– ðể d cắt C tại 2 ñiểm phân biệt A, B thì phương trình: 2x 3 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược
Trang 1Bài 1 Cho hàm số: 3
1
x y x
−
= + (1)
a Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1)
b Tìm k ñể ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm I(-1; 1) với hệ số góc k cắt ñồ thị hàm số (1) tại 2 ñiểm A, B sao cho I là trung ñiểm AB
Giải
b – (d) có phương trình: y = k(x + 1) + 1
- ðể (d) cắt ñồ thị (1) tại 2 ñiểm phân biệt A, B thì phương trình:
3
( 1) 1
1
x
k x
x
−
+ phải có 2 ngiệm phân biệt khác -1
kx2 + 2kx + k + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1
2
0
k
≠
− + − + + ≠ ⇔ ≠
(1)
- Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghiệm của (*))
ðể I là trung ñiểm AB ta phải có:
1 2
1 2
+
2
+ = −
⇔ + = − ⇔ -2 = -2 (Luôn ñúng)
Vậy với k < 0 thì d luôn cắt ñồ thị hàm số (1) tại 2 ñiểm A, B và I là trung ñiểm
Bài 2 Cho hàm số: 2 3
1
x y x
=
− (C)
a Khảo sát và vẽ (C)
b Tìm m ñể ñường thẳng d: y = mx + 2 cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao cho ( 1; )1
3
G − là trọng tâm tam giác AOB (O là gốc tọa ñộ)
Giải
b – ðể d cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt A, B thì phương trình:
2x 3
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Sự tương giao của hàm phân thức thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến
thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Sự tương giao của hàm phân thức ðể sử dụng hiệu quả, Bạn
cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này
Trang 2
mx2 Ờ (m Ờ 4)x Ờ 5 = 0 (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 1
2 2
0 0
1 0 1 ( 4).1 5 0
m m
≠
≠
⇔ ∆ = + + > ⇔ < − − > − +
⇔ < − − ∪ − + < < ∪ > (1)
- Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghiệm của (*))
Khi ựó ( 1; )1
3
G − là trọng tâm tam giác AOB
0
3 3
1 3
4
4
3
1
m
m
m m
m m
−
=
(thỏa mãn (1))
đáp số: m = 1
Bài 3 Cho hàm số: 2 1
1
x y x
−
=
− (C)
a Khảo sát và vẽ (C)
b Gọi I là giao ựiểm hai ựường tiệm cận của (C) Tìm m ựể ựường thằng d: y = -x + m cắt (C) tại 2 ựiểm
phân biệt A, B sao cho 5
2
AIB
S∆ =
Giải
b +) I(1; 2)
+) để d cắt (C) tại 2 ựiểm phân biệt A, B thì phương trình:
1
x
x
−
= − +
− phải có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 1
2
⇔ + − + − = (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 1
2 2
1 0
≠
- Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghiệm của (*))
AB= x −x + y −y = x −x + − + − − +x m x m
2(x x ) 2 x x 4x x 2m 6m 5
d(I,AB) = d(I,d) = 3
2
m
−
( , )
AIB
m
Trang 32 2 2 2
2m 6m 5 (3 m) 10 (m 3) 4 ( m 3) 5
đặt: (m Ờ 3)2 = t; t ≥ 0
đáp số: m = ổ3 5
Bài 4 Cho hàm số: 2 1
1
x y x
−
=
− (C)
a Khảo sát và vẽ (C)
b Gọi I là giao ựiểm 2 ựường tiệm cận của (C) Tìm m ựể ựường thẳng d: y = -x + m cắt (C) tại 2 ựiểm phân biệt A, B sao cho tam giác AIB ựều
Giải
b.- I(1, 2)
- để d cắt (C) tại 2 ựiểm phân biệt A, B thì phương trình:
1
x
x
−
= − +
− phải có 2 ngiệm phân biệt x ≠ 1
x2 + (1 Ờ m)x + m Ờ 1 = 0 (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 1
2 2
1 0
≠
- Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghiệm của (*)) và gọi H là trung ựiểm AB
=> Tam giác AIB ựều
3
4 2
=
=
=
2
2
1
2
m
− = −
đáp số: m = ổ3 6
* Có thể giải: Tam giác AIB ựều 3
2
⊥
⇔
=
Bài 5: (đHKD Ờ 2003) Cho hàm số:
2
(1) 2
y x
=
− a) Khảo sát và vẽ ựồ thọ hàm số (1)
b) Tìm m ựể ựường thẳng d m:y=mx+ −2 2m cắt ựồ thị hàm số (1) tại hai ựiểm phân biệt
Giải
b) để dm cắt ựồ thioj hàm số (1) tại 2 ựiểm phân biệt thì phương trình:
2 2 2
x
− phải có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 2
2
(m 1)x 4(m 1)x 4m 8 0
⇔ − − − + − = phải có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 2
Trang 41 0
m
− ≠
Bài 6: (ðHKA – 2004) Cho hàm số
2
(1) 2( 1)
y
x
=
− a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1)
b) Tìm m ñể ñường thẳng y m= cắt ñồ thị hàm số (1) tại 2 ñiểm A, B sao cho AB = 1
Giải
b) ðể ñường thẳng y= cắt ñồ thị hàm số (1) tại 2 ñiểm A, B thì phương trình: m
2( 1)
m x
=
− phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
⇔ + − + − = phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2 2
∆ = − − >
Gọi A x y( ;1 1); ( ;B x y2 2) ( ;x x1 2là nghiệm của phương trình (*))
Ta có: AB= ⇔1 AB2= ⇔1 (x1−x2)2+(y1−y2)2 = 1
(x x ) (m m) 1 (x x ) 1 (x x ) 4x x 1
2
Bài 7: (ðHKB – 2009) Tìm các giá trị của tham số m ñể ñường thẳng y= − + cắt ñồ thị hàm số: x m
2 1
x
y
x
−
= tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao cho AB = 4
Giải
ðể ñường thẳng ñã cho cắt ñồ thị hàm số tại 2 ñiểm phân biệt A, B thì phương trình:
2 1
x
x
− = − + phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
2x mx 1 0 (*)
⇔ − − = phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2 2
8 0
m
m m
∆ = + >
Gọi A x y( ;1 1); ( ;B x y2 2) ( ;x x1 2là nghiệm của phương trình (*))
Ta có: AB= ⇔4 AB2 =16⇔(x1−x2)2+(y1−y2)2 =16
(x x ) ( x m ( x m)) 16 (x x ) 8 (x x ) 4x x 8
2
1
m
Bài 8 (ðHKD – 2009) Tìm m ñể ñường thẳng : d y= −2x+ cắt ñồ thị (C) của hàm số m
2
1
y
x
+ −
2 ñiểm phân biệt A, B sao cho trung ñiểm của AB nằm trên trục tung
Giải
Trang 5ðể d cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt A, B thì phương trình:
2
x m x
+ −
= − + phải có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 0
2
3x (1 m x) 1 0 (*)
⇔ + − − = phải có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 0
2 2
3.0 (1 ).0 1 0
m m
∆ = − + >
Gọi hoành ñộ của A và B là x x trong ñó 1; 2 x x là nghiệm của phương trình (*)) 1; 2
ðồng thời gọi I là trung ñiểm AB khi ñó I có hoành ñộ 1 2 1
I
ðể I thuộc trục tung thì ta phải có 0 1 0 1
6
I
m
Bài 9 (ðHKA – 2003) Cho hàm số:
2
(1) 1
y
x
+ +
=
− a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 ñiểm phân biệt và 2 ñiểm ñó có hoành ñộ dương
Giải
b) ðể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 ñiểm phân biệt thì phương trình:
2
0 1
x
− phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
0 (*)
⇔ + + = phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2 2
0
m
≠
⇔ ∆ = − > ⇔ − < <
(1)
Gọi hoành ñộ các giao ñiểm là x x trong ñó 1; 2 x x là nghiệm của phương trình (*)) 1; 2
ðể x x >0 ta phải có: 1; 2 1 2
1 2
1
0
1 0
m m
x x
+ > − >
Kết hợp (1) & (2) ta ñược: 1 0
− < <
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn