0 x R Như vậy phương trình ** có vế trái luôn ñồng biến còn vế phải là hằng số nên nghiệm thuộc 0, 1 nói trên là duy nhất.. Vậy * luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m ñiều phải chứng min
Trang 1Bài 1 Cho hàm số: 4 2 2
y=x + m x + (1)
a Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1
b CMR: Với mọi giá trị của m thì ñường thằng y = x + 1 luôn cắt ñồ thị hàm số (1) tại 2 ñiểm phân biệt
Giải
b Số giao ñiểm của 2 ñồ thị tương ứng với số nghiệm của phương trình:
x + m x + = + ⇔x x x + m x− = (*) ≠
0
x
x m x
=
Phương trình (*) có một nghiệm x = 0
Ta sẽ chứng minh phương trình x3+2m x2 − = (**) có ñúng một nghiệm x ≠ 0 với mọi giá trị của m 1 0
- Nếu m = 0 thì (**) trở thành x3 – 1 = 0 x = 1 => Phương trình (*) có ñúng 2 nghiệm
- Nếu m ≠ 0 ðặt f x( )=x3+2m x2 − 1
Hàm số này liên tục trên R và ta có f(0) (1)f = −( 1).2m2< => Phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc 0 khoảng (0;1)
Mặt khác f x( )=3x2+2m2> ∀ ∈ => f(x) là hàm ñồng biến trên R 0 x R
Như vậy phương trình (**) có vế trái luôn ñồng biến còn vế phải là hằng số nên nghiệm thuộc (0, 1) nói trên là duy nhất
Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m (ñiều phải chứng minh)
ðịnh lý SGK lớp 11 (Hệ quả của ñịnh lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một ñiểm C∈(a b, )sao cho f(c) = 0 (tức c là nghiệm của phương trình f(x) = 0)
Bài 2 Cho hàm số: y= − +x4 2mx2−2m+ (C1 m)
a Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 5
b Tìm m ñể (Cm) cắt trục hoành tại 4 ñiểm, tạo thành 3 ñoạn thẳng có ñộ dài bằng nhau (4 ñiểm có hoành
ñộ lập thành 1 cấp số cộng)
Giải
b – ðể (Cm) cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt thì phương trình:
x − mx + m− = (1) phải có 4 nghiệm phân biệt
2
⇔ − + − = (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt (ñặt 2
x = X X ≥ )
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Sự tương giao của hàm trùng phương thuộc
khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Sự tương giao của hàm trùng phương ðể sử dụng hiệu
quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này
Trang 2
' 0
1
m b
a
m m
P
a
⇔ = − > ⇔ > ⇔ > ⇔
- Gọi nghiệm của (1) là x1, x2, x3, x4 (x1 < x2 < x3 < x4)
Gọi nghiệm của (2) là X1, X2 (X1 < X2 )
Và gọi 4 giao ñiểm ñó theo thứ tự là A, B, C, D
=> A(x1,0), B(x2,0), C(x3,0), D(x4,0)
4 ñiểm này tạo thành 3 ñoạn thẳng có ñộ dài bằng nhau
AB = BC = CD
x x x x x x
Mà theo Viet ta lại có:
2 1
2
2
m
=
2
5
9
m
m
=
=
Bài 3 : Cho ñường cong y=x4−(3m+2)x2+3m Tìm m ñể ñường thẳng y = − cắt ñường cong trên tại 1
4 ñiểm phân biệt, trong ñó có 2 ñiểm có hoàng ñộ lớn hơn 1
2
Giải :
ðường thẳng y = − cắt ñường cong trên tại 4 ñiểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình : 1
x − m+ x + m= − có 4 nghiệm phân biệt, ñiều ñó xảy ra khi và chỉ khi phương
trình :t2−(3m+2)t+3m+ = có 2 nghiệm dương và lớn hơn 1 0 1
4
Tức là :
1
2
1 1 4
1 1
4
0
t
m
t m
m m
= >
= + > ⇔
y=x − m+ x + m+
Tìm m không âm ñể hàm số cắt trục Ox tại 4 ñiểm có hoành ñộ là : x x x x1; 2; 3; 4 sao cho :
x +x +x +x ñạt giá trị nhỏ nhất
Giải :
Xét phươmg trình hoành ñộ giao ñiểm : x4−2(m+1)x2+2m+ =1 0 (1)
t
f t t m t m
t m
=
(vì m không âm)
Trang 3Khi ñó : 4 4 4 4 ( 2 2) 2
x +x +x +x = t +t = + m+ ≥ ∀ ≥ m
Do ñó tổng này ñạt giá trị nhỏ nhất là 4 khi m = 0
Vậy m = 0
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn