Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9

PHÒNG GD-ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU Thời gian 120 phút không kể giao đề Bài 1 2,0 đ: Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia.. Kẻ BH

PHÒNG GD-ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU

Thời gian 120 phút (không kể giao đề)

Bài 1 (2,0 đ):

Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia.

Bài 2 (1,75 điểm):

Giải phương trình: x 3 4 x 1    x 8 6 x 1 1

Bài 3 (1,75 điểm):

Cho a, b, c là các số lớn hơn 0 Chứng minh rằng:

bc + ac + ab 9 abc a + b + c

Bài 4 (1,50 điểm): Cho x > 0, y > 0 Chứng minh rằng:

xy x + y

Bài 5 (3,0 điểm):

Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD Tính góc BMK ?

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1 (2,0 đ): Tỡm hai số nguyờn dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thỡ

chia hết cho số kia

Theo giả thiết ta cú:  

x + 1 y

y + 1 x









Do đú ta cú: x + 1 y + 1 xy    (0,125 đ)

xy + x + y + 1  xy

x + y + 1 xy

x + y + 1 = nxy

n

x y xy

Giả sử x y 1 khi đó ta có 1 1 ; 1 1

Do đú: 1 1 1 1 1 1 3

Hay: 1 1 1 3

Từ (1) và (2) ta suy ra: n 3 y 3

y

+ Với y = 1, thay vào (*) ta cú x + 2 = nx  x(n - 1) = 2 (0,125 đ)

+ Với y = 2, thay vào (*) ta cú x + 3 = 2nx  x(2n - 1) = 3 (0,125 đ)

Ta cú x n; y = 2 nên x n    x = 3 (0,125 đ)

+ Với y = 3 => x > 3 => 1 1 1 1 Do đó n < 1 (loại)

Vậy bộ cỏc số nguyờn dương x, y là:(1;1); (1;2); (2;1); (3;2); (2;3) (0,125 đ)

Bài 2 (1,75 điểm):

Giải phương trỡnh: x 3 4 x 1    x 8 6 x 1   1

Ta cú: * x 3 4 x 1    (x - 1) - 4 x - 14 (0,125 đ)

x - 1 2 x - 1 2

* x 8 6 x 1  x - 1 6 x - 19 (0125 đ)

 x - 1 32 x - 1 3

Phương trỡnh đó cho trở thành: x - 1 2  x - 1 3 1 (0,25 đ)

2 x - 1 3

5 x 10

Vậy nghiệm của PT đã cho là:  5  x  10 (0,25 đ)

Bài 3 (1,75 điểm): Cho a, b, c là các số lớn hơn 0 Chứng minh rằng:

bc + ac + ab 9 abc a + b + c

Để giải quyết bài toán trên, ta giải quyết bài toán sau: Cho a, b, c là các số lớn hơn 0 Chứng minh rằng: bc + ac + ab a + b + c 9 0

Tacó: bc + ac + ab a + b + c 9

bc + ac + ab a + b + c

9 abc



abc + b c + bc a c +abc + ac a b + ab abc

9 abc

c a b b c a a b c 3abc

9 abc

6

(0,125 đ) =

= a + b2 a + c2 b + c2

Vì a + b2

0

ab  ; a + b2

0

ab  ;

a + b2

0

Nên: = a + b2 a + c2 b + c2

0

Suy ra bc + ac + ab a + b + c 9 0

Hay bc + ac + ab 9

Bài 4 (1,50 điểm): Cho x > 0, y > 0 Chứng minh rằng:

xy x + y

Ta có: 1 1 4 x + y y + x + y x - 4xy  

xy + y + x + xy - 4xy

xy(x + y)

x - 2xy + y xy(x + y)

x - y

0 xy(x + y)

Do đó: 1 1 4 0

xy x + y  hay 1 1 4

Bài 5 (3,0 điểm):

Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M là trung điểm của

AH, K là trung điểm của CD Tính góc BMK ?

Vẽ hình và ghi được GT,KL (0,5 đ)

Gọi N là trung điểm của BH; Tia MN cắt BC

tại E, ta có MN là đường trung bình của ABH  =>

MN // AB và MN = 1AB = 1CD (v× AB = CD)

Do đó MN // CK MNCK lµ h b×nh hµnh

MN = CK







Tam giác BMC có BH MC   BH lµ ® êng cao (0,25 đ) Mặt khác ME // AB mà AB BC nªn ME   BC hay ME là đường cao của tam

Như vậy N là trực tâm của tam giác MBC Do đó CN BM (2) (0,25 đ)

BM t¹i M hay BMK 90

K

E N

M H

C B

D A