HS không cần xét 2 trường hợp.. Vẽ hình, ghi GT, KL chính xác... Mà CE nằm giữa CH, CK nên CE là phân giác của ·HCK.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2015-2016 MÔN THI: Toán 7 NGÀY THI: 28/ 3/ 2016
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (4 điểm):
1) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý:
0,7
2) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn: ( )2016 2 2017
5x y− + x −4 ≤ 0
Bài 2 (4 điểm):
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x− 2015 + 2016 − + −x x 2017
2) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: xy + x - y = 4
Bài 3 (4 điểm):
1) Cho hàm số f x ( ) xác định với mọi x ∈ ¡ Biết rằng với mọi x, ta đều có:
2 1 ( ) 3 ( )
x
+ = Tính f (2) 2) Cho x, y, z là các số nguyên dương và x + y + z là số lẻ, các số thực a, b, c thỏa mãn:a b x− = b c−y = a c−z
Chứng minh rằng: a b c = =
Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giác ABC cân tại A, (Â <900) D là trung điểm của AC Trên đoạn thẳng BD lấy điểm E sao cho DAE · = · ABD Từ A kẻ AG⊥BD (G∈tia BD );
kẻ CK ⊥BD (K∈BD).
1) Chứng minh rằng: AK = CG
2) Từ C kẻ CH ⊥AE (H ∈tia AE) Chứng minh rằng: EC là phân giác của ·HCK 3) Chứng minh rằng:DAE· = ECB·
Bài 5 (2 điểm):
Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký)
Giám thị 2 (Họ tên và ký)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆT YÊN
HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN 7
1
(2.0
điểm)
0,7
0,5
3
8
+ − +
0,5
3 1
7
8
2
= −
3 2 5
8 7 56
= − =
0,5
56
2
(2.0
điểm)
Ta có: (5x – y )2016 ≥ 0 với ∀x y, .
và x2 − 4 2017 ≥ 0 với ∀x
nên ( )2016 2 2017
Mà theo đề bài: ( )2016 2 2017
5x y− + x −4 ≤0 nên ( )2016 2 2017
5x y− + x −4 =0
Do đó: (5x – y )2016 = 0 và x2 - 4 = 0
0,5
Từ đó tìm được x = 2 và y = 10 hoặc x = -2 và y = -10 0,5
Bài 2
1
(2.0
điểm)
P = x− 2015 + 2016 − + −x x 2017 = (x− 2015 + 2017 −x) 2016 + −x 0,5
Ta có x− 2015 + 2017 − ≥ −x x 2015 2017 + − =x 2 với mọi x Dấu “=” xảy ra khi:
Lại có: 2016 − ≥x 0 với mọi x Dấu “=” xảy ra khi x = 2016 (2).
0,5
Trang 3Từ (1) và (2) Ta có minP = 2, khi x = 2016 Kết luận 0,5
2
(2.0
điểm)
xy + x - y = 4
( 1) ( 1) 3 ( 1)( 1) 3
1
Theo đề bài: x, y nguyên dương nên y > 0 ⇒ y + 1 > 1.
Mà: 3 = 3.1 = 1.3 = -1.(-3) = (-3).(-1)
Nên y + 1 = 3 và x - 1 = 1 Từ đó tìm được y = 2; x = 2 (thỏa mãn)
0,5
Kết luận: x, y nguyên dương thỏa mãn là: x = 2; y = 2
0,5
Bài 3 (Trong chương trình lớp 7 HS chưa học TXĐ của hàm số nên nếu thiếu ĐK x ≠0 thì không trừ điểm)
1
(2.0
điểm)
Ta có: f x( ) 3 ( )f 1 x2
x
+ = nên (2) 3 ( ) 21 2 4
2
và
2
f + f = = ⇒ f + f =
÷
Từ (1) và (2) ta có: 8 (2) 13 (2) 13
0,5
2 (2.0
điểm)
Theo đề bài : a b−x =b c−y = a c−z áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau ta có: a b−x =b c−y =a c−z = a b b c a c− + − + −x y z+ + = x y z2(+ +a c− ) (1) 0,5
Và a b−x =b c−y = a b b c− + −x y+ = x y a c+− (2)
Từ (1), (2) ⇒ x y z2(+ +a c− ) = x y a c+− (3)
0,5
Nếu a c− ≠ 0: Từ (3)⇒2 x y( + ) = + +x y z (Vô lý vì (x + y + z) lẻ (theo đề
bài); còn 2(x+y) luôn chẵn với mọi x, y)
Do đó a – c = 0 Thay vào dãy tỉ số đã cho tìm được a = b = c
0,5
Bài 4 (Chấm theo hình vẽ của học sinh vì 2 khả năng: Hình 1 và hình 2 đều có chung lời chứng minh HS không cần xét 2 trường hợp).
Vẽ hình, ghi GT, KL chính xác
Trang 4
1
(2.0
điểm)
(Hình 1) (Hình 2)
+) Chứng minh ∆ADG = ∆CDK (cạnh huyền- góc nhọn)
+) Chứng minh VADK =VCDG cgc( )
2 (3.0
điểm) +) Chứng minh ∆ABG=∆CAH (cạnh huyền- góc nhọn)
+) Từ ∆ADG = ∆CDK (chứng minh trên)⇒ AG = CK(2 cạnh tương ứng)
(2)
+) Chứng minh VHEC =VKEC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
HCE KCE
⇒ = (2 góc tương ứng)
1
Trang 5Mà CE nằm giữa CH, CK nên CE là phân giác của ·HCK
3 (1.0
điểm)
+) Từ VHEC =VKEC(chứng minh trên)
CEH CEK
⇒ = (2 góc tương ứng) (3)
+ ·CEH là góc ngoài ∆CEA tại đỉnh E nên: ·CEH =CAE ECA · + · (4)
·CEK là góc ngoài ∆CEB tại đỉnh E nên: ·CEK = CBE ECB · + · (5)
0,25
Từ (3), (4), (5) ⇒ CBE ECB · + · =CAE ECA · + · (6)
Mặt khác, do ∆ABC cân tại A (gt) nên · ABC = ACB · (tính chất)
Lấy (6) trừ (7) theo từng vế ta được: ECB ABE CAE ECB · − · = · − ·
Mà CAE ABE· = · (gt) Nên 2. ECB · = 2. CAE · ⇒ ECB CAE · = ·
Bài 5
(2.0
điểm)
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n - 2; n - 1; n; n + 1; n + 2, trong đó
Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp đó là:
A = (n - 2)2 + (n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 +(n + 2)2
= 5(n2 + 2)
0,5
Vì n2 không thể có chữ số tận cùng bằng 3 hoặc 8, nên (n2 + 2) không thể
chia hết cho 5
Do đó 5(n2 + 2) không là số chính phương, hay A không là số chính
phương
0,5
Vậy: Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một
=================Hết===============