giai toan hhkg bang hhgt

Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Bắc Ninh Trờng THPT Lý thờng kiệt đề tài : Giải một số bài toán hình chóp tam giác và hình chóp tứ giác bằng phơng pháp toạ độ Giáo viên: Đặng Thị Thuỷ... A

Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Bắc Ninh

Trờng THPT Lý thờng kiệt

đề tài : Giải một số bài toán hình chóp tam giác và hình chóp tứ giác bằng phơng pháp toạ độ

Giáo viên: Đặng Thị Thuỷ

A.phần mở đầu

Môn hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh nói chung và đối với học sinh trờng THPT Lý Thờng Kiệt nói riêng Qua qua trình dạy học tôi thấy nhiều học sinh không có hứng thú học môn học này

Bên cạnh đó học hình học giải tích các em hứng thú học hơn và có hiệu quả hơn Xét thấy rằng có những bài toán HHKG sử dụng phơng pháp “toạ độ hoá”để giải thì đơn giản hơn và học sinh hiểu bài và làm bài tốt hơn

Xuất phỏt từ thực tế trờn trong quỏ trỡnh giảng dạy phần kiến thức này tụi đó nghiờn cứu tỡm cỏch giỳp cỏc em học sinh năm vững kiến thức đồng thời tạo sự hỳng thỳ say mờ tỡm tũi trong học tập Trong khuôn khổ cho phép tôi lựa chọn một số bài toán về hình chóp tam giác và hình chóp tứ giác giải đợc bằng phơng pháp toạ độ

Một số bài toán hình chóp tam giác và hình chóp tứ giác

Giúp học sinh nắm chắc các bớc chuyển đổi :

- Chọn hệ toạ độ phù hợp đối với từng loại bài

- Tính toạ độ các điểm có liên quan theo hệ toạ độ vừa chọn

- Thể hiện giả thiết của bài toán theo cách thức của Hình học giải tích

- Giải quyết kết luận của bài toán theo cách thức của Hình học giải tích Cần lu ý rằng có rất nhiều bài toán HHKG gặp khó khăn khi chuyển sang HHGT.Ph-

ơng pháp toạ độ hoá bài toán HHKG khá hữu hiệu trong việc giải toán HHKG tuy vậy không nên tuyệt đối hoá nó

- Sưu tầm nghiờn cứu cỏc tài liệu liờn quan đến đề tài

- Khảo sỏt tỡnh hỡnh học tập của học sinh

B.nội dung i) hình chóp tam giác

1) Đối với tứ diện ABCD có

AB,AC,AD đôi một vuộng góc ta chọn

hệ trục nh sau:

Oz D Oy C Ox B

O

A≡ ; ∈ ; ∈ ; ∈

2)Đối với hình chóp SABC có đáy là

tam giác vuống tại B , SA vuộng góc

với đáy

Ta chọn hệ trục Oxyz nh sau:

B ≡O;A∈Ox;C∈Oy;AS//Oz

3)Đối với hình chóp SABC đều Ta chọn

hệ trục Oxyz nh sau:

O là trọng tâm tam giác ABC ;

BC Oy Oz

z

x

y B

4) Đối với hình chóp SABC có đáy là

tam giác đều Ta chọn hệ trục Oxyz

nh sau:

Oz S Oy;

I.2 Một số bài tập áp dụng

Bài 1 Cho tứ diện ABCD có AD ⊥( ABC),AC=AD=4;AB=3;BC=5.Tính khoảng cách từ

3x+ y+ z = ⇔ x+ y+ z− =

Vậy khoảng cách từ A đến (BCD) là d( A,(BCD)) =

34 12

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,đòng cao AD và

AB=2;AC =4 SA vuông góc với đáy,SA=6 Gọi E,F lần lợt là trung điểm của SB,SC và

B

C

4

; 5 8

Phơng trình đờng thẳng EF là x = 1-t ; y= 2t ; z= 3

Vì H∈ E F nên H( 1-t; 2t;3)

) 3

; 5

2

; 5

4 ( 5

1 t 0 4t t) - -1(1

H

Dễ thấy H là trung điểm của SD

2) Mặt phẳng ( ABC) có vectơ pháp tuyến là k = ( 0 ; 0 ; 1 )

Mặt phẳng ( ACE) có vectơ pháp tuyến là n =[AC ; AE]= ( 12 ; 0 ; − 4 )

Gọi α là góc giữa ( ABC) và ( ACE) Ta có

10

1 10 4

4 cos α = =

Vậy VABCFE =VSABC −VSAEF = 6

Bài 4 : Cho hình chóp O.ABC có OA=a,OB=b,OC=2 vuông góc với nhau từng đôi một

FH

Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của BC,CA,AB

1)Tính góc giữa ( OMN) và ( OAB)

2)Tìm điều kiện của a,b,c để hình chiếu của O trên ( ABC) là trọng tâm tam giác ANP

3) C/m Góc phẳng nhị diện [N,OM,P] vuông khi và chỉ khi 2 2 2

1 1 1

c b

a = +H

c b

; N( )

2

; 0

; 2

c a

; P( ; 0 )

2

; 2

b a

1) Mặt phẳng ( OAB) có pháp vectơ là k = ( 0 ; 0 ; 1 )

Mặt phẳng ( OMN) có pháp vectơ là n = (bc;ac; −ab)

Gọi α là góc giữa ( OAB) và (OMN) Ta có 2 2 2 2 2 2

2 2

cos

a c c b b a

b a

+ +

= α

2) Gọi H( x;y;z) là hình chiếu của O lên ( ABC)

c ab z

c a c b b a

c b a y

a c c b b a

b c a x

+ +

= +

+

= +

; 6

a c b

C

O

x

yz

A

B

MN

P

Để H là trọng tâm tam giác ANP thì

= + +

= + +

2 3

2 6 6

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

b a

c b

a ac cb ba

c ab

c ac cb ba

cb a

b ac cb ba

bc a

Mặt phẳng ( OMN) có pháp vectơ là n1 = (ac; −ab;bc)

Mặt phẳng ( OMP) có pháp vectơ là n2 = (ac; −ab; −bc)

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

1

1 1 1 0

.

a c b c b b a c a

n

Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A và đờng thẳng d vuông góc với ( ABC) tại A.các

điểm M,N thay đổi trên d sao cho (MBC) ⊥ (NBC)

a) C/m AM.AN không đổi

b) Xác định vị trí của M,N để tứ diện MNBC có thể tích nhỏ nhất

H

ớng dẫn giải:

Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ đặt AB = b; AC = c ; AM=m ( b,c không đổi)

Khi đó A(0;0;0) ; B(b;0;0) ; C( 0;c;0) ; M( 0;0;m) Giả sử N(0;0;n)

Ta có mặt phẳng (MBC) có pháp vectơ là (1;1; 1)

m c b

= α

Mặt phẳng (NBC) có pháp vectơ là (1;1;1)

n c b

= β

z

Vậy ( ) ( ) 0 2 2 22

c b

c b mn NBC

c b n m

+

= không đổib) Ta có BC = ( −b;c; 0 );BM = ( −b; 0 ;m);BN = ( −b; 0 ;n);[BM,BN]= ( 0 ;bn−bm; 0 )

2 2

3

1 ) (

2 6

1 ) ( 6

1

c b

c b n

m bc m

n bc

bc

+

Vậy VMNBC nhỏ nhất khi M,N nằm về hai phía của A và AM =AN=AB.ACBC

Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với

đáy; <ACB=600, BC=a, SA=a 3 Gọi M là trung điểm cạnh SB C/m (SAB) ⊥ (SBC)

và tính thể tích khối tứ diện MABC

; 2

S

A

CM

Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽKhi đó B(0;0;0) ; A(

)

; 0

; 2 ( );

0

; 2

; 0 ( );

0

; 0

2 a

a

a) Mặt phẳng ( SAB) có pháp vectơ là

) 0

; 1

; 0 (

=

j

Mặt phẳng ( SBC) có pháp vectơ là

) 2

; 0

; 1

d (I,( SBC)) =

3 2

2

a

Bài 8: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = SA =6 Cạnh

SA vuông góc với đáy, AH vuông góc với SB tại H,AK vuông góc với SC tại K

1)C/m HK vuông góc với SC

2)Gọi I là giao điểm của HK và BC.C/m B là trung điểm của CI

3)Tính sin của góc giữa SB và ( AHK)

Phơng trình đờng thẳng BS : x = t; y= 0; z = t

Vì H thuộc BS nên H( t;0;t)

3 0

6 );

6 6 );

; 6

03

t

t tt

72 sin ϕ = =

Bài 9: cho tứ diện SABC có SA vuông góc với đáy,đáy là tam giác vuông tại C;

SA= 4;AC=3; BC=1 Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua

M tính cosin của góc phẳng nhị diện [H,SB,C]

H

ớng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hỡnh vẽ, ta cú: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0).

mp(P) qua H vuụng gúc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K,

dễ thấy [H,SB,C]= (IH , IK)

) 4

; 3

; 0 ( );

4

; 3

; 1

SB

Phơng trình (P) là x-1 +3y-4z=0Phơng trình đờng thẳng SB là x=t; y=3t; z=4-4t

51

; 0 ( );

13

18

; 26

51

; 26

17

K

) 325

34

; 650

51

; 26

17 ( );

13

18

; 26

51

; 26

IK IH IK

IH

.

)

H

ớng dẫn giải:

Chọn hệ trục Oxyz sao cho O là gốc tọa độ

A∈Ox, S ∈Oz, BC//OyTọa độ các điểm: ( 3;0;0)

A

C S

Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ

Khi đó

) 0

; 2

; 6

3 (

);

0

; 2

; 6

3 (

; 6

; 6

3 6

3 ( );

BD at a

5

; 48

; 0 ( );

0

;

; 0 ( );

0

; 2

; 2

S a C a a

Mặt phẳng ( SBC) có pháo vectơ là n = ( 2 ; 6 ; 1 )

2

6 6

2x+ y+z−a =

Vậy khoảng cách từ A tới ( SBC) là

6

6 3

2

6 ))

( ,

a SBC A

D

Bài 13: Cho tam giác đều ABC có cạnh a,I là trung điểm của BC,D là điểm đối xứng với

A qua I.Dựng đoạn SD =

0

; 0

; 2

C a

2

6

; 0

; 2

3 ( );

0

; 0

4

; 2

a

Mặt phẳng (SAC) có pháp vectơ:

) 6

4

; 2

I.3 Một số bài tập t ơng tự

1> Cho hình chóp OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc Các mặt phẳng

( OBC),( OCA),( OAB) lần lợt tạo với ( ABC) cac sgóc tơng ứng α ; β ; δ.Gọi

S A ;S B ;S C ;S O lần lợt là diện tích các mặt đối diện với đỉnh A,B,C,O của tứ diện C/m rằng;

b) sin 2 α + sin 2 β + sin 2 δ = 2

c) cos α + cos β + cos δ ≤ 3

2> Cho hỡnh chúp S.ABC cú D ABC vuụng cõn tại A, SA vuụng gúc với đỏy Biết

AB = 2, (ABC),(SBC)ã = 60 0.

1 Tớnh độ dài SA.

2 Tớnh khoảng cỏch từ đỉnh A đến (SBC).

3 Tớnh gúc phẳng nhị diện [A, SB, C].

3> Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c đụi một vuụng gúc Điểm M

cố định thuộc tam giỏc ABC cú khoảng cỏch lần lượt đến cỏc mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3 Tớnh a, b, c để thể tớch O.ABC nhỏ nhất.

4> Cho tứ diên ABCD có AD vuông góc với ( ABC), tam giác ABC vuông tại A,

AD=a; AC=b; AB=c Tính theo a,b,c diện tích S của tam giác BCD và

6>.Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú độ dài cạnh đỏy là a, đường cao SH = h

Mặt phẳng ( ) a đi qua AB và vuụng gúc với SC.

1 Tỡm điều kiện của h theo a để ( ) a cắt cạnh SC tại K.

2 Tớnh diện tớch D ABK.

II.hình chóp tứ giác

II.1 Phơng pháp chọn hệ trục toạ độ

vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao

SO vuông góc với đáy Ta chọn hệ trục

tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy,

S

A B

4)Hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy hỡnh chữ

nhật ABCD hoặc hình vuông tam giác

SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông

góc với mặt đáy Gọi H là trung điểm

AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuụng

gúc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz

nh hình vẽ

II.2 Một số bài toán áp dụng

Bài 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy hỡnh vuụng cạnh a, SA = a và vuụng gúc với

đỏy Gọi E là trung điểm CD

BE BS

B

C

z

y x

H

A

z S

C

D

y B

x

E

3)

12

3

1 4

2

S SA V

a CE BC

= 33 ⇒ = 33 −123 = 43 ⇒ =31

SABED

SBCE SABED

SABCD

V

V a a a V

1 Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD

2 Chứng minh BD song song với (P)

3 Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của tam gi¸c SAC

; 3

; 0 ( );

2 3

; 0

; 3 ( );

2 3

; 2

K

DÔ thÊy AH.SB = 0 ;AK.SD = 0 VËy AH ⊥SB;AK ⊥SC

MÆt kh¸c VSABCD = 9 2 Suy ra VABCDKMH = 6 2

Bµi 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên

SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD

x

N M

2) ; ) [ , ] ( ; 2 ; 0 )

2

; ( );

2

; 0

,

b a

ab NC

SB

BC NC SB

+

=

b a

b CMN

a b a MC b

cos );

;

; ( );

0

; 2

; 0 (

2 2

Khi đó ta có VSABC=VSACD =

3

3

a

12 4

1

; 6 2

V V

V a V

SMNC SBMC

SBAC

Vậy

4 12 6

3 3

3 a a a

; 3

y

Khoảng cách từ H đến ( SCD) là d (H,( SCD)) = a3

Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a;tam giác SAB

đều.Gọi M,N,P,K lần lợt là trung điểm của BC,CD,SD,SB

a)Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng MK và AP

b) C/m ( ANP) vuông góc với ABCD)

3

; 4

; 2 ( );

2

3

; 0

; 0 ( );

0

; 0

; ( );

0

; 2

; 2 ( );

0

; 2

; ( );

0

; 2

; ( );

0

; 2

S a

N a a M a

a D a

a C a B

.

v u

AK v u

= b) Mặt phẳng (ANP) có pháp vectơ là n = ( 1 ; − 2 ; 0 )

Mặt phẳng (ABCD) có pháp vectơ là k = ( 0 ; 0 ; 1 )

Do n.k = 0 nên ( ANP) ⊥ ( ABCD)

Bài 6: Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng a.Gọi M,N lầnlợt là trung điểm của

SA và SC.Biết rằng BM ⊥DN.Tính thể tích khối chóp SABCD

; 0

; 2 2 ( );

2

; 0

; 2 2 ( );

; 0

; 0 ( );

0

; 2

; 0 ( );

0

; 0

; 2 ( );

0

; 2

; 0 ( );

y

10 0

).

2

; 2

; 2 2 ( );

2

; 2

; 2

3

a

Bµi 7:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O SO vuông góc với đáy và

SO = 2a 3, AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC cắt các cạnh

;

; 0 ( );

3 2

;

; 0 ( );

3 2

; 0

S

C’

B’

D’

Vì C’ là giao điểm của SC và (P) nên C’(-a;0;a 3 )

+) đờng thẳng SB có phơng trình x=0; y =a+t; z=-2 3t

Vì B’ là giao điểm của SB và (P) nên B’( )

3

3 2

; 3

; 3

(ABCD) Gọi H là trung điểm của AD.

1 Tớnh d(D, (SBC)), d(HC, SD).

2 Mặt phẳng ( ) a qua H và vuụng gúc với SC tại I Chứng tỏ ( ) a cắt cỏc cạnh

SB, SD.

3 Tớnh gúc phẳng nhị diện [B, SC, D].

3> Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật với AB = a, AD = 2a

Đường cao SA = 2a Trờn cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 ≤m≤a ).

a)Tính khoảng cách giữa AB và ( SCD)

b)Tính khoảng cách giữa AB và SC

c) Gọi (P) là mặt phẳng đI qua A và vuông góc với SC.Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (P) Tính diện tích thiết diện

5>.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Các cạnh bên

a)C/m (SIK) vuông góc với ( SBC)

b) Tính khoảng cach giữa AD và SB

6>.Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a,có OB =

3

3

( ABCD) tại O lấy điểm S sao cho SB=a

a) C/m tam giác SAC vuông và SC vuông góc với BD

b) C/m (SAD) ⊥ (SAB); (SCB) ⊥ (SCD)

c) Tính khoảng cách giữa SA và BD

C Kết luận và kiến nghị

I.KẾT QUẢ NGHIấN CỨU:

Thông qua quá trình nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy, phần chuyên đề “

Giải một số bài toán hình chóp tam giác và hình chóp tứ giác bằng phơng pháp toạ độ” đã phát huy đ ợc tính tích cực, sáng tạo của học sinh Học sinh có

hứng thú hơn khi học HHKG,đã biết vận dụng ph ơng pháp phù hợp trong việc giải toán để đạt kết quả cao.

Nhờ quá trình th ờng xuyên học hỏi đồng nghiệp, nghiên cứu tích luỹ kinh nghiệm, tôi đã th ờng xuyên nâng cao chất l ợng của chuyên đề nghiên cứu thành một chuyên đề có hiệu quả và chất l ợng.

II Bài học kinh nghiệm:

Sau khi hớng dẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện cho học sinh những kĩ năng làm bài tập cho học sinh.

Cần đa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà kết quả đạt đ ợc không cao.

Iii Những kiến nghị và đề xuất:

Đối với học sinh cần có đủ sách giáo khoa, sách tham khảo và các bài toán nâng cao trên các tạp chí của bộ môn toán.

Đối với giáo viên cần có đủ tài liệu nghiên cứu, có tinh thần học hỏi, tự nghiên cứu trau rồi kiến thức, tích luỹ kinh nghiệm cho bản thân Th ờng xuyên quan tâm đến việc giải các bài tập theo các dạng ở trên.

Trong quá trình giảng dạy, cần tổ chức cho học sinh sáng tạo tìm hiểu những cách giải mới, các lời giải hay Biết khắc sâu kiến thức cơ bản, các bài tập thờng gặp nhằm đ a về dạng tổng quát hoá.

Tổ nhóm chuyên môn cần th ờng xuyên trao đổi các chuyên đề để chỉnh sửa ,bổ xung và rút kinh nghiệm

Đối với các cấp quản lý, cần tạo điều kiện cho giáo viên đi học tập các lớp nâng cao trình độ, tổ chức các lớp bồi d ỡng thờng xuyên nâng cao chuyên môn, nghiệp vụ, hỗ trợ nguồn kinh phí cung cấp cho th viện trờng các đầu sách có giá trị, đúng trọng tâm để giáo viên có tài liệu tham khảo.

Tôi rất mong nhận đ ợc sự đóng góp ý kiến cũng nh các nhận xét của tất cả các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp để tôi sửa chữa nh ng chỗ sai, những chỗ còn thiếu sót nhằm nâng cao chất l ợng của chuyên đề nghiên cứu thành một chuyên

đề thiết thực và có hiệu quả cao

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Bắc Ninh, ngày 24 tháng 11 năm 2010

Ngời thực hiện

đặng thị thuỷ