môn học lọc số và mã hoá băng con

Trong trờng hợp này, hệthống thực hiện trên máy tính số một dãy các thuật toán qua mộtchơng trình phần mềm, và nh vậy, hệ thống xử lý tín hiệu số đợc thực hiện bằng phần mềm.. 1.3 Hệ thố

a) Mức tín hiệu theo thời gian

b) Công suất tín hiệu theo tần số

Chơng1 Tín hiệu và hệ thống

1.1Khái niệm tín hiệu, hệ thống

1.1.1 Tín hiệu

Tín hiệu là đại lợng vật lý biến đổi theo thời gian, không

gian, theo một hoặc nhiều biến độc lập Về mặt toán học, tínhiệu có thể xem nh một hàm phụ thuộc một hoặc nhiều biến

Ví dụ, hàm phụ thuộc biến thời gian độc lập:

) (

1

t t t F t

N i

ta cần đo các tham số biên độ, tần số và pha của nó Mức côngsuất tín hiệu ở các tần số (Frequency) khác nhau biểu diễn trên

đồ thị phổ (Spectrum) hình 1-1b

Một số các ví dụ thực tế khác nh: điện tim cho biết hoạt

động của tim, điện não cho biết hoạt động của não,…Các tín

hiệu này tơng tự nh âm thanh có thể đợc biểu diễn dới dạnghàm theo một biến độc lập thời gian Hình ảnh tĩnh là một ví

dụ về tín hiệu phụ thuộc hai biến không gian độc lập x, y

Các tín hiệu đều đợc phát ra từ một hệ thống Các tín hiệu kích thích kết hợp với các hệ thống tạo thành các nguồn tín hiệu.

Ví dụ nguồn tín hiệu âm thanh, nguồn tín hiệu hình ảnh,…

1.1.2 Hệ thống

Hệ thống có thể đợc xem nh thiết bị vật lý tác động vào tín hiệu một hoặc một số thuật toán Ví dụ bộ lọc dùng để lọc

nhiễu và tạp âm lẫn trong tín hiệu sạch, thực hiện thuật toán

lọc Khi cho tín hiệu qua hệ thống để lọc là thực hiện xử lý tín

hiệu Nói chung, hệ thống đợc đặc trng bởi loại thuật toán mà nóthực hiện đối với tín hiệu Chẳng hạn: thuật toán tuyến tính thì

hệ thống đợc gọi là tuyến tính, thuật toán phi tuyến thì hệthống đợc gọi là phi tuyến

Một hệ thống đợc định nghĩa không chỉ là thiết bị vật lý

mà nó gồm cả phần mềm thực hiện các thuật toán đối với tínhiệu Xử lý tín hiệu số trên máy tính số, các thuật toán đợc thựchiện qua một chơng trình phần mềm Trong trờng hợp này, hệthống thực hiện trên máy tính số một dãy các thuật toán qua mộtchơng trình phần mềm, và nh vậy, hệ thống xử lý tín hiệu số

đợc thực hiện bằng phần mềm Xử lý tín hiệu số cũng đợc thựchiện bằng phần cứng kỹ thuật số (mạch lôgic), đợc cấu hình theocác thuật toán yêu cầu riêng Trờng hợp này, hệ thống có một thiết

bị vật lý thực hiện các thuật toán riêng Nh vậy trờng hợp tổng

quát, hệ thống bao gồm cả phần cứng và phần mềm, mỗi phần thực hiện những thuật toán riêng của nó.

Trong hệ thống số, xử lý các tín hiệu số qua các phần cứnghoặc phần mềm Các tín hiệu thực tế là tơng tự thì phải quakhâu biến đổi tơng tự/số (ADC)

Phơng pháp hoặc các luật thực hiện hệ thống qua một

ch-ơng trình thực hiện các thuật toán (operation) tch-ơng ứng đựơcgọi là giải thuật (algorithm) Thờng có nhiều giải thuật để thựchiện một hệ thống Thiết kế hệ thống thờng theo những giải

thuật nhanh nhất, dễ thực hiện nhất Xử lý tín hiệu số nghiên

cứu những giải thuật hiệu quả nhất để thực hiện các thuật toán lọc, tơng quan và phân tích phổ tín hiệu.

2 , 1 1

)

n khi n

x

Trong các tr ờng hợp khác

1.2 Tín hiệu rời rạc theo thời gian

1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc

Ta đã biết tín hiệu rời rạc theo thời gian là hàm của một biến

số nguyên độc lập (biến thời gian)

1.Biểu diễn bằng đồ thị

Trên đồ thị biểu diễn, tín hiệu không tồn tại ở các thời điểmgiữa các mẫu (hình 1-13), tín hiệu x(n) luôn bằng không khibiến độc lập n không phải là số nguyên

Các tín hiệu x(n) có đợc bằng cách lấy mẫu tín hiệu tơng tựxa(t):

)()

(n x nT

với T là chu kỳ lấy mẫu (khoảng thời gian giữacác mẫu)

Giá trị của x(n) chính là giá trị của xa(t) tại các thời điểm t=nT

Hình 1-2 tín hiệu rời rạc theo thời gian

khi khi

4.Biểu diễn bằng dãy

- Dãy tín hiệu thời gian vô hạn, có gốc thời gian n=0 đợc chỉ ra

bằng ký hiệu ↑

Ví dụ:

Dãy có các giá trị x(n)=0 khi n<0:

- Dãy thời gian hữu hạn

Ví dụ:

Dãy thời gian hữu hạn có giá trị x(n)=0 khi n<0:

1.2.2 Một số dạng cơ bản của tín hiệu rời rạc theo thời gian

1.Dãy tín hiệu mẫu đơn vị (unit sample)

Tín hiệu chỉ bằng 1 khi n=0, và luôn bằng 0 với mọi giá trị

n Tín hiệu này còn có tên gọi là xung đơn vị.

Hình 1-3 tín hiệu mẫu đơn vị

2.Tín hiệu bớc nhảy đơn vị (unit step)

khi khi

(n

rectN khi 0 n N-1trong các tr ờng hợp khác

khi khi

Hình 1-4 Tín hiệu bớc nhảy đơn vịTrờng hợp dãy hữu hạn:

Tín hiệu đợc gọi là dãy chữ nhật đơn vị chỉ nhận giá trị 1

khi n=0, 1,…N-1 và bằng 0 với mọi giá trị khác của n

Quan hệ giữa δ(n) và u(n):

(1.5)Và:

Tín hiệu x(n) có thể dịch theo thời gian bằng cách thay biến

độc lập n bằng n-k (k, n là các số nguyên) Khi k>0, kết quả dịchlàm trễ tín hiệu x(n) đi k đơn vị thời gian Khi k<0 thì ngợc lạiquả dịch làm sớm tín hiệu x(n) lên |k| đơn vị thời gian

ứng dụng phép dịch, có thể biểu diễn dãy x(n) bất kỳ dớidạng tổng:

(1.7)

Là dãy tín hiệu có biên độ x(k) tại các thời điểm n=k và bằng

0 với các giá trị khác của n

Phép phản xạ (phép gấp hay đảo)

Thay biến độc lập n của x(n) bằng –n, kết quả đợc ảnh phảnxạ của tín hiệu qua gốc thời gian n=0:

Ví dụ hình 1-7 là tín hiệu x(n) và ảnh phản xạ x(-n), x(-n+2):Với tín hiệu y(n) = x(-n): y(0)=x(0)

y(1)=x(-1)y(2)=x(-2),

y(-1)=x(1)y(-2)=x(2),

Với tín hiệu y(n)= x(-n+2): y(0)=x(2)

y(1)=x(1)y(2)=x(0),

y(-1)=x(3)y(-2)=x(4),

Kết quả tín hiệu x(-n+2) là x(-n) dịch phải 2 đơn vị

Chú ý: các tín hiệu x(n-k) và x(-n+k) có ký hiệu khác nhau nhng

đều là các tín hiệu x(n) và x(-n) dịch phải k đơn vị thời gian

Hình 1-7 Ví dụ tín hiệu x(n) và các ảnh phản xạ

Phép lấy tỷ lệ theo thời gian

Thay thế biến độc lập n bằng àn với à là số nguyên dơng

Ví dụ hình 1-8 là tín hiệu x(n) và x(2n)

y(n) = x(2n) có: y(0) = x(0)

y(1)=x(2)y(2)=x(4),

y(-1)=x(-2)y(-2)=x(-4),

Tín hiệu x(n) có đợc bằng cách lấy mẫu tín hiệu tơng tự xa(t),khi ấy x(n)= xa(nT) với T là chu kỳ lấy mẫu Khiy(n)=x(2n)=x(2nT), thay đổi tỷ lệ thời gian tơng đơng nh thay

đổi tốc độ lấy mẫu từ 1/T thành 1/2T, giảm tốc độ lấy mẫu theo

hệ số 2 nên gọi là thuật toán lấy mẫu xuống.

Trong trờng hợp thay biến n bằng

n

η

1

với η là số nguyên dơngtốc độ lấy mẫu sẽ tăng η lần, thuật toán này gọi là lấy mẫu lên.

Hình 1-8 (a) tín hiệu x(n) và (b) tín hiệu x(2n)Hình 1-9 là ví dụ tổng quát: Tín hiệu x(n) và các phép dịchphải x(n-2), đảo x(-n) lấy mẫu xuống x(2n) và lấy mẫu lên x(n/2)

Hình 1-9 ví dụ phép dịch, đảo, lấy mẫu xuống và lấy mẫulên

II Phép cộng, nhân, tỷ lệ với dãy tín hiệu (hàm hoặc biến phụ thuộc)

Phép lấy tỷ lệ biên độ tín hiệu

Nhân tín hiệu với hằng số A bằng cách nhân A vứi tất cảcác mẫu tín hiệu:

(1.8)Tổng hai tín hiệu

(1.9)Thực hiện cộng hai tín hiệu tại các thời điểm n tơng ứngcủa cả hai tín hiệu Ví dụ n=1 thì y(1) =x1(1)+x2(1)

Tích hai tín hiệu

(1.10)Thực hiện nhân hai tín hiệu tại các thời điểm n tơng ứngcủa cả hai tín hiệu Ví dụ n=1 thì y(1) =x1(1).x2(1)

1.3 Hệ thống rời rạc theo thời gian

1.3.1 Khái niệm

Hệ thống rời rạc theo thời gian (gọi tắt là hệ thống rời rạc) làthiết bị hay giải thuật thực hiện với các tín hiệu rời rạc theo thờigian gọi là tín hiệu vào hay tín hiệu kích thích (tác động) theomột số luật để tạo ra một tín hiệu rời rạc theo thời gian khác gọi

là tín hiệu ra hay tín hiệu đáp ứng của hệ thống Hệ thống nhmột hoặc một tập các thuật toán (toán tử) thực hiện trên tín hiệuvào x(n) để tạo ra tín hiệu ra y(n) Ta nói tín hiệu vào x(n) đợc

Hình 1-10 Sơ đồ khối hệ thống rời rạc theo thời gian

Ví dụ: Xác định đáp ứng của các hệ thống sau với tác động đầu

(b) Tín hiệu ra trễ so với tín hiệu vào một đơn vị thờigian:

(c)Tín hiệu ra sớm so với tín hiệu vào một đơn vị thời gian:

(d) Xác định tín hiệu ra theo từng giá trị n:

Bắt đầu từ n=0:

Lặp lại cách tính với các giá trị khác của n ta đợc:

(e) Hệ thống chọn giá trị cực đại trong 3 giá trị đầu vào,kết quả:

(f) Hệ thống nh bộ tích luỹ cộng tất cả các tín hiệu vào quákhứ và hiện tại, đáp ứng ra hệ thống đợc:

Từ các ví dụ trên cho thấy: tín hiệu ra của hệ thống tại thời

điểm n=n0 ngoài phụ thuộc vào tín hiệu vào tại n0, còn phụthuộc vào tín hiệu vào tại các thời điểm trớc và sau n0

1.3.2 Sơ đồ khối hệ thống rời rạc theo thời gian

Ký hiệu trong sơ đồ khối các khối cơ bản trong hệ thống nhsau:

Bộ cộng

Hình 1-11 Ký hiệu bộ cộngNhân với hằng số

Hình 1-14 Ký hiệu khâu trễ đơn vị

Khâu trễ đợc ký hiệu chữ D (Delay)

Khâu sớm đơn vị

Hình 1-15 Ký hiệu khâu sớm đơn vị

Ví dụ: Vẽ sơ đồ khối hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu

ra y(n) và tín hiệu vào x(n) nh sau:

Giải: Từ đầu vào x(n), tín hiệu qua các khâu nhân hệ số 0,5 để

có thành phần 0,5x(n) Thành phần thứ hai qua khâu trễ đơn vi

để có x(n-1) và nhân 0,5 để đợc 0,5x(n-1) Cộng hai thànhphần để đợc 0.5x(n)+0.5x(n-1)

Thành phần thứ ba là tín hiệu phản hồi từ đầu ra qua trễ

đơn vị có đợc y(n-1), nhân tiếp với hệ số 0.25 Kết quả đợccộng với tổng hai thành phần đầu ta sẽ đợc y(n)

Sơ đồ khối biểu diễn trên hình 1-29a

Có thể vẽ sơ đồ khối theo dạng hình 1-29b khi thực hiệnnhóm chung hệ số 0,5 của hai thành phần đầu:

Hình 1-16 Sơ đồ khối ví dụ hệ thống rời rạc

tại thời điểm n phụ thuộc vào các mẫu vào trong khoảng từ n

đến n-N với N ≥0 Ta nói hệ thống có nhớ đoạn N Khi N=0 hệthống là hệ thống tĩnh Khi 0<N<∞, hệ thống có nhớ hữu hạn vàN=∞ là hệ thống nhớ vô hạn

2 Hệ thống bất biến và biến đổi theo thời gian

Hệ thống bất biến theo thời gian nếu các đặc tính đầu vào

và đầu ra không thay đổi theo thời gian

Định nghĩa: Hệ thống t gọi là bất biến theo thời gian haydịch không đổi nếu và chỉ nếu:

đồng thời:

(1.15)

với mọi tín hiệu vào x(n) và với mọi giá trị dịch nguyên k

Nếu đáp ứng của hệ thống là y(n) khi tác động vào là x(n)thì đáp ứng của nó sẽ là y(n-k) khi tác động là x(n-k)

Ví dụ:a/ Hệ thống: y(n)= x2(n) là bất biến

Chứng minh:

Khi đầu vào là x(n) thì dáp ứng ra y(n)=x2(n)

Khi đầu vào dịch n0 đơn vị: x’(n)= x(n-n0), đáp ứng radịch:

y’(n)= [x(n-n0)]2= x2(n-n0) và: y(n-n0)=x2(n-n0)

Vậy: y’(n)=y(n-n0))b/Hệ thống: y(n)=x(n)+ x(-n) không bất biến

Chứng minh:

Cho x(n) = δ(n), đáp ứng ra y(n)= δ(n)+ δ(-n)=2δ(n)

Khi x’(n)= x(n-1)= δ(n-1), đáp ứng ra y’(n)= δ(n -1)+ δ(-n-1).Trong khi đó: y(n-1)= 2δ(n-1) ≠ y’(n)

3 Hệ thống tuyến tính và phi tuyến

Hệ thống tuyến tính thoả mãn nguyên tắc: đáp ứng của hệthống với tổng trọng số của các tín hiệu vào bằng tổng trọng sốcác đáp ứng ra tơng ứng với từng tín hiệu vào riêng rẽ

Định nghĩa: Hệ thống t gọi là tuyến tính nếu và chỉ nếu:

(1.16)Với các chuỗi vào x1(n), x2(n) bất kỳ và a1, a2 là các hằng số

Hệ thống tuyến tính đợc minh họa nh trên hình 1-17

Hình 1-17 Hệ thống tuyến tính nếu và chỉ nếu y(n)=y’(n)

Nếu tác động vào hệ thống mẫu đơn vị tại thời điểm n=k: δ(n-k), đáp ứng của hệ thống:

Tổ hợp tuyến tính hai chuỗi tín hiệu vào:

y3(n)= t [a1x1(n)+ a2x2(n)]=n[a1x1(n)+ a2x2(n)]

Tổ hợp tuyến tính hai chuỗi tín hiệu vào:

y3(n)= t [a1x1(n)+ a2x2(n)]=[a1x1(n)+ a2x2(n)]2

Tổ hợp tuyến tính các đáp ứng ra tơng ứng với đầu vàox1(n) và x2(n):

a1y1(n)+a2y2(n)= a1x12(n)+ a2x22(n)≠ y3(n) Hệ phi tuyến

4 Hệ thống nhân quả và không nhân quả

Hệ thống là nhân quả nếu đáp ứng ra của hệ thống tại thời

điểm bất kỳ chỉ phụ thuộc vào các tác động vào hiện tại và quákhứ mà không phụ thuộc các tác động tơng lai Về toán, đáp ứng

ra của hệ thống đợc biểu diễn dới dạng hàm của các tác động vào

nh sau:

y(n) = F[x(n), x(n-1), x(n-2), ]

(1.22)

Hệ thống có đáp ứng ra phụ thuộc cả vào các tác động vào ởcác thời điểm tơng lai là hệ không nhân quả.

y( ) ( )

; y(n)=ax(n) là hệnhân quả do có các đáp ứng ra chỉ phụ thuộc tác động hiện tại

Định nghĩa: Một hệ thống đợc gọi là ổn định BIBO (bounded

input- bounded output) nếu và chỉ nếu tác động đầu vào hữuhạn thì đáp ứng đầu ra

cũng hữu hạn

Điều kiện hữu hạn:

|x(n)|≤ Mx<∞ và |y(n)|≤ My<∞ với mọi giá trị n(1.23)

Trong đó Mx và My hữu hạn

Nếu tác động vào hữu hạn mà đáp ứng ra không hữu hạnthì hệ không ổn định

Ví dụ: y(n) = y2(n-1) + x(n)

Chọn tác động vào hữu hạn: x(n)= Cδ(n) với C là hằng

Giả thiết y(-1)=0, các chuỗi đáp ứng ra:

y(0)=C, y(1)=C2, y(2)=C4, y(n)=

6 Hệ thống tuyến tính bất biến

Hệ thống tuyến tính bất biến (hệ thống tuyến tính dịchkhông đổi LSI-linear shisft invariant hay hệ thống tuyến tínhkhông đổi theo thời gian LTI- linear time invariant) là hệ thốngvừa tuyến tính vừa bất biến Nếu đáp ứng của hệ thống là h(n)khi tác động vào là mẫu đơn vị δ(n) thì đáp ứng của nó sẽ làh(n-k) khi tác động là δ(n-k):

Đáp ứng ra của hệ thống tuyến tính bất biến:

(1.25)

Hay:

Dấu ‘*’ gọi là tích chập, dãy h(n) gọi là đáp ứng mẫu đơn

vị hay đáp ứng xung của hệ thống Đáp ứng xung cho biết đầy

đủ đặc tính của một hệ thống tuyến tính bất biến Nói cáchkhác đáp ứng của hệ thống với tác động vào x(n) bất kỳ chỉ cầnbiết h(n)

7 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả

Tính nhân quả trong hệ tuyến tính bất biến thể hiện ở đápứng xung Tại thời điểm n0, đáp ứng ra của hệ sẽ là:

(1.26)

Tách tổng thành hai phần quá khứ hiện tại (n≤n0) và tơng lai(k>n0):

Các tín hiệu vào quá khứ: x(n0-1), x(n0-2),

Các tín hiệu vào tơng lai: x(n0+1), x(n0+2),

Tại thời điểm n= n0, nếu hệ thống có đáp ứng ra chỉ phụthuộc vào quá khứ và hiện tại thì:

Đáp ứng xung tại n=0 là h(n) nên điều kiện cần và đủ để hệ

nhân quả là: h(n) = 0 khi n<0 Vậy nên, hệ thống tuyến tính

bất biến là nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng xung của nó bằng 0 khi n<0.

Đáp ứng ra của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả chỉcòn một phần của tổng tích chập:

Tính nhân quả là yêu cầu trong ứng dụng xử lý tín hiệu thờigian thực, chỉ xử lý tín hiệu ở thời điểm hiện tại và quá khứ màkhông truy nhập đợc vào các giá trị tơng lai tín hiệu

Một dãy gọi là nhân quả nếu nó bằng 0 khi n<0 và khôngnhân quả nếu nó khác không khi n<0 và n>0

Nếu tác động vào của hệ thống tuyến tính bất biến nhânquả là dãy nhân quả (nghĩa là: x(n) = 0 khi n< 0) thì đáp ứng

ra của hệ thống còn:

(1.28)

Nh vậy đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả

là nhân quả khi tác động vào là nhân quả.

Ví dụ: Xác định đáp ứng bớc đơn vị của hệ thống tuyến tính

bất biến có đáp ứng xung:

Tính ổn định là đặc tính quan trọng trong ứng dụng thực

tế của một hệ thống Theo định nghĩa, một hệ thống ổn địnhnếu và chỉ nếu tác động đầu vào hữu hạn thì đáp ứng đầu racũng hữu hạn

Nếu tác động vào hữu hạn thì tồn tại giá trị Mx thoả mãn điềukiện:

(1.29)tơng tự, điều kiện hữu hạn đáp ứng ra:

(1.30)với mọi giá trị n

Trớc hết với tác động vào x(n) hữu hạn, đáp ứng ra của hệthống:

Lấy trị tuyệt đối hai vế:

Giá trị tuyệt đối của tổng các thành phần luôn nhỏ hơn hoặcbằng tổng các giá trị tuyệt đối thành phần nên:

Từ điều kiện hữu hạn của tác động vào x(n) ta có:

Với Mx hữu hạn, đáp ứng ra y(n) muốn hữu hạn thì đáp ứngxung của hệ thống phải thoả mãn:

(1.31)

Đây là điều kiện ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến

Ví dụ: Xác định dải giá trị tham số a để hệ thống tuyến tính

bất biến có đáp ứng xung:

là ổn định

Giải:

Trớc hết, hệ là nhân quả Trong biểu thức điều kiện ổn

định, bắt đầu từ k=0 thì:

và chuỗi hội tụ khi |a|<1:

Hệ thống ổn định nếu: |a|<1, không ổn định nếu: |a|>1 Phầnhàm mũ trong h(n) tiến tới 0 thì hệ ổn định

1.3.5 Các hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn và vô hạn

Đáp ứng xung quyết định đặc tính của một hệ thống tuyếntính bất biến, có thể chia các hệ thống theo độ dài của đáp ứngxung thành hai loại:

- Hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung hữu hạn

(FIR-finite duration impulse response), đáp ứng xung bằng 0 ở ngoàikhoảng thời gian nào đó

Đối với hệ thống FIR nhân quả:

- Hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung vô hạn

(IIR-infinite duration impulse response), đáp ứng ra:

(1.33)

Hệ thống là nhân quả có đáp ứng ra là tổ hợp tuyến tính củadãy vô hạn các tác động vào gồm mẫu hiện tại và tất cả các mẫuquá khứ: x(n), x(n-1), với các trọng số h(k) Hệ đợc coi nh có nhớdài vô hạn

1.4 Các khâu cơ bản của một hệ thống xử lý tín hiệu số

ADC DSP DAC tín hiệu t ơng tự tín hiệu số tín hiệu số tín hiệu t ơng tự

Phần lớn các tín hiệu tự nhiên trong thực tế đều là tơng tự,tín hiệu là một hàm theo biến liên tục theo thời gian hoặc khônggian và thờng nhận các giá trị trong một dải liên tục Các tín hiệunày có thể đợc xử lý trực tiếp bằng hệ thống tơng tự nh bộ lọchoặc các bộ phân tích tần số, các bộ nhân tần để thay đổicác đặc tính của nó hoặc tách ra các thông tin cần thiết Hệthống xử lý tín hiệu tơng tự (analog signal processing-ASP) cótín hiệu đầu vào và đầu ra đều là tơng tự

Phơng pháp xử lý tín hiệu tơng tự qua hệ thống xử lý tínhiệu số có các khối cơ bản nh trên hình 1-18, thực hiện xử lýbằng kỹ thuật số, cần giao diện giữa tín hiệu tơng tự với bộ xử lý

số thông qua bộ biến đổi ADC Tín hiệu đầu vào và đầu racủa bộ xử lý tín hiệu số (digital signal processing – DSP) là tínhiệu số DSP có thể là một máy tính có thể lập trình (khả trình)hoặc một bộ vi xử lý nhỏ đợc lập trình để thực hiện một sốthuật toán cần thiết trên tín hiệu vào Nó có thể là bộ xử lý sốcứng đã lập trình để thực hiện một tập các thuật toán trên mộttín hiệu vào Các máy khả trình có tính mềm dẻo trong việcthay đổi các thuật toán qua việc thay đổi phần mềm, trong khicác máy cứng lại khó tái cấu hình Các bộ xử lý khả trình đợc sửdụng rộng rãi Mặt khác, khi mà các thuật toán xử lý tín hiệu đợc

định nghĩa tốt, thực hiện cứng các thuật toán có thể tối u, bộ xử

lý sẽ rẻ hơn, tốc độ xử lý sẽ nhanh hơn phần khả trình Trong cácứng dụng thực tế, khi cần tín hiệu tơng tự thì đầu ra DSP cần

có bộ biến đổi số/ tơng tự DAC (ví dụ các bộ xử lý âm thanh).Trong một số trờng hợp, tín hiệu ra chỉ cần thông tin dạng số thìkhông cần DAC (ví dụ thông tin tách ra trong tín hiệu rada nh vịtrí vật bay và tốc độ của nó đợc in trực tiếp ra giấy thì khôngcần ghi dới dạng tơng tự)

Hình 1-18 Sơ đồ khối hệ xử lý tín hiệu số

I.4.1 Lấy mẫu

T

s*(t) s(t)

Một hàm liên tục s(t) bị ngắt quãng theo một nhịp nhất định

đợc một hàm gián đoạn theo thời gian gọi là hàm mẫu s*(t) Gián

đoạn hoá có thể thực hiện đợc thông qua một rơle đóng mởtheo dãy xung nhịp u(t) chu kỳ T, thời gian lấy mẫu τ (thời giantồn tại xung là thời gian đóng của rơle ) (hình 1-19), tần số lấymẫu F =1/T

Hình 1-19 Lấy mẫu

Để cho phép lấy mẫu là tơng đơng thì thời gian lấy mẫuphải vô cùng bé τ→0 Hàm mẫu s*(t) trở thành tập rời rạc các giátrị lấy ở những thời điểm khác nhau t0,t1,…,tN : s*(t) = (s0,s1,…sN)

Phép lấy mẫu và hồi phục tín hiệu đợc thực hiện qua cácthuật toán tơng ứng là A và B nh sau:

( , , ) ( )

) ,

, ( ) (

~ 1

0

1 0

t s s s s B

s s s t As

trong đó ( )

~

t s

là giá trị ớc lợng của s(t) A và B có thể là tuyến tínhhoặc phi tuyến và quá trình hồi phục có thể sử dụng các toán tử

B khác nhau với một toán tử A và ngợc lại Ví dụ A là tập các giá trịtức thời thì B có thể là đờng cong xấp xỉ hoặc là đờng gấpkhúc Khi A và B là tuyến tính thì có dạng:

) ( ) ( )

, , , (

, , 3 , 2 , 1

) ( ) ( ) (

~ 0

1 0

0

t s t W s s

s s B

N i

s dt t s t V t As

N i i i N

i

T i

Khi hồi phục ( )

~

t s

thờng đựơc biểu diễn dới dạng đa thức bậc N và

là đờng cong gần đúng hoặc đờng gấp khúc,… Sai số của lấymẫu và hồi phục phụ thuộc nhiều vào các hàm Vi(t) và Wi(t)

Để tín hiệu khôi phục đợc chính xác sau truyền tin, quá trìnhlấy mẫu phải thoả mãn định lý lấy mẫu:

Nh vậy tần số lấy mẫu phải thoả mãn: F≥ 2fm Trong đó fm là tần

số lớn nhất trong tín hiệu, tần số giới hạn này gọi là tần sốNyqyist

I.4.2 Lợng tử hoá

Lợng tử hoá nguồn tin là quá trình rời rạc hoá theo mức thờng

sử dụng trong các bộ chuyển đổi tơng tự số (ADC)

Lợng tử hoá có thể thực hiện theo hai cách sau:

- Lợng tử hoá với bớc lợng tử đều Phơng pháp này thực hiện

chia đều tung độ của tín hiệu theo các bớc đều nhau (hình 20a) Khi nguồn tin có mức thay đổi tơng đối lớn thì phơngpháp này có độ chính xác không đồng đều, tín hiệu nhỏ có độchính xác thấp hơn

- Lợng tử hoá không đều là lợng tử hoá theo đặc tính hàm

lôgarit (hình 1-20b) có bớc lợng tử theo hàm lôgarit, tín hiệu nhỏthì bớc lợng tử cũng nhỏ, mức tín hiệu lớn có bớc lợng tử lớn Phơng

Lợng tử hoá là làm tròn giá trị thực tín hiệu đến giá trị lợng

tử gần nhất Sai lệch giữa giá trị thực và giá trị làm tròn ξ khôngvợt quá một nửa bớc lợng tử hoá ∆/2 Khi nguồn tin cần lợng tử hoá làcha biết một cách chính xác thì ξ là một đại lợng ngẫu nhiên Bớclợng tử ∆ nhỏ thì luật phân bố ξ gần với phân bố đều:

Khi lợng tử hoá các giá trị rời rạc s(kT) sẽ tạo ra quá trìnhngẫu nhiên rời rạc ξ(kT) gọi là tạp âm lợng tử Phơng sai của tạp

âm lợng tử phụ thuộc vào giá trị và luật phân bố ξ và nh vậy làphụ thuộc vào bớc lợng tử hoá:

12

1 )

(

2 2

2 2

2 2

2 2

ξ

ξ

σ

ξ ξ ξ ξ ξ

(1.37)Sai số bình quân phơng của quá trình lợng tử hoá khoảng0,29 lần bớc lợng tử hoá

∆ +

Lợng tử hoá thờng kết hợp với mã hoá để đợc tín hiệu ra dớidạng mã số Thông thờng trong các bộ biến đổi tơng tự số thựchiện cả ba quá trình : Lấy mẫu, lợng tử hoá và mã hoá.

Chương 2 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN BIẾN ĐỔI

2.1 Biến đổi tớn hiệu và hệ thống trong miền tần số liờn tục

2.1.1 Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian

(DTFT-Discreste Time Fourier)

2.1.1.1 Biến đổi Fourier thuận

Biến đổi Fourier rời rạc của một dãy x(n) đợc xác định nh sau:

Điều kiện tồn tại DTFT này là:

(2-2)

Nhận xét: Biến đổi Fourier rời rạc thuận là biểu diễn dãy x(n)

trong miền thời gian sang miền tần số X(ej ω)

Ví dụ: DTFT của dãy:

sẽ là:

Dãy:

có DTFT:

Thay đổi giới hạn của chuỗi ta đợc:

Với |α|>1 ta có:

DTFT của x1(n) và x2(n) nh nhau

2.1.1.2 Biến đổi Fourier ngợc (hàm đảo)

Biến đổi Fourier ngợc là biểu diễn hàm X(ej ω) trong miền thờigian

Khi biết X(ej ω), xác định đợc x(n):

2.1.1.3 DTFT của một số dãy tín hiệu thông dụng

DTFT của một số dãy tín hiệu thông dụng liệt kê trong bảng 2-1

Bảng 2-1 DTFT của một số dãy tín hiệu thông dụng

H×nh 2-1 m« h×nh hÖ thèng

y = jω

(2.5)với:

(2.6)Giá trị H(ej ω) nói chung là phức, phụ thuộc ω nên có thể biểu diễndới dạng đại số gồm hai phần thực và ảo:

(2.7)Hoặc mũ hồm biên độ và pha:

(2.8)

Có các quan hệ:

(2.9)Và:

(2.10)H(ej ω) gọi là đáp ứng tần số của hệ thống Đáp ứng tần số có thể

đợc biểu diễn dới dạng đồ thị theo tần số ω gồm các đặc tínhbiên độ và đặc tính pha Đặc tính biên độ theo tần số thờng

đợc vẽ theo quan hệ 20log|H(ej ω)| với tần số, có đơn vị biên độ là

dB Tơng ứng với 0dB sẽ là: |H(ej ω)|=1 và 20dB ứng với |H(ej ω)|=10,

Điểm thuận lợi của cách biểu diễn này là thang lôgarit mở rộng

đ-ợc với các giá trị nhỏ của |H(ej ω)| nên có thể biểu diễn đợc các giátrị rất nhỏ của |H(ej ω)|.

Trong một số trờng hợp, thay cho biểu diễn pha, sử dụng trễnhóm:

Khi tín hiệu vào đợc phân giải thành tổng các giá trị mũ phức:

(2.11)Thì:

Ví dụ : Hệ thống có đáp ứng tần số:

Đáp ứng xung sẽ là:

Ví dụ: Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến:

Tìm đáp ứng ra của hệ thống, biết tác động vào:

Theo các công thức tính đáp ứng tần số của các hệ thốngghép, DTFT của tích chập (đáp ứng xung hệ ghép nối tiếp) làtích thờng (đáp ứng tần số của hệ ghép nối tiếp).

2.1.3 Bộ lọc

Khi A(ej) 0 Khi A(ej) <0

(2-trong đó α là số thực và A(ej ω) là hàm thực đối với ω Pha củaH(ej ω) sẽ là:

Trờng hợp tổng quát, bộ lọc gọi là có pha tuyến tính nếu

đáp ứng tần số có dạng:

(2-17)Các bộ lọc pha tuyến tính có trễ nhóm là hằng số

2.Bộ lọc thông qua (allpass)

Bộ lọc thông qua là hệ thống có biên độ đáp ứng tần số là hằngsố:

(2-18)

Ví dụ: Bộ lọc thông qua có đáp ứng tần số:

Trong đó α là số thực và |α|<1, đáp ứng xung của bộ lọc này sẽ là:3.Các bộ lọc chọn lọc tần số

a, Lọc thông thấp lý t ởng b, Lọc thông cao lý t ởng

c, Lọc thông dải lý t ởng d, Lọc chắn dải lý t ởng

Các bộ lọc mà đáp ứng tần số có biên độ là hằng số trongmột dải đợc ứng dụng nhiều, nh lọc thông thấp (lowpass filter-LPF), thông cao (highpass filter-HPF), thông dải (Bandpass filter-BPF) và bộ lọc chặn dải (Bandstop filter-BSF) Giới hạn tần số mà

đáp ứng tần số có biên độ là hằng số đợc gọi là dải thông(passbands), dải tần số mà đáp ứng tần số có biên độ bằng 0 gọi

là dải chặn (stopbands) Những tần số ở biên dải thông hoặc dảichặn gọi là tần số cắt (cutoff frequencies)

Hình 2-2 Các bộ lọc lý tởng

Bộ lọc thông thấp lý tởng có đáp ứng tần số pha không:

(2-19)Xét trong khoảng -π ≤ ω ≤ +π: Trong dải thông của bộ lọcthông thấp lý tởng -ωc ≤ ω ≤ +ωc, đáp ứng tần số có biên độ bằng

1 và trong dải chắn ở các tần số khác đáp ứng tần số có biên độbằng 0 Đồ thị biên độ-tần số đối xứng qua trục biên độ Bộ lọcthông thấp lý tởng cho các tín hiệu tần số thấp đi qua tối u,chặn lại các tín hiệu ở tần số cao Đáp ứng xung đã đợc xác địnhtrong ví dụ trớc:

n

n n

π

ω

sin)

(2-20)

Bộ lọc thông cao lý tởng có đáp ứng tần số pha không trong

e H

ω ω

π ω ω

ω

0

1 ) (

(2-21)

Đáp ứng xung:

n

n n

n n

n n

n

π

ωπ

ππ

ω

ω ω

π

ω

c

c j

e H

) ( − π ≤ ω ≤ π

- Hãy tìm đáp ứng xung h(n) của bộ lọc trên

- Vẽ đáp ứng xung h(n) trong trờng hợp 2

e n

ω ω ω π

1)(

n

n n

π

ωπ

π sinsin

−

=

n

n n

c

c c

ω

ω π

ω

δ ( ) − sin

=

2 1

2

ωω

πω

ωω

j

e H

Bộ lọc thông dải lý tởng có đáp ứng tần số pha không trong

ω

n

n n

n n

( ) ( )

π

ω π

ω δ

n

n n

n n

Đáp ứng xung:

(2-27)

Đáp ứng tần số:

(2-28)Biểu diễn theo dB:

(2-29)Pha và trễ nhóm:

2.2 Biến đổi z và ứng dụng trong phõn tớch tớn hiệu và hệ thống

Biến đổi z là công cụ rất quan trọng trong phân tích tínhiệu và các hệ thống tuyến tính bất biến Biến đổi z có vai tròtrong việc phân tích tín hiệu và hệ thống rời rạc nh biến đổiLaplace đối với tín hiệu và hệ thống liên tục Trong miền z (mặtphẳng phức), việc nhân chập hai tín hiệu theo thời gian tơng

đơng với nhân thờng hai tín hiệu ấy qua biến đổi z Đặc tínhnày làm đơn giản hoá rất nhiều trong việc phân tích các tín

hiệu và hệ thống rời rạc Ngoài ra biến đổi z cho ta những ýnghĩa đặc trng của các hệ thống tuyến tính bất biến và đápứng của nó với các tác động của các tín hiệu khác nhau qua các

điểm không-cực Biến đổi z có thể sử dụng để giải phơngtrình sai phân hệ số hằng, để xác định đáp ứng ra của hệthống khi biết tác động vào, để thiết kế các bộ lọc,

2.2.1 Biến đổi z

Để phân tích các tín hiệu ta có thể sử dụng DTFT, khai triểntín hiệu thành chuỗi nh đã biết (công thức 2.38) Nhng đối vớimột số tín hiệu, chuỗi Fourier không hội tụ nh:

Biến đổi z cho phép thực hiện với các loại tín hiệu này

Biến đổi z của một tín hiệu rời rạc theo thời gian đợc địnhnghĩa nh sau:

(2.33)Trong đó z=r.ej ω là một biến phức có g ía trị hội tụ vùng trongmặt phẳng z gọi là vùng hội tụ (ROC-region of convergence)

Ký hiệu biến đổi z:

(2.34)Biến đổi z đợc xem nh là DTFT của dãy tín hiệu có trọng số mũphức:

(2.35)

Và X(z) đợc xem nh là DTFT của dãy r-nx(n) Hơn nữa ROC đợc xác

định bởi dải các giá trị r, trong đó:

(2.36)

Do biến đổi z là một hàm của biến phức nên nó đợc mô tả trongmặt phẳng phức nh sau:

(2.37)

Vòng tròn đơn vị

Hình 2-3 Vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng phức

Vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng phức có bán kính: r = |z| =1.Biến đổi z xác định trên vòng tròn đơn vị tơng đơng vớiDTFT:

(2.38)Hơn nữa, trên vòng tròn đơn vị, xác định các giá trị X(z) tại các

điểm trên vòng trong đơn vị bắt đầu với ω=0, z=1 qua ω= π/2,z=j tới ω= π, z=-1 ta có đợc các giá trị tơng ứng cho X(ej ω) trong

0≤ω≤ π Chú ý rằng để DTFT của tín hiệu tồn tại thì vòngtròn đơn vị phải nằm trong vùng hội tụ của X(z)

Trong xử lý các tín hiệu thực tế, biến đổi z thờng đợc xác địnhdới dạng phân thức:

(2.39)

Có thể biểu diễn dới dạng tỷ số các đa thức tử và mẫu:

(2.40)

Trên tử số, các hệ số βk gọi là các điểm không của X(z) và ở mẫu

số, các hệ số αk gọi là các điểm cực của X(z) Các cực và cáckhông là hằng số duy nhất cho một hàm X(z) nên nó thờng đợc vẽtrên các đồ thị trong mặt phẳng z với các ký hiệu điểm cực là

“x” và điểm không là “o” với vùng hội tụ là vùng tối trong mặtphẳng z Thông thờng vùng hội tụ (ROC) nằm trong giới hạn:

(2.41) Nếu α=0 thì ROC bao gồm cả điểm z=0 và nếu β=∞ thì ROCcũng có thể là vô cực Dới đây là 3 đặc điểm của ROC:

- Với dãy tín hiệu có độ dài hữu hạn, biến đổi z có ROC gồmtoàn bộ mặt phẳng z Điểm z=∞ nếu x(n) = 0 khi n<0 và z=0nếu x(n)=0 khi n>0

- Với dãy tín hiệu phía phải, biến đổi z có ROC nằm ngoài mộtvòng tròn:

(2.42)

- Với dãy tín hiệu phía trái, biến đổi z có ROC nằm trong mộtvòng tròn:

(2.43)

Ví dụ : Dãy phải x(n) = αnu(n), có biến đổi z:

Chuỗi hội tụ khi |α.z-1| < 1 nên ROC nằm ngoài một vòng tròn gồmtập các điểm |z| > |α|, biểu diễn X(z) dới dạng luỹ thừa dơng của z

nh sau:

Dễ dàng thấy rằng X(z) có điểm không tại z=0 và điểm cực tại z

= α: