một nghiên cứu didactic về dạy học khái niệm căn bậc hai ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông

Đến lớp 9, khái niệm này được giới thiệu một cách chi tiết hơn thông qua việc nghiên cứu căn bậc hai số học của một số thực không âm, căn thức bậc hai cùng với các tính chất của nó.. Từ

Lương Trọng Tường

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM CĂN BẬC HAI Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ VÀ

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

Lương Trọng Tường

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM CĂN BẬC HAI Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ VÀ

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN ÁI QUỐC

L ỜI CẢM ƠN

Từ đáy lòng, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Nguyễn Ái Quốc, người thầy đã tận tâm hướng dẫn khoa học; người thầy đã luôn quan tâm, yêu thương học trò và là người thầy luôn động viên tôi trong những lúc khó khăn nhất

để tôi có thể vượt qua những trở ngại, để tôi có thể hoàn thành luận văn

Xin gửi lời cảm chân thành đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn

Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh Cảm ơn quý

Thầy Cô đã hết lòng truyền đạt kiến thức cho chúng tôi trong mấy năm qua

Xin cảm ơn Phòng Sau Đại Học đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Lương Trọng Tường

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM CĂN 5

1.1 Phân tích chương trình 5

1.1.1 Giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm căn 5

1.1.2 Giai đoạn tường minh 6

1.2 Phân tích Sách giáo khoa 9

1.2.1 Sách giáo khoa Toán lớp 7 10

1.2.1.1 Lý thuyết 10

1.2.1.2 Các tổ chức toán học 13

1.2.1.3 Kết luận từ phân tích SGK7 17

1.2.2 Sách giáo khoa Toán lớp 9 18

1.2.2.1 Lý thuyết 18

1.2.2.2 Các tổ chức toán học 30

1.2.2.3 Kết luận từ phân tích SGK9 47

1.2.3 Tổng kết phân tích khái niệm căn bậc hai ở lớp 7 và lớp 9 47

1.2.4 Sách giáo khoa toán lớp 12 cơ bản 49

1.2.4.1 Lý thuyết 49

1.2.4.2 Các tổ chức toán học 53

1.2.5 Sách giáo khoa toán lớp 12 nâng cao 57

1.2.5.1 Lý thuyết 57

1.2.5.2 Các tổ chức toán học 61

1.2.6 Tổng kết phân tích trên SGK12cb và SGK12nc 67

Chương 2 THỰC NGHIỆM 69

2.1 Mục đích thực nghiệm 69

2.2 Hình thức và tổ chức thực nghiệm 69

2.3 Thực nghiệm đối với học sinh 70

2.3.1 Hình thức thực nghiệm 70

2.3.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm 70

2.3.3 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm 76

2.4 Thực nghiệm đối với giáo viên 79

2.4.1 Hình thức thực nghiệm 79

2.4.2 Nội dung câu hỏi thực nghiệm 79

2.4.3 Phân tích các trả lời nhận được từ giáo viên 81

K ẾT LUẬN CHUNG 85

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 87

PH Ụ LỤC

SGK6 : Sách giáo khoa Toán lớp 6 hiện hành

SGK7 : Sách giáo khoa Toán lớp 7 hiện hành

SGK9 : Sách giáo khoa Toán lớp 9 hiện hành

SGK12cb : Sách giáo khoa Giải tích 12 ban cơ bản hiện hành SGK12nc : Sách giáo khoa Giải tích 12 ban nâng cao hiện hành SGV : Sách giáo viên hiện hành

SGV6 : Sách giáo viên Toán lớp 6 hiện hành

SGV7 : Sách giáo viên Toán lớp 7 hiện hành

SGV9 : Sách giáo viên Toán lớp 9 hiện hành

SGV12cb : Sách giáo viên Giải tích 12 ban cơ bản hiện hành SGV12nc : Sách giáo viên Giải tích 12 ban nâng cao hiện hành

DANH M ỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK7 17

Bảng 1.2 Các công thức biến đổi căn thức 29

Bảng 1.3 Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK9 46

Bảng 1.4 Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK12bc và SGK12nc 67

Bảng 2.1 Thống kê các lời giải câu 1 của học sinh (phiếu số 1) 77

Bảng 2.2 Thống kê các lời giải câu 2 của học sinh (phiếu số 2) 78

Bảng 2.3 Thống kê các lời giải câu 3 của học sinh (phiếu số 3) 79

M Ở ĐẦU

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Khái ni ệm căn bậc hai được chính thức đưa vào từ lớp 7 thông qua việc giới

thiệu về căn bậc hai của một số không âm Đến lớp 9, khái niệm này được giới thiệu

một cách chi tiết hơn thông qua việc nghiên cứu căn bậc hai số học của một số thực không âm, căn thức bậc hai cùng với các tính chất của nó

Ở chương trình THPT, cuối lớp 12, khi mà một trường số mạnh hơn trường số

thực được giới thiệu, khái niệm căn bậc hai một lần nữa được nghiên cứu: căn bậc hai của một số thực dương, căn bậc hai của một số thực âm, căn bậc hai của một số

phức

Việc chuyển từ khái niệm lũy thừa sang khái niêm căn bậc hai, rồi căn bậc hai

số học, căn bậc hai số phức có thể gây ra một số khó khăn cho học sinh, dẫn tới

những sai lầm Đồng thời, qua thực tế chúng tôi nhận thấy hầu như học sinh không quan tâm đến điều kiện tồn tại của căn thức, điều kiện cho các phép biến đổi trên căn thức

Những nhận định trên gợi mở cho chúng tôi đến với đề tài “Một nghiên cứu didactic v ề dạy học khái niệm căn bậc hai ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông”

Từ đây, để tránh nhầm lẫn, chúng tôi sẽ dùng “căn bậc hai” hoặc “căn bậc hai

thực” để chỉ khái niệm căn bậc hai trên tập số thực, khi muốn nói đến căn bậc hai trên tập số phức thì chúng tôi nêu rõ ràng: “căn bậc hai phức” hoặc “căn bậc hai trên

tập số phức”

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát:

- Khái ni ệm căn bậc hai được đưa vào chương trình phổ thông như thế nào, thông qua nh ững tình huống nào, với mục đích gì?

- S ự tiến triển của khái niệm căn bậc hai từ khi mới xuất hiện đến khi được được nghiên cứu hoàn chỉnh? Trong quá trình đó, nó phải chịu những ràng buộc nào?

- Cùng v ới sự tiến triển của khái niệm căn bậc hai thì người học gặp phải

nh ững khó khăn nào?

- Khái ni ệm căn bậc hai trên tập số phức được đưa vào chương trình như thế nào, thông qua nh ững tình huống nào, với mục đích gì? Khi chuyển từ căn bậc hai trên trường số thực sang căn bậc hai trên trường số phức, học sinh có sự nhầm lẫn nào gi ữa các khái niệm, ký hiệu liên quan hay không? Họ có mang những kiến thức

v ề căn bậc hai trên trường số thực sang áp đặt cho khái niệm này trên trường số

ph ức?

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên

cứu này trong phạm vi didactic toán, cụ thể chúng tôi sử dụng các khái niệm công

cụ của Lý thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học) và khái niệm hợp đồng didactic

Trong phạm vi đã chọn cùng với những câu hỏi xuất phát, chúng tôi trình bày

hệ thống câu hỏi của luận văn như sau:

Q1 M ối quan hệ thể chế đối với khái niệm căn bậc hai trong chương trình

ph ổ thông hiện hành?

Q2 Nh ững quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa GV và

HS trong quá trình d ạy – học khái niệm căn bậc hai? HS phản ứng thế nào trong các tình hu ống phá vỡ hợp đồng?

Q3 Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, HS có thể gặp những khó khăn

gì, m ắc phải những sai lầm nào khi học khái niệm căn bậc hai?

Q4 Ở học sinh, kiến thức về căn bậc hai trên trường số thực có tạo nên chướng ngại cho việc học căn bậc hai trên trường số phức hay không?

3 M ục đích và phương pháp nghiên cứu:

Trong chương trình Toán phổ thông, khái niệm căn bậc hai thâm nhập vào các lĩnh vực số học, đại số, hình học và cả giải tích Phạm vi hoạt động của công cụ này

rất rộng, trải dài đến hết chương trình phổ thông Do đó, vì lý do thời gian nên chúng tôi chỉ quan tâm đến việc nghiên cứu phương diện đối tượng của khái niệm căn bậc hai

Khái niệm căn bậc hai xuất hiện sau khái niệm lũy thừa, được xem là một phép toán ngược của phép bình phương Vì là một phép toán ngược nên có thể gây

ra một số khó khăn nhất định cho học sinh

Trong phạm vi đã chọn, chúng tôi đi tìm các yếu tố cho phép trả lời các câu

hỏi Q1, Q2, Q3, Q4 Để đạt được điều đó, chúng tôi xác định phương pháp nghiên

cứu sau:

- Phân tích chương trình và một số SGK toán THCS và THPT hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm căn, thấy được những ràng buộc của thể

chế lên khái niệm này

- Từ phân tích trên, chúng tôi phát biểu giả thuyết nghiên cứu và xây dựng

thực nghiệm đối với giáo viên và học sinh để kiểm chứng tính xác đáng của các giả thuyết đã phát biểu

4 T ổ chức của luận văn

Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương và kết luận chung

- Ph ần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lý do chọn đề

tài, câu hỏi xuất phát cho nghiên cứu; khung lý thuyết tham chiếu; phạm vi nghiên

cứu, mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn

- Chương 1, chúng tôi nghiên cứu chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên,

SGV và SGK Việc phân tích SGK cho phép làm rõ các tổ chức toán học gắn liền

với khái niệm căn và các quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến việc dạy và

học khái niệm này

Thông qua việc phân tích trên cho phép chúng tôi có thể xác định mối quan hệ

của thể chế với đối tượng căn, từ đó hình thành các giả thuyết nghiên cứu Chúng tôi chọn phân tích các sách giáo khoa Toán hiện hành: SGK7, SGK9; SGK12cb và SGK12nc

- Chương 2, chúng tôi xây dựng thực nghiệm và tiến hành đối với giáo viên,

học sinh để kiểm chứng một số giả thuyết nghiên cứu đã phát biểu

- Ph ần kết luận chung, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở hai chương

và đề xuất hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn này

Chương 1 NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ

Mục đích của chúng tôi là làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán hiện hành

với khái niệm căn bậc hai Chúng tôi đi tìm các yếu tố để trả lời cho các câu hỏi sau:

- Trước khi chính thức xuất hiện, có giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm căn bậc hai hay không, lúc nào?

- Khái niệm căn bậc hai được đưa vào chương trình và SGK toán phổ thông như thế nào, với nghĩa gì?

- Có những đối tượng nào liên quan đến khái niệm căn, chúng có vai trò gì?

- Những tổ chức toán học nào liên qua đến khái niệm căn được đưa vào SGK?

- Có những hợp đồng didactic nào chi phối việc dạy – học khái niệm căn bậc hai?

- Học sinh gặp những khó khăn, có thể mắc những sai lầm nào khi làm việc

với căn bậc hai?

1.1 Phân tích chương trình

1.1.1 Giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm căn

Bài toán: Trong m ột hệ thống số, a là số đã cho, tìm số b sao cho b n

=a

Lần đầu tiên xuất hiện trong chương trình là một bài tập trong SGK6 trang 28

được yêu cầu học sinh giải sau khi giới thiệu khái niệm Lũy thừa với số mũ tự nhiên:

(SGK6, tr.28, BT58)

a) Lập bảng bình phương của các số tự nhiên từ 0 đến 20

b) Viết mỗi số sau thành bình phương của một số tự nhiên: 64; 169; 196

Kỹ thuật giải cũng đã được thể chế gợi ý thông qua các yêu cầu được nêu tuần

Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên (ví dụ: 0, 1, 4, 9, 16,

…) Mỗi tổng sau có là một số chính phương không?

a) 13 + 23

b) 13 + 23 + 33

c) 13 + 23 + 33 + 43

Những trích dẫn trên là minh chứng cho sự tồn tại ngầm ẩn của khái niệm căn

bậc hai trong chương trình lớp 6 (phạm vi Số học)

Ở lớp 6, a là số tự nhiên Đến lớp 7, bài toán trên được mở rộng với a là một

1.1.2 Giai đoạn tường minh

Số tự nhiên →1 số nguyên →2 số hữu tỉ →3 số thực →4 số

phức

Khái niệm căn bậc hai được giới thiệu tường minh vào giai đoạn 3 trong chương trình lớp 7

Chương trình lớp 7 giới thiệu: Định nghĩa căn bậc hai của một số không âm và

ký hiệu với mục đích cần đạt được về mặt kiến thức là: học sinh “Hiểu thế nào là căn bậc hai của một số không âm Biết sử dụng đúng ký hiêu “ (SGV7, tr.45)

Kiến thức về căn bậc hai của một số không âm được sử dụng ở cả chương trình lớp 7 về sau và lớp 8 qua các bài toán tính giá trị của biểu thức, áp dụng định

lý Py-ta-go, giải phường trình bậc nhất một ẩn

Khái niệm căn bậc hai số học, các tính chất và các phép biến đổi trên căn bậc hai chưa được giới thiệu

Như vậy một trong những vai trò của căn bậc hai như là cầu nối trên con đường giới thiệu các tập số trong chương trình

“Việc giới thiệu căn bậc hai … nhằm mục đích sớm hoàn chỉnh khái niệm số cho học sinh” (SGV7, tr.4)

Trong chường trình lớp 9: khái niệm căn bậc hai được giới thiệu hoàn chỉnh

Nội dung cụ thể như sau:

- Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

- Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Mục đích cần đạt được về mặt kiến thức là:

“ Học sinh nắm được định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai số học; Biết được liên hệ

giữa phép khai phương với phép bình phương, quan hệ thứ tự, phép nhân, phép chia Biết cách xác định điều kiện có nghĩa của căn thức bậc hai, biến đổi biểu thức

chứa căn thức bậc hai.” (SGV9, tr.12)

“Đi sâu nghiên cứu tính chất phép khai phương, xét các phép biến đổi tương ứng với các tính chất đó và ứng dụng của chúng là nội dung chủ yếu của chương này.” (SGV9, tr.14)

Học sinh được tiếp cận tính chất của phép khai phương, cụ thể là những liên

hệ của phép khai phương với quan hệ thứ tự và với các phép toán đã biết trên tập số theo hai phương diện:

- Để tìm hiểu thêm về phép khai phương: phép toán ngược của phép bình phương, bảo toàn quan hệ thứ tự, có quy ước ưu tiên khi thực hiện cúng với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia

- Làm cơ sở cho các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương diện thứ nhất, học sinh hiểu về phép khai phương như là phép toán

một ngôi trên tập số thực không âm Phương diện thứ hai, cần thiết cho kỹ năng

biến đổi trên các biểu thức toán học sau này Chúng tôi nhận thấy rằng quá trình chuyển từ phương diện thứ nhất sang phương diện thứ hai biểu thị bước chuyển từ tính toán trên các số sang tính toán trên các chữ

Học sinh được dành nhiều thời lượng nghiên cứu các vấn đề liên quan căn

thức bậc hai, chương trình chỉ yêu cầu học sinh biết cách xác định điều kiện có nghĩa của căn thức bậc hai Tuy nhiên, có điều đáng chú ý là “phần lớn các bài tập trong sách có liên quan đến biểu thức chứa chữ đều cho trước điều kiện của các

chữ” và khi thực hiện biến đổi biểu thức, việc đối chiếu với điều kiện cũng không

bắt buộc phải nêu rõ ràng” (SGV9, tr.14)

Chúng tôi nảy sinh một số câu hỏi:

- Tồn tại hay không một quy tắc của hợp đồng phát biểu tạm thời như sau:

R D 1 “H ọc sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện có nghĩa của căn

th ức bậc hai khi làm việc với các biểu thức chứa chữ dưới căn”

- Việc tập trung phần lớn yêu cầu làm việc trên căn bậc hai số học, căn thức

bậc hai, các phép biến đổi trên căn thức bậc hai có làm lu mờ khái niệm căn bậc hai

của một số hay không?

Đến cuối chương trình 12, học sinh một lần nữa được nghiên cứu khái niệm căn bậc hai, nhưng lần này là trên một trường số hoàn toàn mới – Trường số phức Các nội dung được giới thiệu: căn bậc hai của số thực dương, căn bậc hai của số

thực âm và căn bậc hai của số phức

Mục đích của chương trình: “Học sinh biết tìm căn bậc hai của một số thực âm” (SGV12cb, tr.156) và “Học sinh hiểu được định nghĩa căn bậc hai của số phức,

biết cách đưa việc tìm căn bậc hai của một số phức về việc giải một hệ phương trình hai ẩn thực” (SGV12nc, tr.237)

Có một sự khác biệt ở hai chương trình cơ bản và nâng cao Ở chương trình 12

cơ bản có yêu cầu khá nhẹ nhàng: “không có định nghĩa chính thức về căn bậc hai, các căn bậc hai của một số thực âm tìm được chỉ bằng trực giác” (SGV12cb, tr.157) SGV ở hai chương trình đều lưu ý: không đưa ra ký hiệu căn bậc hai của số

thực âm” và không nên dùng ký hiệu để chỉ căn bậc hai của số phức

Liệu học sinh có sự lẫn lộn nào giữa căn bậc hai thực và căn bậc hai phức không?

1.2 Phân tích Sách giáo khoa

Trong khuôn khổ đề tài, chúng tôi chọn phân tích các sách giáo khoa hiện hành sau: SGK7, SGK9, SGK12cb và SGK12nc Việc lựa chọn này xuất phát từ

phân tích chương trình, ở SGK7 thì khái niệm căn bậc hai lần đầu tiên xuất hiện chính thức, ở lớp 9 thì được nghiên cứu hoàn chỉnh, đến lớp 12 khái niêm căn bậc hai một lần nữa được nghiên cứu nhưng trên một hệ thống số mới

1.2.1 Sách giáo khoa Toán l ớp 7

1.2.1.1 Lý thuy ết

Khái ni ệm căn bậc hai

Khái niệm căn bậc hai được được chính thức đưa vào SGK7 trong bài “Số vô

tỉ - Khái niệm căn bậc hai” trong chương “Số hữu tỉ - số thực” sau khi đã nghiên

cứu số hữu tỉ

Tình huống dẫn đến xuất hiện khái niệm căn bậc hai:

(SGK7, tr.40, Bài toán)

Cho hình vẽ, trong đó hình vuông AEBF có cạnh bằng 1m, hình vuông ABCD có

cạnh AB là một đường chéo của hình vuông AEBF

Ta gọi số như vậy là số vô tỉ

Định nghĩa căn bậc hai

Sau khi giới thiệu số vô tỉ, SGK7 đưa ra một nhận xét:

32 = 9 ; (-3)2 = 9 ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9

rồi phát biểu định nghĩa căn bậc hai của một số:

“ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x 2

= a.” (SGK7, tr.40)

Ký hiệu cũng được chính thức đưa vào trong một kết luận”

“S ố dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là a , một số

âm ký hi ệu là − a Số 0 chỉ có một căn bậc hai là 0, cũng viết 0 = “ (SGK7, 0tr.41)

Cuối bài SGK khẳng định: Có thể chứng minh rằng các số 2 , 3 , 5 ,

6 ,… là những số vô tỉ

Nh ận xét:

Ở bài toán SGK7 đưa vào không phải là một hoạt động mà là bài toán nêu lên kèm theo lời giải và bình luận, bài toán đưa đến một chướng ngại cho học sinh (câu b) Chướng ngại này xuất phát từ việc học sinh luôn có lời giải trong việc tìm một

số tự nhiên có bình phương bằng một số tự nhiên khác, tìm một số hữu tỉ có bình

phương bằng một số hữu tỉ khác như trước đây (Các bài toán mà chúng tôi đã trích

dẫn khi phân tích giai đoạn ngầm ẩn)

Một điểm đáng lưu ý là đến thời điểm này học sinh chưa biết định lý Py-ta-go (sẽ được giới thiệu ở phần sau của SGK7) Dó đó bài toán tìm cạnh của một tam giác vuông cạnh 1 đơn vị không thể giải quyết bằng định lý Py-ta-go Ở đây, thể chế

chọn hướng giải quyết bằng việc tính diện tích dựa vào các diện tích thành phần (hình vẽ) Có được kết quả sau: S ABCD =4S ABF =2S AEBF

Như vậy, khái niệm căn bậc hai của một số hình thành từ một tình huống hình

học, kéo theo một chướng ngại trong phạm vi số học (tìm một số hữu tỉ biết bình

phương của nó bằng 2) Tình huống này mang lại một nghĩa về mặt số học cho khái

niệm căn bậc hai

Như vậy, bài toán vừa nêu trên là tình huống dẫn đến sự xuất hiện khái niệm căn bậc hai của một số không âm

Trong định nghĩa căn bậc hai, số a không được chỉ rõ là thuôc tập số nào Có

lẽ đây là một quy ước: Khi nói đến một số mà không nêu rõ thuôc tập số nào thì

mặc định là thuộc tập số lớn nhất đã biết (trong trường hợp này là tập số hữu tỉ) Theo SGV7: Bài toán được đưa vào là để dẫn đến một ví dụ về số vô tỉ và số

vô tỉ đầu tiên học sinh được biết là 2

Ký hiệu được giới thiệu : “số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số

dương ký hiệu là a và một số âm ký hiệu là − b ”

Như vậy SGK7 chỉ dừng lại ở việc giới thiệu định nghĩa căn bậc hai của một

số và ký hiêu Căn bậc hai số học chưa được nhắc tới và đương nhiên các tính

chất của căn cũng không xuất hiện

Sang bài “Số thực”, sau khi khẳng định: “Với hai số thực x, y bất kỳ, ta luôn

có hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y” SGK7 giới htiệu: “Với a, b là hai số thực

Kết luận: b và –b là các căn bậc hai của a

θ 1 1 : Định nghĩa căn bậc hai của một số, lũy thừa của một số hữu tỉ

Nhiệm vụ này giúp học sinh làm quen với ký hiệu , là tiền thân của nhiệm

vụ tính căn bậc hai số học ở lớp 9, đồng thời học sinh bước đầu cảm nhận tính chất

của căn bậc hai số học thông qua các mẫu bài toán đưa ra, thấy được mối liên hệ

giữa căn bậc hai và phép bình phương

Các căn số luôn dễ dàng tính được bằng các kỹ thuật đại số, kết quả luôn là

“số đúng” Từ lời giải mẫu, co thể nói công cụ máy tính bỏ túi bị loại khỏi nhiệm vụ này Kỹ thuật đại số luôn hữu dụng

Kết quả chấp nhận: “số đúng”

t B 23 : Dùng máy tính bỏ túi tính

τ B

23 : Các phím bấm trên máy tính bỏ túi

Làm tròn kết quả cuối cùng khi cần

θ B

23 : Hướng dẫn ngay trong bài tập Các phép toán +, -, x, / trên tập số Quy ước làm tròn số

(SGK7, tr.42, bài tập 86; lời giải trong SGV7, tr.47)

(SGK7 hướng dẫn học sinh nút căn bậc hai trên máy tính bỏ túi thông qua 4 bài giải

mẫu rồi nêu yêu cầu):

Dùng máy tính bỏ túi để tính

3783025 ; 1125.45 ; 0,3 1, 2

0, 7

+ ; 6, 4

Kỹ thuật máy tính bỏ túi được chỉ định rõ ràng Các số trong dấu căn bậc hai

hoặc là không thể biểu diễn dưới dạng một bình phương hoặc một số chính phương

rất lớn (nhẫm bình phương rất khó và không hiệu quả)

Kết quả chấp nhận: “số đúng” hoặc gần đúng Kỹ thuật đại số lu mờ, thậm chí

B ảng 1.1 Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK7

Ki ểu nhiệm vụ Nhi ệm vụ K ỹ thuật T ần số

T B 1 Tìm căn bậc hai của một số dương τ

1.2.1.3 K ết luận từ phân tích SGK7

Kỹ thuật đại số chiếm ưu thế, máy tính bỏ túi chỉ được sử dụng khi có chỉ định

rõ ràng Từ đó cho phép chúng tôi dự đoán quy tắc sau:

R D 2 “ Khi tính các căn bậc hai hoặc tính giá trị biểu thức thì dùng kỹ thuật đại số; Máy tính bỏ túi chỉ được dùng khi có chỉ định rõ ràng”

1.2.2 Sách giáo khoa Toán l ớp 9

1.2.2.1 Lý thuy ết

Chúng tôi phân tích chương 1 SGK9 vì ở chương này khai niệm căn bậc hai được đưa vào một cách hoàn chỉnh

Nội dung của chương này bao gồm:

- Căn bậc hai: định nghĩa, ký hiệu, điều kiện tồn tại Hằng đẳng thức

SGK9 nhắc lại định nghĩa căn bậc hai của một số không âm cùng với nhận xét

đã đưa vào ở SGK7 như là sự gợi nhớ cho học sinh Điều này thể hiện một sự tiếp

nối trong thể chế THCS

Tiếp theo là một hoạt động:

(SGK9, tr.4, HĐ1; lời giải trong SGV9, tr.14)

Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

Cách 1: Chỉ dùng định nghĩa

Cách 2: Có dùng cả nhận xét về căn bậc hai ”

Lời hướng dẫn vừa trích như là một khẳng định: Không khuyến khích dùng kỹ thuật máy tính bỏ túi để giải

Sau hoạt động, định nghĩa căn bậc hai số học được đưa vào lần đầu, một cách

tự nhiên, không có gì xa lạ Xem như là đặt tên cho một kiến thức học sinh đã biết

Định nghĩa: “Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a Số

0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.” (SGK9, tr.4)

Điểm mới là một chú ý quan trọng:

Sau đó nêu định lý:

"V ới hai số a và b không âm, ta có: a< ⇔b a < b “ (SGK9, tr5)

Định lý này cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và quan hệ thứ tự Tính chất này là cơ sở cho giải toán so sánh các số thông qua so sánh các căn bậc hai số học của chúng (và ngược lại) và cũng là cơ sở cho giải toán về bất phương trình chứa căn bậc hai

Bước chuyển từ căn số sang căn thức

Giống như cách mà thể chế đã chọn tình huống hình thành khái niệm căn bậc hai của một số ở lớp 7 (một tình huống hình học); SGK9 đưa vào bài toán dẫn đến khái niệm căn thức Chỉ có điều khác biệt là: tình huống ở lớp 7 đưa ra khi mà học sinh chưa biết định lý Py-ta-go, còn tình huống ở lớp 9 là khi học sinh đã biết và

vận dụng nhiều

(SGK9, tr.8, HĐ1; lời giải trong SGV9, tr.20)

Hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = 5cm và cạnh BC = x (cm) thì cạnh

Từ đó SGK9 nêu khái niệm căn thức:

“Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A là được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.”

Lên quan đến kiểu nhiệm vụ tìm điều kiện xác định của A thì thể chế chỉ yêu cầu “Biểu thức A không phức tạp (bậc nhất, phân thức, mà tử hoặc mẫu là bậc

nhất còn mẫu hay tử còn lại là hằng số hoặc bậc nhất, bậc hai dạng 2

Xây d ựng công thức biến đổi trên căn thức

Quá trình này được thực hiện theo một quy trình tuyến tính

- Xuất phát từ một bài toán cụ thể trên các số

- Nêu và chứng minh các định lý trên các số tổng quát

- Ví dụ minh họa cho định lý

- Khái quát thành công thức biến đổi trên các biểu thức đại số

- Ví dụ minh họa cho công thức

Định lý cho thấy một mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương:

Xuất phát từ bài toán sau

Định lý này là cơ sở cho hằng đẳng thức 2

A = A , đồng thời giúp học sinh

có thể biết được khi nào bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó thì lại được số ban đầu

Thể chế mong muốn hình thành nghĩa của phép khai phương: là phép toán ngược của phép bình phương

Minh họa định lý vừa nêu, SGK9 nêu ví dụ

“Giáo viên trình bày ví dụ 2 và nêu ý nghĩa: không cần tính căn bậc hai mà

vẫn tìm được giá trị của căn bậc hai (nhờ biến đổi về biểu thức không chứa căn bậc hai)”

Phải chăng thể chế muốn nói đến sự ưu tiên một kỹ thuật biến đổi đại số so với

kỹ thuật tính toán trực tiếp trên số

Sau cùng là cung cấp công thức:

A = −A nếu A<0 (tức A lấy giá trị âm)

Minh họa cho công thức

sư phạm, khi thực hiện biến đổi biểu thức, việc đối chiếu với điều kiện cũng không

bắt buộc phải nêu rõ ràng.” (SGV9, tr.14)

Một lần nữa có một ràng buộc mà giáo viên đã biết còn học sinh thì không được công khai

Chúng tôi nhận thấy đúng như SGV9 khẳng định, hầu hết các bài tập chứa chữ

đều có sẵn điều kiện của chữ Thậm chí có khi SGK9 còn “quên” viết lại điều kiện

của các chữ khi giải mẫu ví dụ: (Ví dụ 1 SGK9, tr.28) chẳng hạn Ví dụ này sẽ được chúng tôi trích dẫn ở phần sau: khử mẫu biểu thức lấy căn

Có thể nói, các điều kiện của chữ nếu được sử dụng cũng chỉ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Từ đó chúng tôi đưa ra quy tắc ngầm ẩn:

R D 3 “Trong quá trình bi ến đổi biểu thức chứa căn, học sinh không cần

ki ểm tra điều kiện xác định của các căn thức nói riêng và của biểu thức nói chung , không quan tâm đến điều kiện phát sinh khi biến đổi căn thức”

Liên h ệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương

tắc khai phương một tích, một thương; nhân, chia các căn bậc hai

“Phép chứng minh định lý về liên hệ giữa phép khai phương và phép nhân vừa

củng cố thêm hiểu biết về căn bậc hai số học vừa rèn luyện suy luận trong lĩnh vực đại số” (SGV9, tr.23)

Việc chứng mịnh định lý về liên hệ giữa phép khai phương và phép chia được đưa ra tương tự

Với các công cụ vừa được cung cấp, học sinh có thêm kỹ thuật để khai phương một số ngoài kỹ thuật nhẩm bình phương; số này có thể là số chính phương

lớn hơn 400 Chúng tôi có nhận định này vì qua phân tích SGK9 nhận thấy rằng trong yêu cầu tìm căn bậc hai một số a (a được cho dưới dạng không phân tích) thì a không quá 400 (SGK9, tr.6, BT1)

Liên quan đến yêu cầu khai phương một số, chúng tôi không tìm thấy văn bản nào trong SGK9 nêu rõ phạm vi số cần khai phương, nhưng điều này được quy định

rõ trong SGV9:

“Yêu cầu học sinh nhớ kết quả khai phương của các số chính phương từ 1 đến

400 không chỉ rèn luyện tính nhẩm trong tính toán và biến đổi căn thức mà còn giúp

hiểu thêm tính chất về các mối liên hệ giữa phép nhân và phép chia” (SGV9, tr.23) Như vậy đây là một ràng buộc mà giáo viên biết rõ còn học sinh không được công khai Đây là một quy tắc ngầm ẩn đối với học sinh

Đưa thừa số vào trong dấu căn, ra ngoài dấu căn

Đây là hai phép biến đổi ngược nhau, cơ sở của hai phép biến đổi này là đẳng

Khái niệm “căn thức đồng dạng” được cảm nhận thông qua ví dụ chứ không được giới thiệu chính thức Trong khi việc biến đổi về các căn thức đồng dạng là

một trong những kỹ thuật để giải quyết các bài toán thứ tự các căn bậc hai số học, rút gọn Lý giải điều này: “Căn thức đồng dạng và kỹ thuật cộng, trừ các căn thức đồng dạng không mô tả ở dạng tổng quát mà coi như là ứng dụng của phép đưa

thừa số ra ngoài dấu căn Cũng do không đi sâu về căn thức đồng dạng nên các bài

tập sử dụng kỹ thuật này được đặt ra với yêu cầu chung chung là rút gọn biểu thức” (SGV9, tr.33)

Không có một văn bản nào khẳng định sự ưu tiên cho một trong hai phép biến đổi này từ thể chế Tuy nhiên chúng tôi sẽ xem xét “có hay không một sự ưu tiên

một trong hai kỹ thuật trên” trong khi phân tích các tổ chức toán học

Kh ử mẫu của biểu thức lấy căn Trục căn thức ở mẫu

Thể chế không đưa ra một lý do nào cho hai yêu cầu trên Tại sao phải khử

mẫu của biểu thức lấy căn? Tại sao phải trục căn thức ở mẫu? Việc làm này mang

lại lợi ích gì, trong trường hợp nào?

Chúng tôi trích dẫn ví dụ minh họa cho hai kỹ thuật này từ SGK9

Sau ví dụ này, SGK9 tổng kết thành một công thức (công thức (6) ở bảng công

thức phia sau)

Như đã phân tích ở trên, SGK9 “quên” viết lại điều kiện, thực sự đây là động thái có chủ ý rõ ràng Không viết lại điều kiện a.b > 0 vì không thể khai thác nó để

khử dấu giá trị tuyệt đối Điều này củng cố quy tắc ngầm ẩn:

R D 4 “Điều kiện các chữ chỉ được quan tâm khi có mục đích sử dụng ở kết

qu ả cuối cùng”

Như SGK9 giới thiệu đây là một phép biến đổi thường gặp, rõ ràng sẽ được

vận dụng trong các bài toán rút gọn, tính giá trị biểu thức Như thế nào là “gọn”? Nhìn từ ví dụ trên, người đọc sẽ so sánh giữa số ban đầu và kết quả sau khi biến đổi

Ở câu a) cặp số ban đầu và kết quả không có gì khác biệt ngoài việc kết quả

mất căn ở mẫu Ở câu b) cũng vậy, thậm chí kết quả còn phức tạp hơn Tuy nhiên

có những trường hợp việc làm này là cần thiết và mang lại hiêu quả cho những nhiệm vụ tiếp theo của bài toán

Có lẽ học sinh sẽ cảm nhận mục đích của hành động này thông qua các ví dụ

và bài tập, từ đánh giá của giáo viên mà không cần biết lý do

Chúng tôi dự đoán một quy tắc ngầm ẩn:

R D 5 “Khi rút g ọn thì kết quả cuối cùng không được chứa căn ở mẫu và không được có mẫu trong biểu thức dưới căn”

Kèm theo giải mẫu ví dụ 2, thể chế đưa ra lời hướng dẫn:

“Trong ví dụ trên ở câu b), để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với

biểu thức 3 1− Ta gọi biểu thức 3 1− và biểu thức 3 1+ là hai biểu thức liên

Rút g ọn biểu thức chứa căn bậc hai

Ở bài này, không có một khái niệm hay lý thuyết nào mới được đưa vào

Những lời bình luận, các ví dụ trong SGK9 lúc này mang tính định hướng kiểu

mẫu

“Tính lý thuyết được giới thiệu qua định hướng và dẫn dắt cho các ví dụ giáo viên giới thiệu ví dụ như là bài mẫu” (SGV9, tr.41”)

Chúng tôi liệt kê các công thức được (SGK9, tr.39) tổng hợp tại phần ôn tập chương để thuận tiện phân tích và trích dẫn

B ảng 1.2 Các công thức biến đổi căn thức

Ở bài này, SGK9 giới thiệu bảng căn bậc hai trong cuốn “Bảng số với 4 chữ số

thập phân” của V.M Bra-đi-xơ , cách sử dụng bảng để tra cứu căn bậc hai của một

số không âm

Mục tiêu của bài này:

“Học sinh cần:

- Hiểu được cấu tạo của bảng căn bậc hai

- Có kỹ năng tra bảng để tìm căn bậc hai của một số không âm” (SGV9, tr.31) Cách sử dụng bảng căn bậc hai có hai mức độ:

- Tra bảng để tìm trực tiếp căn bậc hai số học của:

Vì vậy, bài này củng cố tính chất cho phép khai phương

“Việc sử dụng máy tính bỏ túi để tìm căn bậc hai đã được SGK của các lớp trước giới thiệu, nên ở chương này không nêu kỹ thêm về cách làm mà chỉ lưu ý đến việc đối chiếu với kỹ thuật tính toán khác (bảng tính và tính nhẩm)” (SGV9, tr.32)

Như vậy máy tính bỏ túi không được thể chế chấp nhận trong việc tính toán,

học sinh chỉ sử dụng để kiểm tra kết quả sau cùng

T1 : Tìm căn bậc hai của một số

t 11: Tìm căn bậc hai số học của một số a dương

τ 11a : Nhẩm tìm số dương b sao cho b2

= a

Kết luận: a b=

θ 11a : Định nghĩa căn bậc hai số học, nhận xét a là một số dương, lũy

thừa với số mũ tự nhiên

(SGK9, tr.6, BT3; lời giả trong SGV9, tr.18)

Dùng máy tính bỏ túi, tính gần đúng nghiệm của mỗi phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

a

x = với (a≥0 ) là các căn bậc hai của a

- Dạng 1 < a <100 : tra bảng trực tiếp Làm tròn khi cần, kết luận

- Dạng a > 100 hoặc a < 1: không thể tra bảng trực tiếp, dùng quy tắc khai phương một tích, một thương biến đổi về dạng 1 < a <100 Thế các kết quả vừa tra được (làm tròn khi cần) tính kết quả cuối cùng Kết luận

θ 11c : Bảng V.M Bra-đi-xơ; quy tắc khai phương một tích, một thương; Quy ước làm tròn số

Đặc điểm của các nhiệm vụ sử dụng kỹ thuật τ 11b , τ 11c : Luôn cho kết quả là

số gần đúng τ 11b được chỉ định sử dụng rõ ràng Số a trong nhiệm vụ sử dụng τ 11c

đều không thuộc N400 , Nht

Nhi ệm vụ t 12: Tìm các căn bậc hai của một số a dương

τ 12a : Nhẩm các số b và –b sao cho bình phương của chúng bằng a

Kết luận: b và –b là các căn bậc hai của a

θ 12a : Định nghĩa căn bậc hai của một số không âm

(SGK9, tr.4,HĐ1; lời giải trong SGV9, tr.16)

Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau

d) Căn bậc hai của 2 là 2 và − 2

τ 12b : Tìm căn bậc hai số học của a

Suy ra một căn bậc hai còn lại

Kết luận: b và –b là các căn bậc hai của a

θ 12b : Định nghĩa căn bậc hai của một số không âm, Nhận xét về căn bậc hai (SGK9, tr.5, HĐ3; lời giải trong SGV9, tr.16)

Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau

Giải

a) Căn bậc hai số học của 64 là 8, nên căn bậc hai của 64 là 8 và -8

Các câu còn lại tương tự

Đặc điểm của t 12 :

Trong các kỹ thuật giải quyết nhiệm vụ này còn có kỹ thuật biến đổi đại số, tuy nhiên chúng tôi sắp xếp kỹ thuật biến đổi đại số vào T4 vì không có một lời giải