2 Các bạn sau đây có lời giải tốt: Vinh Phúc: Nguyén Thị Ngọc, Phùng Ngọc Quở, Nguyễn Thị Giang A, Nguyền Thị Tuyết Mai, TÀI, THCS Yên Lạc, Yên Lac: Nghệ An: Đáu Thé Vi.. Thanh Xuan, Lé
Trang 1
WwW
s
# Bài T1/347 So sánh: — va =
8 \ 401 Lời giải Trước hết ta chứng minh tính chất
sau:
Với các số a, b, m thỏa mãn 0 < a <b va
am
0< m < b thì ta có Ê > :
b_ b—m
Thực vậy,
a_ a-m _ a(b—m)—=B(a=m) _ m(b-a) `
Với m = | ta có 389, 388 FT
401 400 100 Chon m = 3 và áp dụng liên tiếp tính chất trên
ta được
(2) >( 97 )
401 100
97 94 91 88 85 82 79 76 73 70
” 10097949188 85 827976 73
I0
nên ta Na
40I 10
389)" 7 s Vi7.8> 10.5 nên (= Sic teen {5
401 10 8
< Nhan xét 1) Lai gidi tren cho ta két qua tt hon
10
ở dé bài, tuy nhiên nếu so sánh (=) với we thi
bài trở nên khó hơn nhiều nếu không biết cách làm
trên Một xố bạn lấy m = 12 = 401 — 389; hoặc lấy
389 384 32
= 5 để có ——— >——=—— rồi lấy m = l; sau đó á
m c Z20I 296 33 ¡ lấy m sau Pp
dụng liên tiếp tính chất trên cũng dẫn đến điều phải
chứng mình với các phép tính toán đơn giản
2) Các bạn có lời giải tương đối đơn giản là:
Phú Thọ: Phủng Quang Anh, Kim Huyến Trang 6AI, THCS Lâm Thao, Vĩnh Phúc: Nguyén Ngoc
Thọ, 6A, Đó Công Huân, 6A1, THCS Yên 4.ac; Nghệ Án: Trịnh Quản, 6A, THCS Diện Thắng, Diễn Châu
VIỆT HẢI
Bài T2/3472 Cho tam giác 1BC Các điểm
E, F theo thir tu nằm trên các canh ÁC, 41B sao cho ABE = ABC i ACF = \ ACB Goi O la
giao diém cua BE va CF Gia su OE ~ OF Chitng minh rang AB = AC hoặc BAC=9",
Lời giải Không mất tính
tổng quát, giả sử Ø8 > ÓC A
® Trường hợp 1 (h 1)
giác BOC cAn tai O
Suy ra OBC =OCB
eo 2 ABC =2 ACB
©> ABC = ACB
Vậy tam giác ABC cân tại A, do đó AB = AC
® Trường hợp 2 (h.2)
Hình 2
Nếu Øð > ÓC thì lấy điểm Ð trên ØB sao cho
OD = ÓC (D thuộc đoạn OB) Goi / 1a giao
điểm của các đường phân giác trong tam giác
OBC Nối D với I, D với F
Ta có ẾCO = ÓCI =fCB = “SẼ (1) FBO = OBI = IBC = =
Dé thay AOFD = AOEC va AOIC = AOID (c.g.c).
Trang 2Suy ra FDO=ECO (3) va OCI=ODI~— (4)
Tir (1), (3) va (4) suy ra FDO=ODI do dé
IDB = FDB
Khi đó AIDB = AFDB (g.c.g) nén ID = FD;
suy ra AODI = AODF (c.g.c), do đó
Tir (2) va (5) suy ra 10C= 10D = FOD = 60°
Tx d6 ta c6 BOC=IOD+I0C = 120°
=> OCB+OBC = 180" - 120° = 60”
— =(ACB+ ABC) = 60" => ACB + ABC = 90",
=> BAC = 90"
Vay, néu OE = OF thi AB = AC hoac
BAC = 90"
< Nhan xét 1) Ngoài cách giải trên (của đa sổ các
bạn), mdt s6 ban di ching minh duoc bằng cách vẽ
hai tia Ox, Oy theo thứ tự cắt tia phân giác của các
góc OBC, OCB tai K, / sao cho BOx= DOy = BOF
= COE rồi xét hai trường hop: O/ trang với OK, hodc
tam gidc O/K cân tại Ó Tuy nhiên, có ban còn nhầm
khi coi AB = AC hoặc ĐAC = 90" là giá thiết rồi đi
chứng minh OE = OF
2) Các bạn sau đây có lời giải tốt:
Vinh Phúc: Nguyén Thị Ngọc, Phùng Ngọc Quở,
Nguyễn Thị Giang A, Nguyền Thị Tuyết Mai, TÀI,
THCS Yên Lạc, Yên Lac: Nghệ An: Đáu Thé Vi
TBRI, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Vá Định
Long, 7A, THCS Ly Nhat Quang, Đó Lương; Hà Nội:
Phạm Đức Minh Anh, THỊ, THCS Trưng Vương,
Hoàn Kiếm; Hà Tây: Nguyến Khác Quý, 7A1, THCS
Tế Tiêu, Mỹ Đức
PHAM THỊ BACH NGỌC
*® Bai T3/347 Tim nghiệm nguyên cua hệ
phương trình
z3+ yz =3,
Lời giải Phương trình thứ nhất có thể viết thành
i ~ 16-y" 1
Phương trình thứ hai có thể viết thành
Vì z và (z+ y) là các số nguyên nên từ (2),
suy ra chúng đều là ước của 3
Do đó giá trị của z chỉ có thể là: -I, 1, -3, 3
Ta được bốn trường hợp sau:
z=-l:(2)=z+y= -3 =y=-2
=-3:(2) > z+ y=-l > y=2
z=3:(2)=z+y=l=y=-2
Trong cả bốn trường hợp trên, ta đều có yỶ = 4
Thay vào (1), ta được v`=3= v=3 không phải là số nguyên
Vậy hệ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên
€ Nhân xét L) Đây là bài toán có rất nhiều bạn tham
gia giải, hấu hết đếu làm đúng và theo cách trên
2) Các bạn sau có lời giải tốt:
Ha Noi: Dang Thuy Linh, 9G, THCS Hitu Nghi Viet
Nam ~ Angieri, Q Thanh Xuan, Lé Héng Dung, 6A1,
THPT Nguyễn Tất Thành, Lé Quang Huy, 8HI, THCS Trung Vương, Q Hoàn Kiếm; Đào Huy Thành,
7AI1, THCS Giảng Võ, Ba Đình; Phú Thọ: Ngưyền
lrường Giang, ?A2, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Ta Đức Trung, 6A3, THCS Lâm Thao; Thái Nguyên: ýgó Trán Việt Hà, 7A4, THCS Chu Văn
An, TP Thái Nguyên; Lào Cai: L¿ Đức Thọ, &C,
THCS Lé Quy Don, TP Lao Cai; Nghệ An: Hoàng
Thi Lé Quyén, 8B, Pham Viét Hiing, 8C, VO Thi Thương, 7B, Định Viết Tủ, ?A, Nguyễn Xuân Hùng, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương; Vĩnh Phúc:
Tạ Thị Việt Chính, Nguyễn Thị Huân, Nguyễn Thị
Phương Liên, Bùi Thị Ngọc Bích, Nguyễn Ngọc
Khánh, Hoàng Quỳnh Liên, Tạ Thanh Xuân, Nguyễn Thị Hà Anh, Phạm Mỹ Linh, Nguyễn Thị Lệ Thu, Nguyễn Văn Hoàng, Nguyễn Hữu Bách, Nguyễn Thể
Bảo, Nguyễn ÑKiếu Anh, 6A1, THCS Yên Lạc, Yên
Lạc; Khánh Hoà: Phan Đức Hạnh, 8/2, THCS Định Tiên Hoàng, Ninh Hoà; Trán Thị Ánh Nguyên, 1/1 THCS Nguyên Văn Trỏi, Cam Nghĩa: Lâm Đóng:
Định Thành Nhân, 9A7, THCS Quang Trung, TP Đà Lạt: Quảng Trị: Trần Ván Thành, TA, THCS Cam
Hiếu, Cam Lộ; Quảng Ngài: Nguyễn Như Mai Hương, 6A, THCS Nguyễn Trai, MO Dic; Quang
Bình: /foàng Thị Trường Giang, THCS Quảng Minh,
Quảng Trạch; Vguyền Phí Hùng, 9A, THCS Quách Xuân Kỳ, Bố Trạch; Tây Ninh: Vguyền Quốc Trung, 9A7, THCS Nguyễn Trị Phương, TX Tây Ninh; Hà Tây: Nguyễn Văn Phong, 9E, THCS Vạn Thái, Ứng
Hoa; Dak Lak: Võ Văn Tuấn, 9A3, Lê Hồng Thiện,
9E, THCS Nguyén Du, Krong Buk; Dak Nong: Neuyén Thanh An, 9A1, THCS Phan Chu Trinh,
H Dak Mil
NGUYEN ANH DUNG
¥* Bai 74/347 Xét các phương trình bậc hai ax) + bx + e = 0 có hai nghiệm thuộc [0 ; 2}
Trang 3
* Bai T1/344 (Lớp 6) Tìm số tự nhiền n sao
cho tổng của 2n số hạng
13 24 3.5 ~~ (2n-l)(2n+l) 2n(2n+2)
ting 2S! |
19800
Lời giải Đặt
13 2.4 (2n—-1)(2n+1) 2n(2n+2)
Áp dụng công thức
kk+2) k k+2
k=1,2, , 2n ta có
2A“ *z3*“*a—nernj*
13 35 (2n — 1)(2n + 1)
+|—— + — + +$ ————
2.4 4.6 2n(2n + 2)
MU 1L _ bu 1 1
= l- = oan cane + =
l
=zil- I!-=anJ“6-za] 1 =
DiA= 14651 mà
19800
1 19 |
Ÿ 21A | n2 9900 C7
4n+3 _ 199
Y (an+1)(Qn+2) 9900"
Vì (án + 3, 2(2n + L)) = (án + 3, 4n + 2) = 1
và (4n + 3, 2(2n + 2)) = (án + 3, án + 4) = 1
4n +3
——————— là phân số tối giản với số
tự nhiên n bất kì Vì vây 4z + 3 = 199 (số nguyên t6) va (2n + 1)(2n +2) = 9900 Suy ra ø = 49 F]
Ấ Nhận xét 1) Từ (*) có thể lập luận cách khác Với
n = 49 thi (*) đúng Với n < 49 hoặc n > 49 thì (*)
không đúng Vậy chỉ có thể n = 49 Một số bạn khôn xét các trường hợp n < 49 hoặc n > 49 mà khẳng định ngay là n = 49 là chưa đầy đủ Một số bạn đưa về dạng (n - 49)(398n + 299) = 0 để suy ra n = 49, tuy nhiên
điểu đó đòi hỏi sự khéo léo biến đổi tam thức bậc hai thành tích hai nhân tử (khi chưa học cách giải phương trình bậc hai)
2) Các bạn sau có lời giả: tốt:
Phú Thọ: Phùng Thị Thu Thủy, 6B, THCS Tân Phú, Thanh Son; Vinh Phic: Bai Văn Toàn, 6AI, Nguyễn
Ngọc Thọ, 6A, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Trấn Anh
Linh, 6A, THCS Đồng Ích, Mạc Thị Thu Huệ, 6A, THCS Đồng Quế, Lập Thạch; Hà Tây: Tào Thị Ánh Tâm, 5A, TH Tam Hưng, Thanh Oai; Quảng Ninh: Đỏ Thái Chúng, 6A 1, THCS Nguyễn Trãi, Uông Bí; Thanh
Hóa: Cao Thanh Tùng, 6A, THCS Nhữ Bá Sÿ, Hoằng
Hóa;Nghệ An: Nay Hồng Hạnh, 6A, Nguyễn Văn Thắng, Hoàng Văn Đông, 6D, THCS Lý Nhật Quang,
Đô Lương, Quảng Bình: Hoàng Thị Trường Giang,
6/2, THCS Chung Minh, Quảng Trạch; Quảng Trị: Nguyễn Thị Ngọc Giào, 6/5, THCS Nguyễn Binh Khiêm, Triệu Phong; Quang Ngai: Vd Van Vién, 6A, THCS Hanh Trung, Nghĩa Hành;Tiến Giang: Nguyễn Hoàng Lâm, 6/1, THCS Tân Thành, Gò Công Đông
VIỆT HẢI
*Bài T2/344 (Lớp 7) Cho tam gide ABC vuông cẩn tai A Goi M là trung điểm ĐC, GŒ là
điểm thuộc canh AB sao cho AG = 34B Elà
chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG Các
vyye-Ee=e.lr+-fo Di 5b ung sào So sảnh
độ dài DE và BC
Lời giải Trên tia CA lấy điểm D” sao cho A Ia trung diém cla CD’ thi hai đường trung tuyến
BA va D'M cat nhau tai diém G voi AG = 2ÁB,
do đó điểm 2 trùng với điểm D Mặt khác,
BA 1 DC nén ABDC can tai B, ma BCD = 45° tức ABDC vuông cân tai B Do dé BD = BC (1) Goi N 1a giao điểm cla CG véi BD ViG la
trong tam ABDC nén N [a trung điểm của 8D
Tir d6 BN = CM = BM Ha BK 1 NC thi KM =
BM = CM (hình vẽ) Vì AKMC cân tại M nên KE=CE (2)
Trang 4
Lại có ñNK =CME (cùng phụ với BCN ), suy
ra ABNK = ACME => NBK =MCE va BK =
CE (3)
Từ (2) va (3) suy ra KE = KB nên ABKE là tam
giác vuông cân tại K, do đó BEK = BEM = 45°
Hai tam giác BKD và CEB có DBK = BCE,
BK = CE (theo (3)), BD = CB, do đó ABKD =
ACEB = DKB=BEC = 135° = DKC =
360" - 90° — 135° = 135° Suy ra ADKB =
ADKE (c.g.c.) => DB = DE (4)
Từ (1) và (4) suy ra DE = BC
< Nhận xét 1) Một số bạn dùng đến kiến thức đường
— bình của tam giác nhưng lại phải chứng minh
điều đó
Một số bạn có nhận xét đúng là bài toán này về thực
chất là bài T4/289 tuy nhiên ở đây chỉ được giải bằng
kiến thức ở lớp 7
2) Các ban sau đây có lời giải tốt:
Vĩnh Phúc: Dương Hồng Quản, 7A, THCS Lập Thạch,
Lập Thạch, Thanh Hóa: /ioàng Tiến Dũng, Phạm
Thanh Tùng, Trương Quốc Cường, 71A, THCS Lê Hữu
Lập, Hậu Lộc; Nghệ An: Nguyền Tất Ngọc, 7B, THCS
Lý Nhật Quang, Do Luong, Bùi Bắc Nam, 7B, THCS
Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu; Khánh Hòa: Trần Thị
Ánh Nguyên, 7”, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa,
Cam Ranh; Binh Định: Nguyễn Đồng Tiến, 7A3,
THCS Luong Thế Vinh, Quy Nhơn; Quảng Ngãi: Cao
Thị Nhật Linh, ?G, THCS Hành Phước, Võ Quang
Duyét, 7A, THCS Hanh Trung, Nghia Hanh
NGUYEN XUAN BINH
* Bai 73/344 Gidi phương trình
ch, Ane
Loi gidi
x20
Điều kiện {2-VJx 20
J2 -J2-Vx #0
Dat u = J/2+Jx, v= 2-Jx , do O<xs4
nén J2 <u<2:0<v< 2
Tacó wuv=x/4-x và ø +w =4
Phương trình trong mạ bài trở thành
t
\2+u '¬
Biến đổi phương trình, ta được:
(V2 —v)+ (x2 +u) = 2(V2 + uX V2 - v)
=› V2(tÈ + #)— ưu — v = x2 [2+V2(u-v)-w]
Thay #+¥v =4 được :
4x2 - uv(w — v) = 22/2 + 2(u — v) — 2y
= V2(2 + wv) — (w — v)}(2 + wv) = 0
— (2+uv)(/2 —u+v)=0
@0<x«<4
Vi2+uv>Onén J2-u+v=0
=—u-v= 2
Do đó (w — v} = 2 w + v — 2v = 2
= 4- 2uy = 2 >uy= ]
Ta được v=-/4- x =l=>x=3 (thoả mãn các điều kiện của bài toán)
Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
< Nhan xét 1) C6 trén 600 bạn tham gia giải bài toán
này và số đông làm theo cách giải trên Điểm quan trọng của lời giải là tìm ra các hệ thức: w” + v = 4, u-v= J2 để từ đó được wv =l
2) Các bạn lớp 6, ?, 8 sau đây có lời giải tốt:
Thanh Hoá: Phạm Hoàng Vũ, 7C, THCS Lí Thường Kiệt, Hà hive Hoang Thi Nga, 7C2, THCS Quang Ngoc, Quang X + Nguyễn Thị Thu Hà, 6B, Trịnh
Minh Chiến, %C, Phạm Thanh Tùng, Trịnh Quang
Ding, 7A, THCS Lé Hau Lap, Hau Loc; Lé Thi Thương, La Thị Huyền, Nguyễn Thị Linh, 8D, THCS Nhữ Bá Sĩ, Hoằng Hoá; Khánh Hoà: Nguyén Thành Đạt, 6A, THCS Quang Trung, Cam Đứé; Trần Thị Ánh Nguyên, 7 THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa Cam Ranh; Quảng Bình: Hoàng Thị Trường Giang, 62, THCS Quảng Minh, Quảng Trạch; Nghệ An: Va Văn
Trang 5Giai bai
Ri trudc
Bai 11/338 (Lop 6) Hoi bieu taic V+ y+ 2"
trong dé x, ¥, 2 la cae phan sé ditong, c6 the lay
wad Wt 2004 khone ?
Lời giải Trước hết ta chứng mình hán vét
sau:
Nếu la mot s6 nguyén thi n chia cho 16 chi
có các số dư 1a 0 hoac |
That vay:
~ Néu n la mot s6 chan thi n* 1a sé chia hét
cho 16,
~ Nếu ø là một số lẻ thì „ = 2k + l (ke Z)
nên nở” =(2k+1)? =4k? +4k+I= 4k( + 1) +L
Vi &(k+1) là tích của hai số nguyên liên tiếp
nên nó luôn luôn là số chắn Do đó số # chia
cho 8 du I
Ta duoc n =(Ñm + 1)? =64mˆ +l6m+1 là số
chia cho 16 dw 1
Vậy n' chia l6 chỉ có các số đư là 0 (khi 0
chân) hoặc là l (khi ø lẻ)
Ta trở lại bài toán
Giả sử x, y,z là các phân số dương thỏa mãn
là các số tự nhiên không có cùng ước số chung
(ƯSC) nào lớn hơn I
Từ (l) suy ra mỗ +n' +kŸ =2004pŸ — (2)
Nếu p là một số chẩn thì 2004/Ï là một số
chia hết cho 16 nén ni’ +n" +k chia hết cho l6
Do đó theo nhận xét trên, ta có m,n, k phai la
các số cùng chấn (nếu ngược lại thì số
mỸ +nŸ + khi chia cho 16 chỉ có các số du 1
2, 3 nên không chia hết cho 16)
Nhu vay m, n, k, p là các số cùng chắn, trái
với giả thiết chúng không có cùng USC lớn
hon 1
voi mn, kp
Do đó p là một số lẻ Nhung khi dé 2004p"
là s6 chia cho 16 du 4 con mi +n4 +k? là số
chia cho l6 chỉ có thể du 0, 1, 2, 3 nén (2) không thỏa mãn
Vậy không có các phân số dương «+, y, : thỏa mãn bài toán
Nhân Xét 1) Với cách giải trên, trong đề bài có thể thay 2004 bảng môi xố tự nhiên bất kì mà khi chìa cho 16
có xố dư lớn hơn 3
2) Đối với bài này, ta có thể chí cần chứng mình nhân
xét nhẹ hơn là:
Nếu 0 là môi xô nguyên thì n' chia cho 4 chi có các xố
dy 1a O hoade 1 Sau đó từ (2) có thé xuy ra bạ xô mi nk cùng chấn Khi đó ø!+ø” + kÌ chia hết cho 16 nên phải là số chấn Máu thuần với gia thi€t mon, kop là
các xổ tự nhiên không có cùng USC lớn hơn l1
Các bạn sau đây có lời giải tỐI:
Ha Noi: Lé Quang Huy, 7H1, THCS Trung Vuong,
Q Hoàn Kiếm ; Quảng Trị: Trương Nha Liên, 4/N,
TH Hàm Nghi, Đông Hà ; Vĩnh Phúc: Nguyên Thị
Ngọc, Phùng Ngọc Quý, Lẻ Thị Tuyết Mai 6A THCS
Yen Lac Yén Lac
NGUYEN ANH DONG
Bai 12/338 (Lop 7) Cho tam gide ABC, lay diém D thude mia mat phang khong chita điềm
C be AB sao cho DA 4 AB va AD = AB Lay diem FE thuốc Ha mặt plang khong clita diem
B ha AC sao cho EA 1 AC va AE = AC So xduk điện tich tan gute ADE vớt diện tich tam gic ABC
Lời giải (Của đa số các bạn)
điện tích AA8C
Trên tia đối của tia AB lay diém B’
sao cho AB' = AB, dD
ta c6 AADB’ vuong
can, suy ra
AD 1 AB’ (h 1) , :
DAE va B'AC, c6
AD = AB, AE = AC (gt), DAE = B'AC (dang
thức này đúng khi góc À là nhọn, vuông hay tù) Do đó ADAE = A#“AC Suy ra
Mat khác, hai tam giác 8AC và ABC có AB’ = AB, cùng đường cao hạ từ đỉnh €C, do đó
Trang 6
* Bai T1/358, (Lop 6) Cho cdc sé duong a, b,
c thỏa mãn a` + b* = c’ So sénh a” + Bb”
va
Lời giải Chú ý rằng với số x ta có: Ö < x < I
khi và chỉ khi 0 < x* < 1 với mỗi số nguyên
dương n, và lúc đó x" < x" c» m < n với mỗi
cặp số nguyên đương m, 0i
Từ giả thiết +) =c` với a, b, c là các số
3 đương ta có a’ < c’ hay (+) < 1 nén theo
c
cha y trén thi “<1 va B 4$)
Tương tự có Lái và (2) <(2) ;
€ c c
2007 2007 3 3
Từ đó aso — <“—+—
bà: y 2007 es 5
Suy ra a?” + 57 < (2,
Nhận xét 1) Các bạn Lé Đức Luong, 6A, THCS
Lập Thạch, Vĩnh Phúc; Bạch Mỹ Hạnh, 6G, THCS
Hoàng Liệt, Q Hoàng Mai, Hà Nội; Nguyễn Duy
Hưng, 6, THCS Phong Huy Lĩnh, Đông Hưng, Thái
Bình: Nguyễn Thị Kim Oanh, 6C, THCS Bắc Hồng,
Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh đã chứng minh bài toán tổng
quất đưới đây với cách giải như trên
“Cho các số đương a, b, c thỏa mẫn a* + b" = c" với
n là số nguyên đương thì a" + b™ <c™ véi mdi sé
m > ñn”
Bạn Oanh còn nhận xét thêm là 4† + b† > cŸ với
mỗi số | < Í < n
2) Các bạn sau có lời giải tốt:
Phú Thọ: 72 Khánh Huyến, 6A1, THCS Lâm Thao; Vĩnh Phúc: Tạ Thị Mai Hạnh, Nguyễn Thế Tùng, Nguyễn Hoàng Quốc Việt Trấn Công Sơn, 6AI, THCS Yên Lạc; Hà Nội: Hoàng Anh Tú, 61, THPT
Marie Curie, Thanh Xuan; Hung Yén: Phan Thi Ha, 6A, THCS Tiên Lữ, Nghệ An: Trần Ngọc Đóng, 6A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Trần Dương
Hãng, 6C, THCS Thông Tân, Hưng Nguyên, Neuyén
Quốc Đức, 6C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương: Hà
Tĩnh: Hoàng Thu Thảo, 6D, THCS Nam Hồng, TX Hồng Lĩnh; Bạc Liêu: Trấn Quang Minh, 6/1, THCS Trần Huynh, TX Bac Liêu
VIỆT HẢI
*Bài T2/358 (Lớp 7) Cho tam giác ABC
cân tại A Gọi E là điểm tày ý nằm giữa B và
C Đường thẳng qua E vuông góc với AB và đường thẳng qua €C vuông góc với AC cắt nhau
ở D Gọi K là trung điểm của BE Tinh độ lớn
của góc AKD
Lời giải (Theo bạn Cao Thanh Ting, 7A, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa)
DE va AB (hinh
vẽ) Ta có
DCE + ACB =90°
(vi DC 1 AC)
ACB = ABC (vi
AABC cân tai A)
fEb+á8c | CA
FEB = DEC (đối đỉnh)
Suy ra DCE = DEC => ADECcan tai D
Trên tia đối của tia KD lấy điểm L sao cho
KL = KD Theo gia thiét KB = KE, nên AKBL = AKED (c.g.c) => BL= ED (2)
Tir (1) va (2) suy ra DC = LB
Ti (3) suy ra LB//ED => LB 1 AB
(vi ED 1 AB) => LBA =90° = DCA
Mặt khác, AB = AC (vi AABC can tai A) Suy ra AABL = AACD do dé AL = AD
Từ đó với chú ý ring KL = KD ta c6 AK 1 LD Vay AKD =90°.
Trang 7
* Bài T1/356 Tính tổng sau gồm 1002 số hạng
13 24 4 (n=Ì)(n+Ù) ở „102.100
=——-+
3.5 5.7 (2n-l(2n+l) ~ 2005.2007
Lời giải Ta bién đội số hạng tổng quát như sau:
(n — l)(n + l) = 4(n? - 1)
(2n—1)(2n+l) 4(2n-1).(2n +1)
(2n— 1)(2n + l) - 3 l 3
“3-3 m ma }
Cho zø lần lượt nhận giá trị 2, 3, I 003, ta được
1002.1004 _ 1
2005.2007 4
Do đó
+————
2005 2007
501 3/1 1
167501
_ 167501
669 `
{Nhận xét 1) Điều then chốt để giải bài toán là tạo
ra phân tích
(n = 1).(n + 1) -+-2 i 1
Một số bạn có cách phân tích khác nhưng dài hơn 2) Các bạn sau đây có lời giải tốt:
Phú Thọ: Để Quỳnh Trang, 6A1, THCS Lâm Thao; Vinh Phúc: Phan Văn Tín 6A1, THCS Yên Lạc,
Yên Lạc, Kiểu Thị Thủy Nguyên, Nguyễn Thị
Phương, Lê Thị Thanh Loan, 6A1, THCS Thạch Đà,
Mê Linh; Hà Nội: /é Héng Dung, 6A1, THPT
Nguyễn Tất Thành, Đổ Trưởng Sơn, 6G1, THCS Marie Curie, (ê Minh Phúc 6A5, Nguyễn Quốc Hoàn, 6A16, THCS Giảng Võ, Q Ba Đình; Hải
Dương: Phạm Quý Cường, Vũ Đăng Tú, Phạm lăn
Tú, Vũ Thị Hường A4, Nguyễn Thị Cúc, Vũ Thị Mai Anh, Vũ Thị Phương, Trịnh Bá Thắng, Chu Thị Tố Uyên, Phạm Thị Hải Yến, Nguyễn Thị Minh Thu,
6A1, Vũ Mai Anh, 6A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang ;
An Dưy Mạnh, 6/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương; Hải Phòng: Vi Hai Long, 6A8, THCS Chu Văn An; Nghệ An: Trần Dương Hằng, 6C, THCS Thông Tân,
Hưng Nguyên; Hà Tĩnh: Xguyễn Thị Kim Oanh, 6C,
THCS Bắc Hồng, Hồng Lĩnh; Thừa Thiên - Huế: Hoàng Phước Nhã Thi, 6A, THCS Nguyễn Tri
Phương, TP Huế; Quảng Ngãi: Nguyễn Thị Trản, 6A, THCS Hành Trung, Nghĩa Hành; TP Hồ Chí Minh: Nguyễn Trần Thiên Nghĩa, 6/6, THCS Trương
Văn Ngư, Q Thủ Đức
NGUYỄN ANH DŨNG
#*Bài T2/356 Gọi BE và CF là hai đường caa của tam giác ABC Chứng mình rằng tam giác ABC cản tại A khi và chỉ khi
AB + BE = AC + CF
Lời giải Cách ¡ Đặt AB = c, AC = b và gọi S
là diện tích tam giác ABC A
Ta có
AB + BE = AC + CF
©c+—=bÙ+—
be
= b-c+
2S
« (b-c) of ¬ l+— |=0 8 C
2S
«b-c=0|do lÌ+—>0
s be
<= b=c = AABC c&n tai A
Cách 2 s Điều kiện cần Dễ thấy nếu AABC
can tai A thi AB + BE = AC + CF
Trang 8
# Bài T1/349 (Lớp 6) Xér tong S gom 2006
số hạng sau:
Hãy so sánh S với 3
Lời giải Với mọi n 3 2 ta có
n+ì n+2 n+3
" 2m a" -
3 4 2006 2007
T0 Sy ar 8 2m 2
-1+(4-5}.($-S)
21 22) \2? 2) -
(sae mm)" [on — 3)
€ Nhận xét 1) Da sé cic bạn giải dài hơn bằng
1
l l
cach dit T = 2°32 * pues để tính 7 = 2T ~-T =
1 as Sa 6 tinh
2007
§=28-S=2+T- 2% = 3~
2) Bạn Nguyễn Hữu Thắng, 6B, THCS Yên Phong,
Bác Ninh đã tính tổng Š = 2v + 3+ + + (n + l)ứ
với + # | và nguyên dương bằng cách tính
2007 | 3
2206 53008 |< °°
(vŸ = 2v + l)§ = (x - 1)°S ri dp dụng với « =
n = 2006 đề suy ra kết quả
3) Các bạn sau có lời giải đúng và gọn:
Hà Nội: Đỏ Trường Sơn, 6A5, THCS Phan Chu
Trinh, Ba Đình; Vĩnh Phúc: Nguyền #foàng Hào,
6A1, THCS Yên Lạc; Thanh Hóa: £⁄ Thị Thúy, 6A,
?
+”
THCS Nhữ Bá Sỹ, Định Thị Dụ Tháo, 5A, TH Lê Tất Đắc, Hoàng Hóa; Quảng Bình: Nguyén Phí Hàng, 5A, TH Trung Trạch, Trần Đức Hòa, 5B, TH số 2
Hoàn Lão, Bố Trạch: Bình Định: Nguyếu Thị Xuân
Thảo, 6A 1, THCS Nhơn Lộc, An Nhơn
VIỆT HẢI
# Bài T2/349 (Lớp 7) Cho tam giác ABC:
trung tuyển AD và BE cắt nhau tại M Chứng
minh rang néu AMB <90° thì AC+ BC>3AB
Lời giải Vẽ trung tuyến C£ của AABC Trên
tia đối của tia C lấy điểm Ñ sao cho FN = FC, nối Ñ với A
F
Dé thay AANF = ABCF (c.g.c) > AN = BC
Trong tam gidc ANC ta c6é AN + AC > NC hay
Vi M 1a trong tam tam gidc ABC nén
AB
Ta sẽ chứng tỏ néu AMB < 90° thi MF>——-
That vay, gid sit MF < == AF = BF thì
FAM <AMF (3); FBM < BMF (4)
Từ (3) và (4) suy ra FAM+FBM < AMF+BMF
= AMB< 90° = FAM+FBM+AMB < 90°+90°
= 180° V6 li Vay MF > + (5)
Từ (1), (2) và (5) suy ra AC + BC > 3AB.0
Ấ Nhận xét I) Đây là bài toán khá hay và có nhiều
cách giải Xin gợi ý thêm hai cách giải để các bạn tham khảo
Ì) Vẽ các trung tuyến A/í, 8Œ cia tam gidc ABM
Chúng cất nhau tại N Hãy chứng tỏ AH < AE =
SÁC = AN < + AC Tương tự, BN < BC, suy ra
AC + BC > XAN + BN) > 3AB
Trang 9
#Bài T1/346 (Lớp 6) So sánh ng với
tông 4 gâm 2006 số hạng sau:
= — -—~ ‡———— - + +———t ——~xz—
2005+! 20057+1 x92”, x2,
Lời giải Với các số tư nhiên m, & lớn hon |
ta có
mom _mk+m—mk+m _ 2m
Trong đẳng thức (*) lần lượt cho # bằng 2005,
20057, 2005”, 20057", 20057 va
m tuong img bang 2, 27, 2°, ., 2"*', ., 27%
ta được
2005+1 2005-1 2003? -J
2005°+i 20057-1 2oos? -\
2005”+| 2005-1 20081 -
22008
20087 "+1 20057 -1 2005
l
20058? 41 20087 -1 20087 -1
Cong theo từng vế của 2006 dang thifc trén
2005-1 200s5¡
duoc A=
Hai phân số ở vế phải đẳng thức này đều
1002
I 2005-1 1002
< Nhận xét Các bạn sau có lời giải tốt:
Phú Thọ: Dinh Van Viét, 6A2, THCS Il TTr Thanh
Ba; Vĩnh Phúc: Nguyền Tuấn Ank Quản, 6A1, THCS
Yên Lac, Nguyén Ngoc Tho, 6A, THCS Yén Lac; Hai
Dương: Wguyến Thị Hóng Ngọc, Đăng Thi Thu Hương, Vũ Thị Tháo, 6A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang; Quang Ninh: Dé Thdi Ching, 6A1, THCS Nguyễn Trãi, Uông Bí; Thanh Hóa: Cao Thanh
Tùng, 6A, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoàng Hóa: Bình Định:
Lê Thị Hoàng Nguyên, 6AI, THCS Nhơn Lộc, An
Nhơn An Giang: Phan Anh Khải, 6AI, THCS Nguyén Trai, TX Chau Đốc :
VIET HAI
* Bài T2/346 (Lớp 7) Cho ba sé nguyên a
b,c đôi một khác nhau và khác thoả
mãn a + b + c = 0 Tinh giá trị của biêu thức
€ a b a-b b-c c-a
OF ye oa
Loi gidi Dat x = khi đó
p= Gas ) hy 2,247,
Ta có
b=c c-a _ (b-aXb+a~-c) 7 2c(a-b)
y+z_2c(a-b) c ie
Tương tự ta có 548 ae : it SE
Do đó
P= 3+2 a4 b CC = 3+2 at+bt+c ~
y+z=
(vib+a=-c)=>
Viat+b+c=Ontna+b=-c
=> (a+b)` +ce`=0
= a`+b`+c`+3ab(a+b) =0
= a`+b`+c`~3abc =0
= a`+b`+c` =3abc
3abc
Từ đó P= 3+2 —=9 Vậy P = 9
a
Trang 10
* Bai T1/345 Cho
A -(1 -—)(1 oe ).(1 oa
142 I+2+3 I+2+3+ +n
là téÌ của n— 1 (hàa số và = 8S Teh =
ni Lời giải Ta đã biết công thức tính tổng của & số
nguyên dương liên tiếp từ ! đến # là
ee ee
I+2+3+ +È k(k+1)
_ Re =k+2k-2 _ (k-1)(k +2)
— k*+l) ke)
Ap dụng với k = 2, 3, " ta được
_ ki +k-2
k(k+l)
_ 14 25 (n—-2\ n+l) (n-l)(n+2)
2.3 34 (n—=l)n n(n+Ì)
_ 12 „(n=2Xn-l) 4,5 (n+1Xn+2) _ nt+2
2.3 (n—Dn 3 4 n(n +1) cae
Từ đó Ante on it
B 3n n+2 3
Ấ Nhận xét Đa số các bạn giải theo cách trên Một số
bạn quy đồng mẫu số của A rồi tính riêng tử số và mẫu
xố nên phức tạp hơn Các bạn sau có lời giái tốt, trình
bày đầy đủ, rõ ràng:
Phú Thọ: Nguyền Quốc Hàng, 6E, THCS Văn Lang,
Việt Trì, Đính Văn Việt, 6A2, THCS II TTr Thanh Ba;
Vĩnh Phúc: Nguyền Thái Hà, Nguyễn Ngọc Thọ, 6A,
Nguyễn Mạnh Hùng, Nguyễn Hoàng Hào, Nguyễn Việt
Dũng, 6A\, THCS Yên Lạc, Khổng Hoàng Trang 6D,
THCS Lập Thạch, Mạc Thị Thu Huệ, 6A, THCS Đồng
Quế, Lập Thạch, /é Thanh Nga, 6AI, THCS Trưng
Vương, Mê Linh; Hà Nội: Nguyễn Ngọc Khánh Linh,
6A 13, THCS Giảng V6, Ba Dinh; Ha Tay: Nguyén Thi
Khanh Hoa, 6A1, THCS Té Tieu, MY Duc; Nam Dinh:
Nguyễn Quang Nhân, 6A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP
Nam Định; Hải Dương: Phạm Đức Thuân Trần Thị
Phương, Đặng Thị Thu Hương, 6A2, THCS Vũ Hầu,
Bình Giang: Thanh Hóa: Cao Thanh Tùng, Lá Thị Thúy, 6A, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoàng Hóa, La Thị Sáng,
6C, THCS Tién Loc, Hau Loc; Nghé An: Nguyén Thi Cẩm Dương, 6A, Vũ Duy Hùng, 6C, THCS Lý Nhật Quang, DO Luong, Tang Van Tiến, 6A, THCS Diễn Hạnh, Diễn Châu: Hà Tĩnh: V2 Th¿ Phương Thảo, 6D, THCS Lam Kiểu, Song Lộc, Can Lộc; Quảng Bình: Nguyễn Phú Hàng, 5A, TH Trung Trạch, Bế Trạch; Quảng Trị: Nguyén Thi Ngoc Gidu, 6/5, THCS
Nguyễn Binh Khiêm, Triệu Phong, Phạm Thị Nguyên,
6/3 THCS Hiếu Giang, Đông Giang, Đông Hà: Quảng Ngài: Nguyễn Bảo Trán, 6D, THCS Nguyến Tự Tân, Bình Son; Ba Ria — Vang Tau: Nguyén Van Quản, 6A, THCS Boi I, Xuyén Loc; Dong Nai: Nguyén Van Nhơn, 6/2, THCS Nguyễn Hữu Cảnh, Cẩm Mỹ
VIỆT HẢI
* Bài T2/345 Co (am giác ÁBC cần tại A lấy điểm ở trong tam giác sao cho
AOB < AOC So sánh độ dài của OB va OC
Kẻ đường cao AH
Nếu điểm O thuộc
AH thi dé thay OB=OC va AOB = AOC ,
Gia sit tia AO nằm trong góc
cat AH taiM (hinh vé)
Nối BM Ta có OC = OM + MC = OM + MB>
OB Từ đó OCB < OBC Suy ra ACO=ACB-OCB > ABC-OBC=ABO (1)
Ta có CAO > CAH = BAH > BAO (2)
Tu (1), (2) 6 AOB = 180" - (ABO + BAO) >
> 180° - (ACO+CAO) = AOC Diéu này trái
gia thiét
Vay tia AO phai ndm trong góc CA¿í Lập luận tương tự như trên c6 OB > OC va AOB < AOC
Vay AOB < AOC < OB > OC Dpem 0
10