- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.
Trang 1SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT- BẢNG A
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
I
(3,0đ) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:
2x 1
x m
x 1
x (m 3)x m 1 0 1 , với x 1 0,5 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 1
có hai nghiệm phân biệt khác 1
2
m 2m 13 0 0.m 3 0
(đúng m)
0,5
Gọi x , x1 2 là các nghiệm của phương trình (1), ta có: 1 2
1 2
x x m 3
x x m 1
Giả sử A x ; x 1 1 m , B x ; x 2 2 m
0,5
Khi đó ta có: 2
1 2
AB 2 x x
PA x 2 x m 5 x 2 x 2 ,
Suy ra PAB cân tại P
0,5
Do đó PABđều 2 2
m 4m 5 0
Vậy giá trị cần tìm là m 1, m 5 0,5
II
1,
(3,0đ)
ĐKXĐ: x 1
x 13
Phương trình đã cho tương đương với x 2 x 1 2 3 2x 1 3
0,5
x 1 x 1 x 1 2x 1 3 2x 1 (1)
Xét hàm số 3
f t t t; 2
f ' t 3t 1 0, t Suy ra hàm số f t liên tục và đồng biến trên
0,5
Trang 2Khi đó: 3 3
Pt(1) f x 1 f 2x 1 x 1 2x 1 0,5
1 x
x
x x x 0
x
2
0,5
Đối chiếu ĐKXĐ được nghiệm của phương trình đã cho là:
1 5
x
2
II
2,
(3,0đ) ĐKXĐ:
x 0
y 0
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với:
2 2
x 1 y 1 2xy
0,5
2 2
*
, đặt
1
u x
x 1
v y
y
Hệ phương trình * trở thành 2 2 2
0,5
u v 3
uv 2
(I) hoặc
u v 3
uv 2
(II)
Ta có:
u 1 I
v 2 hoặc
u 2
v 1
u 1 II
v 2 hoặc
u 2
v 1
x
nên chỉ có u 2
v 1
u 2
v 1
thỏa mãn
0,5
Trang 3A'
C' B'
C
B
G A
D
u 2
v 1
ta có
1
x 1
x
1 5
y
(thỏa mãn ĐKXĐ) 0,5
u 2
v 1
ta có
1
x 1
x
1 5
y
(thỏa mãn ĐKXĐ) 0,5
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y là:
0,5
III
1,
(3,0đ) Diện tích đáy là
2
ABC
a 3 S
4
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
0,5
Gọi E là trung điểm BC Ta có BC AE BC AA'E
BC A'G
Gọi Dlà hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng AA'
0,5
Do đó BC DE, AA' DE
Suy ra DE là khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC 0,5 Tam giác ADE vuông tại D suy ra DE 1 0
AE 2
Xét tam giác A'AG vuông tại G ta có 0 a
A'G AG.tan 30
3
Vậy
3
ABC.A ' B'C ' ABC
a 3
12
Trang 4III
2,
(3,0đ)
Gọi B', C', D' lần lượt giao điểm của mp với
các cạnh AB, AC, AD
Ta có AGBC AGCD AGDB 1 ABCD
3
0,5
Vì VAB'C' D ' VAIB'C' VAIC' D ' VAID ' B' và (*) nên
AB'C' D' AIB'C' AIC' D' AID' B'
ABCD AGBC AGCD AGDB
AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB'
AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB
AB' AC' AD' AI
AB' AC' AD'
0,5
h
h
Ta có: 2 2 2 2
h h h 3 h h h
( luôn đúng )
Kết hợp với (**) ta được 2 2 2 2
3h 3 h h h Hay
2 2 2
2
B C D
A
h 3
0,5
IV
(2,5đ) Đường tròn T có tâm K 3;2 bán kính là R 5
Ta có AI :x y 0, khi đó đường thẳng AI cắt
đường tròn T tại A'(A' khác A) có tọa độ là
nghiệm của hệ
x y 0
0,5
K
A
I
B
C
A'
I
G
B'
D' A
B
C D C'
Trang 5x 6
y 6
Vậy A' 6;6
Ta có: A 'B A 'C (*) (Do BA' CA')
A'BC BAI (1) (Vì cùng bằng IAC)
Mặt khác ta có ABI IBC (2)
Từ (1) và (2) ta có: BIA' ABI BAI IBC A'BC IBA'
Suy ra tam giác BA'I cân tại A' do đó A 'B A 'I (**)
Từ * , ** ta có A 'B A 'C A 'I
0,5
Do đó B, I,C thuộc đường tròn tâm A' bán kính A'I có phương trình là
Suy ra tọa độ B, C là nghiệm của hệ
x 3 y 2 25
x 6 y 6 50
Nên tọa độ các điểm B,Clà : (7; 1),( 1;5)
0,5
Khi đó Inằm trong tam giác ABC (TM)
Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x 4y 17 0 0,5
V
(2,5đ)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
3 1 a 4b 1 a 4b 16c 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 4b 16c
0,5
Suy ra
P
2 a b c a b c
Đặt t a b c, t 0 Khi đó ta có: 3 3
P 2t t
0,5
Xét hàm số 3 3
f t
2t t
với t 0 ta có 3 32
f ' t
2t 2t t
3 32
2t 2t t
0,5
Trang 6Bảng biến thiên
t 0 1
f ' t 0 +
f t
0
3
2
Do đó ta có
t 0
3 min f t
2
khi và chỉ khi t 1
0,5
Vậy ta có P 3
2
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
16 a 21
b
a 4b 16c 21
1 c 21
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3
2
khi và chỉ khi 16 4 1
a, b,c , ,
21 21 21
0,5
- - Hết - -
Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng
- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm