

a x − + y− − a z− = ⇔ax− az− =

2x 4z a 0

⇔ − − = ( Vì a>0)

Phơng trình tham số của đờng thẳng SC: 0

2 2

x at y

z a at

=





 = −

 ( )

K =SC∩ BIK nên toạ độ K là nghiệm x, y, z của hệ:

x at

z a at

=





 − − =



Vì ∆IBK vuông ở I (do BI ⊥mp(SAC) ⇒ BI ⊥ IK )

BIK

Không chỉ giải đợc những bài toán trong giả thiết có xuất hiện quan hệ vuông góc mà bằng cách chọn hệ toạ độ thích hợp ta cũng có thể giải đợc một số bài toán chứng minh khác trong giả thiết cha có sẵn các yếu tố xuất hiện hệ trục toạ độ

Hai ví dụ sau minh hoạ điều đó

Bài 13 : Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm.

a) Chứng minh rằng đờng thẳng đi qua G

và một đỉnh của tứ diện cũng đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó

b) Gọi A’ là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh rằng 3

'

GA

GA =

Lời giải :

a) Trong hệ trục toạ độ Oxyz

Giả sử A(x1;y1;z1); B(x2;y2;z2); C(x3;y3;z3); D(x4;y4;z4) G là trọng tâm của tứ diện

1

4

;

G

uuur uuur uuur uuur uuur

Ta có A’ là trọng tâm của tam giác BCD