HÀM SỐ CƠ BẢN (DẠY THÊM TOÁN 12)

Các dạng bài tập cơ bản chương Hàm số lớp 12Dành cho GV dạy thêm LTĐH và học sinh lớp 12

BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

1) Định nghĩa: Cho hàm số y = f x( ) xác định trên K

 Hàm số y= f x( ) đồng biến trên Knếu "x x1, 2Î K x: 1<x2Þ f x( )1 < f x( )2

 Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên K nếu "x x1, 2Î K x: 1<x2Þ f x( )1 > f x( )2

Chú ý: K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

2) Định lý: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên K

a) Nếu f x¢ > " Î( ) 0, x K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K

b) Nếu f x¢ < " Î( ) 0, x K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu f x¢ ³( ) 0, " Îx K và f x¢ =( ) 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

b) Nếu f x¢ £( ) 0, " Îx K và f x¢ =( ) 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K

c) Nếu f x¢ = " Î( ) 0, x K thì f x( ) không đổi trên K

3) Hai dạng toán cơ bản

Dạng 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Quy tắc tìm:

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính đạo hàm f x¢( ) Tìm các điểm x i i( =1, 2, , )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

 Lập bảng biến thiên

 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Dạng 2 Tìm các giá trị m để hàm số đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trên khoảng cho trước

Phương pháp: Xét hàm số y= f x( ) trên K

 Tìm tập xác định của hàm số (nếu cần) Tính f x¢( )

 Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số đồng biến trên K Û f x¢( )³ 0," Îx K

+ Hàm số nghịch biến trên K Û f x¢( )£ 0," Îx K

 Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m

Chú ý: Cho hàm số f x( )=ax2+ +bx c a ( ≠0)

0

a

f x x  >

≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤



0

a

f x x  <

≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤



¡

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

1) Định lí 1 Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng K =(x0−h x; 0 +h) và có đạo hàm trên K hoặc { }0

\

K x (h>0)

a) f x¢ >( ) 0 trên (x0−h x và ; )0 f x¢ <( ) 0 trên ( ;x x0 0+h thì ) x0 là một điểm CĐ của f x( )

b) f x¢ <( ) 0 trên (x0−h x và ; )0 f x¢ >( ) 0 trên ( ;x x0 0+h thì ) x0 là một điểm CT của f x( )

Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Qui tắc 1 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 1).

 Tìm tập xác định.

 Tính f x¢( ) Tìm các điểm tại đó f x¢ =( ) 0 hoặc f x¢( ) không xác định

 Lập bảng biến thiên.

 Từ bảng biến thiên dựa vào định lý 1 suy ra các điểm cực trị.

2) Định lí 2 Giả sử y= f x( ) có đạo hàm cấp 2 trong (x0−h x; 0+h ) (h>0)

a) Nếu f x¢( )0 =0, f¢¢( )x0 >0 thì x0 là điểm cực tiểu

b) Nếu f x¢( )0 =0, f x¢¢( )0 <0 thì x0 là điểm cực đại

Qui tắc 2 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 2).

 Tìm tập xác định.

 Tính f x¢( ) Giải phương trình f x¢ =( ) 0 và kí hiệu x i là nghiệm

 Tìm f¢¢( )x và tính f¢¢( )x i

 Dựa vào dấu của f¢¢( )x i suy ra tính chất cực trị của x i

3) Các dạng toán thường gặp

Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số cho trước

Phương pháp: Dựa vào quy tắc 1 hoặc quy tắc 2

Dạng 2 Điều kiện để hàm số đạt cực trị

Phương pháp:

 Tìm tập xác định D của hàm số

 Tính f x¢( )

 Hàm số đạt cực trị tại x0Î DÛ f x¢( ) đổi dấu khi qua x0

Một số chú ý:

 Hàm số y=ax3+bx2+ =cx d a, ¹ 0 có cực trị (cực đại và cực tiểu)Û y¢=0 có hai nghiệm phân biệt

 Xét hàm số trùng phương y=ax4+bx c a+ , ¹ 0

2

0

2 0 (1)

x

ax b

é = ê

+ Hàm số có ba cực trị Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û ab<0 + Hàm số có một cực trịÛ (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm x=0

0 0

ab b

é >

ê Û

ê =

ë

B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA.

VD1 Cho hàm số y= − +x3 3x2−1 Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số

GIẢI

 TXĐ: D= ¡

2

x

x

é = ê

¢= Û - + = Û

ê = ë

 Giới hạn: lim , lim

→−∞ = +∞ →+∞ = −∞

 Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (0; 2); hàm số nghịch biến trên (−∞;0) và(2;+∞)

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y CĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT =- 1.

VD2 Cho hàm số y= − +x4 3x2+1 Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số

GIẢI

 TXĐ: D= ¡

 y¢=- 4x3+6x; 3

0

2

x

x

é = ê ê

¢= Û - + = Û

ê =±

ê

 Giới hạn: lim , lim

→−∞ = −∞ →+∞ = −∞

 Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên 6

; 2

−∞ −

6 0;

2

 ; nghịch biến trên

6

;0 2

−

6

; 2

+∞

Hàm số đạt cực đại tại 6

2

x= ± , , Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT =1

VD3 Cho hàm số

1

x y x

=

− Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

GIẢI

 Tập xác định D=¡ \ 1{ }



( )2

1

0, 1

x

¢=- < " Î

 Giới hạn: lim lim 1

®- ¥ = ®+¥ = ;

lim ; lim

CĐ

13 4

 BBT

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;−∞)

Hàm số không có cực trị

3

x

y= m - + m+ x + x+ Tìm m để hàm số đồng biến trên ¡

GIẢI

TXĐ: D= ¡

Đạo hàm: y¢=(m2- 1)x2+2(m+1)x+3

 Nếu m=1 thì y¢=4x+3

Hàm số đồng biến khi và chỉ khi y¢³ Û ³0 x 3

4 ( loại so với yêu cầu bài toán)

 Nếu m=- 1 thì y¢= >3 0 " Î ¡x Hàm số đồng biến trên ¡ (nhận so với ycbt) (1)

 Nếu m¹ ±1 thì hàm số đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi

0

y¢³ " Î ¡x

2

1 0

a m

ìï = - >

ïï

Û í

ï D = + - - £ ïïî

Û 2 1 1

2 0

ì <- Ú >

ïï

íï - - ³

ì <- Ú >

ïï

íï £ - Ú ³ ïî

1 2

m m

é <-ê Û

ê ³

Từ (1) và (2) suy ra hàm số đồng biến trên¡ 1

2

m m

é £ -ê Û

ê ³ ë

VD5 Cho hàm số y=- x3- 3 2( m+1)x2- (12m+5)x- 2 Tìm m để hàm số luôn luôn nghịch biến.

GIẢI

TXĐ: D= ¡

Đạo hàm: y¢=- 3x2- 6 2( m+1)x- (12m+5)

Biệt số D =¢ 9 2( m+1)2- 3 12( m+ =5) 36m2- 6

Vì hệ số a của y¢ là - < "3 0, m nên hàm số luôn luôn nghịch biến Û y¢£ 0, " Î ¡x

¢

Vậy các giá trị m cần tìm là: 6 6

3

y=- x + -a x + +a x- Đồng biến trên khoảng (0;3)

GIẢI

TXĐ: D= ¡

Đạo hàm: y¢=- x2+2(a- 1)x a+ +3

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;3)Û y¢³ 0, " Îx (0;3)

Û - + - + + ³ " Î (1)

Xét bất phương trình (1)

( )

2

(1)í x +2x- ê3 a x2 +1

(0;3) 2 1 0

xẽ Þ x+ > nởn (1) 2 2 3 ( )

2 1

x

+

+ Xờt hỏm số g x( ) trởn khoảng (0;3)

Cụ ( )

2

2

0, 0;3

2 1

x

đ = > " ẽ

+ BBT:

Từ BBT suy ra ( ), (0;3) 12

7

aỂ g x " ẽx í aỂ

Vậy, hỏm số đồng biến trởn khoảng (0;3) 12

7

a

í Ể

VD7 Tớm m để hỏm số y=x3+3x2+(m+1)x+4m Nghịch biến trởn khoảng (- 1;1)

GIẢI

TXĐ: D= â

Đạo hỏm: yđ=3x2+6x m+ +1

Hỏm số nghịch biến trởn khoảng (- 1;1) í yđê 0," ẽ -x ( 1;1)

í 3x2+6x m+ + ê1 0," ẽ -x ( 1;1) (1)

Xờt BPT (1): (1)í mê - 3x2- 6x- =1 g x( )

Xờt hỏm số g x x( ), ẽ -( 1;1)

Cụ: g xđ =-( ) 6x- 6 0,ê " ẽ -x ( 1;1)

BBT:

Từ BBT suy ra mê g x( ), " ẽ -x ( 1;1)í mê - 10

Vậy, hỏm số đồng biến trởn khoảng (- 1;1)í mê - 10

VD8 Tớm điều kiện của m để hỏm số y=2x3- 3(m+2)x2+6(m+1)x- 3m+6 đồng biến trởn

khoảng (5;+ơ)

GIẢI

TXĐ: D= â

Đạo hỏm: yđ=6x2- 6(m+2)x+6(m+1)

Hỏm số đồng biến trởn khoảng (5;ơ í) yđỂ 0, " ẽx (5;+ơ )

2

6x 6 m 2 x 6 m 1 0, x 5;

í - + + + Ể " ẽ +ơ (1)

Xờt BPT (1): (1)í 6x2- 12x+ Ể6 6m x( - 1)

Vì xÎ (5;+¥ ) nên x- >1 0 do đó:

1

x

Û £ " Î +¥ Û £ - = " Î +¥

Xét hàm số g x x( ), Î (5;0) ta có: g x¢ = > " Î( ) 1 0, x (5;+¥ )

BBT:

Từ BBT suy ra m£ g x( ), " Îx (5;+¥ Û) m£ 4

Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (5;+¥ Û) m£ 4

VD9 Cho hàm số: y=(m- 2)x3- mx- 2 Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực

đại và điểm cực tiểu

GIẢI

TXĐ: D= ¡

Đạo hàm: y¢=3(m- 2)x2- m

Hàm số không có cực trị thì phương trình y¢=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Û D £ 0 Û 0 4.3+ m m( - 2)£ 0 Û 0£ m£ 2

3

y= x - mx + m - m+ x+ Tìm m để hàm số

a) Có cực đại và cực tiểu b) Đạt cực đại tại điểm x=1

GIẢI

TXĐ: D= ¡

Đạo hàm: y¢=x2- 2mx m+ 2- m+1

a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y¢=0 có 2 nghiệm phân biệt

( )2 ( 2 )

1 0 0

1 0 0

y

y

a

¢

¢

ì ¹

ïD >¢ ï - - - + >

b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1

y¢=x - mx m+ - m+ và y¢¢=2x- 2m

Hàm số đạt cực đại tại ( )

( )

2

1

m

ì ¢ = ì

ï ¢¢ < ï - < ïïî >

î

Vậy khi m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1

y= mx - m- x + m- x+ Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại

x x thỏa mãn x1+2x2=1

GIẢI

TXĐ: D= ¡

Đạo hàm: y¢=mx2- 2(m- 1)x+3(m- 2)

Hàm số có 2 cực trị

y y

¢

¢

ïD >¢ ïD =¢ - - - >

ïî

2

0

m

ì ¹

ïï

Û í

ï - + + >

0

m

m

ì ¹ ïï ïï

Û í

ï - < < +

Vì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y¢=0 nên: x1+2x2 =1 (1)

và

1 2

(2)

m b

x x

m c

x x

-ïï + =- =

ïïï

-ïï = =

ïïî

và

Từ (1) và (2) 1 4

3

x

m

Þ = - , 2 2

1

x

m

=- +

( ) 3

m

é =

Þ - +çç ÷÷çç - ÷÷= Û - + = Û ê

ê

ê

2,

3

m= m= thỏa yêu cầu bài toán

C/-BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Bài 1 Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số:

1) y=x3- 6x2+9x- 4 2) y=x3- 3x2+3x+5

3) y=x3+x2+2x- 3 4) y=- x3+3x2+2

5) 1 3 2 4 3 y=- x +x - x+ 6) y=- x3+2x2- x+2

7) y=x4- 2x2+5 8) y=x4+3x2- 4

9) y=- x4+4x2+3 10) 1 4 2 2 1 4 y= x - x +

11) 2 1 4 4 y=x - x 12) y=- x4- 5x2+1

13) 2 1 x y x -= + 14)

2 1 3 x y x + = -

15) 2 1 8 x y x + = + 16)

2 2 2 1 x x y x - + = -

17) y= 2x x- 2 18) y= x2- 4x+3

19) 2 1

1

x y

x x

+

=

- + 20)

2 2 1 x y x = -

21) y= 5- x+ x- 1 22) y=x x2- 9

 BÀI TẬP NÂNG CAO.  Loại 1 Tính đơn điệu của hàm số Bài 1 Tìm m để hàm sốy=- x3+(m+2)x2- (2m- 1)x+2 nghịch biến trên ¡

Bài 2 Tìm m để hàm số 1 3 2 4 10 3 y= x +mx + x- đồng biến trên ¡

Bài 3 Cho hàm số 3 2 2 4 2

3

x

y= - mx + mx+ Xác định m để:

a) Hàm số đồng biến trên miền xác định

b) Hàm số đồng biến trên khoảng (- ¥ ;0)

Bài 4 Cho hàm số 3 2 2 1 3 x y=- + x - mx+ Xác định m để : a) Hàm số nghịch biến trên trên tập xác định của nó b) Hàm số nghịch biến với mọi x>1

Bài 5 Tìm m để hàm số 1 3 2 2(2 ) 2(2 ) 5 3 m y= - x - - m x + - m x+ nghịch biến trên ¡

Bài 6 Tìm m để hàm số 3 ( 1) 2 ( 1) 1 3 x y= + m+ x - m+ x+ đồng biến trên (1;+¥ )

Bài 7 Tìm m để hàm số y=x3- 3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 đồng biến trên (2;+¥ )

Bài 8 Tìm m để hàm số 2 2 mx y x -= + luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

Bài 9 Tìm m để hàm số x m y x m + = - đồng biến trên (–1; +∞).

Bài 10 Tìm m để hàm sốy=x3+3x2+mx m+ nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1

 Loại 2 Cự trị của hàm số.

Bài 1 Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu:

1) y=x3+3x2+mx- 10 2)y=x3- 3mx2- 3(m2- 2)x+1

3) y=x3- (2m+1)x2+(m2- 3m+2)x+4 4)y=(m+2)x3+3x2+mx m+

Bài 2 Tìm để hàm số 1 3 2 2 2 ( 2) (3 1) 3 y= x + m - m+ x + m + x m+ đạt cực tiểu tại x=- 2

Bài 3 Tìm m để hàm số y=mx3+(m2- 2)x2- 8x+1 đạt cực đại tại x=2

Bài 4 Cho hàm số y=x4- mx2+n Tìm m, n để hàm số đạt cực trị bằng 2 tại x=1

Bài 5 Cho hàm số 3 ( 1) 2 (6 2 )

3

x

y= + m+ x + - m x m+ Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy

Bài 6 Cho hàm số y=x3- 3(m+1)x2+3 (m m+ +2) 1 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ dương

Bài 7 Cho hàm số y=x3- 3x2- 3 (m m+2)x- 1 Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu

Bài 8 Cho hàm số 3 2 1 ( 1) 3( 2) 3 3 m y= x - m- x + m- x+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là x x1, 2:x1+2x2=1

Bài 9 Cho hàm số y=x3+2(m- 1)x2+(m2- 4m+1)x- 2(m2+1) Tìm m để hàm số có cực trị tại ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ; : 2 x x x x x +x = +

Bài 10 Cho hàm số y=2x3+mx2- 12x- 13 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung

Bài 11 Cho hàm số y=x3+3mx2+3(m2- 1)x m+ 2- 3m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu với hoành độ x x1; 2 thỏa mãn: x12+x22=10

Bài 12 Tìm m để đồ thị hàm số y=2x3- 3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1 có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng D:y= +x 4