nghiên cứu didactic việc dạy học hàm số và phương trình chứa tham số trong môi trường casyopée ở bậc trung học phổ thông

Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận văn này chủ yếu tìm ra những khó khăn, chướng ngại4 do tham số gây ra khi học sinh giải một bài toán chứa tham

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

L ỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin cảm ơn TS Nguyễn Chí Thành đã tận tình hướng dẫn tôi

t ừng bước trên con đường nghiên cứu khoa học của mình Mặc dù thầy ở rất xa nhưng thầy luôn quan tâm, động viên, chỉ dẫn tôi những lúc gặp khó khăn Điều

đó giúp tôi thêm nghị lực để hoàn thành luận văn này Không có gì hơn, kính chúc th ầy và giá đình thật nhiều sức khỏe và có nhiều niềm vui trong cuộc sống Tôi xin trân tr ọng cảm ơn: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,

TS Lê Thái B ảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương…đã dạy cho chúng tôi những lý thuyết cơ bản về didactic Toán, những

ki ến thức và lời khuyên quý báo mà quý thầy cô đã dành cho chúng tôi

Tôi cũng cảm ơn Ban Giám đốc Trung tâm Giáo dục thường xuyên và Kĩ thu ật tổng hợp hướng nghiệp Đức Hòa đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong

su ốt quá trình học Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn Ban giám hiệu, và thầy cô tổ Toán Trường THPT Hậu Nghĩa, Trường THPT An Ninh đã tạo điều kiện cho tôi ti ến hành thực nghiệm

S ẽ thật là thiếu sót nếu không nhắc đến gia đình và vợ của tôi đã chấp nhận

xa tôi và thay tôi gánh vác chuy ện gia đình để tôi yên tâm theo suốt khóa học Tôi c ầu mong tất cả có nhiều sức khỏe và niềm vui trong cuộc sống

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

M Ở ĐẦU 1

1 Đặt vấn đề và câu hỏi xuất phát 1

2 Các công c ụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết 3

3 C ấu trúc luận văn 6

Chương 1: ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KÍ HIỆU CHỮ TRONG ĐẠI SỐ, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 7

1 Điều tra khoa học luận kí hiệu chữ trong Đại số 7

2 Điều tra khoa học luận về tham số, phương trình chứa tham số 11

3 Hàm s ố 16

4 K ết luận chương 1 17

Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ HÀM SỐ CHO BẰNG BI ỂU THỨC CHỨA THAM SỐ 19

1 Hàm s ố cho bằng biểu thức chứa tham số trong SGK 20

2 Các t ổ chức toán học liên quan đến phương trình chứa tham số và hàm s ố cho bằng biểu thức chứa tham số 21

2.1 Các KNV T1 “ Gi ải và biện luận” 22

2.2 Các KNV T2: “Tìm các giá tr ị tham số” trong phương trình hoặc trong hàm s ố thỏa điều kiện nào đó 36

3.3 Các KNV T3: “Ch ứng minh” 46

3.4 KNV T4: “ Tìm điểm cố định của hàm số y = f(x,m)” 46

3.5 NV T5: “Tìm qu ỹ tích điểm” của họ đương cong phụ thuộc thuộc tham

s ố 52

3 K ết luận chương 2 60

Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 64

1 Đối tượng và hình thức tổ chức và nội dung thực nghiệm 64

2 Phân tích tiên nghi ệm và phân tích hậu nghiệm thực nghiệm của giáo viên 71 3 Phân tích tiên nghi ệm các thực nghiệm học sinh 76

4 Phân tích h ậu nghiệm các thực nghiệm của học sinh 82

4.1 Phân tích h ậu nghiệm thực nghiệm B 82

4.2 Phân tích h ậu nghiệm thực nghiệm C 87

5 K ết luận chương 3 98

K ẾT LUẬN CHUNG 100

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 103

PH Ụ LỤC 106

MỞ ĐẦU

1 Đặt vấn đề và câu hỏi xuất phát

Trong quá trình phát triển toán học, Đại số kí hiệu được hình thành và phát triển trong quá trình tìm kiếm những biện pháp tổng quát để giải các bài toán cùng kiểu

Những biện pháp đó thường là lập và giải phương trình Với việc hình thành các kí hiệu, đặc biệt là kí hiệu chữ trong Đại số và hình thành lí thuyết tập hợp sau đó, đã làm cho cách diễn đạt trong toán học hết sức tiện lợi, rõ ràng Việc tính toán trên số cụ thể chuyển sang tính toán hình thức trên chữ đã giúp Đại số nghiên cứu các tính chất tổng quát của

hệ thống số và những phương pháp tổng quát các bài toán bằng phương trình Các phương pháp giải thường được trình bày theo một quy trình mang tính thuật toán Chính

việc sử dụng kí hiệu chữ trình bày nội dung toán học theo phương diện cú pháp1 nên có lúc phương diện ngữ nghĩa2 bị xem nhẹ Đồng thời, một kí hiệu chữ trong Đại số có thể

có nhiều nghĩa và vai trò khác nhau Ví dụ như trong một phương trình, chữ đóng vai trò

ẩn, chữ đóng vai trò tham số; a + b chỉ vai trò là một quy trình (cộng a với b) cùng lúc

chỉ một kết quả (tổng của a và b); dấu đẳng thức có vai trò chỉ một kết quả, hoặc một quan hệ tương đương Vậy câu hỏi đặt ra là:

Ch ữ trong Đại số có những vai trò nào?

Theo Phan Thị Hằng (2002), “ […] vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong phú, đa dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ vai trò như một chữ số của một số có nhiều chữ số .v.v Chính sự phức tạp này có thể gây nên những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong

đó có sự tham giá của các kí hiệu chữ.” ([8], tr 61) Dựa trên kết quả đó chúng tôi tự đặt

ra câu hỏi như sau:

H ọc sinh gặp khó khăn nào khi giải một bài toán có kí hiệu chữ quy định là tham số?

1

“Ph ương diện cú pháp (syntaxic) của toán học là mặt xem xét cấu trúc hình thức và sự biến đổi hình thức những

biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải.” ([10],

tr.80])

2 Ph ương diện ngữ nghĩa (semantic) của toán học là mặt xem xét nội dung của những mệnh đề toán học và ngh ĩa của những cách đặt vấn đề toán học.” ([10], tr.80])

Quá trình dạy - học, luôn đòi hỏi phải có sự tương tác, nhất là trong môi trường có tích hợp công nghệ như phần mềm dạy học, Internet…

Theo didactic “Ch ủ thể học bằng cách thích nghi (đồng hóa và điều ứng) với môi trường, nơi tạo ra những mâu thuẫn, khó khăn và mất cân bằng.”

Theo Brousseau ,“Trong tình hu ống didactic, môi trườnglà hệ thống đối kháng với

h ọc sinh, tức là cái làm thay đổi tình trạng của kiến thức theo cách mà học sinh không ki ểm soát được.” Các yếu tố hình thành nên môi trườngcó thể là vật chất hoặc phi

vật chất

Hiện nay, có rất nhiều phần mềm dạy-học môn Toán ở bậc THPT, trong đó có phần

mềm Casyopée Casyopée là phần mềm dạy học hàm số do Lagrange (2002) và nhóm nghiên cứu thuộc trung tâm nghiên cứu Didactic Diddirem (nay là trung tâm nghiên cứu Didactic LDAR Đại học Paris VII) phát triển Một đặc trưng nổi bật của phần mềm này là có hai môđun đại số và môđun hình học động và kết nối chặt chẽ với nhau Đây là phần mềm duy nhất nghiên cứu quan hệ hàm có sự tích hợp của hai mođun đại

số và hình học

- Trong môđun đại số: Các hàm số với biến số thực là trung tâm nghiên cứu của Casyopée Casyopée cung cấp phương tiện để tạo ra các tập số thực có điều kiện (mô hình hóa tham số bằng thanh trượt thay đổi giá trị) mà các hàm, biểu thức xác định trên

nó Casyopée cho phép tính toán, biến đổi hình thức chứa kí hiệu chữ là tham số Cần

nhấn mạnh thêm các kĩ năng tính toán, khảo sát hàm số… đều được chương trình tự động thực hiện Và đồ thị hàm số sẽ tự thay đổi theo sự thay đổi giá trị của tham số

- Trong mô đun hình học: Có các công cụ dựng các đối tượng mới dựa trên cơ sở đối tượng đã có (như trung điểm của đoạn thẳng, giao điểm của hai đường thẳng, của đường thẳng và đường tròn) Khi thay đổi vị trí của điểm di động, các đối tượng trên

vẫn bảo toàn cấu trúc của nó Nhờ khả năng này mà HS có thể phát hiện ra một số tính

chất của hình, quỹ tích của điểm… khi dịch chuyển điểm

Xác định được miền xác định và công thức tính các đại lượng như diện tích, độ dài

…, và tuỳ theo giá trị biến do người dùng tự chọn (theo quy ước riêng của Casyopée), nó chuyển các biểu thức này thành các hàm số trên môđun đại số Nhờ khả năng này, nó kiểm tra mối quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên có là quan hệ hàm hay không ?

Qua một số tính năng của Casyopée mà chúng tôi trình bày ở trên, chúng tôi nhận

thấy Casyopée tỏ ra thích hợp thiết kế môi trường dạy-học có tích hợp Casyopée thể

hiện sự thay đổi giá trị của tham số Môi trường đó nhằm tạo điều kiện thuận lợi để giải quyết KNV chứa tham số trong môi trường Casyopée hoặc hỗ trợ kĩ thuật giải quyết KNV

chứa tham số trong môi trường truyền thống Điều đó sẽ khắc phục khó khăn khi học sinh

giải quyết KVN chứa tham số trong chủ đề phương trình và hàm số bậc THPT

Câu hỏi chúng tôi đặt ra là:

Nh ững KNVchứa tham số nào giải được trong môi trường Casyopée? Và môi trường Casyopée kh ắc phục khó khăn nào khi học sinh giải bài toán chứa tham số trong môi trườngtruyền thống?

2 Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết

2.1 Quan h ệ thể chếvới một tri thức

Lý thuyết nhân học trong didactic dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định nghĩa là đối tượng, cá thể, thể chế

Khi một cá thể X thâm nhập vào một thể chế I mà trong đó tồn tại một đối tượng tri

thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình thành Cá thể X và hệ

thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân Thông qua mối quan hệ cá nhân R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của thể chế I

“Trong didactic, vấn đề trung tâm là vấn đề nghiên cứu mối quan hệ thể chế, các điều

kiện và những hiệu ứng của nó Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân cũng là một vấn

đề của khoa học sư phạm, cơ bản về mặt thực hành nhưng thứ yếu về mặt khoa học

luận3” [Chevallard (1989), tr 93]

2.2 Tổ chức praxélogic, tổ chức toán học

Theo lý thuyết nhân học trong didactic, mỗi hoạt động bất kỳ của con người đều

nhằm hoàn thành một nhiệm vụ t nào đó Nhiều nhiệm vụ t có thể xếp vào một kiểu nhiệm vụ T nếu chúng được giải quyết bằng cùng một kỹ thuật τ Công nghệ θ là những

gì cho phép nghĩ đến, tạo ra hoặc lý giải cho kỹ thuật t Đến lượt mình, công nghệ θ được

giải thích, biện minh bằng lý thuyết Θ

Bộ bốn phần tử [T/t/θ/Θ] gọi là một praxéologie, vốn được cấu thành bởi hai từ Hy

Lạp là praxis (thực hành) và logos (lý lẽ, lập luận) Thật vậy, trong một praxéologie,

khối [T/ t] thuộc về thực hành và khối [θ/Θ] thuộc về lý lẽ, lập luận Nếu T là một kiểu nhiệm vụ toán học thì praxéologie liên quan sẽ gọi là một tổ chức toán học

Việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O (đối tượng toán

học) có thể thực hiện qua việc phân tích các tổ chức toán học gắn liền với O

2.3 H ợp đồng didactic

Hợp đồng didactic là sự mô hình hóa của nhà nghiên cứu về quyền lợi và nghĩa vụ

ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với tri thức toán học được giảng dạy, là tập hợp các quy tắc (thường là ngầm ẩn) phân chia và giới hạn trách nhiệm của giáo viên và

học sinh đối với tri thức toán học này

Chúng tôi sử dụng hợp đồng dạy học trong nghiên cứu của mình bởi vì hợp đồng dạy

học là một công cụ để nghiên cứu một số sai lầm của học sinh mà nguồn gốc của những sai lầm đó là do những quan hệ ngầm ẩn giữa các thành phần trong hệ thống dạy học Đặc biệt hơn, trong điều kiện có một bộ SGK như nước ta hiện nay thì hợp đồng dạy học còn có thể cho thấy một phần ảnh hưởng của SGK lên quan niệm của học sinh về đối tượng tri thức O nào đó

2.4 Cách đặt vấn đề sinh thái học

Cách đặt vấn đề sinh thái học sẽ giúp làm rõ những điều kiện và ràng buộc cho phép

sự tồn tại và tiến triển của mỗi đối tượng, cũng như của mối liên hệ giữa chúng, bởi vì như Chevallard (1989b) đã nói : “[… ] một đối tượng tri thức O không tồn tại độc lập trong một thể chế mà nó có mối quan hệ tương hỗ và thứ bậc với các đối tượng khác trong cùng thể chế Những đối tượng này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại của

nó trong thể chế Nói cách khác, các đối tượng này hợp thành điều kiện sinh thái cho

cuộc sống của đối tượng tri thức O trong thể chế đang xét.”

Chúng tôi phát biểu lại các vấn đề đặt ra ban đầu bằng thuật ngữ của các công cụ lý thyết đã lựa chọn như sau:

Q1 Kí hi ệu chữ trong Đại số phổ thông có những vai trò nào? Đặc trưng của tham

s ố trong phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số?

Q2 Tham s ố gây ra những khó khăn nào khi học sinh giải quyết kiểu nhiệm vụ chứa tham s ố trong chủ đề phương trình và hàm số ở bậc THPT?

Q3 Trong ch ủ đề phương trình và chủ để hàm số ở bậc THPT, môi trường Casyopée

gi ải quyết được những KNV chứa tham số nào, Casyopée khắc phục những khó khăn nào

c ủa học sinh khi giải quyết KNV chứa tham số trong môi trường truyền thống?

Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận văn này chủ yếu tìm ra những khó khăn, chướng ngại4

do tham số gây ra khi học sinh giải một bài toán chứa tham số trong chủ đề phương trình và hàm số Những khó khăn, chướng ngại nói chung và chướng ngại khoa học luận5 nói riêng có thể là một trong các nguyên nhân gây sai lầm6ở

học sinh Do đó, để tìm hiểu các khó khăn, chướng ngại đó chúng tôi tiến hành quy trình như sau:

Tìm hiểu khoa học luận kết hợp với phân tích thể chế, tìm hiểu tính năng phần mềm

Casyopée sử dụng để giải quyết một số KNV chứa tham số phát hiện khó khăn hình thành giả thuyết, câu hỏi thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết

Việc tìm hiểu khoa học luận, chúng tôi tham khảo các luận văn, luận án, tài liệu lịch

sử toán học mà tôi hiện có

Phân tích thể chế chỉ liên quan đến lớp 10 và 12 ở Việt Nam (do chủ đề hàm số và phương trình lượng giác ở lớp 11 không có các bài tập chứa tham số) nên chúng tôi phân

4 Không ph ải mọi khó khăn đều được xem là chướng ngại

“Sai l ầm không chỉ đơn giản do thịếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra…, mà còn là một hậu quả một kiến

th ức trước đây đã từng có ích, đem lại thành công nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp

n ữa Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thường hay không dự đoán được, Chúng tạo thành chướng

ng ại Trong hoạt động của giáo viên cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây

d ựng nên nghĩa của kiến thức thu nhận được.” ([2], tr57)

5 Ki ến thức sai là cần thịết cho học tập: con đường đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ một số

ki ến thức sai, bởi vì việc ý thức được đăc trưng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của kiến thức mà ta

mu ốn xây dựng cho học sinh Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là chướng ngại khoa học luận,

nh ấn mạnh vai trò của chúng trong lịch sử phát triển các kiến thức ( [2], tr 59 )

6

H ọc thuyết hành vi coi sai lầm chỉ là phản ánh của sự thịếu hiểu biết hay sự vô ý

H ọc thuyết kiến thịết gán cho sai lầm và nhận ra sai lầm một vai trò có tính xây dựng trong hoạt động nhận thức Didactic đã liên kết được quan điểm kiến thịết và định đề của phái Bachelar – định đề khẳng định trong lịch sử các

b ộ môn khoa học, sai lầm không phải là một sự kiện thứ yếu xảy ra trong một quá trình: nó không nằm ngoài

ki ến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức.” ([2], tr 57)

tích sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Toán 10, 12 hiện hành

Thực nghiệm, chúng tôi tiến hành ở lớp 10 và 12

3 Cấu trúc luận văn

Chương 1: ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KÍ HIỆU CHỮ TRONG ĐẠI SỐ, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH

Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ HÀM SỐ CHO BẰNG BIỂU THỨC CHỨA

Chương 1: ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KÍ HIỆU CHỮ TRONG ĐẠI SỐ, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM

SỐ

Mục đích chương này nhằm trả lời câu hỏi

Q1 Kí hi ệu chữ trong Đại số phổ thông có những vai trò nào? Đặc trưng của tham số trong phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số?

1 Điều tra khoa học luận kí hiệu chữ trong Đại số

1.1 Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển kí hiệu trong Đại số7

Theo kết quả nghiên cứu trong luận án Tiến sĩ của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt

lịch sử, đại số ra đời nhằm giải quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công

cụ giải các bài toán thuộc các lĩnh vực khác Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại

sự phát triển lịch sử của phong trào ký hiệu đại số thành ba Giai đoạn:

“Giai đoạn 1: “Hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử dụng

ngôn ngữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu vắng cho

việc biểu thị các biến số Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài toán mà không dùng bất kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả

Giai đoạn 2: “Rút âm từ” (từ thời Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã

đưa vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết Đại số “rút âm từ” sử dụng

một số viết tắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử dụng thường xuyên hơn

Giai đoạn 3: “Đại số ký hiệu” (từ thời F.Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử

dụng để chỉ các đại lượng: do đó có thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử dụng đại

số như một công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán” ([18], tr.5)

“Trong chỉ thảo thư Rinda cổ Ai Cập (khoảng 2000 năm trước CN), trong đó đại lượng chưa biết được gọi bằng một từ có nghĩa là “ một đống, một mớ” và được kí hiệu

bằng một chữ hình tượng tương ứng Người Ai Cập cổ xưa trình bài cả đề bài và lời giải

7 Đại số là một trong các nhánh lâu đời của Toán học Hiện nay lĩnh vực Đại số rất rộng lớn Ở đây, chúng tôi ch ỉ đề cập đến Đại số phổ thông

của bài toán bằng lời và chỉ cho những thí dụ cụ thể bằng số

Các nhà nhà toán học phương Đông thời trung cổ trình bày tất cả các phép toán bằng

lời Sự tiến bộ sau này của Đại số bắt đầu có được chỉ sau khi kí hiệu thuận tiện được sử

dụng phổ cập để biểu thị các phép toán Quá trình tiến bộ đó diễn ra rất chậm chạp và quanh co.” ([24], tr 243-244)

Diophante đã dùng i ( chữ cái đứng đầu từ Hi Lạp ϊδus (izos) có nghĩa là “ bằng

nhau”) để chỉ sự bằng nhau Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu

sau: s’ để chỉ ẩn số, δ v

−

chỉ bình phương của ẩn số, x v

−

chỉ lập phương của ẩn số Bên

phải ẩn số hay lũy thừa của nó Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x 5 được viết là δx v

−

β (trong đó β =2) Như vậy, kí hiệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu

gạch ngang trên đầu, chẳng hạn α =1,β =2,…Việc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa

biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ vật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn dần thành x

Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và để chỉ bình phương, chẳng hạn 3x2 + 10x Theo cách viết của BrakhmaguPTa (thế kỉ thứ 7) có

dạng như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương)

Đến thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L.Pacioli dùng kí hiệu

p (là chữ đầu của plus có nghĩa là cộng ) để chỉ phép cộng và dùng ký hiệu m (là chữ đầu của minus có nghĩa là trừ ) để chỉ phép trừ

Vào cuối thế kỉ 15, trong một số sách toán đã xuất hiện dấu + và -, và cho biết thêm

rằng các dấu đó đã được sử dụng từ lâu trong thực tiễn thương mại để biểu thị thừa và thiếu trọng lượng Các dấu còn lại (lũy thừa, căn, dấu ngoặc,…) được nhanh chóng đưa vào và được mọi người thừa nhận

Trước cải cách của F.Viète, trong đại số và số học gần như không có quy tắc chung, người ta chỉ xét những ví dụ bằng số Một giáo trình Toán sơ cấp thời đó rất khó, vì người ta cho rất nhiều quy tắc riêng thay vì một quy tắc chung

Một bước tiến quan trọng trong sự phát triển hệ kí hiệu toán học là việc F.Viète (1591) là người đầu tiên bắt đầu viết các bài tập của mình dưới dạng tổng quát, bằng cách kí hiệu các đại lượng chưa biết bằng nguyên âm a, e, i,…, và những đại lượng đã

biết bằng phụ âm b, c, d,…, rồi nối lại bằng những dấu phép toán của thời ấy Như vậy,

lần đầu tiên xuất hiện những công thức chữ rất đặc trưng cho Đại số Điều đó phép viết các phương trình đại số với các hệ số tùy ý và thao tác với chúng Để chỉ các ẩn số Vìète dùng các nguyên âm a, e…

Nhà bác học Pháp R Descartes (1637) đã cho các kí hiệu đại số có bộ mặt như hiện

nay khi kí hiệu các ẩn số, biến số bằng các chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z và các đại lượng đã cho tùy ý bằng các chữ cái đầu a, b, c cũng như các lũy thừa bằng a2, a3 …Các

kí hiệu của R.Descartes có ưu điểm hơn hẳn các kí hiệu trước kia, do đó nhanh chóng được thừa nhận rộng rãi

Đến giữa thế kỉ 17, sự phát triển kí hiệu trong đại số đến cơ bản đã hoàn thành Sử

dụng chữ không chỉ biểu thị ẩn mà còn biểu thị tất cả những đại lượng

S ự diễn đạt trong đại số trong Đại số đã xảy ra sự chuyển biến:

b ằng lời vi ết tắt các từ đưa ra các kí hiệu hoàn thi ện các kí hiệu

Sự phát triển của Đại số kí hiệu, đặc biệt là kí hiệu chữ và các phép toán trên những

kí hiệu đó đã thúc đẩy sự ra đời quan điểm coi đại lượng toán học là đại lượng biến thiên ( thế kỉ 16-17), trong đó biến thiên liên tục của một đại lượng nào đó thường tương ứng

với sự biến thiên liên tục của một đại lượng khác, là hàm của nó, đó là nét đặc trưng của

giải tích toán học Vậy, sự phát triển kí hiệu nói chung và kí hiệu chữ nói riêng và đưa vào sử dụng kí hiệu ấy đã thúc đẩy sự phát triển các lĩnh vực mới của toán học, đặc biệt

là sự chuẩn bị ra đời của Giải tích

“Việc đưa vào kí hiệu và thực hiện các phép toán trên chữ thay thế cho bất kì những

số cụ thể nào có ý nghĩa cực kì quan trọng Không có công cụ đó- ngôn ngữ các công

thức-không thể có được sự phát triển của toán học.”([24], tr 245)

1.2 Vai trò c ủa chữ trong Đại số

Theo Booth (1984), Kieran (1991), “ […] Trong số học chữ dùng để chỉ các đơn vị

đo hay chỉ các sự vật Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g Khi chuyển sang đại số các chữ dùng để chỉ các số, và biểu thức 5g có thể được giải thích 5*g trong đó g chỉ một

số.”(dẫn theo Nguyễn Ái Quốc, 2006)

Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ, trong đó ông phân

biệt:

“ - Ch ữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số

- Ch ữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán

- Ch ữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn

- Ch ữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm

- Ch ữ chỉ một số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị

- Ch ữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” ([18], tr.6)

Theo nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002), “ Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa của các ký hiệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng: Trong số học, các chữ đã hiện diện, chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo hoặc các đối tượng, chẳng hạn 12m có thể chỉ 12 mét hoặc chỉ 12 môtô (chữ m được dùng như một nhãn hiệu) Việc chuyển sang đại số kéo theo một sự mở rộng về nghĩa: các chữ bây giờ được dùng để chỉ các số, 12m cũng

sẽ có nghĩa là 12 lần số mét, m chỉ một số và với danh nghĩa đó chúng được đưa vào để tính toán […]

Như vậy, quy chế về nghĩa của các chữ phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể chứ không bị rút gọn vào ý nghĩa nhãn hiệu Đối với học sinh, sự thay đổi quy chế này không hề được làm rõ, hơn thế nữa nó được khắc sâu bởi một chuỗi các cách viết cũng như bởi các phương tiện tranh luận thông thường kiểu như: để làm cho học sinh hiểu rằng

2x+ 3x= 5x người ta gợi ý rằng hãy nghĩ đến x như nghĩ về những quả táo, điều này càng củng cố thêm cách hiểu các số thiên về ý nghĩa nhãn hiệu Vì vậy, bước chuyển từ

quan ni ệm này sang quan niệm khác có thể hình thành một chướng ngại quan trọng đối

v ới học sinh.” ([8], tr 11)

Theo Phan Thị Hằng (2002), “Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong phú, đa dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ vai trò như một chữ số của một số có nhiều chữ số v.v Chính sự phức tạp này có thể gây nên

những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong đó có sự

tham gia của các kí hiệu chữ.” ([8], tr 61)

Từ các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi rút ra một số đặc trưng của kí hiệu chữ trong Đại số như sau:

- Kí hi ệu chữ giữ nhiều vai trò khác nhau: chữ là một nhãn, chữ được gán giá trị, chữ

ch ỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số…

- Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ rất đa dạng và phụ thuộc vào ngữ cảnh sử dụng

- V ề mặt lịch sử, kí hiệu chữ dùng để biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó dùng

để biểu thị một tập hợp các giá trị

- Trong d ạy học đại số, dùng kí hiệu chữ biểu thị ẩn số xuất hiện trước khi dùng kí

hi ệu chữ biểu thị biến số

- Bước chuyển từ quan niệm này sang quan niệm khác trên cùng một kí hiệu chữ có

th ể hình thành chướng ngại đối với học sinh

- V ề mặt khoa học luận, việc chuyển từ quan niệm đại lượng không đổi  quan ni ệm đại lượng biến thiên là một chướng ngại

Tiếp theo chúng tôi sẽ hiểu xem tham số được hiểu như thế nào?

2 Điều tra khoa học luận về tham số, phương trình chứa tham số 2.1 Tham số

Trong chương trình toán phổ thông, có hai loại tham số:

Tham số trong phương trình chứa tham số, nó có bản chất là hằng số bất kì cho trước

hay tham số có bản chất là “số cố định tạm thời” Sự thay đổi của tham số làm biến đổi

đến sự tồn tại và giá trị nghiệm của phương trình

Tham số trong phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, Elips, mặt

phẳng… Nó có bản chất là biến trung gian Sự thay đổi tham số dẫn tới sự thay đổi tọa

độ của điểm, có sự tương ứng một một giữa tọa độ điểm với giá trị tham số Tham số thay đổi nhưng điểm vẫn thuộc đường,mặt…

Ở đây chúng tôi nghiên cứu tham số theo quan điểm thứ nhất

Tham số (tham biến hay thông số) là một khái niệm“paramathématique8

” : có tên nhưng chưa được định nghĩa chính xác về mặt toán học

Sau đây là một số mô tả về tham số:

Trong cuốn Dictionnaire des mathématiques đã viết: “Tham số (danh từ) là thuật ngữ

8

“Chevallard (1985) phân bi ệt ba loại khái niệm toán học: khái niệm toán học (notion mathématique) là khái

ni ệm có tên, có định nghĩa; khái niệm cận toán học (notion paramathématique) là khái niệm có tên nhưng không được định nghĩa); khái niệm tiền toán học (notion protomathématique) là khái niệm không có tên, không có định

ng hĩa nhưng được dùng một cách ngầm ẩn. ([2], tr 59)

không được định nghĩa rõ ràng, được sử dụng ngược với ẩn số, để chỉ các hệ số hay các đại lượng nào đó mà người ta muốn biểu đạt một mệnh đề hay các nghiệm của một hệ phương trình theo chúng.” ([7], tr 5)

Theo X.M.Nikolxki (2002), “ Tham số là đại lượng mà giá trị của nó dùng để phân

biệt các phần tử của một tập hợp nào đó

Thí dụ: Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc, tập hợp các đường tròn bán kính 1 trên

mặt phẳng Oxy được xác định bởi PT 2 2

(x a− ) +(y b− ) =1

Lấy a = 3, b = 4 chẳng hạn, ta tách ra được từ tập hợp đó một đường tròn hoàn toàn xác định có tâm (3;4), do đó a, b là các tham số của đường tròn trong tập hợp được xét”.([25, tr139])

Theo Nguyễn Bá Kim (1994), “[…] trong dạng phương trình ax=b thì các biến a b,

có vai trò khác về căn bản so với biến x Biến x là biến cần được biểu thị qua các biến

còn lại, còn các biến dùng để biểu thị dạng của phương trình nên còn gọi là biến chỉ dạng hay tham biến” ([10], tr 63-64)

Trong các cách trình bày trong các tài liệu trên cho ta thấy không có tiêu chí thống

nhất về tham số

- Tham s ố có chức năng xác định các phần tử của tập hợp

- Tham s ố được xem là hằng số tùy ý hay là số cố định tạm thời Như vậy, tham số

v ừa có tính cố định (hằng số) vừa có tính tự do (tùy ý) Chúng tôi gọi đó là “tính chất kép: c ố định- tự do” của tham số

- Phân biệt tham số với biến số và ẩn số có thể dựa vào:

o Quy ước phô bày kí hiệu chữ (x, y, là ẩn, m, n là tham số)

o Ngữ nghĩa

o Q uy ước phô bài kết hợp với ngữ nghĩa

Trong thể chế Việt Nam, do tham số là một khái niệm “paramathématique” nên

không là đối tượng nghiên cứu của toán học Để hiểu rõ hơn bản chất của tham số, ta có

thể nghiên cứu những đối tượng mà trong đó tham số xuất hiện thường xuyên Đối tượng được xem là mảnh đất thuật lợi cho tham số xuất hiện là phương trình, hàm số Tiếp theo, ta tìm hiểu tham số trong phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng biểu thức

chứa tham số

2.2 Khái ni ệm phương trình

Trong nhà trường phổ thông, khái niệm phương trình được nhìn ở cả hai phương

diện: phương diện cú pháp và phương diện ngữ nghĩa

a Phương diện cú pháp

Theo quan điểm“cú pháp”, phương trình được xem như một dãy kí hiệu có một

dạng nhất định, và từ đó có khả năng nghiên cứu được cấu trúc của dãy kí hiệu trừu

xuất khỏi những nội dung cụ thể

“Ph ương trình là hai biểu thức nối với nhau bởi dấu = ; trong các biểu thức đó có

một hoặc nhiều biến, gọi là ẩn.” ( [24], tr.295.)

Theo Dương Quốc Việt (2007), “Ta kí hiệu x=( , ).x1 x n Khi đó biểu thức 1

( , , n)

f x x được viết gọn là f x( ) Hai biểu thức toán học chứa biến x được nối với nhau

bởi dấu bằng, f x( )=g x( ), được gọi là một phương trình” ([20], tr 144)

b Phương diện ngữ nghĩa

Khái niệm phương trình còn có thể được hiểu theo phương diện“ngữ nghĩa” Phương diện này coi phương trình như một hàm mệnh đề

Ví dụ: “Giả sử cho y = f(x) và y = g(x) là các hàm số mà giáo hai miền xác định của

chúng là M Ta gọi hàm mệnh đề “Số trị của f(x) và g(x) bằng nhau” xác định trên M là

một phương trình và kí hiệu là f(x) = g(x) Tập M được gọi là miền xác định của phương

trình đó.” ( [10], tr 61)

Cần chú ý rằng, nếu triệt để tuân theo quan điểm cú pháp thì không thể nói phương trình là một hàm mệnh đề mà chỉ có thể nói phương trình biểu thị một hàm mệnh đề

2.3 Phương trình chứa tham số

Đầu tiên, ta tìm hiểu xem phương trình tham số được hình thành như thế nào trong

lịch sử?

“Vào thế kỷ 16, F.Viète (1540-1603) tìm ra phương pháp tổng quát để biểu diễn nghiệm của một họ phương trình mà ông gọi là phương pháp tham số hóa Ví dụ dưới đây của Vandebrouck không chỉ minh họa cho phương pháp của F.Viète mà còn nêu lên

vấn đề đưa khái niệm tham số vào trường trung học phổ thông

Mỗi phương trình dưới đây có bao nhiêu nghiệm thực?

x2 = 2x + 1 (1)

x2 = 2x – 2 (2)

x2=2x – 1 (3)

Xét các hàm số f, g1, g-2, g-1xác định bởi f(x) = x2 ,g1(x)=2x+1 ,

g-2(x) = 2x – 2 và g-1(x) = 2x – 1 Đồ thị của f, g1, g-2 và g-1 lần lượt là parabol (P)

và các đường thẳng d1, d2, d3 Nghiệm của mỗi phương trình (1), (2), (3) tương ứng là hoành độ giao điểm của (P) với d1, d2, d3

Do đó, số nghiệm của mỗi phương trình cũng là số giao điểm của (P) và các đường

x = x+a với a là một số thực cho trước bất kỳ Ba phương trình đã xét tương ứng với

ba trường hợp đặc biệt là a=1, a=-2 và a=-1

Như vậy, về mặt khoa học luận, phương trình chứa tham số là sự tổng quát hóa (hay

tham s ố hóa – theo cách gọi của F.Viète) một họ những phương trình cụ thể mà việc

giải và biện luận phương trình chứa tham số này cho phép suy ra nghiệm của

những phương trình cụ thể đang xét bằng cách gán cho tham số những giá trị tương ứng Theo nghĩa đó, tham số là một hằng số cho trước có thể nhận những giá trị tùy ý thuộc một tập E ⊂  cho trước.” ([13],tr 6)

Tiếp theo, ta tìm hiểu khái niệm phương trình chứa tham số được trình bày như thế nào trong một số giáo trình Đại học?

Theo Nguyễn Bá Kim (1994), khái niệm phương trình chứa tham số (hay tham biến) được hiểu thông qua việc chỉ ra các đặc trưng của phương trình nhiều biến như sau :

“Một phương trình nhiều biến có thể được xét dưới nhiều góc độ khác nhau, chẳng

hạn :

–Tìm tất cả các bộ số là nghiệm của phương trình đó

–Dùng như một công thức để biểu thị sự tương quan giữa nhiều đại lượng, ví dụ như S = vt Khi ấy, vấn đề không phải ở chỗ tìm những bộ ba số thỏa mãn phương trình trên mà là ở chỗ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và

thời gian trong chuyển động đều

Dùng để đặc trưng cho một dạng phương trình nhất định Các phương trình2x= 3;

0, 4y= 2; 1

0,15

2t = ; 3 4

2a = đều có cùng một dạng ax b6 = Vấn đề ở đây không phải

là tìm những bộ ba số thỏa mãn phương trình này Trong khi ở hai trường hợp đầu, vai trò của các biến là bình đẳng thì trong trường hợp thứ ba này các biến a, b có vai trò khác về căn bản so với biến x Biến x là biến cần được biểu thị qua các biến còn lại, còn các biến a, b dùng để biểu thị dạng của phương trình nên còn gọi là biến chỉ dạng hay tham bi ến Phương trình nhiều biến nếu được nhìn dưới góc độ như thế thì sẽ bao

gồm được tất cả các phương trình có cùng một dạng Dưới góc độ đó, phương trình nhiều biến được gọi là dạng phương trình hay phương trình có chứa tham biến [ ]

Phương trình ax = b được gọi là phương trình một ẩn có chứa hai tham biến a và

b [ ] Ta cần hiểu rằng đây là một phương trình có 3 biến, trong đó có sự phân biệt giữa

hai loại biến: x là biến cần biểu thị qua các biến còn lại, còn a và b là các biến chỉ

dạng phương trình Thực chất của phương trình có tham biến là như vậy Khi giải một

phương trình chứa tham biến, các tham biến được xem như đại diện cho những số đã

bi ết và ta phải biểu thị nghiệm qua các tham biến đó.” ([10], tr 63-64)

Trong một số tài liệu, ví dụ như Đại số sơ cấp của Hoàng Kì (2001), phương trình

chứa tham số còn được mô tả như sau: “Phương trình f(x, a, b, , c) = 0 với ẩn số

x∈Cn và các tham số a, b, , c được gọi là phương trình chứa tham số Khi có một hệ

thống giá trị thừa nhận được của tham số, phương trình trở thành phương trình cụ thể : f(x, α , β , , γ ) = 0 với ẩn số x∈Cn và không chứa tham số nữa, và tập nghiệm của nó hoàn toàn xác định (có thể rỗng) Giải phương trình chứa tham số là xác định tất cả các nghiệm của nó với mỗi hệ thống giá trị thừa nhận được của tham số.” ([12], tr94-95)

3 Hàm số

Hàm số có ba đặc trưng cở bản: tương ứng, phụ thuộc và biến thiên

Ta xét định nghĩa hàm số trong Từ điển toán học – Bản dịch tiếng Việt của Hoàng Hữu Như và Lê Đình Thịnh – NXB khoa học và kĩ thuật, 1977, tr 238 như sau:

“Phần tử của một tập hợp Ey (bản chất bất kì) được gọi là hàm của phần tử x xác định trên một tập hợp Ex (bản chất bất kì), nếu mỗi phần tử x của tập hợp Ex được đặt tương

ứng với một phần tử duy nhất y ∈ Ey Phần tử x được gọi là biến độc lập hay đối số [….]

Tùy theo bản chất các tập hợp Ex và Ey ta có các loại hàm khác nhau Nếu Ex và Ey

là những tập hợp số thực nào đó, nghĩa là x và y nhận các giá trị là những số thực, thì ta

có hàm số biến số thực hay đơn giản là hàm số […] ”

Hàm s ố cho bằng biểu thức chứa tham số

Theo Hoàng Kì (2002), Đại số sơ cấp, tr 94, “Cho hàm số f(x), ngoài các đối số ra còn có các chữ a, b, c… Nếu trong việc khảo sát và nghiên cứu, ta xem các chữ a, b, c… như là đã biết thì chúng gọi là tham số, hay thông số hay tham biến”

4 Kết luận chương 1

Chúng tôi tổng hợp lại các kết quả đã nghiên cứu được ở chương 1

- S ự diễn đạt trong Đại số đã xảy ra sự chuyển biến:

b ằng lời  vi ết tắt các từđưa ra các kí hiệu hoàn thi ện các kí hiệu

- Kí hi ệu chữ giữ nhiều vai trò khác nhau: Chữ được gán giá trị, chữ là một nhãn, chữ

ch ỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số …

- Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ rất đa dạng và phụ thuộc vào ngữ cảnh sử dụng

- V ề mặt lịch sử, kí hiệu chữ dùng để biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó dùng để

- Tham s ố trong phương trình chứa tham số và tham số trong hàm số cho bằng biểu thức

ch ứa tham số đều có bản chất là hằng số nhưng là những số tùy ý (số cố định tạm

th ời), đôi khi hạn chế trong những giới hạn nhất định Như vậy, tham số có tính chất kép:c ố định-tự do

- Tham s ố trong phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, Elips, mặt

ph ẳng… Nó có bản chất là biến trung gian

- V ề mặt khoa học luận, phương trình chứa tham số là sự tổng quát hóa (hay tham số hóa – theo cách g ọi của F.Viète) một họ những phương trình cụ thể

Khái niệm tham số và phương trình chứa tham số chuyển hóa vào SGK THPT của

Việt Nam như thế nào? Mục đích và vai trò của nó? Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ

phụ thuộc ngữ cảnh sử dụng có gây những khó khăn gì cho học sinh khi giải quyết KNV

có chứa tham số ở chủ đề phương trình và hàm số ở bậc THPT? Để trả lời cho câu hỏi

đó, chúng tôi tiến hành phân tích SKG Đại số 10 nâng cao và SGK Giải tích 12 nâng cao trong chương trình hiện hành

Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ HÀM SỐ CHO BẰNG

BIỂU THỨC CHỨA THAM SỐ

Mục đích chương này nhằm trả lời câu hỏi

Q2 Tham s ố gây ra những khó khăn nào khi học sinh giải quyết kiểu nhiệm vụ chứa tham s ố trong chủ đề phương trình và hàm số ở bậc THPT?

Q3 Trong ch ủ đề phương trình và chủ để hàm số ở bậc THPT, môi trường Casyopée

gi ải quyết được những KNV chứa tham số nào, Casyopée khắc phục những khó khăn nào c ủa học sinh khi giải quyết KNV chứa tham số trong môi trường truyền thống?

Trong bài Đại cương về phương trình ở chương 3 của SGK ĐS 10 NC, sau khi nêu khái niệm phương trình một ẩn, phương trình tương đương, phương trình hệ quả, phương trình nhiều ẩn, tiếp theo SGK mô tả phương trình tham số ở trang 71 như sau:

“Chúng ta còn xét cả những phương trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những

chữ khác Các chữ này được xem là những số đã biết và được gọi là tham số

Chẳng hạn, phương trình m(x + 2) = 3mx – 1 (với ẩn x) là một phương trình chứa

trình tùy theo các giá trị có thể của tham số Để nhấn mạnh ý đó, khi giải phương trình

chứa tham số, ta thường nói là giải và biện luận phương trình.”

Nói rõ hơn, biện luận chính là quá trình lập luận về số nghiệm của phương trình

theo giá trị nhận được của tham số Phần lớn các bài toán biện luận đều liên quan chặt

chẽ đến việc phân chia các trường hợp riêng đối với tham số Từ đó dẫn đến sự phân

lớp các tập nghiệm, nghĩa là ứng với trường hợp này của tham số thì ta có tập nghiệm

này và ứng với trường hợp kia ta lại có tập nghiệm kia …

Mục đích của việc đưa phương trình chứa tham số vào sách Đại số 10 nâng cao

dung trọng tâm của chương trình Chúng được trình bày chính xác hơn, đầy đủ hơn,

hệ thống hơn so với lớp dưới Trong đó, điều đáng lưu ý và tương đối khó là vấn đề

giải và biện luận phương trình Bởi vậy, chương này đồi hỏi những kỹ năng thành thạo trong việc giải các phương trình và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai trên cơ sở các

phương pháp cơ bản mà sách giáo khoa đã cung cấp” Điều đó cho chúng tôi thấy SGK không nhằm làm rõ đến mối liên hệ khoa học luận giữa đặc điểm của tham số và sự ra đời của phương trình chứa tham số như F Viète (1540-1603) Theo các tác giả SGK,

phương trình chứa tham số là một chủ đề “đáng lưu ý và tương đối khó”, được đưa

vào giảng dạy ở lớp 10 nhằm “trình bày chính xác hơn, đầy đủ hơn, hệ thống hơn so

v ới lớp dưới” các vấn đề về phương trình và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai Vậy

cái “ tương đối khó” ở đây là sự xuất hiện của chữ có vai trò khác với ẩn số gọi là tham

số Tiếp theo, tham số đưa vào hàm số như thế nào?

1 Hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số trong SGK

Trong SGK không có giải thích nào dành cho hàm số cho bằng biểu thức chứa tham

số Điều đó cho thấy, cách hiểu về tham số trong hàm số cho bằng biểu thức chứa tham

số dựa theo cách hiểu về tham số trong phương trình chứa tham số

Việc dùng kí hiệu chữ thể hiện vai trò ẩn số, biến số đã được học sinh tiếp cận từ lâu, nhưng khi xuất hiện thêm một kí hiệu chữ khác xuất hiện trong cùng một phương trình,

một hàm số nhưng đóng vai trò khác (tham số) buộc học sinh có sự phân biệt vai trò của các kí hiệu chữ và đồng thời theo dõi sự chuyển đổi vai trò của kí hiệu chữ khi giải toán Điều đó ích nhiều sẽ gây khó khăn cho học sinh Khó khăn của học sinh có thể có nguồn

gốc khoa học luận, cũng có thể do sự chuyển đổi didactic gây ra Khó khăn này thường được thể hiện qua các sai lầm của học sinh

Những khó khăn do tính chất kép: cố định – tự của tham số và chuyển đổi vai trò kí

hiệu chữ gây ra (có nguồn gốc khoa học luận) đã được chúng tôi nghiên cứu ở chương 1

Để tìm hiểu những khó khăn do sự chuyển đổi didactic gây ra, chúng tôi tiến hành phân tích thể chế dạy học toán nâng cao lớp 10 và lớp 12 Một trong những phương pháp tìm

hiểu mối quan hệ thể chế với đối tượng phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng

biểu thức chứa tham số là phân tích các tổ chức toán học liên quan tới hai đối tượng đã nói trên

Cần nhấn mạnh rằng, mục tiêu của luận văn là không đi sâu vào phân tích kĩ thuật, công nghệ của các KNV có chứa tham số trong chủ phương trình và hàm số ở bậc THPT

Vả lại, điều này đã được nhiều tác giả phân tích khá kĩ Chúng tôi kế thừa một số kết quả

đó Mục tiêu luận văn này là chúng tôi phân tích TCTH nhằm làm rõ những khó khăn, chướng ngại của học sinh do tính chất kép của tham số và sự chuyển đổi ý nghĩa và vai trò kí hiệu chữ gây ra khi giải quyết các KNV có chứa tham số ở chủ đề phương trình, và

chủ đề hàm số Song song với việc phân tích các tổ chức toán học chúng tôi tìm hiểu kĩ thuật giải quyết các KNV trong môi trường Casyopée Casyopée sẽ giúp học sinh hiểu được tính chất kép của tham số như thế nào? Nó sẽ giúp học sinh khắc phục những sai

lầm nào?

2 Các tổ chức toán học liên quan đến phương trình chứa tham số

và hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số

Chúng tôi đã khảo sát các kiểu nhiệm vụ chứa tham số trong chủ đề phương trình, hàm số có mặt trong sách Đại số 10 nâng cao và sách Bài tập Đại số 10 nâng cao, Giải tích 12 nâng cao và sách Bài tập Giải tích 12 nâng bao gồm các KNV sau:

T 1 :“Giải và biện luận” bao gồm :

T11: “Giải và biện luận phương trình chứa tham số”

T12 : “Biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số”

T13: “Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường”

T 2 : “Tìm các giá tr ị tham số” thỏa một điều kiện cho trước bao gồm:

T21: “Tìm các trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước”

T22: “Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (C): y = f(x) cắt đường thẳng (d): y = g(x,m) t ại n (n = 0, 1, 2,3,4 ) điểm thỏa mãn điều kiện cho trước”

T23: “Tìm các giá trị tham số để hàm số y = f(x,m) đơn điệu trên một tập cho trước”

T24: “Tìm các giá trị tham số để hàm số y = f(x,m) đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x 0 ”

T25: “Tìm các giá trị tham số để hàm số y = f(x,m) có n cực trị ( n = 0,1,2,3)”

T26: “Tìm các giá trị tham số để đồ thị hai hàm số tiếp xúc với nhau”

Tương ứng với các KNV T2 là KNV T3 “chứng minh”

T33: “Chứng minh rằng hàm số y = f(x,m) đơn điệu trên một tập cho trước thỏa mãn

điều kiện nào đó với các giá trị của tham số”

T34: “Chứng minh rằng hàm số y = f(x,m) đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x 0 thỏa mãn

điều kiện nào đó với các giá trị của tham số”

T35: “Chứng minh rằng hàm số y = f(x,m) có n cực trị ( n = 0,1,2,3) thỏa mãn điều

kiện nào đó với các giá trị của tham số”

T36: “Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số tiếp xúc với nhau thỏa mãn điều kiện nào

đó với các giá trị của tham số”

T 4 : “Xác định các yếu tố cố định của họ đường cong”

T 5 : “ Xác định quỹ tích điểm”

Tiếp theo chúng tôi phân tích cụ thể một số KNV đã nêu ở trên như sau:

2.1 Các KNV T1 “ Giải và biện luận”

KNV T1 1: “Gi ải và biện luận phương trình chứa tham số”

Việc giải và biện luận phương trình chứa tham số được bắt đầu từ bài Phương trình

b ậc nhất và bậc hai một ẩn trong sách Đại số 10 nâng cao với lời giới thiệu tường

minh: “Trong bài này, chúng ta sẽ nghiên cứu cách giải và biện luận các phương trình

bậc nhất và bậc hai có chứa tham số.” Xem như học sinh đã biết cách giải phương trình bậc nhất và bậc hai ở các lớp dưới, phần bài học trình bày ngay kết quả giải và

biện luận các phương trình dạng ax + b = 0, ax2 + bx + c = 0 trong hai bảng sau:

Bảng 1 Kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

1) a = 0: Phương trình có một nghiệm duy nhất x b

a

= −

2) a = 0 và b = 0: Phương trình vô nghiệm

3) a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x∈ 

Tiếp sau đó SGK có một ví dụ như sau:

Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m 2

Xét các trường hợp sau đây:

1) Khi m ≠ -1 và m ≠ 1, ta có m2 -1 = 0 nên (1a) có nghiệm 2( 2 1) 2

m x

−

Đó là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho;

2) Khi m = 1, phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình này nghiệm đúng với

mọi x ∈  phương trình cũng nghiệm đúng với mọi x ∈  ;

3) Khi m = -1, phương trình (1a) trở thành 0x = -4; phương trình này vô nghiệm nên

phương trình (1) cũng vô nghiệm

=+ ( tập nghiệm là 2

1

S m

m= : (1) nghiệm đúng với mọi x ∈  ( tập nghiệm S =  )

Tiếp theo, SKG trình bày kết quả giải và biện luận phương trình dạng

2

0

ax + + = bx c được nêu trong bảng sau:

Bảng 2: Kết quả giải và biện luận phương trình dạng 2

−

=

0 :

∆ < Phương trình vô nghiệm

Trong môi trường Casyopée bài toán giải như sau:

Bước 1: Tạo tham số m và lập hàm số 2

=+ Bước 3: Bấm vào hàm f thì phần mềm sẽ tự động minh họa đồ thị của hàm số Khi đó

ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị sẽ thay đổi theo như sau:

- Khi thay đổi giá trị tham số đến giá trị m=1 thì đồ thị trùng trục hoành, nên PT có

=+ được thể hiện trên NotePad

Minh họa trường hợp PT có nghiệm duy nhất trong Casyopée như sau:

+ và nghiệm đó được thể hiện trên NotePad

Phần định tính (biện luận): Khi cho tham số m thay đổi giá trị bằng thanh trượt thì trên NotePad vẫn luôn thể hiện nghiệm PT là 2

1

x m

= + kể cả khi m=1;m= −1 Điều đó cho thấy Casyopée không thực hiện biện luận trực tiếp PT bằng kĩ thuật “ Đại số” mà

phải nhờ kĩ thuật “ Hình học” Biện luận PT bằng kĩ thuật “Hình học” dựa vào công nghệ sau: “Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số f và g là nghiệm PT: f x( ) =g x( ) Đặc

biệt, hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f với trục ox là nghiệm PT f x( ) = 0 Vậy, số ngiệm PT f x( ) =g x( ) bằng số giao điểm hai đồ thị của hàm số f và g, số ngiệm

PTf x( ) = 0 bằng số giao điểm đồ thị của hàm số f với trục ox.” Nhờ công nghệ đó mà

học sinh chuyển bài toán biện luận trong phạm vi9ĐS trong MT truyền thống (biện luận

9

Theo Douady (1986), ph ạm vi (cadre) được tạo thành từ các đối tượng của một ngành toán học, những mối liên hệ giữa

chúng, cách trình bày chúng, cách suy ngh ĩ, cách lập luận, cách hành động trên chúng Đối với toán học, ta có phạm vi hình học, phạm vi số học, phạm vi đại số, phạm vi giải tích, …

Hai ph ạm vi có thể có một số đối tượng như nhau nhưng khác nhau ở sự kết hợp giữa các đối tượng ấy, ở mối liên hệ giữa chúng và ở cách thức hành động, lập luận trên các đối tượng.( dẫn theo Nguyễn Nhật Phương 2012)

số nghiệm PT theo tham số) sang phạm vi HH (biện luận số giao điểm hai đường) trong

MT Casyopée Quá trình này luôn gắn liền với sự chuyển đổi cách biểu thị ĐS trong MT trường truyền thống sang cách biểu thị HH trong MT Casyopée Để trình bày kết quả

biện luận trong phạm vi ĐS ở MT truyền thống, học sinh phải chuyển đổi từ phạm vi và cách biểu thị HH trong MT Casyopée sang phạm vi và cách biểu thị ĐS trongMT truyền

thống

Qua phân tích kĩ thuật giải bài toán trên trong môi trường Casyopée cho phép học sinh hiểu rõ tính chất kép: cố định-tự do của tham số khi cho tham số thay đổi giá trị, tương ứng đồ thị của hàm số và giao điểm cũng thay đổi Khi chuyển đổi phạm vi và cách biểu thị từ ĐS sang HH và ngược lại để giải, giúp học sinh hiểu rõ mối qua hệ HH

và ĐS trong một bài toán biện luận Điều đó đã làm giảm bớt sự ngắt quãng giữa hàm số

và phương trình nói riêng, giữa “Đại số” và “Hình học” nói chung Đây ưu điểm của Casyopée Nó đã khắc phục khó khăn việc hiểu tính chất kép của tham số, khắc phục khó

khăn do sự ngắt quãng giữa hàm số và phương trình trong bài toán biện luận PT theo

tham số trong MT truyền thống Cần nói thêm rằng: việc nghiên cứu phương trình nhờ vào đồ thị chiếm vị trí “yếu ớt” trong thể chế Việt Nam

Tiếp theo SGK minh họa bằng một ví dụ sau:

Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

- Nếu m > 4 thì '∆ < 0 nên (2) vô nghiệm;

- Nếu m = 4 thì '∆ = 0 nên (2) có một nghiệm 2 1

2

m x m

−

- Nếu m < 4 và m ≠ 0 thì '∆ > 0 nên (2) có hai nghiệm

- Khi thay đổi giá trị tham số đên giá trị m<4 và m≠ 0 thì đồ thị hàm số là một Parabol cắt trục hoành hai điểm, nên PT có hai nghiệm

;

− − − − + − được minh họa trên NotePad;

- Khi tham số đạt giá trị m =4 thì đồ thị hàm số là một Parabol tiếp xúc trục hoành

nên PT có một nghiệm (nghiệm kép);

- Khi tham số đạt giá trị m =0 thì đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt trục hoành

một điểm nên PT có một nghiệm

Quá trình biện luận phải dựa vào sự tương giao đồ thị hàm số với trục hoành Đồ thị

thay đổi vị trí theo tham số nên giao điểm đồ thị với trục hoành thay đổi theo Để có kết

quả biện luận chính xác thì phân chia các trường hợp biện luận phải rơi vào các giá

trị“đẹp”

Nhận xét: Trước đó, học sinh đã tiếp cận với phương trình số một thời gian khá dài ở

lớp 8 lớp 9 với một tần số tương đối cao Đây là lần đầu tiên học sinh gặp KNV T1“Giải

và biện luận” phương trình chứa tham số Do đó, khi học sinh tiếp cận phương trình chứa tham số luôn bị “cái cũ” (PT số10) thống trị “cái mới” (PT chứa tham số) Tôi nhận thấy

rằng SGK không xây dựng bước chuyển “tổng quát hóa” để nối khớp PT số với PT tham số Ví dụ: học sinh ứng xử trước tình huống giải PT 2mx-3=0 sẽ khác với tình

huống giải PT 2x-3=0 Chúng tôi cho rằng: Sự ngắt quãng giữa PT số với PT chứa tham

s ố PT số với PT tham số là một khó khăn cho HS ở thời điểm bắt đầu làm quen với phương trình chứa tham số Tuy nhiên, SGK đã không xây dựng sự nối khớp giữa PT số

v ới PT chứa tham số nhằm xóa bỏ sự ngắt quãng đó Đây là khó khăn do thể chế gây ra

cho học sinh Cũng nói thêm rằng, khi đã có kết quả biện luận tổng quát về diễn biến tập

nghiệm của phương trình theo tham số, học sinh có sử dụng kết quả đó để trả lời cho nghiệm của các phương trình cụ thể hay không? Điều này không thấy thể hiện trong SGK Theo cách nói biện chứng giữa cái cụ thể với cái trừu tượng thì sau khi chuyển từ cái cụ thể (PT số) cái trừu tượng (PT chứa tham số ), chúng tôi nhận thấy SGK không

quan tâm đến chiều ngược lại trừu tượng  cụ thể

Quay lại phân tích hai ví dụ trên, ta thấy hai ví dụ trên cho thấy tính phụ thuộc một

10 Chúng tôi mu ốn nhấn mạnh “phương trình số” theo nghĩa là phương trình với hệ số là số thực cụ thể,

nh ằm phân biệt với phương trình có hệ số chứa tham số

chiều (nghiệm x phụ thuộc vào tham số), chiều ngược lại không có Tôi tự hỏi rằng, học sinh có dựa vào tính phụ thuộc một chiều (ẩn phụ thuộc vào tham số) để phân biệt chữ nào là ẩn, chữ nào là tham số hay không? Ta tìm hiểu qua ví dụ sau trong bài một số phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai trong SGK ĐS 10 NC

Ví dụ 2, trang 82, Giải và biện luận phương trình

1

2 (2)1

−

=

−

Khi m =2 ho ặc m = -1, PT (2) vô nghiệm

Qua ví dụ trên cho thấy, ẩn phụ thuộc vào tham số nhưng ngược lại, tham số cũng

phụ thuộc theo ràng buộc điều kiện của ẩn Sau khi tìm được x, ta phải quay lại xác định điều kiện của tham số m Đến bước này, ẩn x cung cấp giá trị cho tham số m Xuất

hiện chuyển đổi vai trò của kí hiệu chữ: ẩn x chuyển đổi vai trò thành tham số, tham số

m chuyển đổi vai trò thành ẩn

Cũng nói thêm, nếu nhìn theo ngữ cảnh hàm số, biểu diễn ẩn số phụ thuộc vào

tham số ( ví dụ 3

2

x m

−

=

− , đại lượng x thay đổi phụ thuộc vào sự thay đổi của đại lượng m) có thể xem x là hàm theo đối số m Điều đó cho thấy việc ý nghĩa của chữ không cố định mà nó phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể

KNV T 1 2 Bi ện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số

Số nghiệm của phương trình (3) cũng là số nghiệm của phương trình (4) và bằng số

giao điểm của parabol (P): y = x2 + 2x + 2 với đường thẳng (d): y = a Quan sát đồ

thị (h.3.1), ta thấy đỉnh của parabol (P) là điểm M( 1;1) − , khi a thay đổi thì đường

thẳng (d) cũng thay đổi nhưng luôn luôn song song (hoặc trùng) với trục hoành Từ đó,

- Với a > 1, phương trình (3) có hai nghiệm (đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại

hai điểm phân biệt)

Trong môi trường Casyopée bài toán giải như sau:

Cách 1

Bước 1: Ta nhập hàm số 2

f x =x + x+ và g x( )=a tiếp theo ta bấm hàm vào hàm

f, g thì phần mềm sẽ tự động minh họa đồ thị của hai hàm số

Bước 2: Ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị hàm số g sẽ thay đổi cùng phương với trục hoành Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số g ( đường thẳng di

động cùng phương trục hoành) với đồ thị hàm số f ta sẽ có kết quả biện luận

y=x + x+ Dựa vào sự tương giao đồ

thị hàm số f với trục hoành ta sẽ có kết quả biện luận

Như vậy, quá trình biện luận phải dựa vào sự tương giao đồ thị hàm số với trục hoành

ho ặc sự tương giao giữa hai đồ thị Trong điều kiện đó, phân chia các trường hợp biện

lu ận phải rơi vào những giá trị m phải “đẹp” của tham số

Xét về kĩ thuật:

Có hai kĩ thuật “Đại số” và “Hình học” để giải quyết kiểu nhiệm vụ trên Tuy nhiên,

kĩ thuật hình học được học sinh sử dụng khi đề cho hoặc gợi ý Ngoài ra, thể chế vẫn ưu tiên kĩ thuật đại số hơn

biến số

KNV: T 1 3 “Bi ện luận theo tham số” số giao điểm của hai đường

Xét bài tập 1.91 sách Bài tập Giải tích 12 nâng cao trang 29

b) Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số giao điểm của đường thẳng

y = m(x+1) + 3 và đường cong (C), tùy theo các giá trị của m

Lời giải trong sách bài tập Giải tích 12 nâng cao trang 64

b) Giải Đường thẳng y = m(x + 1) + 3 có hệ số góc m, đi qua điểm I( 1;3) − , I nằm trên tiệm cận đứng x = - 1 của (C )

Với m < 0 đường thẳng không cắt đường cong (C);

Với m = 0 đường thẳng tiếp xúc với (C) tại điểm (0 ; 3);

Với 0 < m < 2 đường thẳng cắt (C) tại hai điểm (cả hai giao điểm đều thuộc

nhánh phải của (C));

Với m = 2, đường thẳng song song với tiệm cận xiên của (C); đường thẳng cắt (C)

tại một điểm;

Với m > 2, đường thẳng cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của (C)

Trong môi trường Casyopée bài toán giải như sau:

Bước 2: Ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị hàm số g sẽ thay đổi

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số g với đồ thị hàm số f ta sẽ có kết quả biện luận Tuy nhiên trong trường hợp này đồ thị hàm số g thay đổi quay quanh một điểm cố định I(-1;3) trên tiệm cận đứng

Cách 2: Đưa về PT dạng f x( ) =m để giải

Bước 1; Ta biến đổi PT về 2 2 2

( 1)

x m

x =+Bước 2: Ta nhập hai hàm số

2

2

2( )( 1)

x

f x

x

=+ và g x( )=m và bấm vào hai hàm f và g

Dựa vào công nghệ trên được nêu trong sách giáo khoa, học sinh có thể huy động kĩ thuật Hình học hoặc kĩ thuật Đại số để giải quyết KNV biện luận số giao điểm hoặc số nghiệm của phương trình Tuy nhiên, thể chế vẫn ưu tiên kĩ thuật “Đại số” hơn kĩ thuật

“Hình học” Kĩ thuật hình học được huy động khi được đề gợi ý hoặc sau bài khảo sát hàm số Vấn đề này được nghiên cứu rất rõ trong luận văn của Nguyễn Nhật Phương (2012)

Nh ận xét chung KNV T1 “ Gi ải và biện luận”

V ề kĩ thuật

Để giải quyết KNV T1 có hai kĩ thuật “ Đại số” và “ Hình học”

Thể chế ưu tiên huy động kĩ thuật “Đại số” hơn kĩ thuật “Hình học” để giải quyết KNV T1 Kĩ thuật “Hình học” được huy động khi được đề gợi ý hoặc sau bài khảo sát hàm số Kĩ thuật “Hình học” thường huy động biện luận các bài toán định tính (số nghiệm, số giao điểm) Các bài toán định lượng (xác định nghiệm, tìm tọa độ giao điểm, ) kĩ thuật hình học không được huy động mà huy động kĩ thuật Đại số

V ề tham số

Tham s ố có tính chất kép: cố định – tự do

Tính t ự do cho phép nhìn một phương trình (hoặc hàm số) chứa tham số là một tập

h ợp

Tính c ố định của tham số cho phép xác định phần tử của tập hợp

Trong hoạt động giải và biện luận phương trình bao gồm hai hoạt động song song với nhau là biến đổi phương trình để giải tìm nghiệm + biện luận

Trong ho ạt động biến đổi phương trình để tìm nghiệm, ưu tiên huy động tính cố định

của tham số

Trong ho ạt động biện luận, ưu tiên huy động tính tự do của tham số Tức là khi giá trị

tham số thay đổi thì mới xảy ra sự phân chia trường hợp

Biện luận chính là chia lớp tập nghiệm của phương trình

Một cách nói khác, biện luận chính là chia lớp tập hợp phương trình theo quan hệ tương tương là số nghiệm của phương trình Tức là số phương trình vô nghiệm cho vào

một lớp, số phương trình có một nghiệm cho vào một lớp, số phương trình hai nghiệm cho vào một lớp…