Phân tích đa thức sau ra thừa số.. Giải phơng trình.. Tổng số học sinh giỏi Toán , giỏi Văn của hai trờng THCS đi thi học sinh Giỏi lớn hơn 27 ,số học sinh đi thi văn của trờng là thứ n
Trang 1đề thi học sinh giỏi khối 9
( thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1( 2 đ ) Phân tích đa thức sau ra thừa số
a4 + 8a3 + 14a2 – 8a –15
Câu 2( 2 đ) Chứng minh rằng biểu thức 10n + 18n + 1 chia hết cho 27 với n là
số tự nhiên
Câu 3( 2 đ ) Tìm số trị của
b a
b a
−
+ Nếu 2a2 + 2b2 = 5ab , và b > a > 0
Câu 4( 4 đ ) Giải phơng trình.
a) 4y2 +x = 4y2 −x− x2 + 2
b) x4 + x2 + 2006 = 2006
Câu 5( 3 đ ) Tổng số học sinh giỏi Toán , giỏi Văn của hai trờng THCS đi thi
học sinh Giỏi lớn hơn 27 ,số học sinh đi thi văn của trờng là thứ nhất là 10, số học sinh đi thi toán của trờng thứ hai là 12 Biết rằng số học sinh đi thi của tr-ờng thứ nhất lớn hơn 2 lần số học sinh thi Văn của trtr-ờng thứ hai và số học sinh
đi thi của trờng thứ hai lớn hơn 9 lần số học sinh thi Toán của trờng thứ nhất Tính số học sinh đi thi của mỗi trờng
Câu 6( 3 đ ) Cho tam giác ABC cân ở A đờng cao AH = 10 cm dờng cao BK =
12 cm Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
Câu 7(4 đ ) Cho (O;4cm) và (O’;3cm) nằm ngoài nhau , OO’=10cm Tiếp
tuyến chung trong tiếp xúc với đờng tròn tâm O tại E và đờng tròn O’ tại F, OO’ cắt đờng tròn tâm O tại A và B, cắt đờng tròn tâm O’ tại C và D (B,C nằm giữa 2 điểm A và D) AE cắt CF tại M, BE cắt DF tại N
Trang 2Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 9
Câu 1:
a4 +8a3 + 14a2 – 8a – 15
= a4 +8a3+16a2 –a2-8a –16-a2 +1
= (a4+8a3 +16)-(a2+8a+16) –(a2-1)
= (a2+4)2-(a+4)2-(a2-1)
= a2(a+4)2-(a+4)2-(a2-1)
=(a2-1)[(a+4)2-1]
=(a-1)(a+1)(a+3)(a+5)
Câu 2: Ta có: 10n –1 =
n
9
Vậy 10n +18n –1 = n
n
2 9 9
99 +
= 9 (11 1 2n)9
n
+
mà ((11 1 2n)
n
+
n
+
Số n và số có tổng chữ số bằng n có cùng số d trong phép chia cho 3( theo dấu hiệu 3 ) nên (11 1 2n)
n
+
10n +18n 27
Câu 3: 2a2 +2b2 = 5ab => 2a2 –5ab +2b2 =0
<=> (2a-b)(a- 2b) =0 (1)
Vì b > a > 0 nên a ≠ 2b
(1) thoả mãn thì 2a – 2b = 0 => 2a = b
Vậy a a−+b b= =
−
+
a a
a a
2
2
a
a
−
3
= -3
Câu 4 a, 4y2 +x= 4y−x - x2 + 2 (1)
⇔ 4y2 +x+ x2 + 2 = 4y−x
⇔4y2 +x + 2 ( 4y2 +x)(x2 + 2 )+ x2 +2 = 4y –x
⇔ (4y2 -4y + 1) + (x2 +2x + 1)+ 2 ( 4y2 +x)(x2 + 2 )=0
⇔(2y-1)2 +(x+1)2 + 2 ( 4y2 +x)(x2 + 2 )=0 (2)
VT =0 ⇔ (2y-1)2 =0 , (x+1)2 =0 , ( 4y2 +x)(x2 + 2 )=0
⇒ x=-1 , y = 21 ;
Vậy nghiệm của phơng trình: x= -1
y =
2 1
b)
x4+ x2 +2006=2006
<=> x4 = 2006 - x2 + 2006
<=> x4 + x2 +
4
1
= x2 +2006 - x2 + 2006 +
4 1
<=> (x2+
2
1
)2 = ( x2 + 2006
-2
1
)2
<=> x2 +
2
1
= | x2 + 2006
-2
1
| = x2 + 2006
-2 1
Trang 3<=> x2+1 = x2 + 2006
<=> x4 + 2x2 + 1 = x2 + 2006
<=> x4 + x2 – 2005 = 0
Đặt ,giải theo phơng trình trùng phơng
Câu 5:
Gọi học sinh trờng 1 là x
Gọi học sinh trờng 2 là y
Ta có : x ≥ 10 ; y≥ 12
Từ đề bài => x + y > 27 ; x > 2(y – 12) ; y > 9(x – 10) Tức là : x + y > 27 (1)
2y – x < 24 (2) 9x – y < 90 (3) Nếu x = 10 thì từ (1) => y >10 hay 2y – x > 34 – 10 = 24 điều này mâu thuẫn với (2)
Vậy x> 10 (4)
Nhân hai vế của (3) với 2 rồi cộng với (2) đợc 17x < 204 => x < 12
mà x >10 => x = 11
Thay vào (1) => y > 16
Thay vào (2) => 2y < 35 => y < 18 => y = 17
Đáp số : - Trờng 1: 11 học sinh
- Trờng 2: 17 học sinh
Đặt AC = x = AB ; BC = y
=> 12x = 10y =>
5
x
=
6
y
( ) 2 =x2 − 10
y
x
Giải ra ta đợc : B y H
C
x = 12,5 ; y = 15
E2
K2
Trang 4a) EF là tiếp tuyến chung trong OE ⊥ EF ; O’F ⊥ EF => OE // O’F
=> Oˆ1 =Oˆ' 1 ( so le trong) => OE = OB =>
2
ˆ 180
0 1
O
O’C = O’F =>
2 ' ˆ 180
0 1
O
C = − Oˆ1 =Oˆ' 1 => Bˆ 1 =
2
ˆ
180 0 −O1
O’C = O’F => Cˆ 1 =
2
ˆ
180 0 −O1 ;
1
1 ˆ'
ˆ O
O = => Bˆ 1 =Cˆ 1 ; Cˆ 1 =Cˆ 2 (đối
đỉnh)
=> Bˆ 1 =Cˆ 2 => EN // FM Tơng tự EM // FN
MENF là hình bình hành
AB là đờng kính => AEB = 900 => MEN = 900
MENF là hình chữ nhật ; EF cắt MN tại K
KE = KM => Mˆ 1 =Eˆ 2
Số đo Aˆ 1 =sđ
2
ˆ
E
B => sđ Eˆ 1 = sđ
2
ˆ
E
B => sđ Aˆ 1= sđ Eˆ 1
Có Eˆ 1 + Eˆ 2 = 900 => Aˆ 1 + Mˆ 1 = 900 => MN ⊥ AD
