De thi chon HSG cap tinh 12 ha nam

Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại C D, sao cho diện tích OAB bằng 2 lần diện tích OCD.. Chứng minh rằng các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà qua đó kẻ được đế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm)

1 Cho hàm số 3 2

1

x m y

mx





 với m là tham số Chứng minh rằng  m 0, đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng d y: 3x3m tại 2 điểm phân biệt A B, Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại C D, sao cho diện tích OAB bằng 2 lần diện tích OCD

2 Cho hàm số

2

1

x y x



 có đồ thị (C) Chứng minh rằng các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà qua đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đều nằm trên đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 2

Câu 2: (4 điểm)

1 Giải phương trình sau trên tập số thực: 1

15 5x x 5x 27x23

2 Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 2

2 2

x

x x

x x

Câu 3: (6 điểm)

2

a

AB AC a BC  SAa (a0) Biết góc 0

30

SAB và

góc SAC300 Tính thể tích khối tứ diện theo a

2 Chứng minh rằng nếu một tứ diện có độ dài một cạnh lớn hơn 1, độ dài các cạnh còn lại đều không lớn hơn 1 thì thể tích của khối tứ diện đó không lớn hơn 1

8

Câu 4: (4 điểm)

Tính các tích phân:

1

3

2 2

2 4

x

x x





 2 2  sinx 1

0

cos 1 ln

sin x 1

x













Câu 5: (2 điểm)

Cho ba số thực dương a b c, , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( 1)( 1)( 1)

P

a b c

…………Hết…………