Huong dan cham de thi chon HSG cap tinh 12 quang binh

Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bướ

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn thi: Toán - Vòng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)

yªu cÇu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải

lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước

giải sau có liên quan

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành

phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của

từng bài

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài

1

Phương trình : 4n 2n

x  x 2012 2012 (nN*) (1) Đặt t = x2n 0, phương trình (1) trở thành:

2

2

2

Giải phương trình (2) ta được: t 1 8045

2

 

 thỏa mãn điều kiện Phương trình có 2 nghiệm:

2n

1

x

2

 

2

x

2

 

2,5 điểm

0,25 0,5

0,5 0,25 0,25 0,25

0,5

Theo công thức xác định dãy ( )u n , ta có u n 0;  n *

Áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có:

3



Do đó: u n  3 3 ; n *

Mặt khác:

3

0

n

u



Vậy ( )u n là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn

3 3

Vậy: limu n  3 3

0,5

0,5

0,5 0,5 0,5

3

1 1 1 2 2 362 2 2 2

9

2 2 2 2 2 2 1 1 1 (9 x y y z z x ) 36

Ta có:      2 z + zx 3

3

Do đó:

3

27

z+zx





 Mặt khác:

2

2 2 2 2 2 2

2

27

z+zx



1.5 điểm

0,25

0,25

0,25

0,25

9  

Suy ra: (9 x y2 2 y z2 2 z x2 2) 1 1 1 36

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1.

0,25

0,25

4

Chọn hệ trục tọa độ Nxy sao cho A, N nằm trên trục hoành

Vì AB không song song với các trục tọa độ nên phương trình của nó có

dạng : y = ax + b (a 0) Khi đó : A b;0

a

 , P(0; )b

AC đi qua A và đối xứng với AB qua trục hoành nên có phương trình :

y = -ax – b

a

BC đi qua gốc tọa độ nên :

+) Nếu BC không nằm trên trục tung thì phương trình BC có dạng y = cx

với c 0,c   a (vì B, C không thuộc trục hoành, BC không song song

với AB và AC)

2.0 điểm

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

y

x

O

Q

P

M

B A

B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ :

y ax b B b ; bc

 

C là giao điểm của BC và AC nên tọa độ C là nghiệm của hệ :

  

Do đó : M 2ab 2; 2abc 2

bc



Từ đó ta có phương trình của AM là :

2

Q là giao điểm của AM với trục tung nên

Do đó QO là một vectơ pháp tuyến của BC nên QO vuông góc BC

+) Nếu BC nằm trên trục tung thì tam giác ABC cân tại A nên M N, do

đó O thuộc AN nên QO vuông góc BC

0,25

0,25

0,25

5

Giả sử x y z, ,  là nghiệm nguyên dương của phương trình Ta có:

 

2

2

  

Nếu x(yz) thì  2

4 3

( )

1,5 điểm

0,25

0,25 0,25

0,5

Nếu x y z thì

1 3

3 1

y z

y z















Thử lại, ta thấy: (4; 3; 1) và (4; 1; 3) là nghiệm của phương trình

Vậy: nghiệm nguyên dương của PT đã cho là (4; 3; 1) và (4; 1; 3).

0,25