LỌC số và mã hóa BĂNG CON

Các bộ lọc sẽ triệt tiêu các thành phần tần số không mongmuốn, bề rộng dải tần của tín hiệu xử lý sẽ giảm đi và chúng ta có thể giảm tầnsố lấy mẫu cho phù hợp với bề rộng phổ của tín hiệ

KHOA: ĐIỆN – ĐIỆN TỬ



TIỂU LUẬN

LỌC SỐ VÀ MÃ HÓA BĂNG CON

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 2

PHẦN I KHÁI QUÁT VỀ MÃ HÓA BĂNG CON (SUBBAND CODING) 1 Một số khái niệm 2

1 Hệ thống nhiều nhịp………3

2 Phép phân chia………3

3 Bộ phân chia………3

4 Phép nội suy………3

5 Bộ nội suy………4

2 Cấu trúc một dàn lọc đơn giản 4

3 Các kỹ thuật phân tách (và tái cấu trúc) có ba đặc tính 5

4 Nguyên tắc của mã hóa băng con 6

PHẦN II DÀN LỌC CẤU TRÚC DẠNG CÂY VÀ DÀN LỌC ĐA KÊNH 1. Dàn lọc cấu trúc dạng cây (Tree Structured Filter Banks) 7

2. Dàn lọc băng octave 8

2.1.Chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian và thuộc tính của nó………….13

2.1.1. Chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian 13

2.1.2. Đặc tính của chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian 15

2.2.Xử lý đa phân giải của dàn lọc băng octave………15

3. Dàn lọc cấu truc trúc cây tổng quát và gói wavelet 19

4. Các dàn lọc đa kênh (Multi-channel Filter Banks) 21

4.1.Biến đổi khối và trực giao xếp chồng……… 21

4.1.1. Biến đổi khối 23

4.1.2. Biến đổi trực giao xếp chồng 26

4.2 Phân tích dàn lọc đa kênh 27

4.2.1. Phân tích trong miền thời gian 27

4.2.2. Phân tích miền điều chế 28

4.2.3. Phân tích miền nhiều pha 28

4.2.4. Dàn lọc FIR đa kênh trực giao 30

4.3 Dàn lọc điều chế 31

4.3.1. Biến đổi fourier thời gian ngắn trong miền thời gian rời rạc 32

4.3.2. Dàn lọc điều chế Cosin 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

LỜI MỞ ĐẦU

Trước kia, thông tin được xử lý hoàn toàn bằng tín hiệu tương tự hoặc tín hiệu số với các linh kiện điện tử, các mạch logic phức tạp và cồng kềnh với giá thành cao Ngày nay, đi liền với sự phát triển của khoa học kỹ thuật và công

nghệ là sự phát triển vượt bậc của máy tính đã làm gia tăng một cách mạnh mẽcác ứng dụng XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ (Digital Signal Proccesing) Trong xử lýtín hiệu, nhờ các linh kiện điện tử đã được tích hợp sẵn cùng những chiếc máytính hiện đại, gọn nhẹ, dễ sử dụng thì tin tức được số hóa và xử lý bằng các thuậttoán đã được lập trình với tốc độ ngày càng cao Do đó, xử lý tín hiệu số đãđược ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: thông tin liên lạc,phát thanh truyền hình …

Trong xử lý tín hiệu do dải tần số đưa vào xử lý rất rộng, các thành phầntần số không mong muốn gây ra nhiễu cho tín hiệu sau xử lý Đặc biệt là trongcác lĩnh vực như xử lý tín hiệu hình ảnh, tín hiệu âm thanh trong khi dải tần phải

xử lý là rất rộng, các thành phần tần số cao sẽ gây ra nhiễu tín hiệu khi xử lý,vậy vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để có thể nén được tín hiệu hay thu hẹpgiải tần tín hiệu xử lý mà vẫn không mất thông tin

Hiện nay, có rất nhiều phương pháp đã và đang được nghiên cứu rộng rãi

để xử lý tín hiệu âm thanh Tất cả đều với mục đích chung là làm thế nào để biểudiễn tín hiệu âm thanh với ít bit nhất để giảm bề rộng của dải tần tín hiệu xử lý

và loại bỏ các thành phần không mong muốn ở dải tần số cao trong khi vẫn giữđược âm thanh trung thực Do tín hiệu âm thanh (tiếng nói) có năng lượng phổtiếng nói tập trung ở miền tần số thấp, ở miền tần số cao thì năng lượng của phổ

âm thanh rất nhỏ Các phương pháp nén tín hiệu trước đây thì tiếng nói được mãhóa trong toàn bộ dải tần của tín hiệu, như vậy gây ra sự dư thừa thông tin khi

mã hóa trong miền tần số cao Một giải pháp được đưa ra đó là MÃ HÓABĂNG CON (Subband coding), dải tần của tín hiệu âm thanh được chia thànhnhiều dải con và mã hóa ở mỗi dải tần một số lượng bit khác nhau, ở dải tần sốcao thì mã hóa với số bit thấp hơn ở dải tần số thấp, nó sẽ làm giảm một cáchđáng kể không gian lưu trữ trong truyền phát Điều này làm cho việc mã hóa haynén tín hiệu âm thanh tối ưu hơn và nó cũng làm giảm bớt các thành phần tínhiệu không mong muốn

PHẦN I KHÁI QUÁT VỀ MÃ HÓA BĂNG CON (SUBBAND CODING)

Nếu trong một hệ thống xử lý tín hiệu số, tần số (hay nhịp) lấy mẫu đượcthay đổi trong quá trình xử lý thì hệ thống số này được gọi là hệ thống nhiềunhịp

Việc giảm tần số (hay nhịp) lấy mẫu từ giá trị Fs về một giá trị Fs’(Fs’< Fs)được định nghĩa là phép phân chia

Nếu Fs’ = Fs/M (M>1 và nguyên dương) thì ta gọi là phép phân chia theo hệ

số M; M gọi là hệ số phân chia

Phép phân chia làm x(n) co hẹp trong miền thời gian (nếu n là thời gian) thì

sẽ dẫn đến hiện tượng giãn rộng trong miền tần số

Kỹ thuật lọc số nhiều nhịp được ứng dụng trong xử lý tín hiệu dùng đểtăng tốc độ tính toán trong các bộ lọc bằng cách giảm số phép nhân thực hiệntrong một giây Thông thường, trong quá trình xử lý tín hiệu số, bề rộng của dảitần có thể thay đổi Các bộ lọc sẽ triệt tiêu các thành phần tần số không mongmuốn, bề rộng dải tần của tín hiệu xử lý sẽ giảm đi và chúng ta có thể giảm tần

số lấy mẫu cho phù hợp với bề rộng phổ của tín hiệu và như vậy ta sẽ giảm sốphép tính toán trong bộ lọc số

Một ứng dụng rất quan trọng của dàn lọc số nhiều nhịp là dùng mã hóabăng con và giải mã băng con Đơn giản nhất là dùng dàn lọc số 2 kênh để mãhoá làm 2 băng con được minh hoạ trên hình 1.3 sau đây:

Hình 1.3 Dàn lọc số QMF (dàn lọc cầu phương)

Mã hoá băng con rất thuận lợi cho việc nén tín hiệu tiếng nói bởi vì với tínhiệu tiếng nói thông thường năng lượng của phổ tín hiệu phân bố không đề u.Năng lượng của phổ tiếng nói chủ yếu tập trung ở mi ền tần số thấp, còn ở miềntần số cao năng lượng phổ tiếng nói rất nhỏ Vậy sau khi qua dàn lọc số QMFtrên hình 2.1 ta có hai tín hiệu băng con: là phổ tần số thấp sẽ có năng lượng lớn

do đó ta mã hoá tín hiệu băng con với số bit nhiều hơn, còn là phổ tần số cao

có năng lượng nhỏ do đó ta mã hoá tín hiệu băng con với số bit ít hơn

Vậy tính tổng cộng số bit để mã hoá tín hiệu xâu có phổ là sẽ nhỏ hơn sovới khi ta mã hoá cho toàn bộ d ải phổ của

Nói chung các tín hiệu trọng thực tế có phân bố phổ năng lượng là không

đề u nhau vì vậy mã hoá băng con rất thuận lợi cho việc nén tín hiệu

a. Trực giao: Các biến đổi khối sẽ là các ma trận vuông không phân chia,nghĩa là các hàng trực giao với nhau Các dãy lọc băng con sẽ là cặpkhông phân chia, một loại đặc biệt của trực giao và các wavelet sẽ trựcgiao

b. Tái cấu trúc hoàn hảo (Perfect reconstruction -PR) Điều này nghĩa làkhông mã hóa, lượng tử và các lỗi truyền, tín hiệu tái cấu trúc có thể táitạo hoàn hảo ở nơi nhận

c. Lấy mẫu quy chuẩn (Critical) Tín hiệu được lấy mẫu phụ ở tốc độ nhỏnhất có thể được, phù hợp với lý thuyết ứng dụng Nyquist Thực tế, điềunày nghĩa là nếu tín hiệu gốc có một tốc độ lấy mẫu dữ liệu fs hoặc cácpixel theo dây Tổng tốc độ truyền của tất cả các băng con cũng là fs

Hình 1.4: (a) Cấu trúc phân tích/tổng hợp; (b) Cấu trúc tổng hợp/phân tích.

 Hình 1.4(a): Tín hiệu vào x được phân tách trong khối phân tích, mã hóa

và được truyền Tại nơi nhận hoặc khối tổng hợp, tín hiệu tái cấu trúc làVới hệ thống tái cấu trúc hoàn hảo (PR), với trễ cho phép Trong hệ thốnglấy mẫu quy chuẩn, tổng tốc độ dữ liệu của các thành phần tín hiệu bằngtín hiệu vào

 Hình 1.4(b): Thuật toán kép Thường thì khối tổng hợp sẽ là ghép kênhTDMA hoặc FDMA, khi ấy một số tín hiệu được tách theo thời gian

(TDMA), theo tần số (FDMA), hoặc theo thời gian-tần số (CDMA), vàkết hợp thành một tín hiệu truyền Sau đó tín hiệu nhận được tách thànhcác thành phần trong khối phân tích.

Nguyên tắc cơ bản trong quá trình mã hóa băng con là phân chia tín hiệuthành nhiều dải tần số thông qua các bộ lọc thông thấp, thông dải và thông cao.Các dải tần này gọi là các băng con Sau đó, các băng con này sẽ được lượng tử

và mã hóa độc lập nhau, tùy thuộc vào tính chất thống kê và mật độ năng lượngcủa từng dải mà số bit mã hóa khác nhau

Yêu cầu của kỹ thuật này là làm thế nào các băng con không bị chồngchéo lên nhau Để có thể phân chia tín hiệu ở bộ mã hóa (encoder) thành cácbăng con, tín hiệu được cho qua một dàn lọc (filter bank) gọi là dàn lọc phântích (analysis filter bank), sau đó băng con được lấy mẫu xuống hệ số M Cácđầu ra băng con tần số được lấy mẫu xuống sẽ lần lượt được: lượng tử hóa độclập bằng các bộ lọc vô hướng khác nhau, mã hóa entropy, lưu trữ và truyền đi Ởphía giải mã (decoder), quá trình được thực hiện ngược lại: giải mã, lượng tử,lấy mẫu lên hệ số M, sau đó đi qua dàn lọc tổng hợp (synthesis filter bank) rồicộng tất cả các đầu ra của bộ lọc để khôi phục lại tín hiệu

Hình 1.4: Sơ đồ khối hệ thống mã hóa – giải mã băng con

PHẦN II DÀN LỌC CẤU TRÚC DẠNG CÂY VÀ DÀN LỌC ĐA KÊNH.

Trong phần này ta nghiên cứu về cấu trúc dạng cây đa phân giải Cách dễdàng để xây dựng dàn lọc đa kênh là phân tầng dàn lọc hai kênh hợp lý Cáchnày được thể hiện trong hình 2.1a, phân tích tần số thu được bằng cách đặt bộphân chia 2 kênh (2↓) vào sau bộ lọc thông thấp Bộ phân chia này còn được gọi

là bộ lấy mẫu xuống

Hình 2.1 Dàn lọc băng octave (quãng tán) với J mức Không gian phân tách V i , W i Nếu h i [n] là bộ lọc trực giao và g i [n] = h i [ - n], cấu trúc này thực hiện khai triển trực giao một chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian.(a) phần phân tích, (b) phần tổng hợp.

Cấu trúc dạng cây đa phân dải được dùng trong trường hợp chúng ta phântách thành các tín hiệu băng con có bề rộng phổ không bằng nhau, vì vậy ta gọi

là đa phân giải Đôi khi nó còn được gọi là dàn lọc logarit khi các kênh có độrộng băng bằng tỷ lệ logarit Người ta gọi nó là dàn lọc băng octave khi mỗi đầu

ra kế tiếp của bộ lọc thông cao chứa một octave của độ rộng băng đầu vào

Trường hợp khác xảy ra khi độ rộng băng ở các kênh băng 2J, trường hợpnày có thể thu được bằng cách phân chia J bước ở hai kênh, có nghĩa là dàn hai

kênh bây giờ được lặp lại trên cả hai kênh thông thấp và thông cao Kết quả này

là một cây với 2J mức Mỗi mức tương ứng với 1/2J của độ rộng băng thứ nhất,với bộ lấy mẫu xuống bằng 2J

Xét dàn lọc được đưa ra trong hình 2.1 Chúng ta thấy rằng tín hiệu đầutiên được tách thành hai phần băng con tần thấp - tần cao theo mức thứ nhất.Băng con tần thấp thứ nhất chứa hầu hết năng lượng, được lấy mẫu xuống và lạiđược phân tách tiếp thành các băng con tần thấp - tần cao Quá trình này có thểtiếp tục đến mức J Tần số thấp mang tín hiệu “thô”, tần số cao mang tín hiệu

“chi tiết” Cấu trúc này thực hiện chuỗi wavelet lưỡng trực giao rời rạc theo thờigian (chúng ta giả định rằng các dàn lọc hai kênh được xây dựng một cách hoànhảo) Nếu dàn lọc hai kênh này là trực giao thì sau đó nó sẽ thực hiện trực giaochuỗi wavelet rời rạc theo thời gian Điều này đôi khi cũng được gọi là biến đổiwavelet rời rạc theo thời gian

Nhớ lại các chức năng cơ sở của việc khai triển rời rạc theo thời gianđược đưa ra bởi đáp ứng xung của bộ lọc tổng hợp Vì vậy chúng ta sẽ tập trungvào dàn lọc tổng hợp (mặc dù trong trường hợp trực giao, đơn giản là đảo thờigian liên quan đến bộ lọc phân tích và tổng hợp) Chúng ta hãy bắt đầu với một

ví dụ đơn giản mà phải làm nổi bật các tính năng chính của khai triển dàn lọcbăng octave

Haar được xác định trong phạm vi của biến đổi z như sau:

Lấy ví dụ, J = 3, có nghĩa là chúng ta sẽ sử dụng ba dàn lọc hai kênh Sau đóbằng cách sử dụng tính đa tốc nói rằng G(z) tiếp theo lấy mẫu lên hệ số 2, tươngđương với lấy mẫu lên hệ số 2 sau G(z2), chúng ta có thể chuyển đổi dàn lọc nàythành dàn lọc bốn kênh như hình 2.2

Hình 2.2: Dàn lọc tổng hợp băng octave với các bộ lọc Haar và 3 mức Nó thu được bằng cách chuyển đổi dàn lọc trong hình 1 bằng cách sử dụng tính đa tốc để lọc sau

đó lấy mẫu lên.

Các bộ lọc tương đương được lấy mẫu lên tương ứng hệ số 2, 4 và 8.Các đápứng xung thực hiện theo biến đổi z ngược Ký hiệu [n] ứng với bộ lọc thông thấp

ở mức 3 Bộ lọc này đứng sau bộ lấy mẫu lên hệ số 2

Lưu ý rằng điều này có nghĩa là [z] = G0(z) Mặt khác chúng ta ký hiệu[n], là bộ lọc tương đương ứng với bộ lọc thông cao tiếp theo mức (i – 1) của bộlọc thông thấp, đứng sau mỗi bộ lấy mẫu lên hệ số 2 Nó có thể được định nghĩa

đệ quy như sau:

Vì đây là một hệ thống trực giao nên các ma trận miền thời gian đại diệncho phần phân tích và tổng hợp chỉ là các ma trận chuyển vị của nhau Do đó matrận phân tích Ta đại diện cho các hoạt động của các bộ lọc [n], [n], [n], [n] baogồm các dòng đáp ứng xung của [n], [n], [n] và [n] hoặc của [- n] từ các bộ lọctích phân và tổng hợp được liên kết bởi đảo thời gian Ma trận Ta là ma trậnđường chéo

(2.1)Khi đó ma trận A0 có dạng sau:

(2.2)Lưu ý rằng ma trận này phản ảnh thực tế là:

 Bộ lọc [n] được đặt sau bộ lấy mẫu lên hệ số 2 (2↑) (hàng (2 -2) được dịch lên

2 theo trục thời gian và xuất hiện 4 lần trong ma trận này)

 Bộ lọc [n] được đặt sau bộ lấy mẫu lên hệ số 4 (4↑) (hàng tương ứng (

) được dịch lên 4 theo trục thời gian và xuất hiện 2 lần trong ma trận này)

 Trong khi đó bộ lọc [n] và [n] được đặt sau bộ lấy mẫu lên hệ số 8 (8↑) (cáchàng tương ứng chỉ xuất hiện một lần trong ma trận)

Lưu ý rằng trận tự của các hàng trong ma trận A0 là khá tùy ý, chúng tachỉ đơn giản là tập hợp các đáp ứng xung liên tiếp cho rõ ràng.

Bây giờ chúng ta đã thấy cách nó hoạt động trong một trường hợp đơngiản, chúng ta có nhiều bộ lọc tổng hợp gi[n] hơn và số mức J Chúng ta tậptrung vào trường hợp trực giao Trong một dàn lọc băng octave trực giao với Jmức với các bộ lọc tương ứng (một lần nữa chúng ta lại biểu diễn các bộ lọc đótrong miền z)

(2.3)

(2.4)Trong miền thời gian, mỗi kết quả đầu ra trong hình 3.7a có thể được mô tả là:Trừ trường hợp cuối cùng, ta thu được là:

Ở đây, các ma trận trong miền thời gian H0, H1 được định nghĩa là các ma trậnđiều chế phân tích, có nghĩa là mỗi dòng là sự dịch của các đáp ứng xung gi[n],hoặc tương đương với các đáp ứng xung hi[- n] Mỗi mức trong dàn lọc phântích là trực giao và nghịch đảo, tổng thể sơ đồ là tốt Do đó ta có một ma trậnphân tích đơn vị Ta bằng cách chèn hang H1, H1H0, … , H1

Ví dụ: Chúng ta hãy quay trở lại với trường hợp Haar và ba mức Chúng ta cóthể hình thành các ma trận H1, H1H0, H1, như sau:

Bây giờ ta có thể dễ dàng quan sát việc chèn như trong các ma trận (2.5 – 2.9) cho chúng ta

ma trận T a Để kiểm tra xem nó có phải là ma trận đơn vị không, đủ cơ sở để kiểm tra ma trận

A 0 là ma trận đơn vị (chỉ cần tính kết quả của phép nhân hai ma trận A 0 )

Cho đến nay, chúng ta đã tập trung vào trường hợp trực giao Nếu việcnày có thể làm giảm bớt những hạn chế của trực giao thì chúng ta sẽ có đượcmột dàn lọc cấu trúc dạng cây lưỡng trực giao Bây giờ, để hi[n] và gi[n] khôngliên quan tới nhau đơn giản bằng cách là đảo thời gian, nhưng chúng là các đápứng xung của dàn lọc tái cấu trúc hoàn hảo lưỡng trực giao Do đó chúng ta có

cả hai bộ lọc tổng hợp tương ứng là [n – 2jk], [n – 2Jk] như trong công thức (2.3)

và (2.4) và bộ lọc phân tích [n – 2jk], [n – 2Jk] Do đó nếu dàn lọc hai kênh riêng

lẻ là lưỡng trực giao (tái cấu trúc hoàn hảo) thì cấu trúc tổng thể là tốt

2.1.1. Chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian

Những gì đã đạt được trong phần cuối được gọi là chuỗi wavelet rời rạctheo thời gian Trong thời gian liên tục, có một wavelet đơn tham gia, trong đótrường hợp thời gian rời rạc có các bộ lọc lặp khác nhau

Xem xét một dàn lọc trực giao hai kênh với các bộ lọc h0[n], h1[n], g0[n]

và g1[n], với hi[n] = gi[- n] Sau đó các tín hiệu đầu vào có thể được viết như sau:

(2.10)Với

Đó là tích chập của tín hiệu vào với h0[n] và h1[n] được đánh giá ở thời điểm 2k.Trong các phương trình [n] = hi[n] và [n] = gi[n] Trong một dàn lọc băng octavehoặc chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian, kênh thông thấp tiếp tục được phânchia thành lọc thông thấp/lọc thông cao và bộ lấy mẫu xuống Sau đó, thànhphần đầu tiên của vế bên phải trong công thức (2.10) không thay đổi, trong khithành phần thứ hai có thể được biểu diễn như sau:

Có nghĩa là, chúng ta áp dụng (2.10) một lần nữa Nói cách khác [n] là bộ lọctương ứng trong miền thời gian của:

Trong khi đó [n] là bộ lọc tương ứng trong miền thời gian của:

Hình 2.3 Lưới lấy mẫu theo cặp được sử dụng trong chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian Việc dịch các hàm cơ sở được thể hiện, cũng như (trường hợp J = 4 được hiển thị) Điều này tương ứng với các "mẫu" của chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian Chú ý bảo toàn số lượng mẫu giữa các tín hiệu và miền biến đổi.

Với công thức (2.11), tín hiệu vào x[n] trong công thức (2.10) có thể được viết:

Lặp lại quá trình này trong (2.12) J lần, việc này thu được chuỗi wavelet rời rạctheo thời gian hơn J quãng tám, cộng thêm quãng tám cu cuối cùng chứa cácphiên bản lọc thông thấp Do đó, (2.12) trở thành

Trong (2.13) [n] là bộ lọc tương ứng trong miền thời gian của (2.3), trongkhi đó [n] là bộ lọc tương ứng trong miền thời gian của (2.4) và = Bởi vì bất

kì đầu ra nào cũng có thể phân tách như trong (2.13), họ của các hàn {[2jk – n],[2Jk – n]}, j = 1, …, J và k, n ∈ Z, là một cơ sở trực giao cho l2(Z)

Lưu ý việc lấy mẫu đặc biệt được sử dụng trong chuỗi wavelet rời rạctheo thời gian Mỗi kênh tiếp theo được lấy mẫu xuống hệ số 2 so với phầntrước đó và băng thông được giảm đi 2 lần Điều này được gọi là một mạng lướilấy mẫu cặp đôi, được thể hiện như trong hình 2.3

2.1.2. Đặc tính của chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian

 Tuyến tính (Linearity):Vì chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian bao gồm tích

nội hoặc tích chập

 Dịch (Shift): Nhớ lại rằng hệ thống đa tốc không phải là bất biến nói chung

và dàn lọc hai kênh được lấy mẫu xuống hệ số 2 là sự dịch bất biến ngay cảkhi chỉ dịch Vì vậy, nó là trực quan, là chuỗi wavelet rời rạc thời gian J –octave sẽ là bất biến theo phép dịch bội số của 2J Một cách giải thích hìnhảnh sautừ thực tế là lưới cặp đôi trong hình 2.3, khi di chuyển k2J, sẽ chồngchéo lên nhau, trong khi đó nó sẽ không thay đổi nếu phép dịch là khôngtuyến tính phức tạp của 2J

 Trực giao (Orthogonality): Chúng ta đã đề cập trước đó rằng và , j = 1, …, J,

với phép dịch thích hợp, tạo thành một họ trực giao của các hàm Điều nàyxuất phát từ thực tế là chúng ta đã sử dụng các dàn lọc trực giao hai kênh, màchúng ta biết rằng:

〈 gi[n – 2k], gj[n – 2l] 〉 = δ[i – j] δ[k – l]

 Đẳng thức Parseval’s :Tính trực giao cùng với tính đầy đủ (mà sau dạng táithiết hoàn hảo) dẫn đến bảo toàn năng lượng, còn gọi là đẳng thức Besselhoặc ParSeval, đó là:

Dàn lọc hai kênh đã nghiên cứu trong phần trên có đặc tính phân tách tínhiệu thành hai phiên bản độ phân giải thấp Một là lọc thông thấp hoặc phiênbản độ phân giải thô và hai là phiên bản lọc thông cao của đầu vào Sau đó,trong phần này, chúng tôi đã áp dụng phân tích đệ quy của lọc thông thấp hoặcphiên bản thô Điều này dẫn đến hệ thống phân cấp của độ phân giải, còn đượcgọi là phân tích đa phân giải

Trên thực tế, trong tầm nhìn máy tính cũng như trong xử lý hình ảnh, nhìnvào tín hiệu ở độ phân giải khác nhau đã tồn tại một khoảng thời gian khá lâu.Trong năm 1983, Burt và Adelson giới thiệu các kỹ thuật mã hóa hình kim tựtháp, mà xây dựng lên một tín hiệu từ phiên bản thấp hơn độ phân giải của nócộng với một chuỗi các chi tiết Trong thực tế, một trong các liên kết đầu tiêngiữa lý thuyết wavelet và xử lý tín hiệu đã được Daubechies và Mallat côngnhận rằng các sơ đồ của Burt và Adelson liên quan chặt chẽ với lý thuyếtwavelet và phân tích đa phân giải, và các dàn lọc hoặc sơ đồ mã hóa băng con có

thể được sử dụng cho việc tính toán phân tách wavelet Ở đây chúng ta nghiêncứu một chuỗi wavelet rời rạc thời gian hoặc thực hiện dàn lọc băng octave.Phân tích đa phân giải rời rạc theo thời gian đã được nghiên cứu bởi Rioul Vìđây là một hình thức hóa các khái niệm trước đó, chúng ta cần một số địnhnghĩa Đầu tiên chúng tôi giới thiệu các khái niệm về không gian khép kínnhúng Chúng tôi sẽ nói rằng không gian V0 là không gian của tất cả các chuỗitổng vuông , có nghĩa là:

V0 = l2{Z} (2.15)Sau đó, phân tích đa phân giải bao gồm một chuỗi các không gian khép kínnhúng

(2.16)Hiển nhiên là từ 2.15 – 2.16:

Phần bù trực giao của Vj+1 trong Vj sẽ được ký hiệu là Wj+1

cơ sở trực giao của V0 Phép dịch có thể được lặp lại với V1 vì vậy phép dịch có thể thấy rằng V0 có thể được phân tích theo cách sau đây:

(2.19)Bằng cách đơn giản là lặp lại việc phân tách J lần

Bây giờ ta xét dàn lọc octave trong hình 2.1(a) Bộ lọc phân tích là phiênbản đảo thời gian của g0[n] và g1[n] Vì vậy dàn lọc phân tích băng octave tínhtoán các tích nội với các hàm cơ sở W1, W2 … WJ và VJ

Trong hình 2.1(b), sau khi tích phân với bộ lọc tổng hợp, chúng ta nhậnđược phép chiếu trực giao của tín hiệu đầu vào W1, W2 … WJ và VJ Đó là, cácđầu vào được phân tách thành độ phân giải thô (mà tồn tại trong VJ) và tín hiệuchi tiết được bổ sung (trong đó tồn tại trong không gian Wi, i = 1, , J) Bởi(2.19), tổng của các phiên bản thô và tất cả các chi tiết bổ sung mang trở lại tínhiệu ban đầu, kết quả sau khi tái tạo hoàn hảo của hệ thống phân tích / tổng hợp

là tốt Chúng ta sẽ gọi Vj là không gian xấp xỉ và Wj là không gian chi tiết Sau

đó, quá trình xây dựng các tín hiệu là trực quan rất rõ ràng – việc xây dựng nàybắt đầu với phiên bản bộ lọc có độ phân giải thấp hơn của nó thuộc VJ, và chobiết thêm các chi tiết cho đến khi phân tách cuối cùng đạt được

Hình 2.4: Phân chia lý tưởng bởi chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian sử dụng các bộ lọc sinc Lưu ý rằng quang phổ đối xứng xung quanh điểm 0 Phân chia vào không gian V i ( lưu ý

V i⊂ V i-1 ), và không gian kết quả W i (trên thực tế V j và W j có độ cao 2 j/2 , vì vậy chúng có đơn

tỉ lệ và dịch được sử dụng, trong khi ở đây, các bộ lọc được lặp lại khác nhau làphức tạp

đầu (rời rạc theo thời gian và do đó quang phổ của nó chiếm (- π, π)) là thôngthấp được lọc bằng cách sử dụng bộ lọc nửa băng lý tưởng Kết quả là, bắt đầu

từ không gian V0, chúng tôi đã thu được một tín hiệu độ phân giải thấp bằngcách giảm một nửa V0, được kết quả là V1 Sau đó, một phiên bản thô thu đượcbằng cách sử dụng quy trình tương tự, được kết quả là không gian V2 Sử dụngquá trình trên nhiều lần, thu được một không gian thô cuối cùng (không gian xấpxỉ) là VJ Trong quá trình trên, chúng ta đã tạo ra không gian khác biệt, Wi, là tốt

Ví dụ, không gian V1 chiếm phần (-π/2, π/2) trong quang phổ, khi W1

chiếm (-π,-π/2) ∪ (π/2, π) Có thể thấy rằng g0[n] ngay cả khi nó đã được dịch,

sẽ tạo thành cơ sở cho V1, trong khi g1[n] tiếp theo (2.18) tạo thành cơ sở cho

W1 Nói cách khác, g0[n], g1[n] và ngay cả khi chúng đã được dịch vẫn sẽ tạothành một cơ sở cho không gian gốc V0 (l2(Z))

Hình 2.5: Tất cả tổ hợp có thể của các dàn lọc cấu trúc dạng dây có độ sâu là 2 Biểu tượng

là một cái nĩa biểu trưng cho một dàn lọc hai kênh với lọc thông thấp ở phía dưới Từ trái sang phải là cây đầy đủ (STFT), cây băng octave (wavelet), cây chỉ có các lọc thông cao được tách đôi ,cây hai băng và cuối cùng là cây 0 (không phân chia) Lưu ý rằng tất cả các cây nhỏ đều được lược bớt từ phiên bản của cây đầy đủ.

Bởi vì chúng ta giải quyết với các bộ lọc lý tưởng nên có một cách giải thích tần số rõ ràng Tuy nhiên, ta phải cẩn thận với những ranh giới giữa các khoảng thời gian Với định nghĩa của chúng ta về g 0 [n] và g 1 [n], cos ((π / 2) n) 10 thuộc về V 1 trong khi sin((π / 2) n) thuộc

W 1

Một phần quan trọng của phần này được dành cho băng octave, các dànlọc cấu trúc cây Dễ dàng tổng quát cuộc thảo luận với các cấu trúc cây tùy ý, bắtđầu từ một dàn lọc hai kênh đơn giản, tất cả các cách thức thông qua các câyphát triển đầy đủ có độ sâu J Hình 2.5 cho thấy tất cả các cấu trúc cây có thể cóchiều sâu nhỏ hơn hay bằng hai

Lưu ý đặc biệt là cây đầy đủ, cây mà có hiệu suất phân chia tuyến tính củaquang phổ tương tự như trong biến đổi Fourier thời gian ngắn và cây băngoctave, thực hiện khai triển chuỗi wavelet rời rạc theo thời gian hai bước Nhưvậy các cấu trúc cây bất kỳ đã được giới thiệu gần đây như họ cơ sở trực giao

cho tín hiệu rời rạc theo thời gian và được biết đến dưới tên là gói wavelet Tiềmnăng của gói wavelet nằm ở khả năng cung cấp một thực đơn phong phú của các

cơ sở trực giao, từ cái "tốt nhất" có thể được lựa chọn ("tốt nhất" theo một tiêuchuẩn cụ thể) Những gì chúng ta sẽ làm đây, là xác định các hàm cơ sở và viết

ra các mối quan hệ trực giao thích hợp

Ký hiệu các bộ lọc tương đương là [n], i = 0, , 2j - 1 Nói cách khác, là

bộ lọc tương đương thứ i đi qua một trong những đường dẫn có thể có độ dài j

Sự sắp thứ tự là một việc khó, và chúng ta sẽ lựa chọn một cây tương ứng từ câyđầy đủ với một lọc thông thấp trong các nhánh dưới của mỗi nhánh, và bắt đầuđánh số từ phía dưới

Ví dụ 3:

Chúng ta hãy tìm tất cả các các bộ lọc tương đương trong hình 2.5, hoặccác bộ lọc tương ứng với độ sâu -1 và chiều sâu 2 cây Vì chúng ta sẽquan tâm đến các hàm cơ bản, chúng ta xem xét các dàn lọc tổng hợp Đểđơn giản, chúng ta làm điều đó trong miền z

Chú ý rằng việc sắp thứ tự đã được chọn trong (2.20) – (2.21), chỉ số tăngkhông phải lúc nào cũng tương ứng với tần số tăng Nó có thể được xácnhận qua bộ lọc lý tưởng, chọn phạm vi [3π/4, π], trong khi bao phủphạm vi [π/2, 3π/4] Bên cạnh cơ sở nhận dạng, cái mà tương ứng với tìnhtrạng không phân chia, chúng ta có thể có 4 cơ sở trực giao, tương ứngvới 4 cây trong hình 2.5 Vì vậy chúng ta có một họ W = {W0, W1, W2,

W3, W4}, ở đó W4 thường là {k ∈ Z

k ∈ Z,tương ứng với cây đầy đủ

W1 = { k ∈ Z,tương ứng với cây băng octave

W2 = { k ∈ Z,tương ứng với cây có hai lần phân chia băng tần cao, và

W3 = { k ∈ Z,